大学入試数学 相加相乗平均の鋭い評価—積が一定になる二項を選び下界が動かない理由を説明する｜武蔵野個別指導塾

右辺に変数が残ったままでは最小値を言い切れません。相加相乗平均を当てる二項の選び方を、積が一定になる組の見つけ方と等号の代入から追い、右辺が止まる下界です。

自習のノートで、正の x を含む式に相加相乗平均を当てた場面です。左辺を下から押さえたつもりで右辺を書き終えると、まだ x が残っていて、値が一つに決まりません。式そのものは正しく変形しているのに、選んだ二項の積が x を含んでいたために、下界が x と一緒に動いてしまうのです。ここでは、どの二項を選べば右辺が止まるのか、止まった下界が本当に最小値になるのかを、等号の代入まで含めて確かめます。

評価の右辺に変数が残る場面

相加相乗平均を扱う問題は、大きく三つの型に分かれます。第一は、正の変数を含む式の最小値や最大値を、定数の下界や上界に押さえる型です。第二は、積や分数の形で与えられた式を展開したり割ったりしてから、積が一定になる二項を探す型です。第三は、求めた評価の等号を解き、その値が定義域に入るかを代入して確かめる型です。この三つは別々の解法ではなく、一つの答案の中でこの順に重なります。

使う道具は、正の二数について成り立つ (a + b)/2 ≥ √(ab)、すなわち a + b ≥ 2√(ab) です。等号は a = b のときに限って成り立ちます。a と b はどちらも正でなければならず、負の数や零をそのまま当てはめると、平方根の意味も不等号の向きも崩れます。目的の式が正の項だけで書けているかを、当てはめる前に一度確かめます。

この型で問われるのは、計算の速さよりも判断の順序です。まず目的の式を、積が定数になる二項と、それ以外の定数とに分けられるかを見ます。次に、分けた二項に不等式を当て、右辺が x を含まないことを確認します。最後に等号を解き、その x を元の式へ戻して、下界の値が実際に取れるかを調べます。この順序を守ると、右辺に変数が残る事故と、下界は出たが最小値ではないという事故を、別々に防げます。

下界を止める二項の選び方

相加相乗平均の右辺が 2√(ab) です。この値が x を含まないためには、積 ab が x を含まないことが必要です。たとえば a = x、b = 4/x なら ab = 4 で、x は消えます。逆に a = x、b = 2x なら ab = 2x² で、右辺は 2√(2x²) となり、x が残ります。右辺に x が残ると、その式は x の値によって大きくなったり小さくなったりするので、一つの数としての下界にはなりません。

図1のように、同じ「和の式」でも、どの二項を組にするかで右辺の行き先が変わります。組にした二項の積が定数になれば、右辺は動かない数になります。組にした二項の積が x を含めば、右辺も x の関数のままです。この違いが、評価が止まるか動くかを分けます。

図1の上側では、a と b の積が一定なので、和の下界が一つの数に固定されます。下側では、a と 2a の積に a が残るため、右辺も a とともに動きます。図1が示すのは、不等式の形を覚えることではなく、積を見て組を選ぶという手順です。式の中に候補が三つ以上あるときは、二項ずつ組を作り、その積から文字が消える組を探します。

等号の確認も同じくらい重要です。a + b ≥ 2√(ab) の等号は a = b ですから、選んだ組について a = b を解きます。その解が正の範囲に入り、ほかの項の条件とも矛盾しないときだけ、下界の値は実際に取れます。等号を解かずに「最小値はこれです」と書くと、取れない値を答えにしたことになります。等号の x を元の式へ代入して、下界の値と一致するかを見るのが最後の手順です。

評価が鋭いとは、その下界より大きい下界を作れない、という意味です。a + b ≥ 2√(ab) は、積 ab を固定したときの和の下界として最良で、等号が取れる点があれば、そこでの値がそのまま最小値になります。反対に、右辺が定数でも等号が取れない場合は、下界は正しいけれど鋭くありません。定数であることと、達成できることは別に確かめます。等号を満たす点が定義域の外にある場合や、等号の解が負になる場合は、下界がそのまま最小値にはなりません。

