大学入試数学 期待値と打切り回数—続ける確率を足して上限のある作業回数の平均を求める｜武蔵野個別指導塾

上限を決めた反復で最後まで成功しない列をどう数えるか。続ける確率を足す求め方を、具体的な数で追いながら、平均を決めるのは未成功の回の扱いと打切りです。

「最大5回まで挑戦できる」と条件を決めた瞬間、その問題の平均は変わります。成功するまで同じ作業を続けるとしても、挑戦の上限を決めれば、最後まで成功しない列が必ず生まれます。その列を答案で何回と数えるかが、平均の値を大きく左右します。

よくあるのは、最後まで成功しなかった列の作業回数を0と書く答案です。気持ちとしては「何も得られなかったのだから0だろう」と考えたのだと思います。しかし作業そのものは実際に行われています。ここで数える対象は成功した回数ではなく、挑戦した回数です。

この場面の問いは、大きく三つの形で現れます。第一に、上限N回のときの平均作業回数を求める形。第二に、上限を変えたときに平均がどう動くかを比べる形。第三に、失敗した列にどんな値を当てたかを答案で確かめる形です。

どの形でも使う道具は同じです。各回の成功確率から「まだ続いている確率」を作り、それを足し上げます。分布を全部並べるより短く、上限の回数が変わっても式を立て直しやすい方法です。

以下では、上限つきの反復を一つのモデルとして定義し、基本・標準・発展の例題で計算の運びを確かめます。そのあとで、0と数える答案がどこでずれるのかを表で見ます。

打切りがある反復の作業回数

同じ作業を、成功するまで繰り返す。ただし挑戦はN回までとし、N回目までに成功しなければそこで終わる。各回の成功確率はpで、0<p<1とします。各回の結果は前の回に影響されず、同じ確率で成功するものとします（独立）。

実際に行った作業の回数をXとします。Xは1からNまでの整数です。成功した回で終わる場合と、N回目まで失敗して終わる場合の両方を含みます。期待値E[X]は、Xの値とその確率の積をすべて足したものです。

まず、続ける確率 q=1-p を用意します。k回目で終わるには、最初のk-1回がすべて失敗し、k回目に成功する必要があります。したがって k=1,2,…,N-1 について、P(X=k)=qᵏ⁻¹p です。ここで qᵏ⁻¹ は q の k-1 乗を表します。

N回目だけは注意が要ります。最初のN-1回が失敗していれば、N回目が成功でも失敗でも、作業はN回行われます。だから P(X=N)=qᴺ⁻¹ で、成功と失敗の両方を含みます。ここを「N回目に成功する確率」だけと取り違えると、最後の行の確率が抜け、確率の合計が1になりません。

確率の合計を確かめておきます。最初のN-1回のどこかで成功して終わる確率は p(1+q+…+qᴺ⁻²) で、これは 1-qᴺ⁻¹ に等しくなります。最後まで続く確率は qᴺ⁻¹ です。両方を足すと (1-qᴺ⁻¹)+qᴺ⁻¹=1 となり、場合分けに漏れがないことを確かめられます。

期待値を分布から求めるなら、E[X]=Σ[k=1..N] k·P(X=k) です。この式でも答えは出ますが、上限をいくつか比べるときは次の形が便利です。Xが0以上の整数で上限がNのとき、E[X]=Σ[k=0..N-1] P(X>k) が成り立ちます。

理由はこうです。ある結果がm回で終わったとします。その結果は P(X>0), P(X>1), …, P(X>m-1) のm個の確率に含まれます。ちょうどm回だけ数えられるので、全ての結果について足し上げると、mにその結果の確率を掛けたものの合計になります。これが期待値の定義と一致します。

各回は独立なので、P(X>k) は最初のk回がすべて失敗する確率、つまり qᵏ です。よって E[X]=1+q+…+qᴺ⁻¹ となります。有限の等比数列の和の公式から、これは (1-qᴺ)/(1-q)=(1-qᴺ)/p とまとまります。q=1 となるのは p=0 のときだけなので、0<p<1 の条件の下では割り算を安心して使えます。N=1のときは E[X]=1 で、式も (1-q)/p=1 となります。

図1のように、続ける確率を掛けながら足していくイメージです。分布を一つずつ作らなくても、qの累乗の和で平均が出ます。この和は、最後まで失敗した列もN回として数えているから成り立ちます。0と数えると最後の項が消え、平均は実際より小さくなります。

基本例題（標準）　4回までの挑戦で平均何回作業するか

1回の挑戦で成功する確率が1/4の作業があります。成功したら終了し、最大4回まで繰り返します。4回目までに成功しなければ、4回目で終了します。作業回数Xの期待値を分数で求めなさい。また、X=4となる確率も求めなさい。

