場合の数と確率の発展｜数え上げ・漸化式・期待値・最大確率｜武蔵野個別指導塾

大学入試数学の場合の数と確率を、数え上げの方針、重複と区別、条件つき確率、状態から作る漸化式、期待値、最大確率の30テーマで学ぶ目次です。方針が決まらないときは数える対象の整理から、計算途中で行き詰まるときは状態や条件の設定から進めます。各記事には自作例題と練習問題、途中式を付けた解き方を載せます。

数える基準が決まらないときは01〜08へ。区別や重複の理由を対応表で確かめてから、条件を満たす場合を数えます。条件を知った後の確率に迷うときは09〜15から選んでください。

試行を重ねる問題は16〜20で状態の残し方を、平均を求める問題は21〜26で数える対象の分け方を確かめます。最大確率は27〜30で、動かす量が回数・個数・確率のどれかを区別して読み進めてください。

数え上げの方針と区別

• 大学入試数学 数え上げの方針—複数の制約から分類の基準を選び二通りの数え方を照合する
• 大学入試数学 重複して数える倍率—対応先ごとの重複数を調べ一律に割れない数え方を直す
• 大学入試数学 同じものを含む円順列—回転で重なる個数の違いを周期のある配置から見極める
• 大学入試数学 条件のある組分け—役割を持つ組と交換できる組を区別して分割を数える
• 大学入試数学 上限付きの配分—同じものを分ける条件を整数の範囲と除外する場合へ直す
• 大学入試数学 禁止位置のある順列—重なる禁止条件を包除で整理して数え漏れを防ぐ
• 大学入試数学 境界を越えない経路—初めて境界を越える位置を使って除く経路を対応させる
• 大学入試数学 数え上げの漸化式—末尾に必要な情報を残して禁止する並びの個数を求める

条件と停止規則から作る確率

• 大学入試数学 確率の標本空間の選択—同確率でない完成物に重みを付け二つのモデルを照合する
• 大学入試数学 条件つき確率と知らせ方—結果を伝える規則を明記して観測後の分母を決め直す
• 大学入試数学 条件つき確率と抽出順—後の結果を知ったとき先の抽出を全経路から逆算する
• 大学入試数学 条件つき確率と連続観測—同じ箱から続けた結果で出所の確率を更新する
• 大学入試数学 条件つき確率と独立性—条件を加える前後の同時確率を比べ変化の理由を説明する
• 大学入試数学 初めて到達する確率—最後の一回まで到達しない条件を途中経路に組み込む
• 大学入試数学 先に条件を満たす確率—停止する順番と同時成立の規則から事象を分ける

状態から導く確率の漸化式

• 大学入試数学 確率の漸化式と偶奇—直前の二状態から更新式を作り初期値と一般項を結ぶ
• 大学入試数学 確率の漸化式と三状態—必要な状態を分けて連立関係から目的の確率を取り出す
• 大学入試数学 確率の漸化式と吸収—到達後に動かない状態を分け期限内の到達確率を求める
• 大学入試数学 確率の漸化式と連続模様—末尾の一致を状態として重なる出現を正しく数える
• 大学入試数学 確率の漸化式と箱の変化—中身が変わる試行で状態に必要な個数を見極める

期待値の設計と有限の待ち時間

• 大学入試数学 期待値と指示変数—数える対象ごとに小さな変数を置き総数の平均を求める
• 大学入試数学 期待値と組の数—一個ごとの和では数えられないペアを対象として平均を求める
• 大学入試数学 期待値と空き箱の数—使われた箱を直接数えず空く事象の平均から求める
• 大学入試数学 最大値の期待値—値そのものの分布とある値以上の確率を対応させて求める
• 大学入試数学 期待値と打切り回数—続ける確率を足して上限のある作業回数の平均を求める
• 大学入試数学 条件で分ける期待値—最初の分岐の重みを付けて二段階の平均を組み立てる

最大確率と動かす量

• 大学入試数学 最大確率と成功回数—隣り合う確率の比から最も起こりやすい回数を決める
• 大学入試数学 最大確率と試行回数—成功回数を固定して回数を増やすときの増減を比較する
• 大学入試数学 最大確率と箱の構成—整数で動く個数の制約を守って最適な配分を探す
• 大学入試数学 最大確率と成功確率—文字で動く確率の定義域を確認して最も大きい値を証明する

答えが合っていても、数えた対象と問題文の条件が対応しているかを確かめてください。途中の表や状態の定義まで説明できる題目を一つずつ増やしていきます。