大学入試数学 確率の標本空間の選択—同確率でない完成物に重みを付け二つのモデルを照合する｜武蔵野個別指導塾

札の仕分けで同じ個数の組に至る経路を数え、完成物を一様に選ぶ場合との差を重みから読み解きます。

よくあるのは、高校生が仕分け後の個数の組を同じ確率で扱う場面です。例えば区別できる札を箱へ入れた後、各箱の枚数だけを見ると、異なる入れ方が同じ組にまとまります。そのまとまりの大きさが同じとは限りません。

問いには、指定された組の確率を求める型、条件に合う複数の組の確率を合計する型、完成物を直接選ぶ別の試行と比較する型があります。どの型でも最初に、何を公平に選ぶと問題文が定めているかを読みます。見た目の同じ結果を数える前に、その結果が生じる道筋をたどります。

結果の細かさと重み

標本空間は、試行の起こり得る結果を重なりなく並べた集合です。結果の区切り方は目的に応じて選べますが、結果を並べただけではそれらの確率が等しいとは決まりません。各結果が同じ確率であるときに限り、事象の確率を「当てはまる結果の数 / 全結果の数」で求められます。

例えば区別できる3枚の札をそれぞれ独立に、同じ確率で左箱または右箱へ入れます。箱は区別し、空箱も許します。各札の行き先を順に記録した8通りは同じ確率です。一方、左箱の枚数が0、1、2、3という4通りは、そのまま同確率ではありません。1枚の場合はどの札が左に入ったかで3通りあり、0枚の場合は1通りだからです。

図1のように、細かい結果を個数へまとめるとき、各組に入る細かい結果の個数を重みとして持たせます。元の結果が等確率なら、重みを全体の個数で割ればその組の確率です。元の結果が等確率でないときは個数でなく、それぞれの確率を足します。

図1では重みの合計が8です。左箱が1枚または2枚という事象なら、重み3と3を足して6/8です。組を4種類と数えて2/4とする式は、4種類を直接等確率で選ぶ別の試行の答えです。結果の書き方が同じでも、選び方が違えば確率は変わります。

逆に、完成した組を公平なくじで1つ選ぶと明記された場合には、実現可能な組を同じ確率で扱えます。いずれのモデルでも、実現不可能な組を標本空間に加えないこと、条件を満たす組を重複なく集めることが必要です。基本的な場合の数と確率の公式を見渡す学習を土台に、ここではどの結果が等確率かを説明することを目標にします。

基本例題：3枚の札を仕分ける

【標準・基本】区別できる3枚の札を、それぞれ独立に確率1/2ずつで箱Aまたは箱Bへ入れます。箱は区別し、空箱も許します。Aにちょうど1枚入る確率を分数で求めてください。また、実現可能な個数の組を公平なくじで1つ選ぶ別の試行で、Aが1枚となる確率も分数で求めてください。

まず元の試行では、各札について行き先が2通りです。独立で各行き先の確率が1/2なので、どの行き先の列も確率1/8です。Aに行く札を1枚指定すると残りはBに決まり、指定の方法は3通りあります。

全経路の数 = 2・2・2 = 8
Aが1枚となる経路の数 = 3
求める確率 = 3/8

図2のように、Aへ行く札の違いを残した3経路を足します。Aが1枚という完成物は1種類ですが、その背後には3経路あります。全経路の重みは1、3、3、1で、合計8に戻ります。

別の試行では、組は(A,B)の順に(0,3)、(1,2)、(2,1)、(3,0)の4種類です。これらを公平に選ぶと明記されたので、求める確率は1/4です。3/8と1/4は矛盾しません。前者は札の行き先、後者は個数の組に公平さを置いています。

別の確かめ方として、Aが1枚になる3つの列をABB、BAB、BBAと書きます。どの列も異なり、それ以外の列ではAの数が1ではありません。分子の3が条件に対応し、分母の8には空箱になる2経路も含まれています。

標準例題：異なる色の札を取り出す

【やや難・標準】袋に区別できる赤札4枚と青札2枚があります。6枚から同時に2枚を公平に選びます。取り出す2枚の色が異なる確率を分数で求めてください。さらに、実現可能な赤札と青札の枚数の組を公平に1組選ぶ別の試行の答えと比較してください。

