大学入試数学 条件つき確率と連続観測—同じ箱から続けた結果で出所の確率を更新する｜武蔵野個別指導塾

箱を一度選んで復元抽出を続けるとき、出所の重みと独立性を考える鍵は連続観測にあります。

よくあるのは、箱を選び直していないのに2回の観測を独立とする場面です。箱の中身を知らないまま同じ箱から札を戻して引くと、1回目に見た色は、2回目を引く箱の中身を推測する手がかりになります。札を戻すという条件と、箱を選び直すという操作は別です。

問いには、観測した色から箱の出所を求める型、最初の色を知った後の次の色を求める型、2回の色が独立かを判定する型があります。いずれも、まず箱ごとの経路に確率の重みを付け、その後で観測に合う経路を集めます。ここで扱うのは有限回の復元抽出です。箱を途中で交換する操作や、戻さずに引く操作は扱いません。

出所を残した経路で考える

箱A、箱Bを最初にそれぞれ正の確率で選び、選んだ箱を最後まで使うとします。各箱の札は同じ確率で引かれ、引くたびに戻してよく混ぜます。箱を固定すれば毎回の構成は変わらず、各回の抽出は独立です。しかし、箱を伏せたままの全体では、同じ未知の箱が各回に共通している点を忘れてはいけません。

事象Eの下での事象Fの条件つき確率は、P(E) > 0 のとき P(F｜E) = P(FかつE)/P(E) です。分母は観測Eが起こる確率、分子は出所Fと観測Eがともに起こる確率です。観測が起こらない、つまり P(E) = 0 なら、この式で条件つき確率を定めることはできません。

図1のように、出所から観測へ向かう道を考えます。道の重みは、箱を選ぶ確率と、その箱の下で観測が起こる確率の積です。箱Aと箱Bは同時に選ばれず、どちらか一方が選ばれるので、観測に合う2本の重みを足せば分母になります。

図1では、観測後の箱Aの確率は、Aを通る観測経路の重みを、観測経路の重みの合計で割ったものです。箱が複数でも、排反で全体を尽くす箱ごとに同じ手順が使えます。観測前の箱の選びやすさが違えば、その違いも重みに残ります。

例えば箱Aの赤の割合がa、箱Bの赤の割合がb、箱Aを選ぶ確率がqで、0 < q < 1、0 ≤ a ≤ 1、0 ≤ b ≤ 1とします。2回とも赤を引く確率は q・a² + (1 − q)・b² です。一方、各回の赤の確率は q・a + (1 − q)・b なので、その積との差は q・(1 − q)・(a − b)² です。差は0以上で、aとbが異なると正です。したがって、この場合は2回の赤が独立ではありません。箱を固定したときの積と、箱を伏せた全体の積を区別する理由がここにあります。

基本例題：2回とも赤を見た後

【標準・基本】箱Aには赤3枚と白1枚、箱Bには赤1枚と白3枚があります。公平な硬貨で箱を1つ選び、その同じ箱から1枚ずつ2回、戻してよく混ぜて引きます。2回とも赤だったとき、箱Aを選んでいた確率を分数で求めてください。

箱Aを通って赤、赤となる重みと、箱Bを通る重みを別々に求めます。各箱の中では復元後の抽出が独立なので、色の確率を掛けられます。

P(Aかつ赤赤) = (1/2)・(3/4)・(3/4) = 9/32
P(Bかつ赤赤) = (1/2)・(1/4)・(1/4) = 1/32
P(赤赤) = 9/32 + 1/32 = 5/16
P(A｜赤赤) = (9/32)/(10/32) = 9/10

図2のように、観測に合う重みは9と1の比です。赤が出やすい箱Aの経路が残りやすいため、観測前の1/2から観測後の9/10へ変わります。分母5/16は正なので、条件つき確率は定義されています。

別の確かめ方として、各箱の札に番号を付けます。箱の選択2通りと、1回目・2回目の札番号が各4通りの組は、合わせて32通りで同様に確からしいものです。赤赤はAから9通り、Bから1通りなので、元の場面に戻しても9/10です。復元しているため、同じ番号の札を2回引く組も含めます。

標準例題：観測を1回ずつ使う

【やや難・標準】箱Cには青2枚と黄1枚、箱Dには青1枚と黄2枚があります。箱Cを1/3、箱Dを2/3の確率で最初に選び、同じ箱から札を戻して2回引きます。1回目が青だったとき、2回目も青である確率を分数で求めてください。各箱で札は同じ確率で引かれ、各回は箱を固定すれば独立です。

