大学入試数学 条件つき確率と抽出順—後の結果を知ったとき先の抽出を全経路から逆算する｜武蔵野個別指導塾

最後に青札が出たという情報から、先頭の色や途中の枚数を逆算します。分母となる経路を選び直し、過去を条件つき確率でたどります。

よくあるのは、高校生が最後に青札が出た条件を最初の抽出にもそのまま掛けるという場面です。箱から札を戻さずに取り出すと、先に取った色によって最後に青が出る確率は変わります。最後が青だと知ったとき、先頭も青である確率は、最初の青の割合のままでしょうか。

問いには、先頭の色を尋ねる型、途中までに出たある色の枚数を尋ねる型、その途中の枚数まで知った上で先頭の色を尋ねる型があります。いずれも観測された後の情報を条件として、残る経路を数え直します。札の出所を複数の箱から推定する問題には広げず、1つの箱からの有限回の抽出を考えます。

最後の情報で経路を選び直す

札は同色でも区別でき、各回に残った札のどれも同じ確率で選ばれるとします。取り出した札は戻しません。観測した事象をB、知りたい過去の事象をAとすると、P(B)>0のとき条件つき確率は次のように定義されます。

P(A｜B) = P(AかつB)/P(B)

分母は、最後の結果を知る前の全経路ではなく、Bが起きた経路の確率の合計です。分子はそのうちAも満たす経路の確率の合計です。色の並びで樹形図を書くと、色ごとの札の枚数が違うため枝の重みは必ずしも等しくありません。枝の本数をそのまま割る前に、枝に沿って確率を掛け、該当する経路を足します。

図1のように、順方向では先頭の色ごとに最後の青の確率が変わります。逆向きに読むときは、最後が青の各経路の重みを比べ、その合計で割ります。逆向きだからといって、順方向の条件つき確率の分子と分母を入れ替えるだけではありません。

全体がN枚で青がb枚、赤がr枚とします。N=b+r、bとrは0以上の整数です。異なる札の順序を区別すれば、どの完全な並びも同じ確率です。最後の位置を特定の青札に固定すると、残りN-1枚が先の位置に同じ確率で並びます。青札のどれを固定しても残る色の個数は赤r枚、青b-1枚です。この観察はb>0のときに使え、途中で抽出を止める場合も、取られなかった札を後ろに並べて考えれば同じです。

先のm位置に赤がk枚ある確率は、最後が青とわかった後、残りの札からm枚を選ぶ問題になります。C(n,k)を、n個の異なるものから順序を考えずk個を選ぶ組合せの数とします。0≤m≤N-1の整数に対し、実現可能な整数kについて次の式です。

P(先のm位置に赤がk枚｜最後が青)
= C(r,k)・C(b-1,m-k)/C(N-1,m)

実現可能とは0≤k≤rかつ0≤m-k≤b-1を満たすことです。この範囲外の枚数の確率は0です。順序を無視してよい理由は、選んだm枚それぞれに同数の並べ方があるからです。先頭の色まで問うときには、その順序を戻して数えます。

b=0なら最後が青という事象の確率は0で、上の条件つき確率は定義できません。N枚を超えて取る設定も実行できません。条件の文があるだけで分母が正とは限らず、まず試行と観測が実現するかを調べます。

基本例題：最後が青のときの先頭

【基本・標準】赤札2枚、青札3枚の計5枚から、1枚ずつ戻さずに3枚取ります。各回は残った札から等確率で選びます。3枚目が青だったとき、1枚目が赤である確率を分数で求めてください。

図2のように、1枚目と3枚目に注目します。真ん中の札の色は指定されていないので、残った3枚のどれが入ってもよい位置です。

まず順方向の確率を使います。1枚目が赤なら、残り4枚に青が3枚あり、2枚目を考慮しても3枚目が青となる確率は3/4です。例えば2枚目が赤か青かに分ければ、(1/4)・1+(3/4)・(2/3)=3/4と確かめられます。

P(1枚目が赤かつ3枚目が青) = (2/5)・(3/4) = 3/10
P(3枚目が青) = 3/5
P(1枚目が赤｜3枚目が青) = (3/10)/(3/5) = 1/2

3枚目が青となる確率は、各札がその位置に等確率で入ることから3/5です。3枚目を青札のいずれかに固定すれば、残り4枚のうち赤は2枚なので、1枚目が赤となる確率は2/4=1/2とも出ます。

