高校受験の理科 力の表し方とばね—作用点と向きをそろえて伸びの比例を使う｜武蔵野個別指導塾

ばね全体の長さから自然長を引き、伸びと力の比例関係を使って、おもりの重力やばねの長さを求めます。

よくあるのは、ばねにおもりをつるした図を見て、ばね全体の長さをそのまま伸びとして比例式に入れてしまう場面です。何もつるしていないときにもばねには長さがあります。増えた部分を取り出してから比べると、数字の意味がはっきりします。力の矢印も、長さを測る位置と同じように、どこから描くかが出発点です。

どんな手がかりを読むか

力とばねの問題には、まず物体にはたらく力を矢印で表す型があります。物体のどこに、どの向きに、どれほどの力がはたらくかを、図の条件から読み取ります。矢印の先の向きが合っていても、始点が違えば、力を受ける場所の表し方が違ってしまいます。

次は、おもりの質量から、問題で与えられた換算条件を使って重力の大きさを求める型です。質量の単位と力の単位は別です。数だけを見て同じものとして扱わず、何を測った値かを添えて計算します。

もう一つは、ばねの長さの表やグラフから伸びと力を対応させる型です。自然長を引き、伸びが力に比例するという条件を確かめてから、既知の組と未知の組を比べます。測定値が比例の範囲外なら、同じ比をそのまま使うことはできません。与えられた範囲の内側かどうかも、計算前の大事な手がかりです。

矢印と伸びの出発点

力を矢印で表すときには、力の三要素である作用点、向き、大きさをそろえます。作用点は力が物体にはたらく点で、矢印の始点にします。矢印の向きは力の向きを示し、矢印の長さは、決められた縮尺に従って力の大きさを示します。例えば紙の上で1 cmを1 Nと決めた場合、2 Nの矢印は2 cmです。縮尺が違う図同士では、矢印の長さだけで力の大小を比べられません。

重力は地球が物体を引く力で、向きは鉛直下向きです。物体にはたらく重力の矢印は、問題で作用点が指定されるときはそこから描き、指定がなければ物体の中心から描いて表します。つり下げたおもりがばねを引く力と、ばねがおもりを引く力では、力を受ける物体が違います。どちらを表す図かを先に確認してください。

質量は物体そのものの量を表し、gやkgで表します。重力の大きさは力なのでNで表します。同じ物体の質量と、それにはたらく重力の大きさを結ぶ換算は、問題文の条件を使います。条件のない数値を勝手に補わないことが、単位の間違いを防ぐ第一歩です。

図1のように、自然長は力を加えていないばねの長さです。伸びは、力を加えた後の全体の長さから自然長を引いた長さです。たとえば自然長が8 cmで、つるした後が11 cmなら、伸びは11 − 8 = 3 cmです。全体の長さ11 cmと伸び3 cmは、同じ定規で測っても表す量が異なります。

一定の範囲では、ばねを引く力が2倍、3倍になると伸びも2倍、3倍になります。この関係を比例といいます。力を横軸、伸びを縦軸にしたグラフなら、比例する範囲の点は原点を通る直線に並びます。縦軸を全体の長さにした場合、力が0のときにも自然長があるので、同じ直線でも原点からは始まりません。

基本例題：長さから力へ

自然長が10 cmのばねにおもりを静かにつるしたところ、ばね全体の長さは14 cmになりました。このときおもりにはたらく重力は2 Nです。このばねの伸びは、ここで扱う力の範囲で、引く力に比例します。ばねが静止しているとき、別のおもりをつるして全体の長さが16 cmになりました。このおもりにはたらく重力の大きさを、小数でNを単位として求めてください。ばねの重さは無視します。

図2のように、まず同じ自然長からの増加分をそれぞれ取り出します。静止しているおもりでは、ばねがおもりを上向きに引く力と重力の大きさが等しいため、ばねを引く力の大きさを重力の大きさとして対応させられます。

