高校物理 直流回路—電流の仮の向きと電位差を決めて枝分かれの式を立てる｜武蔵野個別指導塾

内部抵抗による端子電圧の低下を踏まえ、接点で向きと符号を考える対象は枝電流です。

よくあるのは、高校生が電池の内部抵抗による電圧降下を見落とし、起電力をそのまま端子電圧にしてしまう場面です。電池の外に電流が流れているとき、内部でも抵抗による電位差が生じます。回路図にある電池の記号を起点に、どこからどこまでの電位差を求めるのかを定めると、式の意味が見えてきます。

枝が増えた回路でも、電流の向きを最初から当てる必要はありません。仮の矢印を描き、接点での電流と閉じた道に沿う電位の変化を順に調べます。負の答えが出たときも、式がすぐに失敗と決まるわけではありません。

回路図から何を求めるか

定期テストでは、まず電池と抵抗の接続から、電流、端子電圧、消費電力を求める型があります。電池が放電しているときは、起電力から内部抵抗の電圧降下を引いたものが端子電圧です。外側の抵抗にかかる電圧も同じ端子間の電位差になるので、2通りの式を照合できます。

次の型は、並列の枝や複数の電池を含む回路で、接点と閉路の式を立てる問題です。枝ごとの電流が同じとは限らず、並列の枝では両端の電位差が共通です。向きを決めてから式を作ると、逆向きに流れる枝も符号で表せます。

抵抗の形や材料の違いから抵抗値を考える問題もあります。長さや断面積、温度の条件を読み、金属と半導体の性質を混同しないことが出発点です。ここでは電流が一定になった直流回路を扱い、切り替え直後の時間変化は追いません。

接点と一周の約束

電位は基準点を選んで表す高さのような量で、電圧は2点の電位の差です。基準の取り方を変えても、同じ2点の電位差は変わりません。抵抗 R に電流 I が流れるとき、電流の向きにたどれば電位は RI だけ下がり、逆にたどれば RI だけ上がります。電圧を V とすると、オームの法則は V = RI です。

図1のように、接点 A に入る電流を I、そこから出る枝の電流を I₁、I₂ と置きます。接点に電荷がたまり続けない定常状態では I = I₁ + I₂ です。これがキルヒホッフの第1法則です。枝の上下端が同じ A と B につながるため、両抵抗の電位差は等しく、R₁I₁ = R₂I₂ となります。

図1の A から B へ各枝を進み、別の枝を逆に戻れば、電位は元の値に戻ります。閉路を一周した電位変化の和が 0 になることがキルヒホッフの第2法則です。抵抗を電流の向きに進む変化は -RI、理想電池を負極から正極へ進む変化は +E と書きます。逆向きに進む場合は、それぞれ符号を反転します。

実際の電池は、起電力 E の理想電池と内部抵抗 r の直列として表せます。正極から外へ電流 I を供給する放電時の端子電圧 V は V = E − rI です。電流が 0 なら降下も 0 ですが、流れているときに E と V を同一視することはできません。外から逆向きの電流を押し込む充電時には、同じ向きを正に取った I が負となり、端子電圧は E より高くなります。

抵抗の消費電力は P = VI です。抵抗では V = RI なので P = RI² = V²/R とも書けます。ただし V はその抵抗の両端の電圧です。電池の起電力をどの抵抗にもそのまま代入すると、内部や別の抵抗の電圧降下を落としてしまいます。

基本例題：電池と2本の枝

起電力 12 V、内部抵抗 1 Ω の電池に、6 Ω と 3 Ω の抵抗を並列につなぎます。導線の抵抗は無視し、電池は放電しています。回路が定常になったとき、電池から出る電流、各枝の電流、端子電圧、外側の各抵抗と内部抵抗の消費電力を求めてください。答えは分数または整数で、単位を付けます。

図2のように、正極から接点 A へ向かう電流を I、A から B へ流れる各枝の電流をそれぞれ I₁、I₂ とします。B を 0 V とし、A の電位を V と置きます。導線の抵抗はないため、A と電池の正極は同電位、B と負極も同電位です。

図2の2本の枝は A と B の間にあるので、どちらにも V がかかります。オームの法則から

I₁ = V/6、I₂ = V/3

です。接点で電流を合わせると、

I = I₁ + I₂ = V/6 + V/3 = V/2

となります。電池の内部では 1 × I V の降下があるため、

V = 12 − I

です。ここへ I = V/2 を代入すると、

V = 12 − V/2 3V/2 = 12 V = 8 V

を得ます。したがって、

I = 8/2 = 4 A I₁ = 8/6 = 4/3 A I₂ = 8/3 A

です。合成抵抗を使うなら、外側は 2 Ω、内部を含めて 3 Ω ですから、12/3 = 4 A と同じ電流に戻ります。並列の抵抗を単純に足すと 9 Ω となり、電圧が共通という接続を失います。

