大学入試数学 条件で分ける期待値—最初の分岐の重みを付けて二段階の平均を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

入荷先が等確率でない仕入れでは、箱ごとの良品数の平均に選択の重みを掛けて足します。平均の高い箱がまれなら全体は下がる、その差を読む期待値です。

入荷先をくじで決めてから、その箱から部品を何個か取り出す。今日の作業で見込める良品の個数は何個だろうか。よくあるのは、このように最初の分岐と、そのあとの抽選が重なる場面です。問いの出方は三つに分かれます。分岐の確率が等しくないのに経路ごとの平均を二等分してしまう型、分岐のあとの箱の大きさが違うのに同じ分母で数えてしまう型、経路ごとの平均は合っているのに最後の足し算で重みを掛け忘れる型です。どれも途中まで正しく進むので、誤りに気づきにくいところに共通の難しさがあります。

この三つは、一つの式に集まります。分岐の確率を重みにして、分岐のあとの平均を足す形です。資材の選択と獲得個数という場面で、その式を組み立てる順序を確かめます。

分岐の重みと経路ごとの平均

獲得個数を X とし、その平均を E(X) と書きます。平均は、実現値とその確率を掛けて足した値です。有限の場面では、すべての結果の確率を足すと1になります。この確認を最後に必ず行います。

最初の分岐を A と B の二つとします。A を選ぶ確率を w、B を選ぶ確率を 1-w とします。0<w<1 で、どちらの分岐も起こる確率が正であることを前提にします。分岐 A のあとで得られる個数の平均を E(X｜A)、分岐 B のあとを E(X｜B) とします。このとき全体の平均は次の式で表されます。

E(X) = w・E(X｜A) + (1-w)・E(X｜B)

この形になる理由を、確率の足し算から確かめます。分岐 A を通る結果は、A を選ぶ確率 w と、A のあとで個数が k になる確率 P(X=k｜A) の積で起こります。分岐 B も同じです。したがって、k ごとに二つの経路の確率を足してから k を掛けると、w と 1-w がそれぞれの和の外に出ます。結果は上の式です。Σ は和を表す記号で、Σ[k] は k について足すことを意味します。

E(X) = Σ[k] k・{w・P(X=k｜A) + (1-w)・P(X=k｜B)} E(X) = w・Σ[k] k・P(X=k｜A) + (1-w)・Σ[k] k・P(X=k｜B)

一つ目の式は、全体の確率を経路ごとに分けて書いた形です。二つ目の式は、w と 1-w を和の外へ出した形です。右辺の二つの和は、それぞれ E(X｜A) と E(X｜B) にほかなりません。ここで大切なのは、w と 1-w の合計が1になることです。合計が1でなければ、この足し算は平均を表しません。

図1のように、左の分岐から中央の経路ごとの平均へ、そして右の全体の平均へと束ねます。分岐の確率は、経路の平均に掛かる重みになります。二つの経路の平均が同じでも、重みが違えば全体の平均は変わります。

二段階の場面では、分岐のあとの試行が復元か非復元か、各回が独立かを明示します。非復元なら、二回目の確率は一回目の結果で変わります。復元なら、各回の確率は変わりません。どちらの場合も、まず分岐ごとの平均を別々に求め、最後に重みを掛けて足す順序は変わりません。

基本例題：くじで決まる二つの箱

部品の仕入れを考えます。今日の入荷先は、5本のくじで決めます。3本が業者A、2本が業者Bで、くじはよく混ぜてから1本引きます。Aの箱には良品3個と不良2個、Bの箱には良品4個と不良1個が入っています。選んだ箱から部品を2個、同時に取り出します。取り出した部品に含まれる良品の個数 X の平均を求めるのが、この例題の目標です。取り出しは非復元で、同じ箱の5個から2個を区別して選びます。

分岐の確率は 3/5 と 2/5 で等しくありません。まず A と B に分けて、それぞれの箱で良品の個数の平均を出します。そのあとで、選ばれやすさを重みとして掛けます。

Aの箱では、5個から2個を選ぶ組合せが C(5,2)=10通りあり、どの組も同じ確率です。良品0個は、不良2個から2個を選ぶ C(2,2)=1通りで、確率は 1/10 です。良品1個は、良品3個から1個と不良2個から1個を選ぶ C(3,1)×C(2,1)=6通りで、確率は 6/10 です。良品2個は、良品3個から2個を選ぶ C(3,2)=3通りで、確率は 3/10 です。和は 1/10+6/10+3/10=1 になります。

