大学入試数学 先に条件を満たす確率—停止する順番と同時成立の規則から事象を分ける｜武蔵野個別指導塾

有限回の札引きで先着、同時達成、未達成を分け、停止時点から確率を求める道筋をたどります。焦点は達成競争。

よくあるのは、2つの条件のうち片方が先に達成されたのに、その後の結果まで数えてしまう場面です。例えば赤と青の印を集める遊びで、赤が規定数に達した時点で終了するなら、その後に青が何個出るかは勝敗を変えません。最後の回に両方が成立することを許す設定なら、同時成立の扱いも別に決める必要があります。

問いには、どちらが先に達成するかを求める型、同時成立を含めた結果の内訳を求める型、回数を区切って未達成を残す型があります。いずれも、先に答えの式を探すより、何が起きた瞬間に止まるかを文章から取り出すことが出発点です。ここで扱うのは有限回の競争です。回数の上限を設けない待ち時間は扱いません。

停止の瞬間で道筋を分ける

各回の結果が出た直後に条件を調べ、初めてどちらかが成立したら停止する、と定めます。2つともその回に初めて成立すれば同時です。上限の回まで調べてもどちらも成立しなければ未達成として打ち切ります。問題が同時の場合に片方を優先すると定めているなら、その規則に従って分類を変えます。

図1のように、停止前には両条件とも未達成です。最後の回の結果を加えた後に、先着、同時、未達成のどこに入るか決めます。各道筋は最初の停止時点が一意なので重なりません。また、上限まで調べるため、どの道筋もいずれかの区分に入ります。

図1の未達成は、途中でまだ達成していないという意味ではなく、上限まで終えても未達成という結果です。上限の前に未達成であることは、次の回へ進むための条件です。この2つを混同すると、途中の道筋と最終結果を重複して足してしまいます。

停止列を作るときは、各回の結果を左からたどり、成立した場所で線を引きます。線の前に別の成立があれば、その列は求める先着の候補から外れます。先着の意味を列の長さだけで判断せず、各条件の累計を確かめてください。

各回が独立なら、特定の結果の並びの確率は各回の確率の積です。独立でない場合は、直前までの結果を条件とした確率を掛けます。足すのは互いに重ならない道筋の確率です。試行を停止した後に実際には結果がない場合でも、計算上は上限まで結果をあらかじめ用意したと考えられます。ただし、停止後の結果の違いは同じ勝敗にまとめます。

例えば2回目で勝利する道筋の確率が1/4なら、後に2通りの等確率の結果があっても、それぞれ1/8に分かれるだけです。1/4を2回足してはいけません。逆に同じ長さの列を全部数える方法なら、停止後の各延長を1回ずつ数え、全列の数で割れます。2つの方法の分母を混ぜないことが重要です。

基本例題：色の先着を数える

【基本・標準】赤と青の札が1枚ずつ入った袋から1枚を取り、色を記録して戻します。これを独立に最大3回行い、赤が2回出るか青が2回出た時点で止めます。赤が先に2回出る確率を分数で求めてください。

図2のように、赤が勝つ停止時点は2回目か3回目です。2回目の勝利は赤赤、3回目の勝利は赤青赤と青赤赤です。3回目に進むには最初の2回が異色でなければならず、この場合分けは重なりません。

各色の確率は1/2なので、道筋ごとに掛けて足します。

P(赤の先着) = (1/2)・(1/2) + 2・(1/2)・(1/2)・(1/2)
= 1/4 + 1/4
= 1/2

答えは1/2です。図2の赤赤は2回で停止するので、その先の色を勝敗の条件に加えていません。確かめに3回分の列で見れば、赤赤赤と赤赤青の2列が赤赤に対応し、赤青赤、青赤赤と合わせて8列中4列です。青の勝利も対称に4列で、同時と未達成はありません。3回のうち必ず一方の色が2回以上出て、1回に増える色は1つだからです。

標準例題：打切りを残す

【標準・やや難】赤、青、白の札が各1枚ある袋から、戻しながら独立に最大2回引きます。赤または青が初めて出たら終了し、先に出た色の勝ちとします。2回とも白なら未達成です。赤の勝ちと未達成の確率をそれぞれ分数で求めてください。