各抵抗での消費電力は、その両端の電圧と流れる電流から求めます。

6 Ω の電力 = 8 × 4/3 = 32/3 W 3 Ω の電力 = 8 × 8/3 = 64/3 W 内部抵抗の電力 = 1 × 4² = 16 W

確かめると、枝の電流の和は 4/3 + 8/3 = 4 A で、電池から出る電流に一致します。B の 0 V から電池を通って A に向かうと、起電力で 12 V 上がり、内部抵抗で 4 V 下がって 8 V です。A から各抵抗を通ると、それぞれ 6 × 4/3 = 8 V、3 × 8/3 = 8 V 下がり B に戻ります。電池が供給する 12 × 4 = 48 W も、外側の 32 W と内部の 16 W の和に一致します。

向きが逆になる枝を含む例

A と B の間に3本の枝があります。第1の枝は、A から B にたどると正極、理想電池、負極、2 Ω の抵抗の順です。第2の枝も同じ極性で、起電力 3 V の理想電池と 1 Ω の抵抗が直列です。第1の電池の起電力は 9 V、第3の枝は 3 Ω の抵抗だけです。導線の抵抗は無視します。各枝の電流を A から B 向きを正にして、符号付きの分数または整数と単位で求め、A の B に対する電位差も求めてください。

A の電位を V、B を 0 V とし、第1、第2、第3の枝の電流を順に I₁、I₂、I₃ とします。各枝を A から B にたどると、電池は正極から負極への降下です。抵抗の降下も合わせると、

V = 9 + 2I₁ V = 3 + I₂ V = 3I₃

です。電流の矢印を3本とも A から出る向きにしたので、接点の式は I₁ + I₂ + I₃ = 0 です。これを「電流が消える」と考えず、負の電流が実際には接点へ入ると読みます。

各式を電流について解くと I₁ = (V − 9)/2、I₂ = V − 3、I₃ = V/3 です。接点の式に代入し、分母を払います。

(V − 9)/2 + (V − 3) + V/3 = 0 3(V − 9) + 6(V − 3) + 2V = 0 11V − 45 = 0 V = 45/11 V

よって I₁ = -27/11 A、I₂ = 12/11 A、I₃ = 15/11 A です。第1の枝は仮の向きと逆に B から A へ流れます。第2と第3は仮の向きどおりです。接点に入る 27/11 A が出る 12/11 + 15/11 A と一致し、各枝の電位差も 9 + 2 × (-27/11) = 3 + 12/11 = 3 × 15/11 = 45/11 V に戻ります。

分かれ目は第2の電池の極性と V の大小です。この条件では V が 3 V を上回るので、第2の枝は A から B に流れ、電池に電流が正極から入ります。電池を放電していると決めつけると、電位変化の符号を取り違えます。仮の電流が 0 と出た場合には、その枝の抵抗の電位差は 0 ですが、電池を含む枝全体の電位差も 0 とは限りません。

間違えた式を接続に戻して直す

基本例題で「端子電圧は 12 V、電池の電流は 6 A」と答えたとします。これは 6 Ω と 3 Ω に 12 V をかけて 2 A と 4 A を足した計算です。しかし、その 6 A が内部抵抗にも流れるなら、内部で 6 V 下がり、端子電圧は 12 − 6 = 6 V になります。出発点の 12 V と一致しません。

図3のように、原因は電池の起電力を外側の端子間電圧と同じものとして扱ったことです。端子電圧を未知数 V と置き、枝の電流の和と V = 12 − I を同時に満たすように直します。得られた 8 V を各枝と電池内部に戻せば、どちらの道を通っても接点の電位が一致します。

図3の誤答は、式の数字が合っていても接続全体の条件を満たさない例です。また、並列の 6 Ω と 3 Ω を流れる電流を両方 4 A とする誤りでは、両端の電圧が 24 V と 12 V になり、同じ2点につながる条件に反します。並列は電流が等しいという意味ではなく、電位差が等しいという意味です。

負の電流が出た答案にも注意します。負号を消して大きさだけを書けば、接点に入るか出るかの情報が失われます。仮の矢印を残したまま「逆向きに流れる」と書き、接点の出入りをもう一度数えると修正できます。一周の式では、どの向きに回ったかを矢印で示し、各素子を通る前後の電位を順に記録してください。

材料と形を変えるとき

同じ材料で断面が一様な導体の抵抗は R = ρL/S です。L は長さ、S は断面積、ρ は抵抗率です。長くすれば電流の通り道が長くなり抵抗は増え、断面積を大きくすれば抵抗は減ります。長さの単位を m、面積を m²、抵抗率を Ω m にそろえると、抵抗の単位は Ω です。