札を区別して確かめると、1枚目と3枚目の札の順序つきの組は5・4=20通りです。3枚目が青の組は3・4=12通りで、そのうち1枚目が赤の組は3・2=6通りです。いずれにも真ん中の札の選び方が3通りあるので、実際の3枚の経路では分母36、分子18となります。途中の位置を省く場合にも、補う経路の数が一定であることを確認できました。

標準例題：先頭2枚の色をそろえる

【標準】赤札3枚と青札2枚から、1枚ずつ戻さずに4枚取ります。各回は残った札から等確率で選びます。4枚目が青だったとき、先頭2枚がともに赤である確率を分数で求めてください。

4枚目の青札を固定すると、残りは赤3枚、青1枚です。先頭2枚について、最初の赤を取った後の枚数も減らして計算します。

P(先頭2枚が赤｜4枚目が青) = (3/4)・(2/3) = 1/2

別の数え方では、4枚目に入る青札は2通り、先頭2枚に入る異なる札の順序は4・3通りあります。このうち先頭2枚が赤となるのは3・2通りです。3枚目は残った2枚のいずれでもよく、両方の経路数に2を掛けるため比は12/24=1/2です。

最後の青を先に固定する方法は途中の色が指定されないときに短くなります。一方、先頭から枝を描く方法なら、どの時点で何枚残るかを直接追えます。どちらでも、4枚目の青と先頭2枚の条件を同じ経路に課していることが必要です。

発展例題：途中枚数まで観測する

【発展・難】赤札3枚と青札3枚から、1枚ずつ戻さずに4枚取ります。各回は残った札から等確率で選びます。4枚目が青であるとわかったとき、先頭3枚に赤が少なくとも2枚ある確率を分数で求めてください。さらに、4枚目が青で、先頭3枚に赤がちょうど2枚あるとわかったとき、1枚目が赤である確率を分数で求めてください。

4枚目の青札を固定すると、先頭に使える札は赤3枚、青2枚です。先頭3枚の赤の枚数は0から3までを検討できますが、青は2枚しかないため0枚は実現しません。求める場合は赤2枚と赤3枚に分かれます。

先頭3枚の選び方 = C(5,3) = 10
赤2枚の選び方 = C(3,2)・C(2,1) = 6
赤3枚の選び方 = C(3,3) = 1
P(赤が少なくとも2枚｜4枚目が青) = (6+1)/10 = 7/10

2つ目の問いでは、条件がさらに「赤がちょうど2枚」に狭まります。選んだ3枚を並べると、赤赤青、赤青赤、青赤赤の色の順序があり、各順序の札の選び方は3・2・2通りで等しいです。先頭が赤の順序は前の2つです。

P(1枚目が赤｜4枚目が青かつ先頭3枚に赤2枚) = 2/3

別解として、最後の青を固定した後、先頭3枚に赤2枚という条件の下では、その赤2枚が3つの位置のどこに入るかは等確率です。先頭を含む位置の選び方は2通り、全体は3通りです。条件の確率は6/10で正なので、この割り算は可能です。

2つの答えは分母が異なります。最初は最後が青の全経路を分母とし、次はその中から途中の赤が2枚の経路に限定します。後者で赤3枚の経路を混ぜると、条件を満たさない経路が分母に残ります。

間違った枝をどこで直すか

基本例題で「1枚目が赤の確率2/5に、3枚目が青の確率3/5を掛ければ同時確率は6/25」とする計算を考えます。さらに3/5で割れば2/5となりますが、この積は非復元の試行に合っていません。1枚目が赤だった後は、3枚目の青の確率が3/4に変わるからです。

図3のように、掛けるべき後半の数は、先頭が赤という条件を反映した3/4です。2/5と3/4の積を、最後が青の確率3/5で割れば1/2になります。積の公式は使えますが、後ろの因子は前の出来事の下での確率です。

もう1つの誤りは、最後が青と知った後も青3枚と赤2枚の計5枚から先頭を選ぶことです。観測された青札はすでに最後の位置に使われています。先頭に置けるのは赤2枚と青2枚の計4枚であり、観測前と観測後の対象を同じ箱として扱えません。

ただし、最後の色がわかっただけで、それより前の各位置に独立に同じ確率を割り当てられるわけでもありません。最後を固定した後にも非復元は続きます。2位置の色を求めるなら、1位置を取った後に残りの枚数を減らします。最後が青となる経路が存在しない場合には、無理に0で割って答えを作らず、条件つき確率が定義されないと判断します。

練習問題

いずれも異なる札を1つの箱に入れ、各回に残った札を等確率で1枚選び、戻さずに指定の回数だけ取ります。答えは分数で表し、条件つき確率が定義されない場合はその理由を述べてください。

