大学入試数学 コーシー・シュワルツの一次式—二乗和の制約から上下の限界と符号を決める｜武蔵野個別指導塾

円周上の点で3x+4yが動くとき、二乗の評価から絶対値を外し、負の側の達成点まで並べて示す一次式です。

よくあるのは、x²+y²=25 のような二乗和の条件が与えられ、3x+4y の最大値と最小値を問われているのに、最大値だけを求めて答案を閉じる場面です。もう一つよくあるのは、(3x+4y)² を評価したあと、二乗を外した瞬間に負の側を落としてしまい、最小値まで正の数にしてしまう場面です。条件は円周なのか円板なのか、評価は両側に振れるのか片側だけか、等号の点は本当に条件を満たすのか。この三つを分けて書けるかどうかが、一次式の最大・最小の分かれ目になります。

何を問われるか

二乗和の条件が付いた一次式の最大・最小は、大きく三つの形で出ます。

一つ目は、x²+y²=25 のような円周の上を点 (x,y) が動くとき、3x+4y や 2x-3y+1 のような一次式の値の範囲を問う形です。円の中心が原点で半径が決まっているので、一次式の係数の大きさと半径の積が値の幅になり、最大と最小は原点を挟んだ反対側の二点で取ります。

二つ目は、条件が (x-1)²+(y+2)²=25 のように中心のずれた円になったり、x²+y²≤9 のように円の内部まで含んだりする形です。中心のずれは一次式を平行移動して吸収し、内部は境界の円周で最大・最小を取ることを確かめてから同じ評価を使います。条件の形が変わっても、評価の幅を決めるのは係数の二乗和と半径です。

三つ目は、x+ky の最大値が √5 になる k を求めるように、値の側から係数を逆算する形です。最大値の式に k を入れて方程式を作り、その k で本当に等号の点があるかを元の条件へ戻して確かめます。

どの形でも使う道具は二つです。実数 a,b,x,y に対して成り立つ (ax+by)²≤(a²+b²)(x²+y²) と、等号が成り立つ条件 ay=bx です。これに加えて、円周と円板の区別、絶対値を外したときの両側の限界、等号を取る点が条件を満たすかの確認が要ります。微分や図形の共有点の計算に頼らず、平方の恒等式だけで値の幅を出せることが、この形の強みです。

評価の向きと等号を決める

まず不等式を、平方の恒等式から作ります。a,b,x,y を実数として、左辺の差を展開します。

(a²+b²)(x²+y²)-(ax+by)²
=a²x²+a²y²+b²x²+b²y²-(a²x²+2abxy+b²y²)
=a²y²-2abxy+b²x²
=(ay-bx)²

最後の (ay-bx)² は実数の二乗なので 0 以上です。したがって

(ax+by)² ≤ (a²+b²)(x²+y²)

が成り立ちます。両辺は 0 以上なので、平方根を取ると

|ax+by| ≤ √(a²+b²)・√(x²+y²)

となります。ここで左辺が |ax+by| であって ax+by ではないことが、この形の急所です。絶対値を外すと

-√(a²+b²)・√(x²+y²) ≤ ax+by ≤ √(a²+b²)・√(x²+y²)

という両側の限界になります。上の端と下の端は、それぞれ別の点で達成されます。片方だけを求めて「最大値も最小値も同じ」としたり、下の端を 0 にしたりすると、値の幅を取り違えます。

等号が成り立つのは (ay-bx)²=0、すなわち ay=bx のときです。(a,b) が (0,0) でなければ、これは (x,y) が (a,b) の実数倍であることと同じです。a や b が 0 の場合も ay=bx の形なら割り算をせずに扱えます。たとえば a=0、b≠0 のときは bx=0 から x=0 となり、(x,y) は (0,b) の実数倍です。比例の条件を分数で書くと零のときに破綻するので、ay=bx のまま置くのが安全です。

定義域についても分けて考えます。x²+y²=25 は円周だけを表し、x²+y²≤25 は円の内部を含みます。一次式の最大・最小は、円板の場合でも境界の円周で取ります。ただし、等号を取る点が円周上にあることを確かめなければ、評価が達成されているかどうかは決まりません。逆に、条件が円周なのに内部の点を答えてしまう誤りもあるので、等号の点は必ず元の式へ代入して確かめます。