続ける確率は q=3/4 です。まず分布を作ります。

• P(X=1)=1/4
• P(X=2)=(3/4)(1/4)=3/16
• P(X=3)=(3/4)²(1/4)=9/64
• P(X=4)=(3/4)³=27/64

確率の合計は 16/64+12/64+9/64+27/64=64/64=1 です。X=4の行には、4回目に成功する列と、4回とも失敗する列の両方が入っています。

表の右の列を足すと、E[X]=175/64 です。尾の和でも同じ値になります。1+3/4+9/16+27/64=64/64+48/64+36/64+27/64=175/64 です。175/64 は約2.73で、1回より大きく4回より小さい値になっています。

X=4の内訳も確かめます。4回目に成功する確率は (3/4)³(1/4)=27/256 です。4回とも失敗する確率は (3/4)⁴=81/256 です。両方を足すと 108/256=27/64 で、表の最終行と一致します。

図2のように、4本目の棒の高さには「4回目に成功」と「4回とも失敗」の両方が含まれます。この二つを分けて書いてもよいですが、作業回数としてはどちらも4回です。分けると確率の合計が1にならず、平均も合いません。

検算として、p=1なら1回で必ず成功するのでX=1となり、式は (1-0)/1=1 です。pが小さくなるほど、失敗が続きやすくなり、平均は上限の4に近づきます。基本例題の答え175/64は、その間にあるはずです。

標準例題（やや難）　平均2回以上にするには上限を何回にするか

1回の成功確率が2/5の作業を、最大N回まで繰り返します。Nは2以上の整数とします。作業回数の平均を2回以上にしたいとき、Nを最小でいくつにすればよいですか。分数で比較して答えなさい。

続ける確率は q=3/5 です。上限N回の平均は、尾の和と有限等比和から次のように書けます。

E(N)=(1-(3/5)ᴺ)/(2/5)=(5/2)(1-(3/5)ᴺ)

Nの候補を順に計算します。

• N=2: E(2)=(5/2)(1-9/25)=(5/2)(16/25)=8/5
• N=3: E(3)=(5/2)(1-27/125)=(5/2)(98/125)=49/25
• N=4: E(4)=(5/2)(1-81/625)=(5/2)(544/625)=272/125

2との大小を、分母をそろえて比べます。8/5=40/25 は2より小さい。49/25=245/125 は 2=250/125 より小さい。272/125 は 250/125 より大きい。したがって、平均が2回以上になる最小のNは4です。

上限を1回増やしたときの増え方も見ておきます。E(3)-E(2)=49/25-8/5=49/25-40/25=9/25=(3/5)² です。E(4)-E(3)=272/125-245/125=27/125=(3/5)³ です。一般に、上限をN-1回からN回に増やすと、平均は qᴺ⁻¹ だけ増えます。

理由は単純です。上限を1回増やしても、最初のN-1回のどこかで成功して終わる列は変わりません。変わるのは、最初のN-1回がすべて失敗した列だけです。その確率が qᴺ⁻¹ で、その列だけ作業回数が1増えるので、平均の増分も qᴺ⁻¹ になります。

別解として、N=4の分布を直接作っても同じ値になります。確率は順に 2/5, 6/25, 18/125, 27/125 で、合計は 50/125+30/125+18/125+27/125=1 です。期待値は 2/5+12/25+54/125+108/125=50/125+60/125+54/125+108/125=272/125 となります。

候補をいくつも比べるなら閉じた式、一つのNを詳しく見るなら分布表が向いています。どちらも最後の行をN回として数えている点は同じです。上限を増やすほど平均は増えますが、Nよりは小さいままです。和の各項が1以下で、最初の項以外は1より小さいからです。

発展例題（難）　成功確率が回ごとに変わるとき

3回まで挑戦できる作業があります。1回目の成功確率は1/2、2回目の成功確率は1/3、3回目の成功確率は1/6で、各回の結果は独立です。成功したら終了し、3回目までに成功しなければ3回目で終了します。次の三つを求めなさい。

1. 作業回数Xの期待値
2. 3回のうちに成功する確率
3. 成功した場合だけを取り出したときの、作業回数の平均

続ける確率は順に q₁=1/2, q₂=2/3, q₃=5/6 です。尾の和を使うと、P(X>0)=1、P(X>1)=1/2、P(X>2)=(1/2)(2/3)=1/3 です。よって E[X]=1+1/2+1/3=11/6 となります。

分布から確かめます。P(X=1)=1/2、P(X=2)=(1/2)(1/3)=1/6、P(X=3)=(1/2)(2/3)=1/3 です。3回目は成功でも失敗でもX=3なので、最後の行は q₁q₂ で求めます。合計は 1/2+1/6+1/3=1 です。期待値は 1·1/2+2·1/6+3·1/3=1/2+1/3+1=11/6 で、尾の和と一致します。

