高校物理 コンデンサー—接続と切断の条件から電荷と電圧の変化を整理する｜武蔵野個別指導塾

直列では中間導体の中性条件から各電圧を求めます。極板間隔や誘電体を変える問題では、電池の接続状態から電荷と電圧のどちらを保つか選べるようにします。

よくあるのは、高校生が電池を外した後も電圧一定で計算するという場面です。極板の間隔を変えると容量が変わることは覚えていても、その前後で何を固定するかを取り違えると、電荷もエネルギーも連鎖して誤ります。回路のつながりを描き直し、電池が電荷を出し入れできるかを見てから式を選びましょう。

問題文から先に拾う条件

出方の1つは、複数のコンデンサーの接続図から合成容量と各部分の電荷、電圧を求める型です。並列なら両端の電位差が共通で、直列なら途中の孤立した導体の電荷に注目します。図が曲がって描かれていても、同じ導線で結ばれた点は同じ電位として読みます。

次は、充電後に極板間隔を変えたり、極板の間を誘電体で満たしたりする型です。電池につながったままなら電池が両端の電圧を保ちます。外して孤立させたなら、電荷が逃げる経路がないため各極板の電荷が保たれます。操作前後で一定の量を問題文の余白に書くと、式の選び間違いを減らせます。切断という言葉だけでなく、切断後に別の導線へつなぎ替えていないかも確認します。

さらに、蓄えられたエネルギーの変化を問う型があります。容量が増えたからエネルギーも増える、と容量だけで判断はできません。電池との電荷のやり取りや外から極板を動かす仕事を含め、どの条件で比べているかを確かめます。ここでは理想的なコンデンサーと電池を扱い、漏れや導線の抵抗は無視します。

電荷、電圧、容量を分けて見る

コンデンサーの一方の極板に正の電荷 +Q、他方に -Q があるとき、Q を電荷の大きさとします。正極板の電位から負極板の電位を引いた電圧を V とすると、電気容量 C は Q = CV で定義されます。容量の単位は F、電荷は C、電圧は V です。記号 C が容量にも電荷の単位にも使われるので、式の中の記号と単位を区別してください。

図1のように、同じ2点につながる並列では各コンデンサーの電圧が等しく、電源側から見た電荷は各枝の電荷の和です。容量が C₁、C₂ のとき、合成容量は C₁ + C₂ です。直列では中間導体が外部から孤立し、最初に中性なら、その両面に生じる電荷は大きさが等しく符号が逆です。両コンデンサーの電荷の大きさを Q とすると、全電圧は Q/C₁ + Q/C₂ です。したがって合成容量 C は 1/C = 1/C₁ + 1/C₂ となります。

直列で共通なのは電圧ではありません。容量が小さい方には、同じ Q に対して V = Q/C より大きい電圧がかかります。並列で共通なのは電荷でもありません。容量が大きい方に、同じ V に対してより大きい電荷がたまります。

平行板の端の効果を無視し、極板面積を S、間隔を d、間を一様に満たす物質の誘電率を ε とすると C = εS/d です。面積を変えず間隔を2倍にすると容量は半分になります。間を誘電率が元の2倍の物質で隙間なく満たすと容量は2倍です。この関係は電荷や電圧の固定を意味しません。先に形状と物質から容量を決め、次に接続条件で Q と V を決めます。

蓄えられるエネルギーは U = QV/2 です。Q = CV を用いれば U = CV²/2、または U = Q²/(2C) とも書けます。どれも同じ式ですが、電圧一定なら CV²/2、電荷一定なら Q²/(2C) の形で前後を比べると、固定する量が見えます。µF は 10⁻⁶ F、µC は 10⁻⁶ C です。数値計算では SI 単位に直し、最後に読みやすい単位に戻します。

基本例題：直列の電圧を分ける

容量 3 µF と 6 µF の理想コンデンサーを直列に接続し、両端に 12 V の理想電池をつなぎます。中間の導体は最初に電気的に中性で、十分時間がたって静電状態になったとします。合成容量を µF、各コンデンサーの電荷の大きさを µC、各電圧を V、蓄えた全エネルギーを µJ で、いずれも整数として求めてください。

図2のように2つの間の導体は外部につながっていません。この導体の両面に現れる電荷の合計は0なので、2つの電荷の大きさは同じです。全電圧は両部分の電圧の和になります。

まず SI 単位に直すと C₁ = 3 × 10⁻⁶ F、C₂ = 6 × 10⁻⁶ F です。合成容量 C について、

1/C = 1/(3 × 10⁻⁶) + 1/(6 × 10⁻⁶)