箱Cを選んで青を引く重みは (1/3)・(2/3) = 2/9、箱Dでは (2/3)・(1/3) = 2/9 です。1回目が青となる確率は4/9で正です。したがって、青を見た後の箱Cと箱Dの確率はそれぞれ1/2になります。この更新後の重みを使って次の色を予測します。

P(2回目青｜1回目青) = (1/2)・(2/3) + (1/2)・(1/3)
= 1/2

別解では、箱を経由する青青の重みを先に足します。青青の確率は (1/3)・(2/3)² + (2/3)・(1/3)² = 2/9 です。これを1回目が青となる4/9で割っても1/2です。1回目の青を見ない場合の2回目の青は4/9なので、観測を加えると予測が変わっています。

検算では箱Cの札の組9通りを各1の重み、箱Dの札の組9通りを各2の重みで数えます。1回目が青の重みはCで6、Dで6、青青の重みはCで4、Dで2です。条件を満たす重み12のうち6が青青なので1/2です。箱の選択確率が異なるため、2つの箱の9通りずつを同じ重みで足してはいけません。

発展例題：順番と更新の両方を見る

【難・発展】箱Eには赤4枚と白1枚、箱Fには赤2枚と白3枚があります。公平な硬貨で箱を1つ選び、同じ箱から戻してよく混ぜながら3回引きます。各箱の札は同じ確率で引かれ、箱を固定すれば各回は独立です。赤、白、赤の順に出たとき箱Eを選んだ確率と、その後の4回目に赤が出る確率を、それぞれ分数で求めてください。

指定された順序を保って箱ごとの重みを作ります。どちらの箱でも指定の列は起こり得るので、観測の確率は正です。

P(Eかつ赤白赤) = (1/2)・(4/5)・(1/5)・(4/5) = 8/125
P(Fかつ赤白赤) = (1/2)・(2/5)・(3/5)・(2/5) = 6/125
P(E｜赤白赤) = 8/(8 + 6) = 4/7
P(4回目赤｜赤白赤) = (4/7)・(4/5) + (3/7)・(2/5) = 22/35

別解として、4回目も含めた赤白赤赤の重みを先に求め、赤白赤の重みで割れます。分子は (1/2)・(4/5)³・(1/5) + (1/2)・(2/5)³・(3/5) = 44/625、分母は14/125なので、商は22/35です。

札に番号を付けた場合、3回の番号の組は各箱125通りです。赤白赤に合う組はEで16、Fで12です。さらに4回目の赤に伸ばすとEで64、Fで24通りなので、条件に合う4回分の組の総数 (16 + 12)・5 = 140 のうち88通りが赤です。88/140 = 22/35 と一致します。指定が「赤2回、白1回で順不同」なら3つの順序を集めますが、この設定では各箱で3倍ずつとなるため、箱Eの事後確率は同じです。順不同でも常に順序を無視してよいのではなく、各箱の経路を実際に合算して判断します。

誤答を経路から直す

基本例題で、1回の赤の確率を (1/2)・(3/4) + (1/2)・(1/4) = 1/2 とし、赤赤の確率を (1/2)・(1/2) = 1/4 とする誤答を考えます。この計算は、1回目と2回目の箱をそれぞれ選び直すときの計算です。同じ箱を使う元の操作では、Aの後にBへ移る経路やBの後にAへ移る経路はありません。

図3のように、正しい経路はAからの赤赤とBからの赤赤です。各経路では箱を固定して掛け、その後に足します。正しくは9/32 + 1/32 = 5/16で、1/4とは異なります。最初の赤を見た後はAの確率が3/4になり、次の赤の確率は (3/4)・(3/4) + (1/4)・(1/4) = 5/8 です。よって (1/2)・(5/8) = 5/16 とも確かめられます。

図3が示すように、掛け算の前に「何を固定した確率か」を書くと、誤った箱の移動に気づけます。逆に、2つの箱の赤の割合が同じなら、出所を知らなくても赤の観測だけに関して2回は独立です。箱を共有するというだけで必ず非独立と決めず、同時確率と各回の確率の積を比べます。

もう1つの失敗は、箱ごとの観測確率だけを比べ、最初の箱選択の確率を落とすことです。標準例題のCとDの青の割合は2対1ですが、選択確率は1対2なので、1回目が青の経路の重みは同じです。初めの重みと観測の起こりやすさを掛けてから比較してください。

