大学入試数学 期待値と空き箱の数—使われた箱を直接数えず空く事象の平均から求める｜武蔵野個別指導塾

箱へ球を一つずつ入れる試行で使われた箱の数を直接追うと、場合分けが急に増えます。空く箱に着目し、0と1の変数と期待値の和で平均を出す考え方を、箱ごとに選ばれやすさが違う場合まで広げる手がかりが空き箱です。

箱に球を入れる試行は、箱の数と球の数が少し増えるだけで、使われた箱の数の場合分けが急に増えます。よくあるのは、4つの箱に3つの球を入れる場面で、使われた箱が1つ、2つ、3つになる確率をそれぞれ数えようとして、場合の数の足し算が組み立てられずに手が止まる姿です。

この場面で問われる形は大きく三つあります。第一に、使われた箱の数の平均を求める形です。第二に、箱ごとに選ばれやすさが違うときの平均を求める形です。第三に、球を1つ増やしたときに平均がどれだけ変わるかを問う形です。どれも、使われた箱の数を直接追うと場合分けが重くなります。そこで、空いている箱の数に目を移します。空き箱の数は、箱ごとの「空いているかどうか」を足したものになります。この見方に変えると、平均は足し算だけで求まります。

用語と考え方

箱の数を m、球の数を n とします。m も n も1以上の整数です。1つの球が箱 k を選ぶ確率を pₖ とし、p₁+p₂+…+pₘ = 1 とします。どの箱も選ばれる可能性があり、pₖ はすべて正とします。球どうしは互いに影響せず、それぞれ独立に箱を選ぶものとします。

空き箱の数を X、使われた箱の数を Y とします。箱は空か使われているかのどちらかですから、Y = m − X が成り立ちます。したがって、X の平均がわかれば、Y の平均は m から引くだけで求まります。

箱 k が空かどうかを表す変数 Iₖ を、箱 k が空なら1、そうでなければ0と定めます。このような0と1だけを取る変数を指示変数と呼びます。空き箱の数は、空いている箱の指示変数の和です。

X = I₁+I₂+…+Iₘ

箱 k が空になるのは、n 個の球がすべて箱 k 以外を選んだときです。各球が箱 k を選ばない確率は 1-pₖ で、球どうしは独立ですから、その確率は (1-pₖ)ⁿ です。つまり E[Iₖ] = (1-pₖ)ⁿ です。

ここで使うのが、和の期待値が期待値の和になるという性質です。I₁ から Iₘ までを足した期待値は、それぞれの期待値を足したものに等しくなります。

E[X] = E[I₁]+E[I₂]+…+E[Iₘ] = (1-p₁)ⁿ+(1-p₂)ⁿ+…+(1-pₘ)ⁿ

この性質は、空き箱どうしの事象が独立でなくても成り立ちます。平均を求めるときに必要なのは、箱 k が空になる確率だけであり、複数の箱が同時に空になる確率ではないからです。この点は、後の誤答の節で詳しく扱います。

使われた箱の平均は、次の形になります。

E[Y] = m − E[X] = m − [(1-p₁)ⁿ+(1-p₂)ⁿ+…+(1-pₘ)ⁿ]

