大学入試数学 最大確率と成功確率—文字で動く確率の定義域を確認して最も大きい値を証明する｜武蔵野個別指導塾

コインを3回投げて表が2回出る確率を文字pの式で書くと、pの2乗と1-pの積になり、pを0から1まで動かすと値は一つの山を描きます。頂点の位置と両端の値を並べて比べ、pを2/3に置くときが山の頂です。

3回の試行で2回成功する確率を、1回あたりの成功率 p で調整したい。こうした相談は、文化祭のくじの当たりやすさを決めるときや、部活動の連続挑戦で何回に一度成功する形を狙うときに出てきます。p は自分で決められる文字なので、確率は p の関数になります。関数になれば、値が一番大きくなる p を探したくなります。ところが、計算だけを信じて進むと、答案の最後に見当違いの値が残ります。

ある生徒は 3p²(1-p) を平方完成しようとして、次数が合わずに手が止まりました。別の生徒は頂点の p = 1/2 を求め、問題文の「p は 3/4 以上」を読み飛ばしてそのまま答えにしました。どちらも式変形の力は足りています。足りないのは、動かしてよい範囲を先に確定させる習慣です。

問われ方は大きく三つに分かれます。成功率 p を自由に動かして最大を求める形。p に下限や上限が付き、その範囲だけで最大を求める形。最大にする p の値と、そのときの確率の値をどちらも書かせる形です。どの形でも、式を立てる、範囲を書く、頂点と端を比べる、という順番は変わりません。

用語と考え方—定義域、端点、山の頂

各回の結果が他の回に影響しないとき、その試行は独立であるといいます。独立で、どの回も成功確率が同じ p であるとき、n 回のうちちょうど k 回成功する確率は C(n,k)・p の k 乗・(1-p) の n-k 乗です。C(n,k) は n 個から k 個を選ぶ組合せの数で、成功する k 回をどの位置に置くかの選び方を数えています。p は確率ですから 0 以上 1 以下です。この範囲を定義域と呼び、答案の最初に一行で書きます。そして、この確率を p の関数として P(p) と書きます。p を動かせば P(p) の値も動くので、最大を問う問題では P(p) を主役にします。

この式の形は、p の k 乗と (1-p) の n-k 乗の積です。p を大きくすると前半は増え、後半は減ります。片方が強くなりすぎれば積は小さくなるので、両者がほどよく釣り合う位置に山の頂ができます。釣り合いの位置は k/n です。ただし、この位置がいつも使えるとは限りません。範囲が狭められていれば頂は外へ出ますし、k が 0 や n に寄っていれば山は端に寄ります。だから、頂点を求める計算と、その頂点が範囲に入るかの確認を、別の作業として行います。

道具は三つあります。一つ目は平方完成です。二次式を (p − a)² + b の形にすれば、頂点の座標がそのまま見えます。二つ目は因数分解です。「最大値になるはずの値から式を引いた差」を (p − a)² と正の式の積にできれば、その値が本当に最大だと証明できます。三つ目は相加相乗平均です。正の数 m 個の積は、和を m で割った値の m 乗以下になります。和が一定なら積の上限が出る、という使い方をします。等号は m 個がすべて等しいときに限ります。

相加相乗平均には前提があります。扱う数がすべて正であることです。p = 0 や p = 1 では項に 0 が現れるので、この道具をそのまま当てられません。頂点を探すときは 0 < p < 1 として計算し、p = 0 と p = 1 は別に代入して比べます。この切り分けを省くと、端に最大がある問題で頂点の値だけを答えてしまいます。

二次の形は、平方完成だけで片づきます。p(1-p) = -(p − 1/2)² + 1/4 なので、p(1-p) は p = 1/2 のとき最大で、値は 1/4 です。この一行は、後で何度も使います。

確かめる場所は三つです。第一に、頂点が 0 以上 1 以下の内側にあるか。第二に、p = 0 と p = 1 の端で値がいくらになるか。第三に、頂点が範囲の外にあるとき、範囲の端のどちらが大きいか。頂点と端の値を一つの表に並べてから答えを書けば、取り違えは起きません。

図1のように、式を立てる、範囲を書く、頂点と端を比べる、という順に進みます。この順番を毎回同じにすると、どの問題でも確認の抜けが減ります。

基本例題（標準）3回の試行で2回成功する確率

独立な3回の試行で、各回の成功確率を p とします。ここでは 0 < p < 1 とします。ちょうど2回成功する確率 P(p) を最大にする p と、そのときの P(p) の値を求めてください。答えは分数で書きます。

