大学入試数学 整数解の一意性の示し方—二つの候補の差と範囲から同じ値だと示す｜武蔵野個別指導塾

一つの整数を見つけたあと、二つの候補の差が法の倍数になることと、区間の幅がその倍数より短いことを重ね合わせ、同じ値しか残らないと示すのが一意性です。

よくあるのは、合同式の練習を解き直している高校生が、指定された範囲に合う整数を一つ見つけて「これで全部です」と書き、赤を入れられた答案を前に手が止まる場面です。見つけた数が解であることは、代入すればすぐ確かめられます。ところが、ほかに解がないことは代入では示せません。答案に足りないのは計算の量ではなく、候補が二つあったとしたときの差を調べる一手です。ここでは、その一手を毎回同じ順序で書ける形にします。

一つ見つけたことと、一つしかないことは別

整数解を求める問題は、答えの形で三つに分かれます。範囲を指定されて整数を一つに定める問題、すべての整数解を一般解の形で書く問題、そして解が一つしかないことを示す問題です。どの形でも、答案は存在と一意性という二つの仕事に分けて考えると崩れません。

存在は、一つの例を挙げて代入すれば済みます。たとえば 2x ≡ 4 (mod 6) を満たす x として x = 2 を挙げると、2・2 = 4 で、4 と 4 の差は 0 ですから 6 の倍数です。これで x = 2 が解であることは確定します。しかし x = 5 も解です。2・5 = 10 で、10 と 4 の差は 6、つまり 6 の倍数になります。一つの例を挙げただけでは、ほかの解を排除できません。

一意性は「ほかにない」という否定を含む性質です。否定を示すには、候補が二つあると仮定して矛盾を導くか、二つの候補が同じ値になることを直接示すか、どちらかが必要です。整数の合同式では、後者の差をとると 0 になるという道が短く、答案にも書きやすい形になります。

問われ方も三通りあります。0 以上 11 以下ですべて求めよ、のように範囲が付く問題、整数解をすべて求めよ、と一般解を要求する問題、解がただ一つであることを示せ、と証明を要求する問題です。範囲が付く問題では、範囲の幅と法の大きさの関係が一意性を決めます。この関係を読めるようになると、一つ見つけたあとに何を書けばよいかが決まります。

範囲が付かない問題では、一意性の代わりに差の周期を書きます。二つの解の差が法の倍数になることを示し、一つの解に法の倍数を足した形がすべての解になる、と書く流れです。範囲が付く問題でも、この一般解を先に作ってから範囲で切り取ると、候補の取り落としが減ります。答えの形は問題文が指定しますから、整数で書くのか、法を使った形で書くのか、組で書くのかを最初に確認します。

差と範囲で一意性を作る

合同式の定義から始めます。正の整数 m と整数 a、b について、a ≡ b (mod m) とは、a-b が m の倍数であることを意味します。この定義は、m で割った余りが等しいと言い換えても同じです。ここから、二つの整数 x、y について、x ≡ y (mod m) であることと m が x-y を割り切ることは同値になります。差をとる操作が、合同式を整数の割り算の言葉に戻す役目を持ちます。

いま、a x ≡ b (mod m) を満たす整数 x と y があったとします。二つの式の左辺どうし、右辺どうしを引くと、a x-a y = a(x-y) が m の倍数になります。つまり a(x-y) ≡ 0 (mod m) です。ここで a と m が互いに素であれば、m は x-y を割り切ります。互いに素という条件を確かめてから使うのが要点です。

なぜ互いに素なら m が x-y を割り切るのか、一度は理由を押さえておきます。a と m が互いに素なら、ua + vm = 1 を満たす整数 u、v が存在します。この等式の両辺に x-y を掛けると、x-y = ua(x-y) + vm(x-y) となります。右辺の第一項は m の倍数で、第二項も m の倍数です。したがって x-y 自身が m の倍数になります。

次に範囲です。x と y がどちらも 0 以上 m 未満の整数であれば、差 x-y は -m より大きく m より小さい値をとります。m の倍数でその範囲に入るのは 0 だけですから、x-y = 0、すなわち x = y になります。二つの候補が同じ値になることを、範囲の幅で強制するわけです。