すべての箱が等しい確率 1/m で選ばれる場合は、pₖ = 1/m を代入して E[X] = m(1-1/m)ⁿ となります。

図1のように、各箱の上に「空なら1、使われたら0」の変数を置くと、空き箱の数は変数の和になります。

この図のとおり、箱ごとの確率が違っても、それぞれの箱について (1-pₖ)ⁿ を計算し、最後に足せば平均になります。場合分けの表を作る必要はありません。

基本例題（標準）

4つの箱に球を3つ入れます。1つの球は4つの箱から1つを等しい確率 1/4 で選び、球どうしは独立です。使われた箱の数の期待値を既約分数で求めなさい。

使われた箱の数を Y、空き箱の数を X とします。Y = 4-X です。箱1が空になる確率は、3つの球がすべて箱1以外を選ぶ確率なので (3/4)³ です。

(3/4)³ = 27/64

4つの箱はどれも同じ条件ですから、空き箱の数の期待値は次のようになります。

E[X] = 4 × 27/64 = 108/64 = 27/16

したがって、使われた箱の数の期待値は次のとおりです。

E[Y] = 4 − 27/16 = 64/16 − 27/16 = 37/16

答えは 37/16 です。

この結果を、すべての場合を数えて確かめます。球の入れ方は 4³ = 64 通りあり、どれも等しい確率です。1つの箱に注目すると、その箱が空になる入れ方は 3³ = 27 通りあります。4つの箱それぞれについて空になる入れ方を数えると、延べ 4 × 27 = 108 回です。使われた箱の回数の合計は、箱と入れ方の組の総数 4 × 64 = 256 回から空き箱の 108 回を引いて 148 回です。したがって平均は 148/64 = 37/16 となり、上の計算と一致します。

さらに、使われた箱の数ごとの場合の数も確かめます。使われた箱が1つのときは、4通りです。使われた箱が2つのときは、使う2箱の選び方が C(4,2) = 6 通りで、その2箱に3つの球が両方とも入る入れ方が 2³-2 = 6 通りあるので、6 × 6 = 36 通りです。使われた箱が3つのときは、使う3箱の選び方が C(4,3) = 4 通りで、3箱すべてに球が入る入れ方が 3! = 6 通りあるので、4 × 6 = 24 通りです。合計は 4+36+24 = 64 通りです。期待値は (1×4+2×36+3×24)/64 = 148/64 = 37/16 です。

図2は、この64通りの集計を表しています。

図2のように、使われた箱ごとの場合の数を足しても同じ値になります。ただし、箱の数や球の数が増えると、この表を作る作業が急に重くなります。空き箱の変数を使う方法は、その表を作らずに平均へ進める点に意味があります。

標準例題（やや難）

3つの箱 A、B、C があります。1つの球が A を選ぶ確率は 1/2、B を選ぶ確率は 1/3、C を選ぶ確率は 1/6 で、球どうしは独立です。球を2つ入れるとき、使われた箱の数の期待値を既約分数で求めなさい。

空き箱の数を X とします。箱 A、B、C が空になる確率は、それぞれ次のとおりです。

(1-1/2)² = (1/2)² = 1/4

(1-1/3)² = (2/3)² = 4/9

(1-1/6)² = (5/6)² = 25/36

これらを足すと、空き箱の数の期待値になります。

E[X] = 1/4+4/9+25/36

通分すると、次のように計算できます。

E[X] = 9/36+16/36+25/36 = 50/36 = 25/18

使われた箱の数は 3-X ですから、その期待値は次のとおりです。

E[Y] = 3 − 25/18 = 54/18 − 25/18 = 29/18

答えは 29/18 です。

この例では、使われた箱の数を直接追うと9通りの重み付きの場合を数えることになりますが、空き箱の変数を足す方法なら3つの項で済みます。場合分けの数が増えるほど、この差は開きます。

別の順序で確かめます。使われた箱の数は、箱ごとに「使われたなら1」の変数を足したものと見ることもできます。箱 k が使われる確率は 1-(1-pₖ)² です。

E[Y] = (1-1/4)+(1-4/9)+(1-25/36) = 3/4+5/9+11/36

通分すると 27/36+20/36+11/36 = 58/36 = 29/18 となり、同じ値になります。

すべての場合を数えても確かめられます。2つの球の入れ方は、順序も区別して9通りで、確率は等しくありません。同じ箱に2つ入る場合は、A が 1/4、B が 1/9、C が 1/36 で、合計は 9/36+4/36+1/36 = 14/36 です。このとき使われた箱は1つです。異なる箱に入る場合は残りの 22/36 で、使われた箱は2つです。したがって期待値は 1×14/36+2×22/36 = 58/36 = 29/18 です。

この例では、空き箱どうしの事象は独立ではありません。A が空で B も空になるのは、2つの球がともに C に入るときだけで、その確率は (1/6)² = 1/36 です。一方、A が空になる確率 1/4 と B が空になる確率 4/9 を掛けると 1/9 = 4/36 になり、1/36 とは一致しません。それでも、空き箱の平均はそれぞれの確率を足すだけで求められます。平均の計算に必要なのは、一つ一つの箱が空になる確率であって、二つの箱が同時に空になる確率ではないからです。