方針を立てます。C(3,2) = 3 なので、P(p) = 3p²(1-p) です。展開すると 3p² − 3p³ で、p の三次式になります。平方完成は二次式の道具なので、このままでは使えません。そこで p²(1-p) という積の形を保ったまま、因数分解か相加相乗平均で上限を出します。

因数分解で進めます。「最大値になりそうな値」を先に決めるのがこつです。等号が成り立つ p を探すと p = 2/3 が見えるので、そのときの p²(1-p) の値 4/27 を基準にします。差を取って整理します。

4/27 - p²(1-p)
= 4/27 - p² + p³
= (p - 2/3)²(p + 1/3)

最後の行は、右辺を展開すれば確かめられます。(p − 2/3)² は 0 以上で、0 ≤ p ≤ 1 の範囲では p + 1/3 は 1/3 以上です。したがって差は 0 以上、つまり p²(1-p) ≤ 4/27 です。両辺を3倍して P(p) ≤ 3 × 4/27 = 4/9 になります。等号は p = 2/3 のときで、この値は 0 < p < 1 を満たします。

端も確かめます。P(0) = 0、P(1) = 0 で、どちらも 4/9 より小さいので、最大は頂点で決まります。

別解として相加相乗平均を使います。0 < p < 1 のとき、p/2、p/2、1-p はすべて正で、和は p/2 + p/2 + 1 − p = 1 です。3個の積は和を3で割った値の3乗以下なので、(p/2)(p/2)(1-p) ≤ (1/3)³ = 1/27 です。左辺は p²(1-p)/4 なので、両辺を4倍して p²(1-p) ≤ 4/27 となります。等号は3個が等しいとき、すなわち p/2 = 1-p のときで、p = 2/3 です。

答えは、p = 2/3 のとき最大値 4/9 です。

検算します。p = 2/3 のとき、成功2回と失敗1回の並びは3通りあります。どの並びも確率は (2/3)² × (1/3) = 4/27 です。3通りを足すと 12/27 = 4/9 になり、公式で出した値と一致します。この一致は、係数 C(3,2) = 3 を掛け忘れていないことの確認にもなります。図2は、この P(p) の値が p とともにどう変わるかを描いたものです。

図2のように、p = 0 と p = 1 では値が 0 に戻り、山は p = 2/3 の1か所だけで高くなります。p = 1/2 のときは 3/8 で、最大の 4/9 には届きません。頂点の前後で値が下がることも、図の上で確かめられます。

標準例題（やや難）4回の試行で3回成功する確率

独立な4回の試行で、各回の成功確率を p とします。ちょうど3回成功する確率を最大にする p と、そのときの確率を求めてください。答えは分数で書きます。

C(4,3) = 4 なので、P(p) = 4p³(1-p) です。p³(1-p) の上限を相加相乗平均で出します。使う項の数は、指数の合計に合わせて 3 + 1 = 4 個です。p/3、p/3、p/3、1-p はすべて正で、和は p + 1 − p = 1 になります。4個の積は (1/4)⁴ = 1/256 以下なので、(p/3)³(1-p) ≤ 1/256 です。左辺は p³(1-p)/27 ですから、両辺を27倍して p³(1-p) ≤ 27/256 になります。

したがって P(p) ≤ 4 × 27/256 = 27/64 です。等号は4個が等しいとき、すなわち p/3 = 1-p のときで、p = 3/4 です。この値は 0 < p < 1 を満たします。端は P(0) = 0、P(1) = 0 で、27/64 より小さいので最大は頂点です。

別解として因数分解でも確かめます。27/256 との差を取ると、次のように平方の積になります。

27/256 - p³(1-p)
= 27/256 - p³ + p⁴
= (p - 3/4)²(p² + p/2 + 3/16)

p² + p/2 + 3/16 = (p + 1/4)² + 1/8 なので、0 ≤ p ≤ 1 でつねに正です。よって差は 0 以上で、等号は p = 3/4 のときだけです。

答えは、p = 3/4 のとき最大値 27/64 です。

検算します。p = 3/4 のとき、成功3回と失敗1回の並びは4通りあり、どの並びも確率は (3/4)³ × (1/4) = 27/256 です。4通りを足すと 108/256 = 27/64 になり、公式の値と一致します。p = 2/3 では 4 × (8/27) × (1/3) = 32/81 で、およそ 0.395 です。27/64 はおよそ 0.422 なので、頂点のほうが大きいことも確かめられます。

ここで、相加相乗平均の等号の作り方に注意します。項の数を指数に合わせないと、等号の式が変わります。4回で3回成功なら p/3 を3個と 1-p を1個です。p/3 を3個並べたのは、p の3乗を3等分して和を p に戻すためです。この数え方を毎回書き出すと、p = 3/4 のような値が機械的に決まります。