区間の幅は、端の数の差で測ります。0 以上 12 未満なら幅は 12、0 より大きく 63 以下なら幅は 63、2 以上 26 以下なら幅は 24 です。端を含むか含まないかで数え方が変わるように見えますが、二つの候補の差の絶対値がいくつまで許されるかで見れば同じ判定になります。0 以上 12 未満の二数は差が 12 未満、0 より大きく 63 以下の二数も差が 63 未満です。両端を含む 2 以上 26 以下では差が 24 以下になり、24 ちょうどの差も起こり得ます。その 24 が法の倍数かどうかを、そのつど確かめます。

係数と法が互いに素でない場合も、同じ考え方で刻みが決まります。d を a と m の最大公約数とします。a(x-y) が m の倍数であるとき、x-y は m/d の倍数になります。したがって候補は m/d ずつ離れて並びます。0 以上 m 未満の範囲には、d が b を割り切るときちょうど d 個、割り切らないときは 0 個の解が入ります。一意性が成り立つのは d = 1 のときです。

答案の順序も決めておきます。第一に、一つの解を見つけて代入で確かめる。第二に、二つの解を仮定して差をとる。第三に、差が割り切れる刻みを最大公約数から決める。第四に、区間の幅と刻みを比べて候補が一つだと結論する。この四行がそろえば、計算の細部が違っても答案の骨格は同じになります。逆に、第二行を飛ばして第四行だけを書くと、根拠のない断定になります。

図1のように、候補は法の倍数だけ離れて数直線に並びます。区間の幅がその間隔より短ければ、区間に入る候補は一つに絞られます。逆に、幅が間隔以上あれば候補は複数入り得ます。一意性を言う前に、この二つの数を並べて比べる習慣が効きます。

図を式で確かめておきます。法が 12 で、候補の間隔が 12 のとき、0 以上 12 未満の区間には候補が一つだけ入ります。0 以上 24 未満の区間なら二つ入ります。同じ間隔でも、区間の幅を広げれば候補は増えるのです。

誤解の型も三つあります。一つ目は、一組見つけた時点で一意と書いてしまう型です。二つ目は、差をとったあとに最大公約数を確かめず、いつでも法で割り切れると書く型です。三つ目は、範囲の幅を見ずにほかにないと断定する型です。どれも、存在と一意性を分け、差と範囲を一行ずつ書くことで防げます。

基本例題　合同式の解を範囲の中で一つに定める

問題　5x ≡ 3 (mod 12) を満たす整数 x のうち、0 以上 11 以下のものをすべて求めなさい。答えは整数で書きなさい。（標準）

解き方　存在と一意性を分けて書きます。

まず存在です。x = 3 を代入すると、5・3 = 15 で、15-3 = 12 は 12 の倍数です。よって x = 3 は解です。

次に一意性です。x と y を、どちらも 0 以上 11 以下で条件を満たす整数とします。

5x ≡ 3 (mod 12)
5y ≡ 3 (mod 12)
辺々を引くと 5(x-y) ≡ 0 (mod 12)
12 は 5(x-y) を割り切る
5 と 12 は互いに素なので、12 は x-y を割り切る

x も y も 0 以上 11 以下ですから、x-y は -11 以上 11 以下です。この範囲にある 12 の倍数は 0 だけです。したがって x-y = 0、すなわち x = y です。二つの候補は同じ値になり、解は一つに定まります。

答え　x = 3

検算として、0 から 11 までの x について 5x を 12 で割った余りを並べます。x が 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11 のとき、余りは 0、5、10、3、8、1、6、11、4、9、2、7 となります。3 になるのは x = 3 のときだけです。余りが一度ずつ現れるのは、5 と 12 が互いに素だからです。

図2のように、範囲の中の候補を数直線に置くと、条件を満たす位置は一つだけ残ります。図の位置と、代入して得た余りの一覧が一致していることを確かめてください。

別解として、5 の逆数を探す方法もあります。5・5 = 25 で、25-1 = 24 は 12 の倍数ですから、5 に 5 を掛けると 1 になります。両辺に 5 を掛けると x ≡ 15 ≡ 3 (mod 12) となり、0 以上 11 以下の範囲では x = 3 だけです。この別解は 5 と 12 が互いに素だから使えます。係数と法が互いに素でない問題では、逆数が存在しないため、差をとる方法に戻る必要があります。