= 3/(6 × 10⁻⁶)

よって C = 2 × 10⁻⁶ F = 2 µF です。電池から見た電荷の大きさは、

Q = CV = (2 × 10⁻⁶) × 12 = 24 × 10⁻⁶ C = 24 µC

です。中間導体が中性なので、この大きさが各コンデンサーに共通します。各電圧は、

V₁ = Q/C₁ = (24 × 10⁻⁶)/(3 × 10⁻⁶) = 8 V

V₂ = Q/C₂ = (24 × 10⁻⁶)/(6 × 10⁻⁶) = 4 V

です。電池の両端に戻して 8 + 4 = 12 V と確かめます。また 3 µF に 8 V、6 µF に 4 V をかけると、どちらも電荷の大きさは 24 µC です。中間導体の一方の面が -24 µC、他方が +24 µC となり、合計0の条件にも戻ります。

全エネルギーは、合成容量を使えば U = CV²/2 = (2 × 10⁻⁶) × 12²/2 = 144 × 10⁻⁶ J = 144 µJ です。個別に計算すると 3 µF 側は 96 µJ、6 µF 側は 48 µJ で、和は同じ 144 µJ です。電圧を6 Vずつにすると合計は12 Vでも、両者の電荷が18 µCと36 µCになり、中間導体の中性条件を満たしません。

分かれ道：間隔を広げる前に電池を見る

平行板コンデンサーの初めの容量を 4 µF、電圧を 6 V とします。十分充電してから、極板面積を変えずに間隔を2倍にします。端の効果と電荷の漏れは無視し、極板間は同じ物質で満たされているものとします。電池につないだままの場合と、充電後に電池を外して各極板を孤立させた場合について、操作後の容量を µF、電荷の大きさを µC、電圧を V、エネルギーを µJ で整数として求めてください。

どちらの場合も形状の変化は同じです。C = εS/d より、容量は 4/2 = 2 µF です。操作前の電荷とエネルギーは SI 単位で、

Q₀ = (4 × 10⁻⁶) × 6 = 24 × 10⁻⁶ C = 24 µC

U₀ = (4 × 10⁻⁶) × 6²/2 = 72 × 10⁻⁶ J = 72 µJ

となります。ここから条件によって計算が分かれます。

電池につないだままなら V = 6 V が一定です。操作後は Q = (2 × 10⁻⁶) × 6 = 12 × 10⁻⁶ C = 12 µC、U = (2 × 10⁻⁶) × 6²/2 = 36 µJ です。電荷の大きさが減った分は電池との間で移動できます。操作後の Q/C は 6 V となり、電池の条件に戻ります。

一方、外して各極板を孤立させれば Q = 24 µC のままです。V = (24 × 10⁻⁶)/(2 × 10⁻⁶) = 12 V、U = (24 × 10⁻⁶) × 12/2 = 144 µJ です。操作後も CV = 24 µC で、初めの電荷に戻ります。電圧を6 Vのままにすると電荷は12 µCとなり、孤立条件と矛盾します。

エネルギーは接続時に 72 µJ から 36 µJ へ減り、孤立時に 72 µJ から 144 µJ へ増えました。極板は引き合うので、ゆっくり引き離すには外から仕事が必要です。孤立時はその仕事が蓄積エネルギーの増加に対応します。接続時には電池へ戻るエネルギーもあるため、コンデンサーのエネルギーの変化だけを外力の仕事と同一視できません。

誤答の足跡をたどる

誤答の例は、前の孤立した平行板に対して「容量が半分で電圧が6 Vのままだから電荷は12 µC」とするものです。Q = CV 自体は正しい式ですが、外した電池の電圧を操作後にも適用しています。図3のように、切断後の極板には電荷が出入りする道がありません。まず 24 µC を固定し、変化後の容量 2 µF で割ると 12 V になります。

別の誤りは、電池につないだままでも電荷を固定することです。電池が両端を6 Vに保つので、容量が変化した分の電荷が電池との間を移動します。回路図に電池との経路が残っているかを指でたどり、一定と書いた量を訂正してください。

直列の計算で容量をそのまま足す誤りもあります。足し算は同じ2点間に接続された並列の結果です。直列では共通の電荷に対し電圧を足すことから逆数の式が出ます。求めた合成容量が小さい方の容量より大きければ、直列としては計算を見直す手がかりになります。

