大学入試数学 数え上げの方針—複数の制約から分類の基準を選び二通りの数え方を照合する｜武蔵野個別指導塾

展示する本の隣接と端の制約を、直接分類・余事象・位置固定で比べ、枝の数から選ぶ数え上げの方針。

よくあるのは、高校生が図書の展示順を考えるとき、隣り合う条件と端に置く条件のどちらを先に決めるか選べないという場面です。例えば、指定した2冊を離し、別の1冊を端に置かない並びを問われることがあります。また、指定した2冊が隣り合い、さらに別の1冊が端に来る並びを問うこともあります。同じ「並べる」問題でも、最初に切る枝によって計算の長さが変わります。

数え上げの方針は、公式を選ぶ前に完成した並びをどう分けるかという判断です。ここでは区別できるものを一列に並べる有限の問題を扱い、直接分類、条件を満たさない並びを引く方法、位置を固定する方法を比較します。一般的な公式の見渡しではなく、複数の条件に合わせて枝を選び、別の数え方と照合するところまで進みます。

枝を作る前に完成物を決める

数える対象を「左から右への完成した並び」とします。本は題名で区別し、左右を入れ替えた並びも別です。順に選ぶ手順が違っても完成した並びが同じなら1通りと数えます。まずこの約束を置くと、途中の選び方を何回掛けてよいか判断できます。

図1のように、条件を満たす並びを先頭の条件で分けるときは、各完成物がどの枝にも入らないことがなく、2本の枝に同時に入ることもないようにします。前者が網羅、後者が排反です。各枝の個数を足せる理由は、この2つにあります。

図1の左右の枝は、指定の本Aが端にあるかないかで分けています。端は左と右の2か所ですが、「左端」と「右端」もさらに排反な枝です。一方、「Aが端」と「Bが端」をそのまま足すと、両方が端にある並びを2回数えます。枝の名前だけでなく、1つの完成物を枝に戻して検査してください。

直接分類は、満たすべき条件をそのまま作る方法です。余事象は、まず決めた全体から条件を満たさないものを引きます。全体と引く対象を同じ完成物の集まりとして定めることが必要です。位置固定は、位置によって残る選択肢が変わるときに、その位置を先に決めます。どの方法も、数える対象が同じなら答えは一致します。

例えば隣接を避ける条件は、隣接する違反をひとかたまりにすると短く数えられることがあります。ただし、別の本の端の制限があるなら、かたまりを置く位置によって残りの場所が変わります。先に端の条件を満たす全体を作ってから違反を引くか、制限のある本の位置を先に固定するかを比べます。

以下では、異なるn個を一列に並べる数をn!と書きます。nは0以上の整数で、0!は1です。0個を並べる方法を1通りとすることで、残りが空の枝も計算できます。積の法則を使う際には、各段階の選択が完成物を一意に決め、異なる選択が異なる完成物になることを確かめます。

基本例題：端を先に決めて違反を引く

基本例題（標準）。異なる5冊A、B、C、D、Eを左から一列に並べます。Cを端に置かず、AとBを隣り合わせない並びは何通りですか。答えは整数で示してください。

Cは中央の3位置のいずれかです。図2のように位置ごとに見ると、AとBが入れる隣接位置の組は、Cが端から2番目または4番目なら2組、中央なら2組です。各組でAとBの左右は2通り、残り2冊は2!通りです。

図2ではCを除いた隣接位置を線で示しています。Cを固定すると全体は毎回4!通りですから、条件を満たす数は次の通りです。

Cが端でない全体 = 3・4! = 72
AとBが隣接する違反 = 3・2・2・2! = 24
求める数 = 72 - 24 = 48

違反の24通りは、Cが中央の3位置にある並びの中で数えています。Cが端にある並びをここで引くと、全体の外から引くことになりませんか。全体の条件を引く側にも持ち込むことが、余事象の分母に当たる集まりを守る要点です。

別解ではAとBの位置を直接選びます。5位置から隣接しない2位置を選ぶと6組です。そのうち両端の組ではCを置ける中央位置が3か所、片端と中央の組は4組で各2か所、中央同士の組は1組で1か所です。AとBの入れ替えは2通り、残りのDとEは2!通りなので、(3 + 4・2 + 1)・2・2! = 48通りです。位置の6組は(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,4)、(2,5)、(3,5)と列挙できます。