Aの箱の平均は E(X｜A) = 0×(1/10) + 1×(6/10) + 2×(3/10) = 12/10 = 6/5 です。10通りの組合せについて良品の個数を合計すると12個になる、という意味です。

Bの箱も、5個から2個を選ぶ組合せは10通りです。良品0個になる組は、不良が1個しかないのでありません。良品1個は、良品4個から1個と不良1個から1個を選ぶ C(4,1)×C(1,1)=4通りで、確率は 4/10 です。良品2個は、良品4個から2個を選ぶ C(4,2)=6通りで、確率は 6/10 です。和は 4/10+6/10=1 になります。

Bの箱の平均は E(X｜B) = 0×0 + 1×(4/10) + 2×(6/10) = 16/10 = 8/5 です。不良が1個しかないので、良品0個の場合が無いことも式に表れています。

図2のように、二つの箱の平均と重みを並べます。全体の平均は、それぞれの平均に分岐の確率を掛けて足します。E(X) = (3/5)×(6/5) + (2/5)×(8/5) = 18/25 + 16/25 = 34/25 です。

全列挙でも照合します。くじ5本を区別すると、どのくじも 1/5 で引かれます。箱を決めたあと、5個から2個を順に取り出す方法は 5×4=20通りで、同じ確率です。くじと取り出し方の組は 5×20=100通りになり、どの組も同じ確率 1/100 です。Aのくじ3本のそれぞれについて、20通りの良品の合計は、良品3個のそれぞれが残り4個との組で2通りの順に現れるので 3×4×2=24 です。Bのくじ2本では、良品4個が同じように現れるので 4×4×2=32 です。全体の合計は 3×24+2×32=72+64=136 で、平均は 136/100=34/25 となり、上の値と一致します。

別解として、1個目と2個目を別々に数える方法があります。1個目が良品である確率は (3/5)×(3/5)+(2/5)×(4/5) = 9/25+8/25=17/25 です。2個目も同じく 17/25 です。良品の個数は、1個目が良品なら1、そうでなければ0を取る変数と、2個目について同じことをする変数の和です。和の平均は平均の和になるので、17/25+17/25=34/25 です。この方法は、取り出した2個が独立でなくても使えます。二つの変数の和の平均が、それぞれの平均の和になる理由は、確率の足し算の順序を入れ替えても同じになるからです。

標準例題：赤を引いたときだけもう一枚

色紙の袋が二つあります。袋Aを選ぶ確率は 1/3、袋Bを選ぶ確率は 2/3 です。袋Aには赤4枚と白2枚、袋Bには赤2枚と白4枚が入っています。選んだ袋から1枚引きます。それが赤なら、同じ袋からもう1枚、非復元で引きます。赤でなければ、そこで終わりです。赤の枚数 X の平均を求めるのが、この例題の目標です。どちらの袋も6枚で、2回目は1回目に引いた赤を戻さないので、袋の中は5枚になります。

分岐のあとの試行が、1回目に赤を引いたかどうかで変わります。それでも、袋ごとに平均を先に出す方針は同じです。1回目に赤を引く確率は正で、赤を引いた場合の2回目も必ず引けるので、条件付きの確率をそのまま使えます。

袋Aでは、1回目に赤を引く確率は 4/6=2/3 です。赤を引いたとき、残り5枚のうち赤は3枚なので、2回目も赤の確率は 3/5 です。赤が0枚になるのは1回目が白のときで、確率は 2/6=1/3 です。赤が1枚になるのは、1回目が赤で2回目が白のときで、確率は (2/3)×(2/5)=4/15 です。赤が2枚になるのは、1回目も2回目も赤のときで、確率は (2/3)×(3/5)=2/5 です。確認すると 1/3+4/15+2/5=5/15+4/15+6/15=15/15=1 です。

袋Aの平均は E(X｜A) = 0×(1/3) + 1×(4/15) + 2×(2/5) = 4/15+12/15 = 16/15 です。赤2枚になる確率が 2/5 と大きいため、平均は1枚を超えます。