発展例題（難）6回で2回成功する確率と、端で最大になる型

独立な6回の試行で、ちょうど2回成功する確率を最大にする p と、そのときの確率を求めてください。C(6,2) = 15 なので、P(p) = 15p²(1-p)⁴ です。指数の合計は 2 + 4 = 6 です。

p/2 を2個、(1-p)/4 を4個用意すると、和は p + 1 − p = 1 になります。6個の積は (1/6)⁶ = 1/46656 以下です。左辺は (p/2)²((1-p)/4)⁴ = p²(1-p)⁴/(4 × 256) = p²(1-p)⁴/1024 ですから、p²(1-p)⁴ ≤ 1024/46656 です。1024/46656 を約分すると 16/729 になります。よって P(p) ≤ 15 × 16/729 = 240/729 = 80/243 です。等号は6個が等しいとき、すなわち p/2 = (1-p)/4 のときで、2p = 1-p より p = 1/3 です。

別解として、積を二乗の形に見直します。p²(1-p)⁴ = [p(1-p)²]² です。p(1-p)² は、p と (1-p)/2 と (1-p)/2 の3個の積を4倍したものなので、相加相乗平均から p(1-p)² ≤ 4/27 です。等号は p = (1-p)/2、つまり p = 1/3 のときです。二乗しても上限は二乗になり、[p(1-p)²]² ≤ (4/27)² = 16/729 です。15倍すると 80/243 で、同じ値に着きます。

この別解は因数分解でも裏づけられます。

4/27 - p(1-p)²
= 4/27 - p + 2p² - p³
= (p - 1/3)²(4/3 - p)

0 ≤ p ≤ 1 では 4/3 − p は 1/3 以上なので、差は 0 以上です。等号は p = 1/3 のときだけです。

検算します。p = 1/3 のとき、成功2回と失敗4回の並びは15通りあり、どの並びも確率は (1/3)² × (2/3)⁴ = 16/729 です。15通りを足すと 240/729 = 80/243 になり、公式の値と一致します。

次に、端で最大になる型を扱います。独立な4回の試行で、少なくとも1回成功する確率を最大にする p と、そのときの確率を求めてください。余事象で考えると、4回とも失敗する確率は (1-p)⁴ なので、求める確率は P(p) = 1 − (1-p)⁴ です。

この式には、範囲の内側に山の頂がありません。0 ≤ p < 1 で 1-p は正で、p が増えるほど 1-p は小さくなります。正の数の4乗は、もとの数が小さいほど小さくなるので、(1-p)⁴ は p とともに減り続けます。したがって P(p) は増え続け、最大は右端の p = 1 で値は 1 です。左端の p = 0 では値は 0 です。

この型では、相加相乗平均の等号を探しても何も出ません。頂点がないからです。範囲の端を代入する作業が、そのまま最大の証明になります。頂点を求める計算に慣れるほど、この型を落としやすくなるので注意します。

最後に、一般の n と k でも同じ手順が使えることを確かめます。0 < k < n とし、p/k を k 個、(1-p)/(n-k) を n-k 個用意します。和は p + (1-p) = 1 です。n 個の積は (1/n) の n 乗以下なので、(p/k) の k 乗 × ((1-p)/(n-k)) の n-k 乗 ≤ (1/n) の n 乗です。両辺に k の k 乗と (n-k) の n-k 乗を掛けると、p の k 乗 × (1-p) の n-k 乗 ≤ k の k 乗 × (n-k) の n-k 乗 ÷ n の n 乗になります。等号は p/k = (1-p)/(n-k)、すなわち p = k/n のときです。C(n,k) を掛ければ、最大値は C(n,k) × (k/n) の k 乗 × ((n-k)/n) の n-k 乗です。

n = 3、k = 2 で試すと、3 × (2/3)² × (1/3) = 4/9 となり、基本例題の答えと一致します。n = 6、k = 2 では、15 × (1/3)² × (2/3)⁴ = 15 × 16/729 = 80/243 で、こちらも一致します。公式を暗記するのではなく、項の数を指数に合わせる操作を覚えておくと、n や k が変わっても同じ手順で再現できます。

同じ最大値を2つの p で取ることは、この形の確率では起きません。0 < p < 1 で山は1か所に決まり、範囲を狭めても値が平らになる区間は現れないからです。だから、頂点と端の値を並べた表で、最大の行が2つ並ぶことはありません。もし2か所で同じ値になったように見えたら、計算のどこかで係数か指数を写し間違えています。この見当は、答えを書く前の最後の点検に使えます。