1. 【標準】白札4枚と黒札2枚から3枚取ります。3枚目が黒のとき、1枚目が白である確率を求めてください。
2. 【標準】黄札2枚と緑札4枚から4枚取ります。4枚目が緑のとき、先頭2枚がともに黄である確率を求めてください。
3. 【やや難】白札4枚と黒札3枚から4枚取ります。4枚目が黒のとき、先頭3枚に白がちょうど2枚ある確率を求めてください。
4. 【難】黄札4枚と緑札3枚から4枚取ります。4枚目が緑で、先頭3枚に黄がちょうど2枚あるとき、1枚目が緑である確率を求めてください。
5. 【やや難】白札5枚と黒札0枚から2枚取ります。2枚目が黒のとき、1枚目が白である確率を求めてください。

練習問題の答えと考え方

1. 最後の黒を固定する

最後の黒を固定すると、先頭に使える札は白4枚、黒1枚です。5枚のうち白は4枚ですから、求める確率は4/5です。

P(1枚目が白｜3枚目が黒) = 4/5

元の札に戻して数えると、3枚目の黒は2通り、その前の1枚目は5通りです。白となる選び方は4通りなので比は8/10です。2枚目の選択肢は各組で4通りあり、分母と分子に同じように掛かります。

2. 2回続く非復元

最後の緑を固定した後は黄2枚、緑3枚です。先頭で黄を取ると次に残る黄は1枚、全体は4枚となります。

P(先頭2枚が黄｜4枚目が緑) = (2/5)・(1/4) = 1/10

最後の緑の選び方は4通り、先頭2位置に異なる札を入れる方法は5・4通りです。そのうち黄を入れる方法は2・1通りです。3枚目に入る残りの札はどの場合も3通りで、元の4枚の経路数を比べても24/240=1/10です。

3. 途中の枚数で分ける

最後の黒を固定すると、先頭3枚は白4枚、黒2枚から選びます。先頭の順序を外して数え、条件を満たす選択を全選択で割ります。

P(先頭3枚に白2枚｜4枚目が黒)
= C(4,2)・C(2,1)/C(6,3)
= 12/20
= 3/5

元の札では、最後の黒を3通りから選び、先頭3枚の選択にそれぞれ3・2・1通りの順序があります。条件に合う経路は3・12・6=216通り、最後が黒の経路は3・20・6=360通りで、比は3/5です。最後の札と先頭の札は重なりません。

4. 途中の構成を固定して位置を選ぶ

最後の緑を固定した後、先頭3枚の黄が2枚なら緑は1枚です。その緑の位置は3位置に等しく割り当てられるため、1枚目が緑の確率は1/3です。

P(1枚目が緑｜4枚目が緑かつ先頭3枚に黄2枚) = 1/3

条件に合う先頭3枚の集合はC(4,2)・C(2,1)=12通りです。各集合の6通りの並びのうち、緑が先頭なのは2通りです。最後の緑3通りを含めた経路数は分母3・12・6=216通り、分子3・12・2=72通りとなり、元の条件で1/3を確かめられます。

5. 条件そのものが起きない

黒札がないので2枚目が黒となる経路はありません。分母P(2枚目が黒)=0であり、条件つき確率は定義されません。

P(2枚目が黒) = 0

1枚目が必ず白という事実は、起こり得ない条件の下の確率を1と定義する根拠にはなりません。元の試行を列挙しても白白の色の経路しかなく、黒で終わる経路を分母に集められないことがわかります。

覚えておくこと

• 後の観測を条件とし、その経路の確率の合計を分母にします。
• 色の枝の重みは異なり得るため、札を区別するか経路ごとに重みを付けます。
• 最後の青を固定すれば、残る位置には青が1枚少ない札が並びます。
• 途中の枚数という追加条件があれば、分母をさらに絞ります。
• 条件の確率が0のとき、条件つき確率は定義されません。

手が止まったときに見る位置

分母が作れないときは、先頭から最後までの位置を横に書き、観測された位置に印を付けます。次に知りたい位置と、途中の枚数に関係する位置を分けます。どの情報が条件で、どの情報が求める事象かを言葉で区別できれば、分子と分母の取り違えを見つけやすくなります。

個別に確かめる場では、まず小さい札の集合を実際に並べて、最後の色に合う列だけを残します。その列の中で先頭の色を数え、同じ結果を固定法でも出せるかを見ます。答えが合っていても、青札を固定した後に残る枚数や、途中の札の順序の扱いを説明できるかを確認します。

最後の1枚が先の位置から取り除く札を決め、その残りが抽出順の条件つき確率を決めます。