袋Bでは、1回目に赤を引く確率は 2/6=1/3 です。赤を引いたとき、残り5枚の赤は1枚なので、2回目が赤の確率は 1/5 です。赤が0枚になるのは1回目が白のときで、確率は 2/3 です。赤が1枚になるのは、1回目が赤で2回目が白のときで、確率は (1/3)×(4/5)=4/15 です。赤が2枚になるのは、1回目も2回目も赤のときで、確率は (1/3)×(1/5)=1/15 です。確認すると 2/3+4/15+1/15=10/15+4/15+1/15=1 です。

袋Bの平均は E(X｜B) = 0×(2/3) + 1×(4/15) + 2×(1/15) = 4/15+2/15 = 6/15 = 2/5 です。赤2枚になる確率が 1/15 と小さいため、平均は1枚を大きく下回ります。

全体の平均は E(X) = (1/3)×(16/15) + (2/3)×(2/5) = 16/45+4/15 = 16/45+12/45 = 28/45 です。袋Bの重みが 2/3 と大きいので、全体の平均は袋Aの平均より袋Bの平均に近づきます。

合成した分布でも確かめます。赤0枚の確率は (1/3)×(1/3)+(2/3)×(2/3)=1/9+4/9=5/9 です。赤1枚の確率は (1/3)×(4/15)+(2/3)×(4/15)=4/45+8/45=12/45=4/15 です。赤2枚の確率は (1/3)×(2/5)+(2/3)×(1/15)=2/15+2/45=6/45+2/45=8/45 です。和は 25/45+12/45+8/45=45/45=1 です。この分布の平均は 1×(12/45)+2×(8/45)=12/45+16/45=28/45 となり、経路ごとの平均から求めた値と一致します。

別解として、赤の枚数を二つの「赤なら1」の和として数えます。1回目が赤の確率は (1/3)×(2/3)+(2/3)×(1/3)=2/9+2/9=4/9 です。2回目に赤が出る確率は、2回目を引く場面まで含めて (1/3)×(2/3)×(3/5)+(2/3)×(1/3)×(1/5)=2/15+2/45=6/45+2/45=8/45 です。2回目を引かない場合は0枚と数えるので、平均は 4/9+8/45=20/45+8/45=28/45 です。最初の分岐を経由して2回目の確率を出すところが、この方法の要点です。

発展例題：三つの入荷先を一本の平均に束ねる

6本のくじで入荷先を決めます。3本がX、2本がY、1本がZで、どのくじも同じ確率で引かれます。それぞれの箱には5個の部品が入っていて、Xは良品2個と不良3個、Yは良品3個と不良2個、Zは良品5個と不良0個です。選んだ箱から2個を非復元で取り出します。良品の個数 X の平均を求めるのが、この例題の目標です。三つの分岐の確率は 3/6、2/6、1/6 で、足すと1になります。

三つに分かれても、経路ごとの平均を出して重みを掛ける形は同じです。むしろ、一番平均の高い箱が一番選ばれにくいときに、重みの効果がはっきり出ます。

Xの箱では、5個から2個を選ぶ組合せが10通りです。良品0個は、不良3個から2個を選ぶ C(3,2)=3通りで、確率は 3/10 です。良品1個は、良品2個から1個と不良3個から1個を選ぶ C(2,1)×C(3,1)=6通りで、確率は 6/10 です。良品2個は、良品2個から2個を選ぶ C(2,2)=1通りで、確率は 1/10 です。和は 3/10+6/10+1/10=1 です。平均は E(X｜Xの箱) = 0×(3/10)+1×(6/10)+2×(1/10)=8/10=4/5 です。

Yの箱では、良品0個は不良2個から2個を選ぶ C(2,2)=1通りで、確率は 1/10 です。良品1個は C(3,1)×C(2,1)=6通りで、確率は 6/10 です。良品2個は C(3,2)=3通りで、確率は 3/10 です。和は1になります。平均は E(X｜Yの箱) = 0×(1/10)+1×(6/10)+2×(3/10)=12/10=6/5 です。

Zの箱は5個すべてが良品なので、2個を取り出せば良品は必ず2個です。平均は E(X｜Zの箱) = 2 です。

全体の平均は、三つの平均にそれぞれの確率を掛けて足します。E(X) = (3/6)×(4/5) + (2/6)×(6/5) + (1/6)×2 です。計算すると (1/2)×(4/5)=2/5、(1/3)×(6/5)=2/5、(1/6)×2=1/3 なので、2/5+2/5+1/3 = 12/15+5/15 = 17/15 です。