図1のように、円周上の点 A で一次式 3x+4y が最大になるとき、半径 OA と直線 3x+4y=25 は点 A で接します。半径の向きと係数の組 (3,4) が同じ向きになる点が、評価の等号を与えます。

基本例題　円周上の一次式の両端を求める

実数 x,y が x²+y²=25 を満たすとき、3x+4y の最大値と最小値を求めなさい。また、それぞれの値を取るときの (x,y) も求めなさい。

まず係数の二乗和を確かめます。

3²+4²=9+16=25

(3x+4y)² に不等式を当てはめます。

(3x+4y)² ≤ (3²+4²)(x²+y²)=25・25=625

両辺の平方根を取ります。左辺は |3x+4y| になります。

|3x+4y| ≤ 25

絶対値を両側に外します。

-25 ≤ 3x+4y ≤ 25

等号の条件は ay=bx、すなわち 3y=4x です。x²+y²=25 と連立します。(x,y)=t(3,4) と置くと、

(3t)²+(4t)²=25t²=25
t²=1
t=1 または t=-1

t=1 のとき (x,y)=(3,4) で、3・3+4・4=25 です。t=-1 のとき (x,y)=(-3,-4) で、3・(-3)+4・(-4)=-25 です。どちらも x²+y²=9+16=25 を満たします。

答えは、最大値が 25 で (x,y)=(3,4) のとき、最小値が -25 で (x,y)=(-3,-4) のときです。

ここで値の幅を別の見方でも確かめます。係数の組 (3,4) の長さは √25=5 で、円の半径も 5 です。二つの長さの積が 25 なので、一次式は -25 から 25 まで動きます。最大値を与える点は係数の向きと同じ側、最小値を与える点はその反対側にあります。最大値だけを問われた問題でも、答案には両方の端と達成点を並べておくと、値の範囲を聞き直されたときにそのまま使えます。

図2のように、最大を与える点と最小を与える点は原点を挟んで反対側に並びます。

標準・発展の例題

例題2（標準）中心がずれた円

(x-1)²+(y+2)²=25 のとき、3x+4y の最大値と最小値を求めなさい。また、それぞれの値を取るときの (x,y) も求めなさい。

中心のずれを消すために、u=x-1、v=y+2 と置きます。このとき u²+v²=25 で、x=u+1、y=v-2 です。一次式を u と v で書き直します。

3x+4y=3(u+1)+4(v-2)
=3u+4v+3-8
=3u+4v-5

u²+v²=25 なので、前の例と同じ評価が使えます。

|3u+4v| ≤ √25・√25=25
-25 ≤ 3u+4v ≤ 25

両辺から 5 を引いて、3x+4y の範囲に戻します。

-30 ≤ 3x+4y ≤ 20

等号の条件は 3v=4u です。(u,v)=t(3,4) と置くと 25t²=25 から t=±1 です。t=1 のとき (u,v)=(3,4)、すなわち (x,y)=(4,2) で、値は 12+8=20 です。t=-1 のとき (u,v)=(-3,-4)、すなわち (x,y)=(-2,-6) で、値は -6-24=-30 です。

答えは、最大値が 20 で (x,y)=(4,2) のとき、最小値が -30 で (x,y)=(-2,-6) のときです。元の円の式へ戻すと、(4-1)²+(2+2)²=9+16=25、(-2-1)²+(-6+2)²=9+16=25 となり、どちらも条件を満たします。

この例で大事なのは、置き換えたあとの定数です。中心 (1,-2) で一次式が取る値は 3・1+4・(-2)=3-8=-5 です。値の幅は ±25 のままで、中心の値 -5 だけがずれます。置換のあとに -5 を足し忘れると、最大値と最小値がどちらも 5 ずれます。幅と中心を分けて書くと、このずれを防げます。

例題3（やや難）円板と符号

x²+y²≤9 のとき、2x-3y+1 の最大値と最小値を求めなさい。また、それぞれの値を取るときの (x,y) も求めなさい。値は根号を含む形で答えるものとします。