発展例題（難）

3つの箱 A、B、C に、A は 1/2、B は 1/3、C は 1/6 の確率で球を入れます。球どうしは独立です。球を n 個入れたときの使われた箱の数の期待値を Eₙ とします。

1. Eₙ を n の式で表しなさい。

2. Eₙ₊₁-Eₙ を求め、その値が「(n+1) 個目の球が、それまで空だった箱に入る確率」に等しいことを説明しなさい。

3. n = 2 から n = 3 への増加を計算し、E₃ を求めなさい。

4. 空き箱の数の期待値は、(1/2)ⁿ+(2/3)ⁿ+(5/6)ⁿ です。したがって、次の式になります。

Eₙ = 3 − [(1/2)ⁿ+(2/3)ⁿ+(5/6)ⁿ]

2. n 個の球を入れた状態から、もう1つ球を入れることを考えます。新しい球が空だった箱に入ると、使われた箱の数は1だけ増えます。新しい球がすでに使われた箱に入ると、使われた箱の数は変わりません。したがって、使われた箱の数の増加は、0か1のどちらかです。

新しい球が箱 k に入り、かつその箱がそれまでの n 個の球で空だった確率は、pₖ(1-pₖ)ⁿ です。新しい球の選択と、それまでの n 個の球の選択は独立です。箱 k はどれか一つしか選ばれないので、これらの確率を足すと、増加の期待値になります。

Eₙ₊₁-Eₙ = (1/2)(1/2)ⁿ+(1/3)(2/3)ⁿ+(1/6)(5/6)ⁿ

これは、増加が1になる確率にほかなりません。増加の期待値は、増加が1になる確率と0になる確率を重みにした平均だからです。

3. n = 2 のとき、増加は次のようになります。

E₃-E₂ = (1/2)(1/2)²+(1/3)(2/3)²+(1/6)(5/6)²

= 1/8+4/27+25/216

通分すると、次の値になります。

= 27/216+32/216+25/216 = 84/216 = 7/18

E₂ は標準例題で求めた 29/18 です。これを 216 分の形に直すと 348/216 です。したがって E₃ は次のとおりです。

E₃ = 348/216+84/216 = 432/216 = 2

式 (1) に n = 3 を代入しても確かめられます。

E₃ = 3 − [(1/2)³+(2/3)³+(5/6)³]

= 3 − [1/8+8/27+125/216]

= 3 − [27/216+64/216+125/216]

= 3 − 216/216 = 2

さらに、3つの球を入れたときの場合分けでも確かめます。使われた箱が1つになるのは、3つの球がすべて同じ箱に入るときで、確率は (1/2)³+(1/3)³+(1/6)³ = 1/8+1/27+1/216 = 27/216+8/216+1/216 = 36/216 = 1/6 です。使われた箱が3つになるのは、3つの箱に1つずつ入るときで、確率は 3!×(1/2)(1/3)(1/6) = 6/36 = 1/6 です。使われた箱が2つになるのは残りの 2/3 です。期待値は 1×1/6+2×2/3+3×1/6 = 1/6+4/3+1/2 = 1/6+8/6+3/6 = 12/6 = 2 です。

この問題の増加の式は、球を1つ増やしたときの変化を確かめる検算にも使えます。式 (1) で n を1つ進めた差と、増加の式で求めた差が一致していれば、空き箱の式を正しく立てられています。

誤答の実例と直し方

標準例題と同じ3つの箱で、球を2つ入れる場面を考えます。箱ごとの確率が 1/2、1/3、1/6 であるのに、生徒が「箱は3つだから、平均すると1つあたり1/3だ」と考え、すべての箱に 1/3 を当てはめて計算しました。その計算では、空き箱の期待値が 3×(2/3)² = 3×4/9 = 4/3 になります。使われた箱の期待値は 3-4/3 = 5/3 です。

しかし、正しい値は 29/18 です。5/3 を18分の形に直すと 30/18 になり、正しい値より 1/18 だけ大きくなります。差は小さく見えますが、確率が偏るほど広がります。

誤りの理由は、確率の平均を先に作ってから n 乗したことです。(1-p)² は p の一次式ではなく、p の値ごとに変わります。1/3 を代入した (2/3)² = 4/9 と、3つの箱の (1-pₖ)² の平均 25/54 は等しくありません。4/9 を54分の形に直すと 24/54 で、25/54 との差が 1/54 あります。これが3つの箱で 3/54 = 1/18 になります。