エネルギーの式に操作前の電荷と操作後の電圧を混ぜる間違いにも注意します。U = QV/2 の Q と V は同じ状態の組です。前後を表の別の行に書き、同じ行の値同士をかけてください。変化の向きが予想と違っても、固定した量が電圧か電荷かを確かめてから判断します。

自分の手で条件を選ぶ

次の4問は独立しています。各素子と電池は理想的で、電荷の漏れ、導線の抵抗、平行板の端の効果は無視します。答えは指定した単位で表し、分数の指定がない量は整数としてください。

1. 2 µF と 5 µF のコンデンサーを並列につなぎ、10 V の電池に接続して静電状態にします。合成容量、各電荷の大きさ、全エネルギーをそれぞれ µF、µC、µJ で求めてください。
2. 4 µF と 12 µF のコンデンサーを直列につなぎ、8 V の電池に接続して静電状態にします。中間導体は最初に中性です。合成容量を µF、各電荷の大きさを µC、各電圧を V で求めてください。
3. 3 µF の平行板コンデンサーを 4 V で充電し、電池を外して各極板を孤立させます。極板間を誘電率が元の3倍の物質で隙間なく満たします。操作後の容量、電荷の大きさ、電圧、エネルギーをそれぞれ µF、µC、V、µJ で求め、電圧は分数で表してください。
4. 5 µF の平行板コンデンサーを 8 V の電池につないだまま、極板間隔を4倍にします。面積と極板間の物質は変えません。操作後の容量を µF では分数、電荷の大きさを µC、エネルギーを µJ では整数で求めてください。

答えと確かめ方

1. 並列なので C = (2 + 5) × 10⁻⁶ = 7 × 10⁻⁶ F = 7 µF です。両方に 10 V がかかり、Q₁ = (2 × 10⁻⁶) × 10 = 20 µC、Q₂ = (5 × 10⁻⁶) × 10 = 50 µC です。U = (7 × 10⁻⁶) × 10²/2 = 350 µJ となります。電荷の和 70 µC を合成容量 7 µF で割ると 10 V で、電池の条件に戻ります。

2. 1/C = 1/(4 × 10⁻⁶) + 1/(12 × 10⁻⁶) より C = 3 × 10⁻⁶ F = 3 µF です。共通の電荷は Q = (3 × 10⁻⁶) × 8 = 24 µC です。電圧は 4 µF 側が 24/4 = 6 V、12 µF 側が 24/12 = 2 V です。6 + 2 = 8 V で電池の電圧に戻り、中間導体の両面の電荷も -24 µC と +24 µC で合計0です。

3. 初めの電荷は Q = (3 × 10⁻⁶) × 4 = 12 × 10⁻⁶ C です。誘電率が3倍なので容量は 9 × 10⁻⁶ F = 9 µF、電池を外したため電荷は 12 µC のままです。V = (12 × 10⁻⁶)/(9 × 10⁻⁶) = 4/3 V、U = (12 × 10⁻⁶) × (4/3)/2 = 8 µJ です。9 µF に 4/3 V をかけると 12 µC に戻ります。初めのエネルギー 24 µJ と比べると、電荷を保ったまま容量が増えたため 8 µJ に減っています。

4. 容量は (5/4) × 10⁻⁶ F = 5/4 µF です。電池があるので電圧は 8 V のままです。Q = (5/4) × 10⁻⁶ × 8 = 10 µC、U = (5/4) × 10⁻⁶ × 8²/2 = 40 µJ です。10 µC を 5/4 µF で割れば 8 V に戻り、電池の条件を満たします。

手元に残す4行

並列は電圧が共通で、電荷を足します。
中間導体が中性の直列は電荷の大きさが共通で、電圧を足します。
電池接続中は電圧、切断して孤立した極板では電荷を固定します。
エネルギーは同じ状態の Q と V を使って QV/2 で求めます。

答案のどこで迷ったか

学校のノートや答案で、最初に回路の接続を読み違えたのか、接続は読めても保存量を選び違えたのかを分けてみましょう。途中式に Q = CV があっても、Q と V が操作の前後どちらの値か書かれていなければ、間違いの場所を特定しにくくなります。

個別指導で確かめるなら、電池を外した後の回路を本人に描いてもらい、電荷が移動できる経路を説明してもらいます。次に操作前後の C、Q、V を並べ、各行が Q = CV を満たすか、固定した列が接続条件と一致するかを見ます。途中で式が止まった場合も、どの量が先に決まるかを指し示せると、次の一行につながります。接続の図に戻れば、保存量を選ぶ根拠が見えてきます。