全列挙でも照合します。どの箱も5個入りなので、順に2個を取り出す方法はどの箱でも 5×4=20通りです。くじ6本と取り出し方の組は 6×20=120通りになり、どの組も同じ確率 1/120 です。Xのくじ3本では、良品2個のそれぞれが残り4個との組で2通りの順に現れるので、1本あたり 2×4×2=16、3本で 48 です。Yのくじ2本では、1本あたり 3×4×2=24、2本で 48 です。Zのくじ1本では、1本あたり 5×4×2=40 です。合計は 48+48+40=136 で、平均は 136/120=17/15 となり、上の値と一致します。

ここで一つ注意があります。箱の大きさが違うと、一つの共通の分母では数えられません。たとえばXが5個、Yが4個、Zが3個なら、順に2個を取り出す方法は20通り、12通り、6通りで違います。そのときは、各箱の平均を出してから重みを掛ける手順を崩さないことが大切です。全体を同じ分母にそろえたいなら、各箱の取り出し方を同じ細かさに分け直す必要があります。

三つを等しい確率 1/3 で平均すると (4/5+6/5+2)/3 = 4/3 になります。正しい 17/15 との差は 4/3-17/15=20/15-17/15=1/5 です。一番平均の高いZは6本のうち1本でしか選ばれないので、等分するとZを実際より重く扱い、全体の平均を大きくしすぎます。

誤答を直す：二つの経路を二等分してしまう

基本例題で、Aの箱の平均 6/5 とBの箱の平均 8/5 を足して2で割り、7/5 と答えた人がいました。途中の計算は正しいのに、最後の一手で分岐の重みが消えています。くじは5本のうち3本がA、2本がBなので、AはBの1.5倍選ばれやすいのです。重みを無視して二等分すると、平均の大きいBを実際より重く扱うことになり、全体の平均は 35/25 に膨らみます。正しい値は 34/25 で、差は 1/25 です。

図3のように、等分した値と重み付きの値を並べると、ずれの向きがわかります。この例では、平均の大きいBがAより選ばれにくいので、等分は全体を高く見積もります。逆に、平均の小さい分岐が選ばれにくければ、等分は全体を低く見積もります。ずれの向きは、平均の大小と重みの大小の組合せで決まります。

直し方は二つあります。一つは、くじの本数をそのまま重みにする方法です。5本のくじを単位にすれば、Aは3/5、Bは2/5で、重みの合計は1になります。もう一つは、全体を同じ細かさの結果に分けて数える方法です。基本例題では100通りに分けました。どちらでも 34/25 になります。

重みを本数のまま使う場合は、最後に全体の本数で割る形にしても同じです。(3×6/5+2×8/5)/5 = (18/5+16/5)/5 = (34/5)/5 = 34/25 です。本数の3と2を足して5で割る操作は、重みを 3/5 と 2/5 に直す操作と同じです。重みを掛けずに足すと 6/5+8/5=14/5 になり、二つの平均を並べただけの値になります。この値を全体の平均と取り違えないよう、最後に重みの合計を確かめます。

練習問題

五問です。本文の例題とは数と場面を変えています。難度も各問に示します。答えは次の節にまとめます。

1. （標準）果物のかごAとBを、それぞれ 1/4、3/4 の確率で選びます。かごAには8個のうちりんごが2個、かごBには6個のうちりんごが4個入っています。選んだかごから3個を非復元で取り出すとき、りんごの個数の平均を求めなさい。

2. （標準）ボタンの箱PとQを、それぞれ 2/5、3/5 の確率で選びます。箱Pには赤いボタンが2個と白が3個、箱Qには赤が4個と白が1個入っています。選んだ箱から1個取り出し、色を記録してから箱に戻す操作を2回行います。赤いボタンの個数の平均を求めなさい。

3. （やや難）二つの倉庫AとBのうち、Aを選ぶ確率を w、Bを選ぶ確率を 1-w とします。0<w<1 です。Aを選んだときの獲得個数の平均は2、Bを選んだときは 3/2 です。全体の平均を 9/5 にする w を求めなさい。

4. （やや難）景品の箱AとBを、それぞれ 3/5、2/5 の確率で選びます。箱Aには5個のうち当たりが2個、箱Bには4個のうち当たりが0個入っています。選んだ箱から2個を非復元で取り出すとき、当たりの個数の平均を求めなさい。また、その値が取り得る範囲に収まっていることを確かめなさい。