基本例題: 展開して積が一定の二項を拾う

例題1です。x > 0 のとき、f(x) = (x + 4)(1/x + 1) の最小値を求めます。難しさは標準です。積の形のままでは二項が見えにくいので、まず展開して、和の項に分けます。

f(x) = (x + 4)(1/x + 1)
     = x・(1/x) + x・1 + 4・(1/x) + 4・1
     = 1 + x + 4/x + 4
     = x + 4/x + 5

一行目から二行目は分配法則で、四つの積をすべて書いています。二行目から三行目は、x・(1/x) = 1 と 4・1 = 4 を計算した段階です。三行目から四行目は、定数 1 と 4 をまとめて 5 にしています。この形にすると、x を含む項が x と 4/x の二つだけになり、残りは定数 5 です。

ここで候補の組を調べます。x と 5 の積にも、4/x と 5 の積にも x が残ります。x と 4/x の積は 4 で、x が消えます。したがって選ぶべき組は x と 4/x です。x > 0 なので、x も 4/x も正であり、相加相乗平均を当てる前提を満たします。

x + 4/x ≥ 2√(x・4/x)
        = 2√4
        = 4

一行目は相加相乗平均そのもので、a = x、b = 4/x と置いています。二行目は積 x・4/x を 4 に直した変形です。三行目は √4 = 2 を計算し、2 倍して 4 にした結果です。右辺に x が残っていないことに注意します。これが「下界が止まる」という状態です。

両辺に 5 を足すと、f(x) = x + 4/x + 5 ≥ 4 + 5 = 9 となります。次に等号を調べます。等号は x = 4/x のとき、すなわち x² = 4 のときです。x > 0 なので x = 2 です。この値は定義域に入っています。元の式へ戻すと、f(2) = (2 + 4)(1/2 + 1) = 6・(3/2) = 9 となり、下界の 9 と一致します。

図2のように、x と 4/x を組にして積 4 を作り、定数 5 はそのまま残します。図2の並びは、項を選ぶ順序と、等号を代入する位置を対応させています。したがって最小値は 9 で、そのときの x は 2 です。答えを書くときは、最小値と、それを与える x の値を一組で示します。

標準と発展の例題: 形を変えて二項をそろえる

例題2です。x > 0 のとき、f(x) = x/(x² + 9) の最大値を求めます。難しさはやや難です。分数のままでは積が見えないので、分母と分子を同じ正の数 x で割って、分母に和の形を作ります。x > 0 なので x で割っても値は変わりません。

f(x) = x/(x² + 9)
     = (x/x)/((x² + 9)/x)
     = 1/(x + 9/x)

一行目から二行目は、分母と分子をそれぞれ x で割った操作です。二行目から三行目は、(x² + 9)/x = x + 9/x を計算し、分子の x/x = 1 を書いた結果です。これで分母が x と 9/x の和になり、積が一定の二項が現れました。

分母について、x + 9/x ≥ 2√(x・9/x) = 2√9 = 6 です。等号は x = 9/x、すなわち x² = 9 から x = 3 です。x > 0 なので 3 を選びます。ここで気をつけるのは、目的の式が分数だという点です。分母は正で、分母が大きくなると分数全体は小さくなります。したがって分母の下界 6 は、f(x) の上界 1/6 に対応します。

f(x) = 1/(x + 9/x) ≤ 1/6 であり、等号は x = 3 のときです。代入すると f(3) = 3/(9 + 9) = 3/18 = 1/6 となり、上界と一致します。最大値は 1/6 で、そのときの x は 3 です。分母の評価の向きと、分数全体の大小の向きが反転することを、式変形のたびに確かめます。