まず 2x-3y の二乗を評価します。

(2x-3y)² ≤ (2²+(-3)²)(x²+y²)=13(x²+y²)

条件は x²+y²≤9 なので、√(x²+y²)≤3 です。したがって

|2x-3y| ≤ √13・3=3√13

となります。絶対値を外して、定数 1 を足します。

-3√13 ≤ 2x-3y ≤ 3√13
1-3√13 ≤ 2x-3y+1 ≤ 1+3√13

等号には二つの条件が同時に要ります。一つは評価の等号 2y=-3x、もう一つは x²+y²=9 です。後者は、√(x²+y²)≤3 の等号を取るために必要です。(x,y)=t(2,-3) と置くと 13t²=9 から t=±3/√13 です。

t=3/√13 のとき (x,y)=(6/√13,-9/√13) で、値は 12/√13+27/√13+1=39/√13+1=3√13+1 です。t=-3/√13 のとき (x,y)=(-6/√13,9/√13) で、値は -39/√13+1=1-3√13 です。

答えは、最大値が 1+3√13 で (x,y)=(6/√13,-9/√13) のとき、最小値が 1-3√13 で (x,y)=(-6/√13,9/√13) のときです。二点とも x²+y²=36/13+81/13=117/13=9 を満たします。

この例では、最小値が負になることを符号から読み取れます。3√13 はおよそ 10.8 なので、1-3√13 は負です。円板の内部まで条件に含まれていても、等号を取る点は境界の円周上にあります。内部の点だけで等号が成り立つと考えると、評価の幅を狭く見積もってしまいます。

例題4（難）最大値から係数を決める

x²+y²=1 のとき、x+ky の最大値が √5 となる実数 k をすべて求めなさい。また、その k それぞれについて、最大値を与える (x,y) を求めなさい。

x+ky の二乗を評価します。

(x+ky)² ≤ (1²+k²)(x²+y²)=1+k²

両辺は 0 以上なので、平方根を取ります。

|x+ky| ≤ √(1+k²)

√(1+k²) は正なので、x+ky の最大値は √(1+k²) です。これが √5 に等しいと置きます。

√(1+k²)=√5
1+k²=5
k²=4
k=2 または k=-2

k=2 のとき、等号の条件は (x,y)=t(1,2) です。x²+y²=1 から 5t²=1、t=±1/√5 です。最大値を与えるのは t=1/√5 の側で、(x,y)=(1/√5,2/√5)、値は 1/√5+4/√5=5/√5=√5 です。

k=-2 のとき、等号の条件は (x,y)=t(1,-2) です。同じく t=±1/√5 で、最大値を与えるのは t=1/√5 の側、(x,y)=(1/√5,-2/√5)、値は 1/√5+4/√5=√5 です。

答えは k=±2 で、k=2 のとき (1/√5,2/√5)、k=-2 のとき (1/√5,-2/√5) です。

逆算したあとに確かめるべきことは二つあります。一つは、k の方程式に余分な解が混ざっていないかです。今回は両辺が正なので二乗しても同値です。もう一つは、その k で最大値の点が本当にあるかです。t の候補が実数として求まり、代入して値が √5 に戻るので、どちらの k でも最大値は達成されます。片方の k だけで確かめて終わると、もう片方の達成点を落とします。

よくある誤り　二乗を外した向きを戻さない

x²+y²=25 のとき 3x+4y の最小値を求める問題で、次のように書く答案があります。

(3x+4y)² ≤ 625
(3x+4y)² ≥ 0 だから 3x+4y ≥ 0
よって最小値は 0

この答案は二つの点で破綻します。第一に、(3x+4y)²≥0 は「(3x+4y)² という数が 0 以上」という意味で、3x+4y そのものが 0 以上という意味ではありません。第二に、実際に 3x+4y が負になる点があります。(x,y)=(-3,-4) は x²+y²=25 を満たし、3・(-3)+4・(-4)=-25 です。最小値が 0 だという結論は、この一点で崩れます。