練習問題

いずれも自作の設定です。各箱の札は同じ確率で引き、選んだ箱を最後まで使います。札を引くたびに戻してよく混ぜ、箱を固定した下では各回の抽出は独立とします。確率は分数で答えてください。

1. 【標準】箱Gは緑2枚と白2枚、箱Hは緑1枚と白3枚です。公平な硬貨で箱を選んで1回引き、緑が出ました。箱Gだった確率を求めてください。
2. 【標準】箱Jは黒3枚と白2枚、箱Kは黒1枚と白4枚です。箱Jを1/4、箱Kを3/4の確率で選び、2回引きます。黒、黒の順に出る確率を求めてください。
3. 【やや難】箱Lは赤1枚と青2枚、箱Mは赤2枚と青1枚です。公平な硬貨で箱を選び、2回引きます。1回目が赤だったとき、2回目が青となる確率を求めてください。
4. 【やや難】箱Nは丸3枚と三角1枚、箱Pは丸1枚と三角3枚です。公平な硬貨で箱を選び、2回引きます。2回の丸という事象が独立かを、同時確率と積を示して判定してください。
5. 【難】箱Qは星3枚と無印1枚、箱Rは星1枚と無印3枚です。箱Qを2/3、箱Rを1/3の確率で選び、3回引きます。星、無印、星の順に出たとき、箱Rだった確率を求めてください。

練習の解答と確認

1. Gを通る緑の重みは (1/2)・(2/4) = 1/4、Hを通る重みは (1/2)・(1/4) = 1/8 です。緑の確率3/8は正なので、求める値は (1/4)/(3/8) = 2/3 です。札に番号を付けると箱の選択と札の組8通りのうち、緑はGで2通り、Hで1通りです。

2. Jからの黒黒は (1/4)・(3/5)² = 9/100、Kからは (3/4)・(1/5)² = 3/100 です。和は 12/100 = 3/25 です。各箱の番号付き2回の組は25通りで、箱選択の比1対3を重みとすると、黒黒は9 + 3 = 12、全体は25 + 75 = 100です。0以上1以下にも収まります。

3. 1回目が赤の確率は (1/2)・(1/3) + (1/2)・(2/3) = 1/2 です。赤、青の確率は (1/2)・(1/3)・(2/3) + (1/2)・(2/3)・(1/3) = 2/9 なので、答えは (2/9)/(1/2) = 4/9 です。各箱で番号付きの2回の組は9通りあり、1回目が赤の組は計9通り、そのうち赤、青は計4通りです。

4. 各回の丸の確率は (1/2)・(3/4) + (1/2)・(1/4) = 1/2 です。2回とも丸となる確率は (1/2)・(3/4)² + (1/2)・(1/4)² = 5/16 です。積1/4と異なるので独立ではありません。番号付きの組は箱ごとに16通り、丸丸はNで9通り、Pで1通りです。合計10/32 = 5/16と確認できます。

5. Qから指定の列が出る重みは (2/3)・(3/4)・(1/4)・(3/4) = 3/32、Rからは (1/3)・(1/4)・(3/4)・(1/4) = 1/64 です。指定の列の確率は7/64で正なので、箱Rの確率は (1/64)/(7/64) = 1/7 です。各箱の番号付き3回の組64通りを、箱選択に合わせてQは重み2、Rは重み1で数えると、指定の列はQで9・2 = 18、Rで3・1 = 3です。3/(18 + 3)も1/7です。

手元に残す要点

箱を一度選んだら、各回の経路に同じ出所を保ちます。 箱ごとの観測確率に、観測前の箱の確率を掛けます。 観測に合う経路の重みの合計を条件つき確率の分母にします。 箱を固定した独立と、箱を伏せた全体の独立を区別します。 分母が正か、答えが元の経路に戻るかを確かめます。

つまずきを見分けるには

箱を固定した積は書けるのに観測後の分母が作れない場合は、観測に合う経路を箱ごとに色分けして足せているかを確認します。逆に、分母は書けても2回目の予測で最初の箱の確率を再び使っているなら、1回目の観測で箱の重みが変わったことを途中に書きます。

個別に解答を確認するときは、引いた札を戻す操作と箱を選ぶ操作を、図の別の場所で指して説明してもらうと、どちらを繰り返すかが見えます。式が合った後も、番号付きの少数の札で該当する経路を数え、分子と分母の意味を言葉に戻します。出所を共有する観測では、その共有を保った経路が答えを決めます。