直し方は、箱ごとの確率を最後まで保つことです。p₁、p₂、p₃ をそれぞれ別のまま (1-pₖ)ⁿ を計算し、その後に足します。確率が等しい場合だけ、1/m を代入してまとめることができます。

もう一つの誤りは、空き箱の事象を独立だと思い込み、すべての箱が使われる確率を、箱ごとの「使われる確率」の積で求めることです。2つの箱に2つの球を等確率で入れる場面で確かめます。両方の箱が使われるのは、2つの球が別々の箱に入るときで、確率は 2/4 = 1/2 です。一方、箱1が使われる確率は 3/4、箱2が使われる確率も 3/4 なので、その積は 9/16 になります。1/2 と 9/16 は一致しません。片方の箱が使われたという情報は、もう片方の箱が空になる方向に働くためです。ただし、期待値を求めるときにこの同時確率は使いません。足すのは、箱ごとの周辺の確率だけです。

図3は、箱ごとの確率を保った正しい値と、平均の確率で代用した誤った値を並べたものです。

図3のように、差は 1/18 です。数字が近いから正しいと判断せず、箱ごとの確率を最後まで分けて計算してください。

練習問題

次の5問を解きなさい。本文の例題とは箱や場面の設定が異なります。答えは5問の後にまとめてあります。

練習1（標準） 3つの引き出しに4枚のしおりを入れます。1枚のしおりは3つの引き出しから1つを等しい確率 1/3 で選び、しおりどうしは独立です。使われた引き出しの数の期待値を既約分数で求めなさい。

練習2（標準） 5つのロッカーに2つの荷物を入れます。1つの荷物は5つのロッカーから1つを等しい確率 1/5 で選び、荷物どうしは独立です。空きロッカーの数の期待値を既約分数で求めなさい。

練習3（やや難） 4つの郵便受け A、B、C、D に2通の手紙を入れます。1通の手紙が A、B、C、D を選ぶ確率は、それぞれ 1/2、1/4、1/8、1/8 で、手紙どうしは独立です。使われた郵便受けの数の期待値を既約分数で求めなさい。

練習4（やや難） 6つの駐輪区画に4台の自転車を止めます。1台の自転車は6つの区画から1つを等しい確率 1/6 で選び、自転車どうしは独立です。空き区画の数の期待値を求めなさい。また、3台のときから4台のときへ、空き区画の数の期待値がどれだけ減るかを既約分数で求めなさい。

練習5（難） 3つの本棚の段に本を戻します。1冊の本は3つの段から1つを等しい確率 1/3 で選び、本どうしは独立です。使われた段の数の期待値が 5/2 以上になる最小の本数を求めなさい。また、そのときの期待値を既約分数で求めなさい。

練習問題の答え

練習1の答えは 65/27 です。空き引き出しの数の期待値は、1つの引き出しが空になる確率 (2/3)⁴ = 16/81 を3倍して 48/81 = 16/27 です。使われた引き出しの数は 3-16/27 = 65/27 です。確かめると、しおりの入れ方は 3⁴ = 81 通りで、1つの引き出しが空になる入れ方は 2⁴ = 16 通りです。空きの合計は 3×16 = 48 回、使われた合計は 3×81-48 = 195 回で、平均は 195/81 = 65/27 です。

練習2の答えは 16/5 です。空きロッカーの数の期待値は、1つのロッカーが空になる確率 (4/5)² = 16/25 を5倍して 80/25 = 16/5 です。確かめると、荷物の入れ方は 5² = 25 通りで、1つのロッカーが空になる入れ方は 4² = 16 通りです。空きの合計は 5×16 = 80 回で、平均は 80/25 = 16/5 です。使われたロッカーの平均は 5-16/5 = 9/5 です。

練習3の答えは 53/32 です。空き郵便受けの数の期待値は、次の足し算になります。

E[X] = (1/2)²+(3/4)²+(7/8)²+(7/8)²

= 1/4+9/16+49/64+49/64

= 16/64+36/64+49/64+49/64 = 150/64 = 75/32

したがって、使われた郵便受けの数の期待値は 4-75/32 = 128/32-75/32 = 53/32 です。確かめると、2通が同じ郵便受けに入る確率は、各郵便受けの確率の2乗の和で 1/4+1/16+1/64+1/64 = 16/64+4/64+1/64+1/64 = 22/64 = 11/32 です。このとき使われた郵便受けは1つです。異なる郵便受けに入る残りの確率は 21/32 で、使われた郵便受けは2つです。期待値は 1×11/32+2×21/32 = 53/32 です。