誤答の実例と直し方

独立な2回の試行で、ちょうど1回成功する確率を、p が 3/4 以上 1 以下という条件のもとで最大にする問題を考えます。P(p) = 2p(1-p) です。ある生徒は平方完成して、次のように書きました。

P(p) = -2(p - 1/2)² + 1/2

よって p = 1/2 のとき最大値 1/2、という答案です。式変形そのものは正しいのですが、答えは不正解になります。p は 3/4 以上という条件付きで、p = 1/2 はこの範囲に入っていません。平方完成が出す頂点は、実数全体で見たときの頂点です。範囲を限定した瞬間に、頂点が使えるかどうかを確かめる作業が加わります。

直し方は三段階です。第一に、頂点の座標を求める。第二に、その座標が指定された範囲に入るかを確かめる。第三に、入らなければ範囲の端だけを比べる。この問題では頂点 1/2 が範囲の左外にあるので、範囲の内側だけで値の増減を調べます。1/2 より右では、p が増えるほど p と 1-p の差が開き、積は小さくなります。したがって範囲の左端 p = 3/4 が最大で、値は 2 × (3/4) × (1/4) = 3/8 です。

検算します。p = 3/4 で 3/8、p = 0.8 で 2 × 0.8 × 0.2 = 0.32、p = 1 で 0 です。範囲の内側では値が下がり続けるので、左端が最大で間違いありません。図3は、この状況を数直線と曲線で表したものです。

図3のように、山の頂は範囲の外にあり、使える範囲では右へ行くほど低くなります。頂点の高さ 1/2 を答えに書きたくなる気持ちはわかりますが、範囲の外の値は、その問題の答えには使えません。

二つ目の誤答は、相加相乗平均の等号を「p = 1-p」と形だけで覚えている型です。6回で2回成功する問題で p = 1/2 と答えると、最大値は 15 × (1/4) × (1/16) = 15/64 になり、正しい 80/243 より小さくなります。等号の条件は、使った項がすべて等しいことです。この問題では p/2 と (1-p)/4 を比べるので、2p = 1-p から p = 1/3 が出ます。項の数を書き出してから等号を立てる習慣があれば、この型の誤りは消えます。

三つ目の誤答は、答える対象の取り違えです。「最大にする p と、そのときの確率を求めよ」と問われているのに、4/9 だけを書いたり、2/3 だけを書いたりします。値の 4/9 は確率で、2/3 は成功率です。単位も意味も違います。答案を書く前に、問いが何を何個求めているかを指で数えておくと防げます。

練習問題

次の5問を解いてください。答えはすべて分数で書きます。

1.（標準）独立な5回の試行で、ちょうど1回成功する確率を最大にする p と、そのときの確率を求めてください。

2.（標準）独立な2回の試行で、ちょうど1回成功する確率を、1/3 ≤ p ≤ 1 の範囲で最大にする p と、そのときの確率を求めてください。

3.（やや難）独立な3回の試行で、1回目と2回目は失敗し、3回目に成功する確率を最大にする p と、そのときの確率を求めてください。

4.（やや難）独立な4回の試行で、ちょうど2回成功する確率を、3/5 ≤ p ≤ 1 の範囲で最大にする p と、そのときの確率を求めてください。

5.（難）独立な5回の試行で、成功がちょうど2回またはちょうど3回である確率を最大にする p と、そのときの確率を求めてください。

練習問題の答えと解き方

1.（標準）C(5,1) = 5 なので P(p) = 5p(1-p)⁴ です。p、(1-p)/4、(1-p)/4、(1-p)/4、(1-p)/4 の5個は正で、和は 1 です。積は (1/5)⁵ 以下なので、p(1-p)⁴/256 ≤ 1/3125、すなわち p(1-p)⁴ ≤ 256/3125 です。5倍して P(p) ≤ 256/625 になります。等号は p = (1-p)/4 のときで、4p = 1-p より p = 1/5 です。端の値は 0 なので最大は頂点です。答えは p = 1/5 のとき 256/625 です。検算すると、p = 1/5 で各並びの確率は (1/5) × (4/5)⁴ = 256/3125 で、5通りを足すと 256/625 になります。

2.（標準）P(p) = 2p(1-p) = -2(p − 1/2)² + 1/2 です。頂点の p = 1/2 は 1/3 以上 1 以下に入ります。よって最大は p = 1/2 で値は 1/2 です。端も確かめると、p = 1/3 で 4/9、p = 1 で 0 です。4/9 は 1/2 より小さいので、最大は頂点のままです。答えは p = 1/2 のとき 1/2 です。この問題は、頂点が範囲の内側にある場合の形です。範囲を確かめる作業を省かなければ、誤答の例とは逆に、頂点をそのまま使えます。