例題3です。x > 0 のとき、f(x) = (x + 1/x)(x + 9/x) の最小値を求めます。難しさは難です。二つの因数のそれぞれに相加相乗平均を当てる誘惑がありますが、まず展開して、一つの和にまとめてから組を選びます。

f(x) = (x + 1/x)(x + 9/x)
     = x² + 9 + 1 + 9/x²
     = x² + 10 + 9/x²

一行目から二行目は、四つの積 x・x、x・(9/x)、(1/x)・x、(1/x)・(9/x) を順に書いた展開です。二行目から三行目は、定数 9 と 1 をまとめた結果です。x を含む項は x² と 9/x² の二つになりました。

この二項の積は x²・(9/x²) = 9 で、x が消えます。x > 0 なので x² も 9/x² も正です。したがって x² + 9/x² ≥ 2√9 = 6 です。等号は x² = 9/x²、すなわち x⁴ = 9 から x² = 3、x > 0 より x = √3 です。両辺に 10 を足すと f(x) ≥ 16 になります。

等号の値を元の式へ戻して確かめます。x = √3 のとき、x + 1/x = √3 + 1/√3 = √3 + √3/3 = 4√3/3 です。また x + 9/x = √3 + 9/√3 = √3 + 3√3 = 4√3 です。二つの積は (4√3/3)・(4√3) = 16・3/3 = 16 となり、下界の 16 と一致します。最小値は 16 で、そのときの x は √3 です。

ここで、各因数に別々に相加相乗平均を当てる方法と比べます。x + 1/x ≥ 2 と x + 9/x ≥ 6 から、積は 12 以上と評価できます。しかし等号は前者が x = 1、後者が x = 3 で、同時には成り立ちません。したがって 12 は取れない下界であり、鋭くありません。一つの和にまとめてから組を選ぶと、等号が一つの x でそろい、達成できる下界になります。評価を重ねるときは、等号を取る x が一致するかを必ず確かめます。

よくある誤り: 左から順に当てると下界が動く

x > 0 のとき、f(x) = 7 + 3x + 12/x の最小値を求める場面を考えます。よくある誤りは、左から二項ずつを組にして、7 と 3x に相加相乗平均を当ててしまうことです。7 と 3x の積は 21x で、x が残ります。

7 + 3x ≥ 2√(7・3x)
       = 2√(21x)

この右辺は x を含むので、f(x) ≥ 2√(21x) + 12/x という評価になります。右辺全体が x の関数のままで、x の値によって上下します。一つの数としての下界になっていないので、この式から最小値は決まりません。破綻の原因は、選んだ二項の積が定数でないことです。

直し方は、積が一定になる組を探し直すことです。3x と 12/x の積は 36 で、x が消えます。7 は定数なので、ほかの項と組にせず、そのまま残します。x > 0 より 3x も 12/x も正です。

3x + 12/x ≥ 2√(3x・12/x)
          = 2√36
          = 12

両辺に 7 を足すと f(x) ≥ 19 です。等号は 3x = 12/x、すなわち x² = 4 から x = 2 です。代入すると f(2) = 7 + 6 + 6 = 19 となり、下界と一致します。最小値は 19 で、そのときの x は 2 です。図3のように、定数 7 を変数と組にすると右辺が動き、3x と 12/x を組にすると右辺が止まります。

この誤りは、式の並び順に引っ張られると起こります。定数が先頭にあると、その隣の項と組にしたくなりますが、定数には「積が一定になる相手」がありません。定数は評価の外に置き、変数を含む項どうしで積を調べる、という順序を守ると防げます。12/x と 7 を組にしても積は 84/x で、同じように x が残ります。

練習問題

次の五問を、まず自分の手で解いてください。答えは次の節にまとめてあります。どの問題も x > 0 とし、最小値または最大値と、その値を与える x の値を求めるものとします。

1. f(x) = 4x + 25/x の最小値を求めなさい。
2. f(x) = x/(x² + 16) の最大値を求めなさい。
3. f(x) = (x + 3)(x + 12)/x の最小値を求めなさい。
4. f(x) = (x + 6/x)(x + 24/x) の最小値を求めなさい。
5. f(x) = √x + 49/√x の最小値を求めなさい。