同時に選ぶので順序は区別しません。C(n,k)を、区別できるn個から順序を考えずk個選ぶ方法の数とします。ここでn、kは0以上の整数で、kはn以下です。選んだ札の組はどれも同じ確率です。

全体の札の組 = C(6,2) = 15
赤1枚、青1枚の札の組 = 4・2 = 8
色が異なる確率 = 8/15

残りの重みも確認します。赤2枚はC(4,2) = 6通り、青2枚はC(2,2) = 1通りです。6、8、1の合計は15で、全体に戻ります。実現可能な色の組は(2,0)、(1,1)、(0,2)の3種類です。その3組を公平に選ぶ別の試行なら、色が異なる確率は1/3です。

別解では順に2枚取り出し、戻さない方法を使えます。赤から青、青から赤の2つは排反なので、求める確率は(4/6)・(2/5) + (2/6)・(4/5) = 8/15です。各順序付きの札の対は同確率で、各 順序を区別しない2枚組に2通りの順序が対応します。どちらの数え方も同じ試行の結果を分割しているため一致します。

発展例題：3箱で重みを比較する

【難・発展】区別できる4個の玉を、区別できる箱A、B、Cへそれぞれ独立に確率1/3ずつで入れます。空箱も許します。ちょうど1箱が空になる確率を分数で求めてください。また、合計が4となる非負整数の個数の組を公平に1組選ぶ別の試行で、ちょうど1成分が0となる確率を分数で求めてください。

元の試行の細かい結果は、玉ごとに行き先を記録した列です。全体は3・3・3・3 = 81通りで、各列の確率は1/81です。空箱を1つ決めた後、残る2箱の両方に玉が入るようにします。

空箱の選び方 = 3
残る2箱への入れ方 = 2・2・2・2 - 2 = 14
求める確率 = 3・14/81 = 14/27

引いた2通りは、4個が一方の箱に集まる場合です。残りの2箱を両方使うため、空箱の選択が異なる数え方は重なりません。逆にちょうど1箱が空のどの列にも、その空箱が1つ定まるので数え漏れもありません。

別解では完成物の組を使います。空箱を1つ定めると、残りの個数は順に(1,3)、(2,2)、(3,1)です。各組に至る列の数は順に4、6、4です。したがって全重みは3・(4 + 6 + 4) = 42で、42/81 = 14/27となります。中央の組は両側の組より重く、3組を同じ重みで扱えません。

別の試行で公平に選ぶ組の総数は15です。Aの個数を0、1、2、3、4とすると、Bの個数はそれぞれ5、4、3、2、1通り選べ、Cの個数は残りで決まります。ちょうど1成分が0の組は、0の位置が3通り、残る正の整数の組が3通りなので9組です。答えは9/15 = 3/5です。最初の試行においても15組は実現可能ですが、各組を同じ確率で選ぶとは限りません。

誤答を直す：組の数と経路の数

3枚を2箱に仕分ける基本例題で、「Aが0、1、2、3枚の4通りのうち、1枚は1通りだから1/4」とする誤答を考えます。4つの組を列挙するところまでは正しいのですが、各組の確率が等しいという根拠がありません。

図3のように、各組の下に元の経路数を置きます。0枚と3枚は各1経路、1枚と2枚は各3経路です。公平なのは8経路なので、Aが1枚の確率は3/8と直します。組を使う解法自体が誤りなのではなく、各組に付ける重みを落としたことが誤りです。

別の失敗として、重みの合計を事象の組の数で割ることがあります。分母は元の試行の全重みです。また、箱への入りやすさが異なると、経路数を重みとして使えないことがあります。例えば各札がAへ入る確率を2/3とするなら、Aが1枚の3経路はそれぞれ(2/3)・(1/3)・(1/3)であり、合計は2/9です。経路が3本あるだけで3/8とは決められません。

条件が実現不可能なとき、その事象の重みは0です。全体の重みは確率を用いれば1なので、0を分母にする必要はありません。一方、条件付き確率を扱う場合は、条件として残す事象の確率が正かを先に確認します。条件が起こらないとき、その条件の下の割合は定義できません。