最初のおもりによる伸びは、次の通りです。

14 − 10 = 4 cm

次のおもりによる伸びは、次の通りです。

16 − 10 = 6 cm

4 cm伸びるときの力が2 Nです。求める力を x Nとすると、伸びと力の対応から、次の比が成り立ちます。

4 : 6 = 2 : x

4x = 6 × 2

x = 12 ÷ 4 = 3

答えは3 Nです。比の左側を伸び、右側を力と決め、それぞれ最初と次の順に並べました。4と6は全体の長さではなく、自然長から増えた長さです。式の並びが不安なら、伸びが4 cmから6 cmへ1.5倍になったので、力も2 Nから1.5倍になる、と言葉でも確認できます。

答えを場面に戻します。3 Nは2 Nの1.5倍なので、伸びも4 cmの1.5倍の6 cmです。自然長10 cmに加えると16 cmとなり、問題で与えられた長さに戻ります。途中式の正しさだけでなく、最後の長さまで戻すと、自然長を足し忘れた誤りにも気づけます。

条件が変わったときの分かれ道

あるばねの自然長は12 cmです。質量100 gのおもりにはたらく重力の大きさを1 Nとする場所で、質量200 gのおもりを静かにつるすと、ばね全体の長さは18 cmになりました。このばねの伸びは、ここで扱う力の範囲で引く力に比例し、ばねの重さは無視します。質量350 gのおもりをつるして静止させたときのばね全体の長さを、小数でcmを単位として求めてください。

はじめに、質量200 gに対応する重力を求めます。100 gあたり1 Nという条件なので、200 ÷ 100 × 1 = 2 Nです。そのときの伸びは18 − 12 = 6 cmです。次に350 gに対応する重力は、350 ÷ 100 × 1 = 3.5 Nです。

伸びを y cmとすると、6 : y = 2 : 3.5 です。したがって2y = 6 × 3.5 = 21、y = 10.5 cmです。求められたのは伸びなので、自然長を戻して12 + 10.5 = 22.5 cmです。答えは22.5 cmです。

検算では、22.5 cmから自然長12 cmを引き、伸び10.5 cmを取り出します。これは6 cmの1.75倍です。力も3.5 N ÷ 2 N = 1.75倍で一致し、3.5 Nは条件によれば350 gのおもりの重力です。求める量が伸びなら10.5 cmで終わりますが、全体の長さを求める今回は自然長を加えるところまで必要です。

質量をそのまま比べても、この場所で同じ換算条件を使う限り、質量の比と重力の比は等しくなります。ただし重力をNで答える設問では、gの数をNと書き換えることはできません。また別の場所での値が与えられた場合は、その場所の換算条件を読み直します。

間違いの形から直す

基本例題で、14 : 16 = 2 : x として、全体の長さを比例させる誤答を考えます。これでは力が0 Nのときにも10 cmある自然長を、力に応じて増えた部分に含めています。0 Nのときの伸びは0 cmですが、全体の長さは0 cmではありません。比例させる対象の選択がずれています。

図3のように、14 cmと16 cmの双方から10 cmを引いて、4 cmと6 cmに直します。それから4 : 6 = 2 : x と並べれば、対応する量がそろいます。比例式を書く前に「この数字は全体か、伸びか」と余白に書くと、どこを直すべきかを見つけやすくなります。

別の間違いとして、重力の矢印をばねの上端から下向きに描く場合があります。おもりにはたらく重力を表すなら、おもりの中心を始点にします。上端から始めた矢印では、力を受ける場所をおもりとして示せません。問題の指示に作用点があればその点を優先し、矢印の先が下を向いていることと合わせて確かめます。

また、力を2倍にしたとき全体の長さも2倍にする誤りがあります。2倍になるのは比例範囲内の伸びです。自然長をいったん引いて伸びを2倍にし、全体の長さが必要なら最後に自然長を足します。計算の途中で求めた量の名前を書けば、そこで答えを止めるかどうかも判断できます。

比例の表を読むときは、2つの行を横にたどり、同じおもりに対応する力と長さを組にします。次に長さの行から自然長を引いて、伸びの行を書き足します。たとえば力が0 Nの列では、全体の長さが自然長と等しく、伸びは0 cmになるはずです。この列を確かめると、長さと伸びを混同していないか見分けられます。