練習問題の答えと解き方

問1です。4x と 25/x の積は 100 で、x が消えます。4x > 0、25/x > 0 なので、4x + 25/x ≥ 2√100 = 20 です。等号は 4x = 25/x のときで、両辺に x を掛けると 4x² = 25、x² = 25/4、x > 0 より x = 5/2 です。代入すると 4・(5/2) + 25/(5/2) = 10 + 10 = 20 となり、下界と一致します。最小値は 20 で、そのときの x は 5/2 です。

問2です。分母と分子を x で割ると、f(x) = 1/(x + 16/x) になります。x + 16/x ≥ 2√16 = 8 で、等号は x = 16/x、すなわち x² = 16 から x = 4 です。分母は正で、分母が大きいほど分数は小さいので、f(x) ≤ 1/8 です。代入すると f(4) = 4/(16 + 16) = 4/32 = 1/8 となり、上界と一致します。最大値は 1/8 で、そのときの x は 4 です。

問3です。展開すると f(x) = (x² + 15x + 36)/x = x + 15 + 36/x です。x と 36/x の積は 36 で一定なので、x + 36/x ≥ 2√36 = 12 です。等号は x = 36/x、すなわち x² = 36 から x = 6 です。両辺に 15 を足すと f(x) ≥ 27 になります。代入すると (6 + 3)(6 + 12)/6 = 9・18/6 = 27 となり、下界と一致します。最小値は 27 で、そのときの x は 6 です。

問4です。展開すると f(x) = x² + 30 + 144/x² です。x² と 144/x² の積は 144 で一定なので、x² + 144/x² ≥ 2√144 = 24 です。等号は x² = 144/x²、すなわち x⁴ = 144 から x² = 12、x > 0 より x = 2√3 です。両辺に 30 を足すと f(x) ≥ 54 になります。等号の値を元の式へ戻すと、x + 6/x = 2√3 + 6/(2√3) = 2√3 + √3 = 3√3 で、x + 24/x = 2√3 + 24/(2√3) = 2√3 + 4√3 = 6√3 です。積は 3√3・6√3 = 18・3 = 54 となり、下界と一致します。最小値は 54 で、そのときの x は 2√3 です。

問5です。t = √x と置くと、x > 0 より t > 0 です。f(x) = t + 49/t となり、t と 49/t の積は 49 で一定です。したがって t + 49/t ≥ 2√49 = 14 で、等号は t = 49/t、すなわち t² = 49 から t = 7 です。x = t² なので x = 49 であり、定義域に入っています。代入すると √49 + 49/√49 = 7 + 7 = 14 となり、下界と一致します。最小値は 14 で、そのときの x は 49 です。

覚えておくこと

• 正の二数 a、b について a + b ≥ 2√(ab) で、等号は a = b です。
• 下界を作るときは、積が x を含まない二項を選びます。
• 残った項が定数でなければ、下界は x とともに動きます。
• 等号の a = b を解き、その値が定義域に入るか代入して確かめます。
• 定数の下界と最小値は別で、等号を取る点を示して初めて最小値になります。

つまずきの見分け方

答案を見直すときは、まず右辺に x が残っていないかを探します。右辺に x があれば、選んだ二項の積が定数になっていません。次に、その二項の積を実際に計算し、文字が消えることを確かめます。積の計算を省いて、見た目だけで組を選ぶと、同じ誤りを繰り返します。

右辺が定数になったら、等号の式を書いたかを見ます。a = b を解かずに終わっている答案は、下界を求めただけで最小値や最大値を求めたことになっていません。等号の解が二つ出たときは、定義域の条件で一方を捨てた理由を書きます。分数の問題では、分母の評価の向きが全体の大小と反転するので、不等号の向きを一行ごとに読み返します。

最後に、等号の値を元の式へ代入します。下界の値と代入の値が一致すれば、その下界は達成されています。一致しないときは、等号の解が定義域の外にあるか、別の項が残って動いているかのどちらかです。式の形を変えて組を選び直す前に、どこで一致しなかったのかを特定すると、直す場所が絞れます。

二項を選ぶ目は、右辺から x が消えた瞬間に育ちます。