大学入試数学 条件つき確率と知らせ方—結果を伝える規則を明記して観測後の分母を決め直す｜武蔵野個別指導塾

2枚の札から赤を伝える規則を変え、報告後の分母に残る経路とその重みを条件つき確率で追います。

よくあるのは、高校生が2枚中の1枚の印を聞いて、報告規則を考えずにもう1枚の印を推測する場面です。赤と聞いたとき、赤を含む組を等しく扱いたくなります。しかし、赤を含む組から必ず赤を知らせる場合と、2枚から無作為に1枚を知らせる場合では、その知らせが届く経路の重みが違います。

問いには、報告後のもう1枚の確率を求める型、異なる報告規則の答えを比較する型、報告されやすさから規則を逆算する型があります。いずれも札の取り方と報告の仕方を先に決めてから、観測によって分母を絞ります。札は区別できるものとし、以下の設定と数値はすべて自作です。

報告までを1つの試行にする

事象A、Bについて、P(B)が正のとき、条件つき確率はP(A｜B) = P(AとBがともに起こる)/P(B)です。分母は観測Bが起きる確率、分子は観測Bと知りたい事象Aが両方起きる確率です。P(B) = 0ならこの比は定義できません。観測が不可能な規則のまま、分子と分母を約分して答えを作ることはできません。

図1のように、最初に2枚を取り、その後に報告する札を選びます。取り出した組が同じでも、報告の選択肢が複数あれば経路を分けます。それぞれの経路の重みは、組が選ばれる確率と、その組のもとで報告が選ばれる条件つき確率の積です。

図1では、抽出後の報告に至る矢印が、観測の起こりやすさを表します。赤2枚の組と赤1枚の組は、赤を報告する確率が同じとは限りません。組だけを一覧にして同じ重みで数える方法は、各組が等確率で、しかも各組からその報告が起きる確率が等しい場合に限って使えます。

例えば赤2枚の組からは必ず赤、赤と青の組からは半分の確率で赤を知らせるとします。赤の報告を受けると、赤2枚の組は赤青の組の2倍の割合で残ります。組を残すか捨てるかだけでなく、残した組の重みがどれだけ変わるかが重要です。

札を戻さずに2枚取るので、2枚目の内訳は1枚目に依存します。一方、2枚を同時に取るなら、区別した札の組が等確率になると設定できます。どちらの記述でも同じ抽出を表せますが、以下では組を用いて報告の分岐を加えます。報告する人は2枚の印を見られ、問題に明記した規則に従うものとします。

基本例題：報告する札を無作為に選ぶ

【基本・標準】赤札R1、R2と青札B1、B2の計4枚から、2枚を同時に等確率で取り出します。取り出した2枚から1枚を等確率で選び、その印を知らせます。赤と知らされたとき、知らせなかった札も赤である確率を分数で求めてください。

2枚の組は6通りで、それぞれの確率は1/6です。図2のように、赤赤の1組では赤の報告が確実で、赤青の4組ではそれぞれ1/2の確率で赤を報告します。青青の1組から赤の報告は起こりません。

図2の重みを足すと、赤の報告を受ける確率は次のようになります。

P(赤の報告) = 1/6 + 4・(1/6)・(1/2)
= 1/2

報告されなかった札も赤となるには、赤赤の組を取ればよく、そのとき赤の報告も必ず起こります。したがって分子は1/6です。

P(残りも赤｜赤の報告) = (1/6)/(1/2)
= 1/3

別の見方として、報告札を先、残りを後に並べると、異なる札の順序つきの組は12通りで等確率です。報告札が赤の経路は2・3 = 6通り、そのうち残りも赤の経路は2通りなので、同じ1/3を得ます。2通りの見方は、同じ抽出と同じ報告規則を表しています。

分母の1/2は正です。赤の報告の6経路のうち、残りが青の4経路と赤の2経路を合わせると6経路に戻ります。答えは0以上1以下で、報告を受けた状況の全経路に対して過不足なく分類されています。

標準例題：赤があれば優先して知らせる

【標準・やや難】赤札3枚と青札2枚はそれぞれ区別できます。計5枚から2枚を同時に等確率で取り、赤札があれば必ず赤を知らせます。赤札がなければ青を知らせます。赤と知らされたとき、もう1枚も赤である確率を分数で求めてください。赤が2枚のときは、どちらを知らせても印は同じです。

2枚の組は10通りです。赤赤は3通り、赤青は6通り、青青は1通りです。ここでは赤赤と赤青のどちらからも必ず赤を知らせるため、赤の報告の分母に残る組は9通りで、それらは等確率です。