測定値が示された場合は、数字がきれいな比になると決めつけず、比例すると与えられた範囲や、測定値の扱いについての条件を読みます。比例が成り立つか判断できない表から、範囲外の力に対する長さを決めることはできません。グラフの軸についても、縦軸が伸びなのか全体の長さなのか、単位まで確認します。縦軸の名前を読まずに原点を通る線を描くと、自然長がある図では出発点がずれます。

自分で確かめる4問

次の数値は、この問題のために設定した条件です。各ばねは示された力の範囲で伸びが力に比例し、ばねの重さを無視します。おもりは静かにつるし、静止しています。数値は小数または整数で、指定された単位を付けて答えてください。

1. 自然長9 cmのばねは、1.5 Nの力で全体の長さが12 cmです。2.5 Nの力で引いたときの伸びと全体の長さを、それぞれcmで求めてください。
2. 自然長7 cmのばねに質量150 gのおもりをつるすと全体の長さが13 cmです。100 gのおもりにはたらく重力を1 Nとする場所で、全体の長さが17 cmになるおもりの質量をgで求めてください。
3. 物体の中心にはたらく鉛直下向きの重力が4 Nです。1 cmの矢印を2 Nとして表すとき、矢印の始点、向き、長さを答えてください。
4. 自然長15 cmのばねを0.8 Nの力で引くと全体の長さが19 cmです。全体の長さが21 cmになるときの力をNで求めてください。また、全体の長さをそのまま比例させられない理由を述べてください。

答えとたどり方

1. 最初の伸びは12 − 9 = 3 cmです。2.5 Nは1.5 Nの2.5 ÷ 1.5倍なので、伸びは3 × 2.5 ÷ 1.5 = 5 cmです。全体の長さは9 + 5 = 14 cmです。戻して確かめると、14 − 9 = 5 cmで、力と伸びの比は1.5 : 2.5 = 3 : 5です。

2. 最初の伸びは13 − 7 = 6 cm、求める場面の伸びは17 − 7 = 10 cmです。100 gあたり1 Nなので、150 gにはたらく重力は1.5 Nです。力を x Nとすると、6 : 10 = 1.5 : x、6x = 15、x = 2.5 Nです。質量は2.5 × 100 = 250 gです。250 gに対応する2.5 Nは1.5 Nの5/3倍で、6 cmの伸びも10 cmになります。自然長を足すと17 cmに戻ります。

3. 矢印の始点は物体の中心、向きは鉛直下向き、長さは4 ÷ 2 = 2 cmです。逆に2 cmの矢印が表す大きさは2 × 2 = 4 Nで、指定された重力に戻ります。矢印の長さだけが合っていても、始点や向きが異なれば三要素はそろいません。

4. 0.8 Nのときの伸びは19 − 15 = 4 cm、求める場面の伸びは21 − 15 = 6 cmです。6 cmは4 cmの1.5倍なので、力は0.8 × 1.5 = 1.2 Nです。1.2 Nは0.8 Nの1.5倍で、伸びも4 × 1.5 = 6 cmになり、自然長を足すと21 cmに戻ります。全体の長さには力を加えないときの15 cmが含まれるため、全体の長さと力はこの条件では比例しません。

手元に残す要点

力の矢印は作用点を始点にし、向きと縮尺に合う長さを描きます。
質量と重力を区別し、換算は問題で与えられた条件を使います。
伸びは全体の長さから自然長を引いて求めます。
比例する範囲で伸びと力の対応をそろえ、全体の長さには自然長を戻します。

つまずきを見分けるには

お子さまが答えを間違えたときは、先に式を直すより、図の自然長と伸びを指で示してもらうと、数字の意味を取り違えているか確かめられます。全体の長さは読めるのに伸びを示せない場合は、ばねの上端と下端、力を加える前後の長さを順に比べます。数字を引けても、引いた結果の名前が言えない場合は、式の横に「伸び」と書いてから比例式へ進みます。

個別指導では、力を受ける物体を示してもらい、矢印の始点と向きを説明できるかも確かめます。質量から重力への換算に迷う場合は、条件の100 gと1 Nが何に対応するかを言葉で結びます。答えを出した後、自然長を足して元の場面へ戻せると、式の意味まで確かめられます。ばねの変化は、増えた長さを見つけるところから読み解けます。