抵抗率は材料や温度によって変わります。一般に金属では温度が上がると抵抗率が増える傾向がありますが、半導体では温度上昇で電流を運ぶ粒子が増え、抵抗率が減る場合があります。変化の割合を一律に決めず、問題で与えられた条件やグラフを読みます。

半導体には、電子が主な担い手となる n 型と、正孔が主な担い手となる p 型があります。正孔は電子が不足した状態を正電荷の移動として扱うものです。p 型と n 型を接合したダイオードは電流の向きによって流れやすさが異なります。抵抗のように常に一定の R で V = RI を使うのではなく、問題で示された電流と電圧の関係を使います。

練習：条件を読んで式を選ぶ

次の4問は、導線の抵抗を無視し、回路は定常状態とします。答えは分数または整数で、単位と必要な向きを示してください。電池は起電力と内部抵抗の直列として扱います。

1. 起電力 15 V、内部抵抗 2 Ω の電池に、8 Ω の抵抗を接続します。放電中の電流、端子電圧、8 Ω の抵抗の消費電力を求めてください。
2. 理想電池 18 V に、9 Ω と 18 Ω の抵抗を並列につなぎます。各枝の電流と電池から出る電流を求めてください。
3. A と B の間に2本の枝があります。一方は A から B へ正極、起電力 10 V の理想電池、負極、2 Ω の抵抗の順に直列で、もう一方は 3 Ω の抵抗です。両枝の電流を A から B 向きに符号付きで求め、A の B に対する電位差を求めてください。
4. 抵抗率 3 × 10⁻⁶ Ω m の材料で作った、長さ 2 m、断面積 1 × 10⁻⁶ m² の一様な導体があります。温度は一定とします。抵抗値を求め、同じ材料・温度で長さを半分、断面積を2倍にした導体の抵抗値も求めてください。

解答と道筋

1. 回路は直列なので全抵抗は 2 + 8 = 10 Ω、電流は 15/10 = 3/2 A です。端子電圧は 15 − 2 × 3/2 = 12 V、8 Ω の電力は 12 × 3/2 = 18 W です。逆に外側の電圧は 8 × 3/2 = 12 V、内部の降下は 3 V で、合計 15 V と元の起電力に戻ります。電池の供給電力 15 × 3/2 = 45/2 W は、外側の 18 W と内部の 9/2 W の和です。

2. 並列の両枝に 18 V がかかるので、9 Ω の電流は 18/9 = 2 A、18 Ω の電流は 18/18 = 1 A です。電池から出る電流は 2 + 1 = 3 A です。各電流を抵抗に戻すと 9 × 2 = 18 V、18 × 1 = 18 V で、両端が同じ電位差になります。もし両枝に同じ電流を置くと、この2つの電圧が一致しないため接続条件を満たせません。

3. 電池を含む枝の電流を I₁、抵抗だけの枝を I₂ とし、A の電位を V、B を 0 V とします。V = 10 + 2I₁、V = 3I₂、I₁ + I₂ = 0 です。I₁ = -I₂ を代入すると 3I₂ = 10 − 2I₂、5I₂ = 10 です。したがって I₂ = 2 A、I₁ = -2 A、V = 6 V です。電池の枝は実際には B から A へ 2 A 流れます。電池の枝は 10 + 2 × (-2) = 6 V、もう一方は 3 × 2 = 6 V となり、接点でも出入りが等しくなります。

4. 元の抵抗は R = (3 × 10⁻⁶) × 2/(1 × 10⁻⁶) = 6 Ω です。形を変えると長さは 1 m、断面積は 2 × 10⁻⁶ m² なので、R = (3 × 10⁻⁶) × 1/(2 × 10⁻⁶) = 3/2 Ω です。元の長さの 1/2 と断面積の逆数の 1/2 を掛けると 6 × 1/4 = 3/2 Ω となり、形の変化からも同じ値を得ます。

手元に残す4行

電流の矢印と電位の基準を先に決めます。 接点では入る電流と出る電流をそろえます。 閉路では各素子の電位変化を一周分足して 0 にします。 端子電圧と消費電力を、内部抵抗も含めて確かめます。

答案のどこを見直すか

端子電圧が起電力と同じ答案なら、内部抵抗を流れる電流を回路図に書き足してみてください。電流が 0 でないのに内部の降下が 0 となっていれば、式に抜けがあります。枝電流の符号で迷う場合は、矢印の向きと一周する向きを別々に記し、抵抗を通る前後の電位を言葉で説明します。

個別指導で確認するなら、完成した答えだけでなく、接点の出入りを数えた行と電池を横切る向きを記した行が手掛かりです。計算が合っていても、別の閉路をたどったときに同じ接点へ異なる電位が戻れば、立式を見直せます。電流の符号は、回路の中で実際に流れる向きを伝えています。