P(赤の報告) = (3 + 6)/10 = 9/10
P(赤赤かつ赤の報告) = 3/10
P(もう1枚も赤｜赤の報告) = (3/10)/(9/10) = 1/3

別解では、赤が報告されないのは青青の1組なので、分母を1 − 1/10 = 9/10と求められます。分子は赤赤の3組です。赤青の6組と赤赤の3組を合わせて9組となり、残りの青青1組を加えると元の10組に戻ります。

基本例題では赤青の組が半分の重みで残り、この例では全部残ります。たまたま答えがともに1/3でも、抽出する札の構成も規則も違うため、答えの一致から規則の違いが無関係とは言えません。同じ構成で規則を変えると何が起きるかを、次の誤答の節で比べます。

発展例題：知らせ方の偏りを逆算する

【発展・難】赤札2枚と青札2枚は区別できます。計4枚から2枚を同時に等確率で取ります。赤赤なら赤、青青なら青を知らせ、赤青なら確率pで赤、確率1 − pで青を知らせます。0 ≤ p ≤ 1です。赤と知らされたとき、残りも赤である確率が1/2となるpを求め、分数で答えてください。

赤赤は1組、赤青は4組、青青は1組です。赤の報告の確率と、その中で残りも赤の確率の分子を作ります。

P(赤の報告) = 1/6 + 4・(1/6)・p = (1 + 4p)/6
P(残りも赤かつ赤の報告) = 1/6
P(残りも赤｜赤の報告) = 1/(1 + 4p)

分母の1 + 4pは、指定された範囲で1以上なので0になりません。条件を式に戻します。

1/(1 + 4p) = 1/2
1 + 4p = 2
p = 1/4

別解は、赤の報告の重みを、赤赤由来と赤青由来に分ける方法です。条件つき確率が1/2なら2つの重みが等しいので、1/6 = 4p/6からp = 1/4です。これを元の規則に戻すと、赤赤由来が1/6、赤青由来も1/6で、赤の報告全体は1/3です。青青由来は0なので、確かに残りも赤の割合は1/2です。

端のp = 0では赤青から赤を知らせず、赤の報告後は必ず赤赤です。p = 1では赤を含む組を常に報告し、赤赤の割合は1/5です。求めた1/4は範囲内にあり、得られた1/2は両端の値の間にあります。この端の確認は解の存在範囲を確かめるもので、方程式の証明の代わりではありません。

誤答を経路に戻す

基本例題で「赤のある組は赤赤1組と赤青4組だから、答えは1/5」とする誤答を考えます。この5組は取り出す前には等確率ですが、赤を報告する確率は赤赤で1、赤青で1/2です。赤の報告を聞いた後の5組を同じ重みにはできません。

図3のように、各組について報告札の選び方を分けると、赤赤からは赤報告が2経路、赤青4組からは各1経路です。12経路全体が等確率なので、赤の報告に残る6経路のうち、赤赤の2経路を数えて2/6 = 1/3と直せます。

図3の比較では、赤赤の札も区別しています。2枚の赤札のどちらを知らせたかが違う2経路は、印だけを聞く人には同じ報告でも、試行としては別です。聞き手が区別できないことと、試行の経路を1つにまとめてよいことは同義ではありません。

反対に、赤があれば必ず赤を知らせる規則なら、赤赤1組と赤青4組のすべてから赤が報告されます。その場合は1/5が正解です。同じ4枚の札でも、報告規則を変えると1/3から1/5へ変わります。「赤がある」という情報だけで答えを決めず、その情報がどう選ばれたかを読み取ります。

報告規則の記載がない問題では、例えば今の2規則がともに可能で、異なる答えになります。そのままでは確率は一意に決まりません。また、青しか知らせない規則で赤を聞いたとする場合は赤の報告の確率が0です。条件つき確率の分母が0なので、通常の比として求めることはできません。報告を受け取れない場合や、問題文が規則を欠く場合は、勝手な等確率を補う前に条件の不足を指摘します。

練習：報告の経路を作る

各問で同じ印の札も個別に区別でき、2枚の組は等確率です。答えは指定された分数または値で求めてください。報告札の選択に確率が指定されている場合、その選択は取り出した組に対して記された割合で行います。