赤の勝ちには、1回目が赤の場合と、1回目が白で2回目が赤の場合があります。1回目が青の後に赤が出る列は、青が既に勝っているため含めません。

P(赤の勝ち) = 1/3 + (1/3)・(1/3)
= 4/9
P(未達成) = (1/3)・(1/3)
= 1/9

別解として2回分の9列を等確率で用意します。赤の勝ちは赤赤、赤青、赤白、白赤の4列、未達成は白白の1列です。青の勝ちも4列なので、4/9 + 4/9 + 1/9 = 1です。勝者が決まった後を延長した3列をまとめて1回目の赤と見ることと、列ごとに数えることは同じです。この例は早い停止と打切りの両方が現れるので、全体が1になる検査が特に役立ちます。

発展例題：同時成立を独立の結果として扱う

【発展・難】1回につき独立な2枚の硬貨を同時に投げます。それぞれ表裏は同じ確率です。1枚目の表が初めて出る条件をA、2枚目の表が初めて出る条件をBとし、いずれかが成立すれば止めます。最大2回とし、同じ回に両条件が初めて成立したら同時、どちらも成立しなければ未達成です。Aの先着、Bの先着、同時、未達成の確率を分数で求めてください。

1回の結果を順に表表、表裏、裏表、裏裏とすると、それぞれの確率は1/4です。最初の3つはその場で同時、A先着、B先着となります。裏裏の場合だけ2回目に進み、同じ4通りに分かれます。Aの先着の道筋は表裏、裏裏の後に表裏の2本です。

P(A先着) = 1/4 + (1/4)・(1/4) = 5/16
P(B先着) = 1/4 + (1/4)・(1/4) = 5/16
P(同時) = 1/4 + (1/4)・(1/4) = 5/16
P(未達成) = (1/4)・(1/4) = 1/16

合計は1です。別解では2回分の結果の組を16通り並べます。1回目が表裏なら、2回目の4通りはいずれもA先着です。1回目が裏裏で2回目が表裏となる1通りを加え、A先着は5通りです。同様にB先着と同時も各5通り、裏裏が続く1通りが未達成です。

同時をA先着に含める規則なら、Aの結果は5/16 + 5/16 = 5/8に変わります。その場合は同時を別の結果として再び足しません。条件の成立と勝者の判定は別の規則です。どちらを尋ねられたかを先に明記すると、分類の変更が見通せます。

誤答を直す：終わった後の青を数えない

基本例題で「3回のうち赤が2回、青が1回なら赤の勝ち」と考えると、赤赤青、赤青赤、青赤赤の3列だけになり、確率を3/8としてしまいます。図3のように、赤赤赤も2回目で赤が勝つ列です。3回目が何色でも、既に決まった勝敗は変わりません。

逆に「赤が2回以上出る」を無条件で使えるのは、この基本例題のように各回にどちらか一色が出て、両者の必要数が同じ場合です。白が混じる場合や必要数が違う場合、最終個数から先着順が決まるとは限りません。先に停止列を調べ、最終列の条件との対応を証明してから使います。

また、停止列の長さが違うのに、その本数を同じ重みで割るのも誤りです。赤赤の確率は1/4、赤青赤の確率は1/8です。長い列ほど細かく分けられています。道筋ごとに確率を掛けるか、同じ上限の長さまで延長して等確率の列を数えます。

練習問題

いずれも自作の設定で、答えは分数で表してください。各回の試行は独立です。停止後の結果は実際には記録しません。

1. 【標準】数字1、2、3、4が等確率で出る装置を最大2回使います。1が出ればA、2が出ればBの勝ちとして直ちに止め、どちらも出なければ未達成です。Aの勝ちと未達成の確率を求めてください。
2. 【標準】緑と黄が等確率で出る装置を最大3回使います。緑が2回出るか、黄が初めて出ると止めます。緑の条件が先に成立する確率を求めてください。
3. 【やや難】赤、青、白、黒の札各1枚から戻しながら最大2回引きます。赤と青のいずれかが初めて出ればその色の勝ちです。赤の勝ちと未達成の確率を求めてください。
4. 【やや難】2個の区別できるさいころを同時に1回振ります。1個目が偶数ならA、2個目が偶数ならBの条件が成立します。A先着、B先着、同時、未達成の確率を求めてください。1回で終了します。
5. 【難】赤と青が等確率で出る装置を最大4回使います。赤が3回出るか、青が2回出れば止めます。赤の先着、青の先着、未達成の確率を求めてください。