同じ誤りの別の形は、平方根を取るときに絶対値を付け忘れる答案です。(3x+4y)²≤625 から 3x+4y≤25 だけを書き、負の側の -25≤3x+4y を落とします。√((3x+4y)²) は 3x+4y ではなく |3x+4y| です。この一行を書くかどうかで、下の端が残るか消えるかが決まります。

直し方は、絶対値を残したまま両側の限界を出し、負の側の達成点を別に示すことです。

|3x+4y| ≤ 25
-25 ≤ 3x+4y ≤ 25
(x,y)=(-3,-4) のとき 3x+4y=-25

0 は (x,y)=(4,-3) でも取れます。3・4+4・(-3)=0 で、4²+(-3)²=25 です。しかし 0 より小さい -25 が取れる以上、最小値は 0 ではありません。図3のように、値の幅は -25 から 25 まであり、0 はその途中の目盛りにすぎません。

練習問題

次の五問を解きなさい。値の形は、根号を含む場合はそのままで答え、近似値は使いません。

1. x²+y²=4 のとき、2x-y の最大値と最小値を求めなさい。また、それぞれの値を取るときの (x,y) も求めなさい。
2. (x-2)²+(y-1)²=9 のとき、x+2y の最大値と最小値を求めなさい。また、それぞれの値を取るときの (x,y) も求めなさい。
3. x²+y²≤16 のとき、3x-4y+2 の最大値と最小値を求めなさい。また、それぞれの値を取るときの (x,y) も求めなさい。
4. x²+y²=1 のとき、x+ky の最大値が √10 となる実数 k をすべて求めなさい。また、その k それぞれについて、最大値を与える (x,y) を求めなさい。
5. x²+y²-4x+6y+4=0 のとき、2x+y の最大値と最小値を求めなさい。また、それぞれの値を取るときの (x,y) も求めなさい。

練習問題の答えと解き方

1. 2x-y の両端

係数の二乗和は 2²+(-1)²=5 です。x²+y²=4 なので、

|2x-y| ≤ √5・2=2√5
-2√5 ≤ 2x-y ≤ 2√5

等号の条件は 2y=-x です。(x,y)=t(2,-1) と置くと、4t²+t²=5t²=4 から t=±2/√5 です。

t=2/√5 のとき (x,y)=(4/√5,-2/√5) で、値は 8/√5+2/√5=10/√5=2√5 です。t=-2/√5 のとき (x,y)=(-4/√5,2/√5) で、値は -2√5 です。どちらも x²+y²=16/5+4/5=20/5=4 を満たします。

答えは、最大値が 2√5 で (x,y)=(4/√5,-2/√5) のとき、最小値が -2√5 で (x,y)=(-4/√5,2/√5) のときです。

2. 中心がずれた円の x+2y

u=x-2、v=y-1 と置きます。u²+v²=9 で、x=u+2、y=v+1 です。

x+2y=(u+2)+2(v+1)
=u+2v+4

|u+2v|≤√5・3=3√5 なので、-3√5≤u+2v≤3√5、したがって 4-3√5≤x+2y≤4+3√5 です。等号の条件は 2u=v、すなわち (u,v)=t(1,2) です。5t²=9 から t=±3/√5 です。

t=3/√5 のとき (u,v)=(3/√5,6/√5)、すなわち (x,y)=(2+3/√5,1+6/√5) で、値は 4+3√5 です。t=-3/√5 のとき (x,y)=(2-3/√5,1-6/√5) で、値は 4-3√5 です。u²+v²=9/5+36/5=45/5=9 を満たします。

答えは、最大値が 4+3√5 で (x,y)=(2+3/√5,1+6/√5) のとき、最小値が 4-3√5 で (x,y)=(2-3/√5,1-6/√5) のときです。

3. 円板上の 3x-4y+2

係数の二乗和は 3²+(-4)²=25 です。x²+y²≤16 から √(x²+y²)≤4 なので、

|3x-4y| ≤ 5・4=20
-20 ≤ 3x-4y ≤ 20
-18 ≤ 3x-4y+2 ≤ 22

等号には 3y=-4x と x²+y²=16 の両方が要ります。(x,y)=t(3,-4) と置くと 25t²=16、t=±4/5 です。

t=4/5 のとき (x,y)=(12/5,-16/5) で、値は 36/5+64/5+2=100/5+2=22 です。t=-4/5 のとき (x,y)=(-12/5,16/5) で、値は -36/5-64/5+2=-20+2=-18 です。x²+y²=144/25+256/25=400/25=16 を満たします。