法が大きくなると、範囲の整数を全部代入して余りを並べる方法は現実的でなくなります。法が 1000 なら候補は 1000 個です。差と範囲の議論は、候補を一つずつ調べずに一意性を言える点に価値があります。ただし、存在を示す部分では具体的な数を一つ見つける必要があります。見つける計算と、ほかにないことを示す計算を、はっきり分けて書いてください。

方針の分かれ目は、範囲の幅と法の大きさです。この問題では幅が 12 で法も 12 ですから、候補の間隔と同じ幅の中に一つだけ入ります。範囲が 0 以上 23 以下に変われば、x = 3 と x = 15 の二つが入ります。

標準例題　法が互いに素な連立合同式

問題　整数 x が x ≡ 2 (mod 7) かつ x ≡ 5 (mod 9) を満たすとき、0 より大きく 63 以下の x をすべて求めなさい。（やや難）

解き方　まず存在を確かめます。一つ目の条件から x = 2 + 7k（k は整数）と書けます。これを二つ目の条件に代入します。

2 + 7k ≡ 5 (mod 9)
7k ≡ 3 (mod 9)
7・4 = 28 ≡ 1 (mod 9) なので両辺に 4 を掛ける
k ≡ 12 ≡ 3 (mod 9)

k = 3 のとき x = 2 + 21 = 23 です。23 を 7 で割ると 3 余り 2、9 で割ると 2 余り 5 で、二つの条件を満たします。よって x = 23 は解です。

次に一意性です。x と y を、どちらも条件を満たす整数とします。x-y は 7 でも 9 でも割り切れます。7 と 9 は互いに素ですから、x-y は 63 で割り切れます。

x ≡ y (mod 7) より 7 は x-y を割り切る
x ≡ y (mod 9) より 9 は x-y を割り切る
7 と 9 は互いに素なので 63 は x-y を割り切る

範囲は 0 より大きく 63 以下です。x も y もこの範囲にあるので、差 x-y は -63 より大きく 63 より小さい値になります。63 の倍数でこの範囲に入るのは 0 だけです。したがって x = y です。

答え　x = 23

一般解も書いておきます。x = 23 + 63t（t は整数）です。t = 0 が範囲内の解で、t = 1 では 86、t = -1 では -40 となり、範囲の外に出ます。範囲の幅が二つの法の積と同じ 63 ですから、区間の端の扱いだけ注意すれば候補は一つです。

別解として、二つ目の条件から x = 5 + 9k と書いて一つ目に代入する道もあります。5 + 9k ≡ 2 (mod 7) より 9k ≡ 4 (mod 7) で、9 を 7 で割った余りは 2 ですから 2k ≡ 4 (mod 7)、k ≡ 2 (mod 7) となります。このとき x = 5 + 18 = 23 で、同じ値に着きます。どちらの道でも、得られた x を両方の式に戻して余りを確かめる行を省かないでください。一般解 x = 23 + 63t を元の二式に代入すると、63t が 7 でも 9 でも割り切れるため、t の値によらず条件が保たれることも確かめられます。

この問題の分かれ目は、二つの法が互いに素かどうかです。互いに素であれば、差は二つの法の最小公倍数で割り切れます。互いに素でない場合は、次の発展例題のように、共通の因数を落としてから刻みを決めます。

発展例題　法と係数が互いに素でない場合

問題　6x ≡ 9 (mod 15) を満たす整数 x について、0 以上 15 未満のものをすべて求めなさい。また、0 以上 5 未満の範囲ではどうなるかを述べなさい。（難）

解き方　係数と法の最大公約数を先に確かめます。6 と 15 の最大公約数は 3 です。左辺の 6 と右辺の 9 はどちらも 3 で割り切れますから、3 をくくり出せます。

6x-9 = 3(2x-3)
15 が 6x-9 を割り切る
⇔ 15 が 3(2x-3) を割り切る
⇔ 5 が 2x-3 を割り切る
2x ≡ 3 (mod 5)
2・3 = 6 ≡ 1 (mod 5) なので両辺に 3 を掛ける
x ≡ 9 ≡ 4 (mod 5)

x は 4 に 5 の倍数を足した形になります。0 以上 15 未満では x = 4、9、14 の三つです。0 以上 5 未満では x = 4 の一つだけです。

一意性を差で確かめます。x と y を解とすると、6(x-y) は 15 の倍数です。15 が 6(x-y) を割り切るとき、5 は x-y を割り切ります。刻みは 5 です。0 以上 15 未満の幅 15 には刻み 5 の候補が三つ入り、0 以上 5 未満の幅 5 には一つだけ入ります。