1. 【標準】白札3枚、黒札1枚から2枚を同時に取ります。取った2枚から1枚を等確率で選んで印を知らせます。白と聞いたとき、残りも白である確率を分数で求めてください。
2. 【標準】星印の札2枚、丸印の札3枚から2枚を同時に取ります。星があれば必ず星を、なければ丸を知らせます。星と聞いたとき、残りも星である確率を分数で求めてください。
3. 【やや難】緑札2枚、黄札3枚から2枚を同時に取ります。緑緑なら緑、黄黄なら黄、緑黄なら確率1/3で緑を知らせ、それ以外は黄を知らせます。緑と聞いたとき、残りが黄である確率を分数で求めてください。
4. 【やや難】月印の札3枚、雲印の札2枚から2枚を同時に取ります。月月なら月、雲雲なら雲、月雲なら確率qで月を知らせます。0 ≤ q ≤ 1とします。月の報告を受ける確率が3/5となるqを求め、分数で答えてください。
5. 【難】花印の札1枚、葉印の札3枚から2枚を同時に取ります。花を含む組なら確率tで花を、それ以外は葉を知らせ、花を含まない組では葉を知らせます。0 ≤ t ≤ 1とします。花と聞いたときの残りの印を答え、条件つき確率が定義できないtの値も求めてください。

練習の答えと経路の確認

1

白白は3組、白黒は3組です。白の報告の重みは白白から3/6、白黒から(3/6)・(1/2)です。

P(白の報告) = 3/6 + 3/12 = 3/4
P(残りも白｜白の報告) = (3/6)/(3/4) = 2/3

報告札を先にした12通りの経路では、白の報告は9通りで、そのうち残りも白は6通りです。残りが黒の3通りも合わせると9通りに戻るため、2/3と照合できます。

2

星星は1組、星丸は6組、丸丸は3組で、計10組です。星を含む7組から必ず星が報告されます。

P(星の報告) = 7/10
P(残りも星｜星の報告) = (1/10)/(7/10) = 1/7

元の組に戻すと、残りが星なのは星星の1組、残りが丸なのは星丸の6組です。足して7組となり、丸丸の3組を加えると抽出前の10組です。

3

緑緑は1組、緑黄は6組、黄黄は3組です。緑の報告に残る重みは、それぞれ1/10、(6/10)・(1/3)、0です。

P(緑の報告) = 1/10 + 1/5 = 3/10
P(残りが黄｜緑の報告) = (1/5)/(3/10) = 2/3

緑黄の6組をそれぞれ同じ重みの3経路に分けると、緑の報告は計6経路です。緑緑の1組も3経路に分けると緑の報告は3経路なので、残りが黄の割合は6/9です。黄の報告も含めれば全30経路に戻ります。

4

月月は3組、月雲は6組、雲雲は1組です。月の報告の確率を条件に合わせます。

3/10 + (6/10)・q = 3/5
3 + 6q = 6
q = 1/2

qは0以上1以下です。元に戻すと、月月から3/10、月雲から3/10の報告があり、合わせて3/5です。残りの2/5は月雲から3/10と雲雲から1/10の雲の報告なので、全体は1に戻ります。

5

花葉は3組、葉葉は3組です。花の報告は花葉からしか起きず、その確率は(3/6)・t = t/2です。

P(花の報告) = t/2
P(残りが葉かつ花の報告) = t/2
P(残りが葉｜花の報告) = 1　（0 < t ≤ 1）

したがって、条件つき確率が定義できるとき、残りは必ず葉です。t = 0では花の報告が起こらず、分母が0なので条件つき確率は定義できません。花葉3組の報告を花と葉に分け、葉葉3組の葉報告を加えると、どのtでも報告全体の確率は1です。

手元に残す要点

• 2枚の抽出と、報告札の選択を続けた1つの試行として扱います。
• 分母には観測した報告の全経路を、各経路の確率で足します。
• 分子にはその中で求める条件も満たす経路を足します。
• 観測の確率が0なら、条件つき確率の比は定義できません。
• 等確率で数えられる単位を定め、残りの経路も足して確かめます。

つまずきを見分けるには

式の分母に「赤を含む組の数」が現れたら、各組から赤が報告される確率を尋ねてみてください。赤赤と赤青でその値が異なると答えられれば、次は組の確率との積を表に書き、報告の重みを足せます。分母が0になる例まで試すと、式に代入する前に条件を調べる習慣につながります。

個別指導の場では、札を並べて報告者の選択を実際に書き出し、どの経路が同じ確率かを説明できるかを確かめられます。公式の一覧で条件つき確率の形を復習した後は、同じ札に異なる報告規則を与え、分母が変化する理由を自分の言葉で述べてみましょう。知らせ方が決まって初めて、聞いた印に対応する確率が決まります。