答えは、最大値が 22 で (x,y)=(12/5,-16/5) のとき、最小値が -18 で (x,y)=(-12/5,16/5) のときです。

4. 最大値から k を決める

|x+ky|≤√(1+k²) で、√(1+k²) は正なので最大値は √(1+k²) です。これが √10 に等しいと置くと、1+k²=10、k²=9、k=±3 です。

k=3 のとき、等号は (x,y)=t(1,3) です。10t²=1 から t=±1/√10 で、最大値を与えるのは t=1/√10 の側、(x,y)=(1/√10,3/√10)、値は 1/√10+9/√10=10/√10=√10 です。

k=-3 のとき、等号は (x,y)=t(1,-3) です。同じく 10t²=1 で、最大値を与えるのは t=1/√10 の側、(x,y)=(1/√10,-3/√10)、値は 1/√10+9/√10=√10 です。x²+y²=1/10+9/10=1 を満たします。

答えは k=±3 で、k=3 のとき (1/√10,3/√10)、k=-3 のとき (1/√10,-3/√10) です。

5. 一般形の円と 2x+y

まず条件を平方完成します。

x²+y²-4x+6y+4=0
(x-2)²-4+(y+3)²-9+4=0
(x-2)²+(y+3)²=9

u=x-2、v=y+3 と置くと u²+v²=9 で、x=u+2、y=v-3 です。

2x+y=2(u+2)+(v-3)
=2u+v+4-3
=2u+v+1

|2u+v|≤√5・3=3√5 なので、1-3√5≤2x+y≤1+3√5 です。等号の条件は 2v=u、すなわち (u,v)=t(2,1) です。5t²=9 から t=±3/√5 です。

t=3/√5 のとき (u,v)=(6/√5,3/√5)、すなわち (x,y)=(2+6/√5,-3+3/√5) で、値は 1+3√5 です。t=-3/√5 のとき (x,y)=(2-6/√5,-3-3/√5) で、値は 1-3√5 です。(x-2)²+(y+3)²=36/5+9/5=45/5=9 を満たします。

答えは、最大値が 1+3√5 で (x,y)=(2+6/√5,-3+3/√5) のとき、最小値が 1-3√5 で (x,y)=(2-6/√5,-3-3/√5) のときです。

覚えておくこと

• 二乗和の条件では (ax+by)²≤(a²+b²)(x²+y²) を使い、最後は |ax+by| の形で止める。
• |X|≤M は -M≤X≤M であり、上の端と下の端は別の点で達成される。
• 等号は ay=bx。零を含む場合は割り算をせず、この形のまま確かめる。
• 円板では境界で最大・最小を取り、等号の点を元の条件へ代入して確かめる。
• 最大値から係数を逆算したら、その係数で等号の点が実在するか戻す。

つまずきの見分け方と確かめる式

答案を見るときは、どの段階で止まっているかによって確かめる場所を変えます。(3x+4y)²≤625 まで書けているのに答えが 0 や 25 で止まっているなら、絶対値の外し方です。√((3x+4y)²)=|3x+4y| であることを確認し、負の値を与える点を一つ挙げさせます。挙げた点が条件を満たし、値が負になることを見れば、0 を最小とする答案はその場で崩れます。

等号の点が書けていないなら、ay=bx と元の条件を連立させ、媒介の文字 t の二乗の式まで書かせます。t の候補が二つ出たら、それぞれを元の式へ代入して、値と条件を同時に確かめます。t の片方だけで答えている答案は、反対側の端を落としていることが多いので、二つの候補を必ず並べさせます。

中心がずれた円で定数項が抜けているなら、x=u+p、y=v+q と置き直し、一次式を u と v の式にしたあとの定数を声に出して確認します。円板の条件で内部の点を答えているなら、x²+y²=r² の等号が成り立つかを戻します。

式の変形、符号、達成点の三つをこの順に確かめると、円周上の一次式は迷わず最後まで書けます。