直接法には位置の種類を3つに分ける手間があります。余事象ではCの位置が3枝ですが、各枝の違反数が同じです。枝の本数だけでなく、枝の中で残る選択肢を数えやすいかまで比べると、余事象を選ぶ理由が説明できます。

標準例題：固定する位置で枝の重さを見る

標準例題（やや難）。異なる6枚の札A、B、C、D、E、Fを一列に並べます。AとBが隣り合い、Cが端にある並びは何通りですか。答えは整数で示してください。

Cを左端に固定すると、AとBが入る隣接位置の組は残る5位置の中に4組あります。右端に固定しても4組です。各組でAとBの順は2通り、残り3枚の順は3!通りです。

Cの位置 = 2通り
AとBの位置と順 = 4・2通り
残りの札の順 = 3!通り
求める数 = 2・4・2・3! = 96

別解はAとBを1つのかたまりと考えます。かたまりの内部はABとBAの2通りです。Cを端に固定した後、かたまりと他の3枚の計4個を並べるので、2・2・4! = 96通りです。かたまりを展開すると元の並びが1つに決まり、元の並びからもかたまりの位置と内部の順を一意に戻せます。

Cを先に固定しない場合、かたまり自体が端にあるかどうかでCに使える端の数が変わります。5個の中でかたまりが端なら2位置、Cは反対側の1位置です。かたまりが端でなければ3位置、Cは2位置から選べます。よって (2・1 + 3・2)・2・3! = 96通りです。どちらの固定でも正しいものの、Cを先に決めた方が位置による場合分けを省けます。

発展例題：直接分類と余事象を同じ全体に合わせる

発展例題（難）。異なる7冊A、B、C、D、E、F、Gを一列に並べます。Cを端に置かず、AとBも隣り合わず、DとEも隣り合わない並びは何通りですか。答えは整数で示してください。

Cを端に置かない全体を先に作り、2種類の隣接違反を引きます。ただし、両方の違反が同時に起きた並びは2回引かれます。全体からちょうど1回除くため、重なりを1回戻します。これは重なりのある違反を別々に引くときの補正です。

Cが端でない全体 = 5・6! = 3600
AとBが隣接する違反 = 2・(6! - 2・5!) = 960
DとEが隣接する違反 = 960
両方が隣接する違反 = 2・2・(5! - 2・4!) = 288
求める数 = 3600 - 960 - 960 + 288 = 1968

1種類の違反では、隣接する2冊をかたまりにすると計6個です。そのうちCが端にある2・5!通りを6!から除き、かたまり内部の順を2倍します。両方の違反では2つのかたまりとC、F、Gの計5個を並べ、同じようにCが端にあるものを除きます。2つのかたまりの内部の順はそれぞれ2通りです。

別解として、Cの位置を固定した後に2種類の違反を除きます。残る6位置にある隣接位置の組は、Cが端でないので常に4組です。片方の違反は各C位置で4・2・4! = 192通りです。両方の違反は、重ならない隣接位置の組を2つ選び、どちらにABを置くかを決めます。Cが端から2番目または6番目なら組の選び方は3通り、3番目または5番目なら4通り、中央なら4通りです。合計は18通りで、各選択に2・2・2・2!を掛けると288通りです。

この直接的な位置の調査は、違反が2種類とも起きる枝の形を目で確認できます。一方、位置の組が重なれば同じ場所に4冊を置けず、その枝は作れません。かたまり法は短く、位置固定法はどの枝が消えるかを明示します。2つの方法の一致は計算の点検になりますが、一般に正しい理由はそれぞれの対応と重複補正にあります。

引きすぎた並びを戻す

誤答の例として、発展例題で3600 − 960 − 960 = 1680通りとする計算を考えます。図3のように、両方の違反が起きる並びは最初に1回数えられ、2回引かれるため、結果の中でマイナス1回になっています。該当する288通りを1回足すと、条件を満たさない並びの寄与が0になります。

図3の計算は、違反が0個、1個、2個のそれぞれについて寄与を調べる方法でも確かめられます。違反0個は1回残り、違反1個は1 − 1 = 0回、違反2個は1 − 2 + 1 = 0回です。違反を引くこと自体が悪いのではなく、同じ完成物を引く回数が揃っていないのが原因です。

別の失敗は、かたまりを作った後にCの端の位置を元の7位置のまま数えることです。かたまりは2位置を占めるので、縮めた列では対象の個数が減ります。縮めた列でCが端にあることと、元の列でCが端にあることは一致しますが、端を固定した後の残りの個数は縮めた列で数えなければなりません。縮める前と後の対応を1つ書き出すと、この混同を見分けられます。