練習問題

いずれも設定は自作です。答えは約分した分数で求めてください。各箱は区別し、空箱を許します。公平な選択は、指定された選択肢が等確率であることを意味します。

1. 【標準】区別できる4枚のカードを、それぞれ独立に確率1/2ずつで箱Pか箱Qへ入れます。Pにちょうど2枚入る確率を求めてください。
2. 【標準】区別できる白玉3個と黒玉2個から、同時に2個を公平に選びます。2個が同色となる確率を求めてください。
3. 【やや難】区別できる2個の石を、それぞれ独立に確率1/3ずつで箱X、Y、Zへ入れます。2個が同じ箱に入る確率を求めてください。
4. 【やや難】区別できる3枚の札を、それぞれ独立に確率2/3で箱Lへ、確率1/3で箱Rへ入れます。Lにちょうど2枚入る確率を求めてください。
5. 【難】区別できる3個の駒を、それぞれ独立に確率1/2ずつで箱Uか箱Vへ入れます。空箱がある確率を求めてください。次に、合計が3となる非負整数の個数の組を公平に1組選ぶ別の試行で、0を含む組の確率を求めてください。

練習の解答と確かめ

1. 4枚の行き先の列は16通りで、各列は等確率です。Pに入る2枚の選び方はC(4,2) = 6通りなので、確率は6/16 = 3/8です。Pの枚数ごとの重みは1、4、6、4、1で、合計16に戻ります。2枚の選び方の残り2枚は必ずQに入り、各選択は異なる列に対応します。

2. 2個の選び方はC(5,2) = 10通りです。白2個はC(3,2) = 3通り、黒2個はC(2,2) = 1通りなので、確率は(3 + 1)/10 = 2/5です。異色の組は3・2 = 6通りで、同色の4通りと合わせて10通りです。色の組は3種類ですが、その重みは3、6、1です。

3. 石の行き先の順序付きの組は9通りで、各組は確率1/9です。同じ箱の組はXX、YY、ZZの3通りなので、確率は3/9 = 1/3です。別の見方では、先の石がどの箱に入っても、後の石がそこに入る確率は1/3です。異なる箱に入る6通りを加えると全9通りに戻ります。

4. Lへ入る2枚の選び方は3通りです。それぞれの経路の確率は(2/3)・(2/3)・(1/3) = 4/27なので、答えは3・4/27 = 4/9です。Lに入る枚数が0、1、2、3の確率は順に1/27、6/27、12/27、8/27で、和は1です。経路数は対称でも、経路の確率はLに入る枚数によって異なります。

5. 空箱があるのは3個がすべてUか、すべてVに入る場合です。8通りの等確率な行き先の列のうち2通りなので、確率は2/8 = 1/4です。残る6通りは両方の箱を使います。別の試行での組は(0,3)、(1,2)、(2,1)、(3,0)の4種類で、0を含むのは2種類です。公平に組を選ぶ確率は2/4 = 1/2です。元の試行の端の組の重みは各1、中央の組の重みは各3であり、別の試行との差を確かめられます。

手元に残す要点

• 公平さが指定された対象を、細かい結果として書きます。
• 完成物ごとに、そこへ至る経路の確率を足します。
• 経路が等確率なら、経路数が完成物の重みになります。
• 重みの合計が全体の確率1、または全経路数に戻るか確かめます。
• 完成物を公平に選ぶ試行は、仕分ける試行と区別します。

どこでつまずいたかを見分ける

分母に完成物の種類数を書いたときは、「どの操作でその種類を選んだか」を声に出してたどると、仮定の抜けに気づけます。分子が合わないときは、1つの完成物を決めて、その完成物に至る札の行き先を実際に書き出します。そこで異なる経路を同一視していたか、逆に同じ経路を重複していたかを確かめられます。

個別指導で途中式を見てもらうなら、答えだけでなく、各経路が等確率といえる理由と、重みを足した範囲を説明してみてください。完成物に集まる経路の違いを捉えることが、確率の標本空間の選択につながります。