練習の解答

1

Aの勝ちは初回が1、または初回が3か4で2回目が1です。未達成は両回とも3か4です。

P(Aの勝ち) = 1/4 + (2/4)・(1/4) = 3/8
P(未達成) = (2/4)・(2/4) = 1/4

2回分の16列に戻すと、Aの勝ちは初回1の4列と、初回3か4で次が1の2列です。未達成は4列です。Bの勝ちも6列であり、6 + 6 + 4 = 16と全列に戻ります。

2

黄が出る前に緑を2回出す必要があるので、緑緑で2回目に止まります。3回目まで進む道筋はありません。

P(緑の先着) = (1/2)・(1/2) = 1/4

3回分を用意すると、緑緑緑と緑緑黄の2列が勝ちです。残りの6列は黄が先に出ます。勝ちの列を2/8と数えても1/4になります。

3

赤の勝ちは初回が赤、または初回が白か黒で2回目が赤です。未達成には白と黒の2色が各回に使えます。

P(赤の勝ち) = 1/4 + (2/4)・(1/4) = 3/8
P(未達成) = (2/4)・(2/4) = 1/4

16列では赤の勝ちが6列、青の勝ちが6列、未達成が4列です。初回に青が出た後の赤は青の勝ちに含まれるので、赤の勝ちに数えません。

4

各さいころに偶数は3個、奇数も3個あります。偶奇の組は独立で、4通りが各1/4です。

P(A先着) = (3/6)・(3/6) = 1/4
P(B先着) = (3/6)・(3/6) = 1/4
P(同時) = (3/6)・(3/6) = 1/4
P(未達成) = (3/6)・(3/6) = 1/4

36通りの出目では各区分が9通りです。1回しかないので、A先着とはAが成立しBが成立しないことです。両方が成立する9通りは同時に入れます。

5

赤の先着は3回目まで赤赤赤、または最初の3回に赤2回と青1回があり、4回目が赤となる場合です。後者の3通りはいずれも途中で青が2回になっていません。

P(赤の先着) = (1/2)³ + 3・(1/2)⁴
= 2/16 + 3/16 = 5/16
P(青の先着) = 1 - 5/16 = 11/16
P(未達成) = 0

4回まで両条件が未達成なら赤は高々2回、青は高々1回で、合計が高々3回となり矛盾します。同時成立も1回に1色しか増えないので起きません。4回分の16列で赤の勝ちは赤赤赤からの2列と、赤2回・青1回の後に赤の3列の計5列です。残り11列は青の勝ちです。これにより余事象の計算も元の場面に戻せます。

手元に残す要点

• 停止直前は両条件が未達成です。
• 最初の成立回で先着と同時を判定します。
• 上限後の未達成も結果に含めます。
• 停止列の確率を足すか、同じ長さに延長して数えます。
• 排反性、網羅性、確率の合計を点検します。

どこでつまずいたかを見分ける

答えが大きすぎるときは、同じ実行を異なる停止時点で2回数えていないかを調べます。答えが小さすぎるときは、停止後の延長の一部を落としていないかを調べます。合計が1でも分類が入れ替わっていることはあるので、代表的な列を実際の規則に戻して勝者を確かめます。

個別に考え方を確かめる場面では、まず短い結果列を1本示し、どの回で止まるかを言葉で説明してみます。次に同時成立が可能な回と、上限に達しても両方が未達成の列を探します。見つからない場合も、なぜ不可能かを個数で説明できれば分類の根拠になります。

確率の公式を見渡す学習では積や和の使い方を確認できます。ここでは、それらを使う前に停止規則から足すべき道筋を決めました。勝敗を決めた瞬間を固定すれば、後に想像した結果に判断を揺らされずに済みます。