練習4の答えは、空き区画の数の期待値が 625/216、3台から4台への減少が 125/216 です。4台のとき、1つの区画が空になる確率は (5/6)⁴ = 625/1296 で、これを6倍すると 3750/1296 = 625/216 です。3台のときは (5/6)³ = 125/216 を6倍して 750/216 = 125/36 です。減少は 125/36-625/216 = 750/216-625/216 = 125/216 です。この減少は、4台目の自転車がそれまで空だった区画を選ぶ確率に等しく、6×(1/6)×(5/6)³ = (5/6)³ = 125/216 でも確かめられます。使われた区画の数の期待値は、3台のとき 6-125/36 = 91/36、4台のとき 6-625/216 = 671/216 で、その差も 125/216 です。

練習5の答えは、最小の本数が 5本、そのときの期待値が 211/81 です。使われた段の数の期待値は、3つの段が等確率なので 3[1-(2/3)ⁿ] です。これが 5/2 以上になる条件を整理します。

3[1-(2/3)ⁿ] ≥ 5/2

1-(2/3)ⁿ ≥ 5/6

(2/3)ⁿ ≤ 1/6

(2/3)ⁿ は n が1増えるごとに 2/3 倍になり、n が大きいほど小さくなります。n = 4 では (2/3)⁴ = 16/81 = 32/162 で、1/6 = 27/162 より大きいため条件を満たしません。n = 5 では (2/3)⁵ = 32/243 で、6倍すると 192 となり 243 より小さいため、32/243 < 1/6 が成り立ちます。したがって最小の本数は5本です。このときの期待値は、次の計算で 211/81 になります。

3[1-(2/3)⁵] = 3[1-32/243] = 3×211/243 = 633/243 = 211/81

n = 4 のときの期待値 3[1-16/81] = 3×65/81 = 195/81 = 65/27 は 5/2 = 2.5 より小さいことも確かめられます。

覚えておくこと

• 空き箱の数の期待値は、箱ごとの (1-pₖ)ⁿ を足したものです。
• 使われた箱の数の期待値は、箱の数から空き箱の期待値を引いたものです。
• 0と1の変数を使うと、空き箱の数を和として表せます。
• 和の期待値は期待値の和です。空き箱どうしが独立でなくても成り立ちます。
• 確率が箱ごとに違うときは、1/m でそろえず、最後まで pₖ を保ちます。

つまずきの見分け方と確かめる箇所

使われた箱の数の分布表を作ろうとして止まっている場合は、まず目的を確かめます。平均だけが目的なら、すべての場合の確率を求める必要はありません。使われた箱の数を Y、空き箱の数を X と置き、Y = m-X と空き箱の期待値に切り替えられるかを見ます。

空き箱の事象を独立だと思い込んでいる場合は、二つの箱が同時に空になる確率を具体的に聞きます。3つの箱の例で、A と B が同時に空になる確率は 1/36 ですが、それぞれの確率の積は 1/9 です。この違いを説明できれば、平均に必要なのが周辺の確率だけであることも理解しやすくなります。

箱ごとの確率が違うのに 1/m を使っている場合は、(1-p)² を p ごとに計算させ、その平均と (1-1/m)² を比べます。数値が近い場合でも、一致するとは限りません。

答えの検算では、使われた箱の数が 1 以上 min(n,m) 以下であることを確かめます。また、n を1増やしたときの期待値の増加が、新しい球が空だった箱に入る確率と一致するかを見ます。この二つの確認は、式を立てた後に計算の向きを間違えていないかを教えてくれます。

個別指導で見る箇所は、指示変数の定義を自分の言葉で書けるか、和の期待値を分けて足した理由を説明できるか、箱ごとの確率を最後まで保てたかの三点です。答えの数字だけでなく、どの箱のどの確率を足したのかを答案に残せていれば、別の数値の設定でも同じ手順を再現できます。