大学入試数学 重複して数える倍率—対応先ごとの重複数を調べ一律に割れない数え方を直す｜武蔵野個別指導塾

先に選ぶペアの条件によって同じ班に至る回数が変わる例から、一律に割る前の重複数を点検する方法を考えます。鍵は完成物ごとの重複倍率。

よくあるのは、高校生がペアを選んでから班を作る方法で、同じ班がいつも同じ回数だけ数えられると決めてしまう場面です。先に選んだペアを完成後は記録しないなら、選び方が違っても完成した班は同じことがあります。ただし、班の中で最初のペアにできる組が何組あるかは、その班の顔ぶれとペアの条件で変わります。

問いには、手順の総数から班の数を求める型、割り算が成立する理由を説明する型、成立しない計算を修正する型があります。どの場合も、まず何を同じ完成物とみなすかを決めます。ここでは人を区別し、班の中の順序やペアを選んだ順序は区別しません。別途指定があるときはその条件に従います。

完成物から手順を逆にたどる

手順とは、最初に何を選び、その後に何を加えたかまで記録したものです。完成物とは、最後に残す情報だけで表したものです。たとえば班の名簿だけが完成物なら、最初に選んだペアが異なる2つの手順は、同じ名簿にまとまることがあります。

図1のように、完成物の側から、それを作る手順を並べてみます。図のAには3手順、Bには1手順が対応しています。手順はそれぞれ1つの完成物に行き着くので、手順の総数は3 + 1 = 4です。しかし完成物は2個であり、4を3で割っても答えにはなりません。

図1のAとBは完成物を表す記号で、線の左端は互いに異なる手順です。Aの重複数とBの重複数が違う点が重要です。完成物を1個決めたとき、それを生む手順の個数を、ここではその完成物の重複数と呼びます。

完成物が全部でN個あり、それぞれの重複数が同じ正の整数rなら、手順の総数はN・rです。各手順はただ1つの完成物に対応し、完成物ごとに集めた手順の集まりは重ならず、全手順を含むからです。この場合に限って、その一定値rを根拠として総数をrで割れます。完成物によって重複数が違えば、まず同じ重複数の種類ごとに分けて足します。

重複数が0の完成物にも注意が必要です。問題が求める完成物の中に、採用した手順では作れないものがあれば、それは手順の総数に現れません。手順を割る前に、求める完成物をその方法で作れるかも確かめます。逆に、手順の途中で条件に合わない完成物が生じるなら、その手順を除く必要があります。

基本例題：印のある人を含む班

【基本・標準】A、B、C、Dの4人は区別します。AとBには印があり、CとDには印がありません。印のある人をちょうど1人含むペアを先に選び、残りの2人のうち1人を加えて3人の班を作ります。最初のペアを記録しないとき、できる班の種類を整数で求め、手順の総数を一律に2で割れるか説明してください。

印のある人1人と印のない人1人からなる最初のペアは、2・2 = 4組です。各ペアに残りの2人のどちらかを加えるので、手順は4・2 = 8通りです。ここで8を2で割る前に、図2のように完成した班ごとに手順を集めます。

図2では、班ABCならABは印が2人なので最初のペアにできず、ACとBCが使えます。同様に、ABDにはADとBD、ACDにはACとAD、BCDにはBCとBDが対応します。4種類の班それぞれに2手順ずつ対応するため、班の種類は次のように求まります。

手順の総数 = 2・2・2 = 8
各班の重複数 = 2
班の種類 = 8/2 = 4

この割り算の理由は、班の中の条件に合うペアが常に2組あることです。班に印のある人が2人なら、そのどちらかと印のない1人を組ませます。印のある人が1人なら、その人と印のない2人のどちらかを組ませます。4人中の3人なので、これ以外の印の人数はありません。

別の数え方では、3人班は4人のうち1人を外して作ります。外す人は4通りで、各班には印のある人とない人がともに含まれるため、いずれも作れます。2つの数え方が4で一致します。班の一覧を元の条件に戻すと、各行に許されたペアが2組ずつあり、手順の合計も8に戻ります。

標準例題：一定にならない理由を分類する

【標準・やや難】印のある人3人と印のない人2人の計5人は区別します。印のある人とない人を1人ずつ選んでペアとし、残りの3人から1人を加えて3人班を作ります。班の名簿のみを記録するとき、班の種類と、重複数ごとの班の種類をそれぞれ整数で求めてください。