3回のうちに成功する確率は、3回とも失敗する確率の余事象です。3回とも失敗する確率は (1/2)(2/3)(5/6)=10/36=5/18 なので、成功する確率は 1-5/18=13/18 です。

成功した場合だけの平均は、成功した列の確率で重みを付けてから、成功する確率で割ります。成功した列についてXの値と確率の積を足すと、1·(1/2)+2·(1/6)+3·(1/2)(2/3)(1/6)=1/2+1/3+1/6=1 です。これを成功する確率 13/18 で割ると、1/(13/18)=18/13 となります。

ここで、11/6 と 18/13 は別の量です。11/6 は失敗して終わった列も含めた作業回数の平均で、約1.83。18/13 は成功した列だけの平均で、約1.38です。打切りがある問題では失敗して終わる列が必ずあるので、後者は小さくなります。問題文がどちらを聞いているかを、式を立てる前に確かめる必要があります。

この例のように成功確率が回ごとに変わっても、各回が独立なら尾の和はそのまま使えます。P(X>k) は「最初のk回を続けた確率」、つまり続ける確率の積になるからです。同じ確率pのときは、その積が qᵏ になります。

誤答を直す　最後まで失敗した列を0回と数える

1回の成功確率が1/3の作業を、最大3回まで繰り返す問題を考えます。ある答案は、次のような表を作りました。

確率の列は正しく作れています。1/3+2/9+4/27+8/27=9/27+6/27+4/27+8/27=1 です。ところが最後の行の値だけを0としています。この答案の平均は 1/3+4/9+12/27+0=9/27+12/27+12/27=33/27=11/9 です。

誤りの理由は、Xの意味を取り違えていることです。Xは成功した回数ではなく、作業した回数です。3回とも失敗した列でも、作業は3回行われています。だから最後の行の値は3です。直すと 9/27+12/27+12/27+24/27=57/27=19/9 になります。

二つの平均の差は 19/9-11/9=8/9 です。これは 3·(8/27)、つまり最後の行の確率に、正しい値3と誤った値0の差を掛けたものになっています。最後の行だけがずれているので、差もその一行から出ます。

図3のように、最後の行を0と数えるか3と数えるかで、平均は11/9と19/9に分かれます。どちらも1以上3以下なので、値の範囲を眺めるだけでは誤りを見抜けません。確率の合計も、0と書いただけでは1のままです。

見抜くには、各行の値が「その列で実際に行った回数」になっているかを確かめます。特に最終行がNになっているかを見ます。確率の合計が1であることと、値の対応が正しいことは別の検査です。

似た誤りとして、最後の行そのものを表から落とす答案があります。この場合は確率の合計が 19/27 になって1より小さくなるので、比較的早く気づけます。0と書く誤りは合計を保ってしまうため、値の対応を別に見る必要があります。

もう一つ、成功した列だけの平均と混同する誤りがあります。発展例題で見たように、失敗して終わった列を除くと平均は小さくなります。打切り回数を問う問題では、失敗して終わった列も作業回数に含めます。

練習問題

練習1（標準）　1回の挑戦で成功する確率が1/5の作業を、最大2回まで繰り返します。成功したら終了し、2回とも失敗したら2回で終了します。作業回数Xの期待値と、2回とも失敗する確率を分数で求めなさい。

練習2（標準）　1回の成功確率が1/2の作業について、上限を2回にした場合と5回にした場合の平均作業回数をそれぞれ求めなさい。また、上限を増やしたときの平均の増え方を確かめなさい。

練習3（やや難）　3回まで挑戦できる作業があります。成功確率は1回目が1/5、2回目が1/2、3回目が1で、各回は独立です。成功したら終了します。作業回数Xの期待値と、3回目まで作業する確率を求めなさい。

練習4（やや難）　1回の成功確率が3/4の作業を、最大3回まで繰り返します。成功したら終了し、3回とも失敗したら3回で終了します。成功しなかった作業、つまり失敗した回数の期待値を求めなさい。

練習5（難）　1回の成功確率が2/3の作業について、上限2回の平均と上限3回の平均の差を求めなさい。また、その差が「2回とも失敗する確率」に等しくなる理由を説明しなさい。

練習問題の解答

練習1　続ける確率は q=4/5 です。P(X=1)=1/5、P(X=2)=4/5 です。期待値は 1·1/5+2·4/5=1/5+8/5=9/5。尾の和でも 1+4/5=9/5 です。2回とも失敗する確率は (4/5)²=16/25 です。