答え　0 以上 15 未満では x = 4、9、14。0 以上 5 未満では x = 4。

ここでやってはいけない変形があります。6(x-y) が 15 の倍数だからといって、15 が x-y を割り切ると書くことです。6 と 15 は互いに素ではないので、この推論は成り立ちません。正しくは、共通の因数 3 を落として 5 が x-y を割り切ると書きます。差をとったあとに最大公約数を確認する行を、必ず答案に残してください。

一般には、a x ≡ b (mod m) で d を a と m の最大公約数とすると、d が b を割り切るときだけ解があり、その刻みは m/d です。この問題では d = 3、m/d = 5 で、0 以上 15 未満に d = 3 個の解が並びます。一意性が成り立つのは d = 1 のときです。

d が b を割り切らないときは、解が一つもありません。たとえば 6x ≡ 7 (mod 15) では、左辺はいつも 3 の倍数ですが、右辺の 7 は 3 の倍数ではありません。存在しないのに一意性を論じても意味がないので、最初に最大公約数が右辺を割るかを見ます。存在、刻み、範囲の順に確かめるのが、この型の基本です。

誤答を直す　割ったのに法を変えなかった答案

誤答の例です。「3x ≡ 6 (mod 12)。両辺を 3 で割って x ≡ 2 (mod 12)。よって 0 以上 12 未満の解は x = 2 の一つだけ。」

この答案には二つの誤りがあります。一つ目は、3 で割ったのに法を 12 のままにしたことです。3 と 12 の最大公約数は 3 ですから、法も 3 で割って 4 にしなければなりません。二つ目は、一組見つけた時点で一意と決めたことです。差と範囲を確かめる行がありません。

正しくは、まず 3 をくくります。

3x-6 = 3(x-2)
12 が 3(x-2) を割り切る
⇔ 4 が x-2 を割り切る
x ≡ 2 (mod 4)

0 以上 12 未満では x = 2、6、10 の三つです。代入すると、3・6 = 18 で 18-6 = 12、3・10 = 30 で 30-6 = 24 となり、どちらも 12 の倍数です。二つ目と三つ目の解を取り落としていたことになります。

原因は、合同式の両辺を割るときの条件を確認しなかった点にあります。合同式は等式と同じように両辺を割れますが、割った数と法が互いに素でないときは、法も同じ数で割る必要があります。割る前に最大公約数を書き、割ったあとに法が変わったことを書く。この二行があれば、同じ誤りは起きにくくなります。

もう一つのよくある誤りは、範囲の幅を確かめずに一意と書く型です。x ≡ 3 (mod 12) の解を 0 以上 23 以下で求める問題で、x = 3 だけを書くと、x = 15 を取り落とします。幅 24 は間隔 12 の二倍ですから、候補は二つ入ります。範囲の幅と間隔を並べて書く一行が、この型を防ぎます。

図3のように、答案の流れを「一組見つけた」から「差と幅で確かめる」へと入れ替えます。左の箱で止まっていた答案に、右の箱の二行を足すイメージです。

練習問題

次の五問を解きなさい。答えは問題で指定した形で書き、一意性を問われたときは差と範囲の両方を示しなさい。

1. 7x ≡ 5 (mod 9) を満たす整数 x のうち、0 以上 9 未満のものをすべて求めなさい。
2. x ≡ 3 (mod 5) かつ x ≡ 4 (mod 8) を満たす整数 x のうち、0 以上 40 未満のものをすべて求めなさい。
3. 4x ≡ 6 (mod 10) を満たす整数 x のうち、0 以上 10 未満のものをすべて求めなさい。また、解が一つに定まらない理由を差で説明しなさい。
4. x ≡ 5 (mod 12) を満たす整数 x のうち、2 以上 26 以下のものをすべて求めなさい。
5. 5x + 7y = 41 を満たす正整数の組 (x, y) をすべて求めなさい。また、その組が一つしかないことを示しなさい。