手順は、最初のペアが3・2 = 6組、加える人が3通りなので18通りです。一方、3人班の印のある人数を考えると、印が1人の班と2人の班が作れます。印が3人の班は、最初のペアに印のない人が必要なので作れません。

以下、C(n,k)は区別できるn個から順序を考えずk個を選ぶ組合せの数です。印が1人の班では、印のない2人が両方入り、最初のペアは印のある1人とその2人のどちらかです。したがって重複数は2、班はC(3,1)・C(2,2) = 3種類です。

印が2人の班では、印のある2人のどちらかと印のない1人を最初のペアにします。重複数は同じく2、班はC(3,2)・C(2,1) = 6種類です。よって作れる班は3 + 6 = 9種類で、今回は18/2 = 9も成立します。印が3人の班を含めた全3人班10種類とは異なる点を押さえます。

この例は、集団全体の印の人数が違っても、3人班の中で両種類の人が存在する限り、条件に合うペアは2組になることを示します。重複数の一定性は、全体の対称性を想像して判断するのではなく、完成した班の内部で選べるペアを数えて証明します。逆に班を直接選ぶ別解では、印の人数で分けて3 + 6 = 9と数えられます。どちらの方法でも、作れない印3人の班を除く必要があります。

発展例題：4人班では倍率が変わる

【発展・難】印のある人3人と印のない人3人の計6人は区別します。印のある人とない人を1人ずつ選んでペアとし、残る4人から順序を考えず2人を加えて4人班を作ります。最初のペアを記録しないとき、作れる班の種類を整数で求め、手順の総数から一律に4で割る方法の適否を説明してください。

最初のペアは3・3 = 9組、加える2人はC(4,2) = 6組なので、手順の総数は54通りです。完成した4人班の印のある人数をa人とすると、印のない人数は4 − a人です。各種類は最大3人なので、aは1、2、3のいずれかです。班の中で最初のペアに使える組は、印のある人とない人をそれぞれ選ぶためa(4 − a)組です。

印1人: C(3,1)・C(3,3) = 3種類、重複数 1・3 = 3
印2人: C(3,2)・C(3,2) = 9種類、重複数 2・2 = 4
印3人: C(3,3)・C(3,1) = 3種類、重複数 3・1 = 3
班の総数 = 3 + 9 + 3 = 15
手順の総数 = 3・3 + 9・4 + 3・3 = 54

班の種類ごとに3回または4回数えているため、54/4は班の数ではありません。実際、54/4は整数にもなりません。ただし、割った結果が整数であることも一定倍率の証明にはならないので、整数かどうかだけで判断しないでください。

別解として、6人から4人を選ぶとC(6,4) = 15種類です。片方の種類は3人しかいないため、どの4人班も両種類を含みます。したがって、どの班でも異なる種類の2人を最初のペアに選べます。この直接法は15を与え、逆向きに数えた手順も54に戻るので、求める範囲と重複数の両方を確認できます。

一般に、完成した班に2種類の人がそれぞれu人、v人いるとき、異なる種類から1人ずつ選ぶペアはu・v組です。uとvは0以上の整数で、uまたはvが0なら、この手順では班を作れません。班の人数u + vが固定されても、積u・vは一定とは限りません。各組を選んだ後に残りの班員をまとめて加える手順なら、1組につき元の手順はちょうど1通りです。追加する人にも順序を記録する手順なら、重複数はさらに変わります。

誤答を完成物に戻して直す

発展例題で「最初のペアは4人班の中に4組あるから、54/4で求める」と考えたとします。4は印のある人が2人、ない人が2人の班には正しい値ですが、3人と1人の班には当てはまりません。図3は印のある人を左、ない人を右に置き、選べるペアの本数を比べています。

図3の左は1人と3人の組合せなので3組、右は2人と2人なので4組です。誤りを直すには、完成物の種類を人数の内訳で分け、各内訳の班数にその重複数を掛けて手順の総数に戻します。求めたい班数は重複数を掛ける前の3 + 9 + 3です。

もう一つの誤りは、最初のペアの人数2で常に割ることです。割る数はペアの人数ではなく、完成した班の中で最初のペアに選べた組の数です。さらに、班の人数をそのまま割る数にする根拠もありません。選ぶ対象が人なのか、ペアなのか、完成物なのかを言葉で区別すると、式の意味を追いやすくなります。