練習2　続ける確率は q=1/2 です。上限2回では P(X=1)=1/2、P(X=2)=1/2 なので、E=1·1/2+2·1/2=1/2+1=3/2 です。上限5回では P(X=1)=1/2、P(X=2)=1/4、P(X=3)=1/8、P(X=4)=1/16、P(X=5)=(1/2)⁴=1/16 で、合計は 8/16+4/16+2/16+1/16+1/16=1 です。期待値は 1/2+2/4+3/8+4/16+5/16=8/16+8/16+6/16+4/16+5/16=31/16 です。上限を2回から5回へ増やすと、増分は 1/4, 1/8, 1/16 で、合計は 1/4+1/8+1/16=7/16 です。31/16-3/2=31/16-24/16=7/16 となり、計算が合います。上限を増やすほど平均は増えますが、5回よりは小さいままです。

練習3　続ける確率は順に q₁=4/5, q₂=1/2, q₃=0 です。尾の和から E=1+4/5+(4/5)(1/2)=1+4/5+2/5=11/5 です。分布は P(X=1)=1/5、P(X=2)=(4/5)(1/2)=2/5、P(X=3)=(4/5)(1/2)=2/5 で、合計は 1/5+2/5+2/5=1 です。期待値も 1/5+4/5+6/5=11/5 で一致します。3回目まで作業する確率は、最初の2回が失敗する確率なので (4/5)(1/2)=2/5 です。3回目は必ず成功しますが、それでも平均は3より小さい値になります。

練習4　続ける確率は q=1/4 です。作業回数の期待値は (1-(1/4)³)/(3/4)=(4/3)(63/64)=21/16 です。3回のうちに成功する確率は 1-(1/4)³=63/64 です。作業回数は失敗した回数に、成功したときだけ1を足したものです。失敗した回数は、成功した列ではX-1、失敗して終わった列ではXになります。期待値は 21/16-63/64=84/64-63/64=21/64 です。直接確かめると、1回目成功の列は失敗0回で 3/4、2回目成功は失敗1回で 3/16、3回目成功は失敗2回で 3/64、3回とも失敗は失敗3回で 1/64 です。足すと 3/16+6/64+3/64=12/64+9/64=21/64 になります。

練習5　続ける確率は q=1/3 です。上限2回では E(2)=(1-1/9)/(2/3)=(3/2)(8/9)=4/3。上限3回では E(3)=(1-1/27)/(2/3)=(3/2)(26/27)=13/9。差は 13/9-4/3=13/9-12/9=1/9 です。上限を2回から3回に増やすと、最初の2回が失敗した列だけが影響を受けます。その確率は (1/3)²=1/9 で、その列だけ作業回数が2回から3回に1増えるので、平均の差も1/9になります。

覚えておくこと

• 最後まで成功しない列も、実際にはN回作業している。Xの値はN。
• k<N のとき P(X=k)=qᵏ⁻¹p、P(X=N)=qᴺ⁻¹。最後の項は成功と失敗の両方を含む。
• 期待値は尾の和で E[X]=Σ[k=0..N-1]P(X>k)=1+q+…+qᴺ⁻¹。
• 有限等比和から E[X]=(1-qᴺ)/p。0<p<1の条件を先に確かめる。
• 上限を1回増やすと、平均は qᴺ⁻¹ だけ増える。

つまずきの見分け方と確かめる箇所

第一に見るのは、分布表の最終行の値です。0やN-1になっていたら、その列で実際に行った回数とずれています。確率の合計が1であっても、値の対応が誤っていれば平均は狂います。合計の検査と、値の検査を分けて行うことが大切です。

第二に、「成功した場合だけの平均」と「作業回数の平均」を混同していないかを見ます。打切りがある問題では失敗して終わる列が必ずあるので、前者は後者より小さくなります。問題文がどちらを求めているかを、式を立てる前に線を引いて確かめます。

第三に、分布を全部作る前に尾の和で見当を付けます。1+q+…+qᴺ⁻¹ の各項は1以下なので、平均はNより小さいはずです。この範囲から外れた答えは、最後の行の扱いか、確率の積を疑います。

個別指導では、N=2や3の小さな場合に、すべての列を書かせます。それぞれの列の右に「作業した回数」を書かせ、最後まで失敗した列にもNと書く練習をします。0と書いた答案には、その列で何回作業したのかを問い返します。

尾の和は、確率を棒の高さで並べた図で見せると納得しやすいです。棒の高さの合計が平均になることを、基本例題の数で確かめます。最後に、pやNを変えて式の値を確かめます。p=1なら1回で終わるので平均1になり、pが小さいほど平均はNに近づきます。

上限を決めるとは、失敗した回にも同じ一票を与えることです。答案を閉じる前に、表の最終行の値がNになっているかを見直してください。