5. （難）7本のくじで入荷先を決めます。4本がA、3本がBです。Aの箱には5個のうち良品が2個、Bの箱には5個のうち良品が4個入っています。選んだ箱から2個を非復元で取り出すとき、良品の個数の平均を、140通りの等確率な結果に分けて求めなさい。

練習問題の答えと解き方

1. 答えは 27/16 です。かごAでは、8個から3個を取り出します。1個ずつ見ると、どの位置もりんごである確率は 2/8=1/4 なので、平均は 3×(1/4)=3/4 です。かごBでは、6個から3個を取り出し、各位置でりんごである確率は 4/6=2/3 なので、平均は 3×(2/3)=2 です。全体は (1/4)×(3/4)+(3/4)×2 = 3/16+6/4 = 3/16+24/16 = 27/16 です。重みの和は 1/4+3/4=1 で、値は0以上3以下の範囲に入っています。

2. 答えは 32/25 です。復元なので、1回目と2回目は同じ確率です。1回に赤が出る確率は (2/5)×(2/5)+(3/5)×(4/5) = 4/25+12/25=16/25 です。2回の合計の平均は 2×(16/25)=32/25 です。箱を選ぶ操作が入っているため、二回の色は全体では独立ではありません。それでも和の平均は平均の和になるので、各回の確率を足して2倍する計算が使えます。

3. 答えは w=3/5 です。式は 2w+(3/2)×(1-w)=9/5 です。左辺を整理すると 2w+3/2-(3/2)w = (1/2)w+3/2 になります。これを 9/5 とおくと (1/2)w = 9/5-3/2 = 18/10-15/10 = 3/10 です。両辺を2倍して w=3/5 です。0<3/5<1 なので条件を満たします。確認すると 2×(3/5)+(3/2)×(2/5) = 6/5+3/5 = 9/5 です。

4. 答えは 12/25 です。箱Aでは、5個から2個を取り出すとき、当たりの平均は 2×(2/5)=4/5 です。箱Bには当たりが0個なので、何個取り出しても当たりは0個で、平均は0です。全体は (3/5)×(4/5)+(2/5)×0 = 12/25 です。重みの和は1です。取り出した2個の当たりの個数は0以上2以下の整数なので、その平均も0以上2以下です。12/25 はこの範囲に入っています。箱Aの分布は、0個が 3/10、1個が 6/10、2個が 1/10 で、和は1です。平均は 6/10+2/10=8/10=4/5 となり、上の値と一致します。

5. 答えは 8/7 です。Aのくじ4本では、良品2個のそれぞれが残り4個との組で2通りの順に現れるので、1本あたり 2×4×2=16 です。4本で 4×16=64 です。Bのくじ3本では、良品4個のそれぞれが同じように現れるので、1本あたり 4×4×2=32 です。3本で 3×32=96 です。合計は 64+96=160 で、140通りで割ると 160/140=8/7 です。重みで確かめると (4/7)×(2×2/5)+(3/7)×(2×4/5) = (4/7)×(4/5)+(3/7)×(8/5) = 16/35+24/35 = 40/35 = 8/7 となり、一致します。

覚えておくこと

• 分岐が等確率でなければ、経路の平均をそのまま足さず、分岐の確率を重みとして掛ける。
• 重みの合計が1になることを、足し算の前に確かめる。
• 重みは、本数なら全体の本数で割る形で作る。
• 分岐のあとの分布が違えば、平均を分けてから最後に束ねる。
• 全列挙で確かめるときは、経路ごとの結果が同じ確率か、分母がそろうかを先に見る。

つまずきの見分け方

「平均を二等分した」と答えたら、分岐の確率を式に書かせます。式に w と 1-w が入っているか、足して1になるかを見ます。経路の平均は合っているのに全体が合わないときは、最後の足し算に重みが入っているかを確かめます。

全列挙で合わないときは、経路ごとの結果の個数が同じかを見ます。個数が違うなら、同じ分母で数えた時点で誤りです。復元か非復元かを問題文から拾えているかも確かめます。非復元では、二回目の分母が1減ります。最後に、期待値が取り得る範囲に入っているかを見ます。0個から2個なら、平均は0以上2以下です。

分岐の確率を式に残すことが、二段階の平均を一つの数へ束ねる条件です。