3.（やや難）求める確率は、1回目と2回目の失敗と3回目の成功を掛けて P(p) = (1-p)²p です。p、(1-p)/2、(1-p)/2 の3個は正で、和は 1 です。積は (1/3)³ 以下なので、p(1-p)²/4 ≤ 1/27、すなわち p(1-p)² ≤ 4/27 です。等号は p = (1-p)/2 のときで、2p = 1-p より p = 1/3 です。答えは p = 1/3 のとき 4/27 です。検算すると、p = 1/3 で (2/3)² × (1/3) = 4/27 です。端の p = 0 と p = 1 ではどちらも 0 なので、最大は頂点です。

4.（やや難）C(4,2) = 6 なので P(p) = 6p²(1-p)² = 6[p(1-p)]² です。p(1-p) は p = 1/2 で最大になりますが、1/2 は 3/5 以上 1 以下に入りません。範囲の内側では p(1-p) が減り続けることを確かめます。1/2 ≤ p₁ < p₂ ≤ 1 のとき、p₁(1-p₁) − p₂(1-p₂) = (p₂ − p₁)(p₁ + p₂ − 1) で、p₁ + p₂ は 1 以上なので差は 0 以上です。よって範囲内では左端の p = 3/5 が最大です。値は 6 × (3/5)² × (2/5)² = 6 × 9/25 × 4/25 = 216/625 です。p = 0.7 では 6 × 0.49 × 0.09 = 0.2646 で、216/625 = 0.3456 より小さいことも確かめられます。答えは p = 3/5 のとき 216/625 です。

5.（難）ちょうど2回成功する確率は C(5,2)p²(1-p)³ = 10p²(1-p)³ で、ちょうど3回成功する確率は C(5,3)p³(1-p)² = 10p³(1-p)² です。和を取ると、10p²(1-p)² でくくれて、10p²(1-p)²[(1-p) + p] = 10p²(1-p)² になります。p(1-p) ≤ 1/4 なので、両辺を2乗して p²(1-p)² ≤ 1/16 です。10倍して P(p) ≤ 10/16 = 5/8 になります。等号は p = 1/2 のときです。答えは p = 1/2 のとき 5/8 です。検算すると、p = 1/2 では各並びの確率が (1/2)⁵ = 1/32 で、2回成功の並びが10通り、3回成功の並びが10通り、合わせて20通りです。20/32 = 5/8 で一致します。端では 0 なので、最大は頂点です。

覚えておくこと

• 式を立てたら、p の範囲を答案の最初に書く。
• 頂点は平方完成か相加相乗平均で求め、相加相乗の等号は使った項の数に合わせる。
• 頂点が範囲の外なら、範囲の端の値だけで比べる。
• p = 0 と p = 1 は別に代入する。端に最大がある型もある。
• 答えるのは、最大にする p の値と、そのときの確率の値の2つである。

つまずきの見分け方と確かめる箇所

頂点の座標だけを書いて終わる答案は、範囲の確認が抜けている可能性があります。答案を受け取ったら、まず p の範囲が書かれているかを見ます。範囲の一行がなければ、その時点で頂点が使えるかどうかの判断がされていないと考えてよいです。

次に、端の値を計算した形跡があるかを見ます。P(0) と P(1) の値がどこにも書かれていなければ、端に最大がある型を取り落としているかもしれません。逆に、端の値だけを並べて頂点を調べていない答案は、山の頂を見落としています。頂点と端の両方が並んでいる答案は、比較の材料がそろっています。

相加相乗平均を使った形跡があるときは、等号の式を確認します。項の数と指数が合っているか、等号を立てた式が実際に使った項どうしの比較になっているか。p/2 と 1-p を比べるべきところで p と 1-p を比べていれば、答えの p がずれます。最後に、問いが求めているものが2つあるかを確かめます。p の値と確率の値は別物で、片方だけでは答えになりません。

これらは、計算をやり直させる前に、答案の上で指させるのが早道です。「この p は範囲に入っていますか」「端は計算しましたか」「等号はどの2つを比べましたか」の三つを問いかけると、生徒は自分で抜けに気づきます。計算の正しさより、確かめる順番が身についているかを見るほうが、次の問題で生きてきます。

動かせる範囲を先に書き、頂点と両端を並べてから答える。この順番が、文字入りの確率を最大にする答案の骨格です。