また、計算途中に選択肢が0個になる枝は、条件を緩めて続けず0通りとして残します。例えば空いている位置が離れていなければ、そこへ隣接しない2冊を置くことはできません。完成物に戻せない枝を捨て、完成物に戻せる枝は重複なく残すのが点検の基準です。

練習問題

いずれも登場するものは区別でき、左から右への順が異なれば別の並びです。答えは通り数を整数で示し、別の数え方でも確かめてください。

1. （標準）異なる4個の石P、Q、R、Sを一列に置きます。PとQが隣り合わない置き方は何通りですか。
2. （標準）異なる5枚の写真P、Q、R、S、Tを一列に置きます。Pを端に置かず、Qを左端に置く方法は何通りですか。
3. （やや難）異なる6個の標本P、Q、R、S、T、Uを一列に置きます。PとQが隣り合い、Rが端にない方法は何通りですか。
4. （やや難）異なる5枚の絵札P、Q、R、S、Tを一列に置きます。PとQが隣り合わず、Rが左端にない方法は何通りですか。
5. （難）異なる6個の積み木P、Q、R、S、T、Uを一列に置きます。PとQが隣り合わず、RとSも隣り合わない方法は何通りですか。

練習の解答

1. 全体は4! = 24通りです。PとQをかたまりにすると隣接するものは2・3! = 12通りです。したがって24 − 12 = 12通りです。直接にはPとQの位置の組は(1,3)、(1,4)、(2,4)の3組で、順2通りと残り2!通りを掛けても12通りです。各位置の組は離れているので元の条件へ戻ります。

2. Qを左端に置くと、Pは2番目から4番目の3位置です。残り3枚を並べて3・3! = 18通りです。別にQを左端に置いた4!通りから、Pが右端の3!通りを引いても18通りです。Pが左端の枝はQと同じ位置になるため0通りで、引く対象に加えません。

3. PとQをかたまりにした全体は2・5! = 240通りです。そのうちRが端のものは、Rの端2通り、残り4個の順4!通り、かたまり内部2通りで96通りです。答えは240 − 96 = 144通りです。直接Rを2番目から5番目に固定すると、残る位置の隣接組は各3組です。4・3・2・3! = 144通りで、Rが端にないことと隣接の両方を満たします。

4. 全体からPとQの隣接を除くと5! − 2・4! = 72通りです。ここからRが左端のものを引きます。残る4位置でPとQが隣接しない並びは4! − 2・3! = 12通りなので、72 − 12 = 60通りです。別にRを左端以外に固定すると、2番目から4番目では各16通り、右端では12通りです。3・16 + 12 = 60通りで、Rが左端の枝は含まれません。

5. 全体は6! = 720通りです。PとQの隣接は2・5! = 240通り、RとSの隣接も240通りです。両方の隣接は2つのかたまりと残り2個を並べるので2・2・4! = 96通りです。したがって720 − 240 − 240 + 96 = 336通りです。別にPとQの位置を離して固定します。位置の組は10組で、残る4位置の隣接組の総数は12組です。PとQの順を2通りとし、残り4個の順24通りからRとSの隣接を各組につき2・2!通り除くと、2・(10・24 − 12・4) = 336通りです。2組の隣接を同時に含むものは除かれ、どちらも離れた完成物が残ります。

覚えておくこと

• 完成物を決め、分類が排反かつ網羅的か確かめます。
• 直接作る枝と、全体から違反を引く枝の数えやすさを比べます。
• 位置固定後は、残る選択肢が位置によって変わるか調べます。
• 重なる違反を別々に引いたら、重なりの寄与を補正します。
• 別の方法の答えを完成物へ戻し、重複と漏れを点検します。

どこで止まったかを見分ける

最初の式が書けないときは、完成した並びを1つ作り、どの条件を満たすかを順に印を付けます。式は書けても答えが合わないときは、その並びが式の中で何回足され何回引かれたかを追います。両者では直す場所が異なります。

個別に考え方を確かめる場では、まず分類の枝を言葉で説明し、次に各枝の位置と残りの並べ方を示します。違反が重なる具体例も1つ置くと、補正の必要を自分の式に結びつけられます。完成物を1回ずつ数えるという基準が、数え上げの方針を選ぶ支えです。