また、作れない班をうっかり完成物の総数に加える失敗もあります。先の標準例題で印のある3人だけの班には、指定されたペアが存在しません。その班の重複数は0であり、手順の総数からは読み取れません。手順が数える範囲と問題が求める範囲を照らし合わせる作業は、割り算の正しさとは別に必要です。

練習問題

いずれも人物や札はそれぞれ区別し、選ぶ順序は記録しません。答えは種類または手順の数を整数で示してください。

1. 【標準】赤札2枚と青札3枚から、赤1枚と青1枚を先に選び、残りから1枚を加えて3枚組を作ります。先の2枚を記録しないとき、作れる3枚組は何種類ですか。
2. 【標準】5人から2人を先に選び、残りから1人を加えて3人の係を作ります。先の2人を記録しないとき、係は何種類ですか。1つの係の重複数も求めてください。
3. 【やや難】赤札2枚と青札4枚から、赤1枚と青1枚を先に選び、残りから2枚を同時に加えて4枚組を作ります。作れる組の種類と、それぞれの重複数を赤札の枚数ごとに求めてください。
4. 【やや難】6人から3人の班を選び、班の中から代表を1人選びます。代表も記録する完成物は何種類ですか。代表を記録しない班なら重複数はいくつですか。
5. 【難】印付きの人4人と印なしの人2人から4人班を選びます。印付きの人2人を先に選び、残りから2人を同時に加える手順で作れる班の種類を求め、印付き人数ごとの重複数を示してください。

練習の解答

1. 最初のペアは2・3 = 6組、追加は3通りなので18手順です。作れる3枚組は赤1枚と青2枚、または赤2枚と青1枚です。どちらも先のペアは2組あるため、18/2 = 9種類です。直接数えると2・C(3,2) + C(2,2)・3 = 6 + 3 = 9で、各種類を2回ずつ数えると18手順に戻ります。

2. 先に選ぶ2人はC(5,2) = 10組、追加は3通りなので30手順です。完成した3人のうち、先に選べる2人はC(3,2) = 3組です。したがって重複数は3、係は30/3 = 10種類です。直接選んだC(5,3) = 10とも一致し、各係から3手順を復元すると30になります。

3. 先のペアは2・4 = 8組、残り4枚からの追加はC(4,2) = 6組で、48手順です。赤1枚の組は2・C(4,3) = 8種類で、先のペアは1・3 = 3組です。赤2枚の組はC(2,2)・C(4,2) = 6種類で、先のペアは2・2 = 4組です。合計14種類で、8・3 + 6・4 = 48手順に戻ります。赤0枚の組は作れず、赤3枚以上は存在しません。

4. 班はC(6,3) = 20種類、各班から代表を3通りに選ぶので、代表も記録する完成物は20・3 = 60種類です。代表を記録しなければ各班に3手順が対応し、重複数は3です。先に代表を選ぶ別の数え方でも6・C(5,2) = 60となります。60の手順を班ごとに3つずつまとめると20班に戻ります。

5. 班の印付き人数は2、3、4人です。それぞれの班数はC(4,2)・C(2,2) = 6、C(4,3)・C(2,1) = 8、C(4,4) = 1です。よって班は6 + 8 + 1 = 15種類です。先の2人を班内の印付きの人から選ぶので、重複数は順にC(2,2) = 1、C(3,2) = 3、C(4,2) = 6です。手順の総数は6・1 + 8・3 + 1・6 = 36で、先に印付き2人を選んで残り4人から2人を加えるC(4,2)・C(4,2) = 36とも一致します。印付き1人以下の班には、最初の2人を選べません。

覚えておくこと

• 完成物に残す情報を先に決めます。
• 各手順がどの完成物に対応するかを確かめます。
• 完成物から逆にたどり、手順の個数を数えます。
• 重複数が一定の正の数なら、その数で割れます。
• 重複数が異なる場合や0の場合は、種類を分けて扱います。

手が止まったときの確かめ方

式に割り算を書いたところで止まったら、具体的な完成物を2つ作り、それぞれについて先の選択を全部書き出します。2つで重複数が異なれば一定倍率ではありません。同じでも、それだけでは証明にならないので、完成物の内訳を網羅して理由を調べます。

個別指導で答案を確かめるときは、どこまでが手順の記録で、何を完成物として残すかを本人の言葉で説明してもらいます。そのうえで、作れない完成物がないか、各手順が重複なくどこかに入るかを点検します。完成した班から選び直せるペアの数が、割り算の根拠を決めます。