練習問題の解答

1. 7 と 9 は互いに素です。7・4 = 28 で、28-1 = 27 は 9 の倍数ですから、7 に 4 を掛けると 1 になります。両辺に 4 を掛けて x ≡ 20 ≡ 2 (mod 9) です。0 以上 9 未満では x = 2 です。差をとると 9 が x-y を割り切り、範囲の幅が 9 ですから、候補は一つに定まります。検算すると 7・2 = 14 で、14-5 = 9 です。

2. 一つ目の条件から x = 3 + 5k と書けます。二つ目に代入すると 3 + 5k ≡ 4 (mod 8)、すなわち 5k ≡ 1 (mod 8) です。5・5 = 25 で、25-1 = 24 は 8 の倍数ですから、k ≡ 5 (mod 8) です。よって x = 3 + 25 = 28 に 40 の倍数を足した形になります。0 以上 40 未満では x = 28 です。28 を 5 で割った余りは 3、8 で割った余りは 4 で、条件に合います。差は 5 と 8 の両方で割り切れ、5 と 8 は互いに素なので 40 で割り切れます。範囲の幅が 40 ですから候補は一つです。

3. 4x-6 = 2(2x-3) です。10 が 4x-6 を割り切ることは、5 が 2x-3 を割り切ることと同じです。2x ≡ 3 (mod 5) で、2・3 = 6 ≡ 1 (mod 5) ですから x ≡ 9 ≡ 4 (mod 5) です。0 以上 10 未満では x = 4、9 の二つです。差をとると 4(x-y) が 10 の倍数で、10 が 4(x-y) を割り切るとき 5 が x-y を割り切ります。刻みは 5 で、幅 10 には二つ入るため、一つには定まりません。検算すると 4・4 = 16 で 16-6 = 10、4・9 = 36 で 36-6 = 30 です。

4. x = 5 + 12t（t は整数）と書けます。2 以上 26 以下になるのは t = 0 と t = 1 で、x = 5、17 です。t = 2 では 29 となり範囲を超えます。差は 12 の倍数で、範囲の幅は 24 ですから、候補は二つ入ります。

5. 5x = 41-7y より 5x ≡ 41 (mod 7)、すなわち 5x ≡ 6 (mod 7) です。5・3 = 15 で、15-1 = 14 は 7 の倍数ですから、x ≡ 18 ≡ 4 (mod 7) です。x = 4 + 7t と書けます。y が正整数なので 7y = 41-5x が 7 以上、すなわち 5x が 34 以下で、x は 6 以下です。また x は 1 以上です。1 以上 6 以下で 4 に 7 の倍数を足した形になるのは x = 4 だけです。このとき y = (41-20)/7 = 3 です。一意性は、もう一つの組 (x’, y’) があるとすると 5(x-x’) = -7(y-y’) となり、7 が 5(x-x’) を割り切り、5 と 7 は互いに素なので 7 が x-x’ を割り切ります。ところが x も x’ も 1 以上 6 以下なので差の絶対値は 5 以下です。よって x = x’、続いて y = y’ として示せます。検算すると 5・4 + 7・3 = 20 + 21 = 41 です。

覚えておくこと

• 存在は代入で示し、一意性は差で示す。
• 二つの候補の差は、係数と法の最大公約数を確かめてから法の倍数と言う。
• 範囲の幅が候補の間隔より短ければ、入る候補は一つ。
• 合同式の両辺を割ったら、割った数と法の最大公約数で法も割る。
• 解の個数は、最大公約数が割り切るかどうかで 0 個、1 個、複数個に分かれる。

つまずきの見分け方

答案を見るときは、「よって解は一つ」と書いた行の直前に何があるかを見ます。差の式と範囲の幅が並んでいれば、一意性の議論は成立しています。差の式だけがあって最大公約数の確認がなければ、互いに素でない問題で崩れます。範囲の記述がなければ、幅の比較が抜けています。

指導の場では、答えを一つ書いた時点で一度手を止め、もう一つの候補を自分で作らせると、差の意味が見えやすくなります。作った候補の差が法の倍数になることを確かめ、その倍数が範囲の幅より大きいことを言えば、答案は自然に完成します。計算の練習を増やすより、この二行を書く練習を重ねるほうが、整数解の答案は安定します。