大学入試数学 確率の漸化式と三状態—必要な状態を分けて連立関係から目的の確率を取り出す｜武蔵野個別指導塾

環状の三地点を巡る移動で、根拠なく二地点を同じ確率とせず、和が1になる条件と差の漸化式から各回の値を絞り込みます。鍵は三状態です。

よくあるのは、環状に並んだ三つの地点を一歩ずつ移るとき、二つの地点を根拠なく同じ確率と置いてしまう場面です。1回の移動で隣へ進む確率が地点ごとに決まっていて、何回か後にどの地点にいるかを考えます。A、B、C の三地点がこの順に時計回りに並び、1回で必ず隣のどちらかへ移るとします。はじめにいる地点と、各地点から時計回り・反時計回りへ進む確率が与えられれば、n 回後の位置の確率は順に決まっていきます。

問われ方は大きく三つに分かれます。第一に、3回後など回数を固定して、一つの地点にいる確率を聞く形です。第二に、n 回後に一つの地点にいる確率を n の式で答える形です。第三に、二つの地点の確率が等しいか、どちらが大きいかを説明させる形です。どの形でも、三つの地点の確率を毎回すべて書き並べる必要はありません。必要な状態を選び、確率の和が1になる条件と、隣り合う回の関係を結びつけて、目的の一つの量を取り出します。

三つの状態を分け、和と差で未知数を減らす

n 回後にいる地点を Xₙ と書き、A、B、C にいる確率をそれぞれ pₙ、qₙ、rₙ とします。pₙ = P(Xₙ = A)、qₙ = P(Xₙ = B)、rₙ = P(Xₙ = C) です。三地点は同時には選べず、どの回もどれか一つにいるので、pₙ + qₙ + rₙ = 1 がすべての n で成り立ちます。この等式は、三つの未知数のうち一つを残り二つで表せるという意味を持ちます。

三地点を A、B、C の順に時計回りに置きます。1回の移動で、A からは B へ確率 a、C へ確率 1-a で移り、B からは C へ確率 b、A へ確率 1-b で移り、C からは A へ確率 c、B へ確率 1-c で移るとします。0 < a < 1、0 < b < 1、0 < c < 1 とします。この規則を図1のように描くと、三つの地点の間に六本の向きのある辺が並びます。

図1のように、各地点から出る二本の確率の和は1です。A にいる確率 pₙ₊₁ は、前の回に B にいて A へ来る場合と、C にいて A へ来る場合の合計です。二つの場合は同時に起こらないので、確率を足せます。同じように qₙ₊₁ と rₙ₊₁ を書くと、次の三本の関係が得られます。

pₙ₊₁ = (1-b) qₙ + c rₙ
qₙ₊₁ = a pₙ + (1-c) rₙ
rₙ₊₁ = (1-a) pₙ + b qₙ

三本の右辺の係数を地点ごとに足すと、pₙ の係数は a + (1-a) = 1、qₙ の係数は (1-b) + b = 1、rₙ の係数は c + (1-c) = 1 になります。前の回の確率の合計が1なら、次の回の合計も1です。この確認は、式を立てた後の検算として毎回行います。

三つの状態を扱うとき、二つの地点の確率を等しいと置けるかどうかが分かれ目になります。等しいと置くには、理由が要ります。一つの方法は、地点の名前を入れ替えても規則が変わらない対称性を見つけることです。A を通り、B と C を入れ替える折り返しを考えます。この折り返しで、A から B へ進む確率と A から C へ進む確率が等しく、B から A へ進む確率と C から A へ進む確率も等しく、B と C の間の往復の確率も等しいなら、規則は折り返しで変わりません。さらに、はじめに A にいるという条件も折り返しで変わりません。この二つがそろったとき、A から出た経路で B に着くものと、折り返した経路で C に着くものが一対一に対応し、確率も同じになります。したがって qₙ = rₙ がすべての n で成り立ちます。

規則の対称性だけでは足りません。はじめの地点が B なら、折り返すと C に移ってしまい、初期状態が変わるからです。この場合は qₙ と rₙ を等しいと置けません。対称性を使う条件は、規則の対称性と初期状態の対称性の両方です。

もう一つの分かれ目は、目的の地点へ入る確率が二つの地点でそろっているかどうかです。pₙ₊₁ の式で qₙ と rₙ の係数が同じなら、qₙ + rₙ = 1 − pₙ を使って pₙ だけの式にできます。係数が違えば、qₙ と rₙ の差も必要になります。差を dₙ = qₙ − rₙ と置くと、qₙ = (1 − pₙ + dₙ)/2、rₙ = (1 − pₙ − dₙ)/2 と書けます。和と差に分けるこの変形が、三状態の見通しを良くします。

どの地点からも次の回に必ず移る設定では、三つの状態が最後まで残ります。到着したら動かなくなる状態を別に扱う題目とは、この点で役割が分かれます。ここでは三つすべてが次の回も動き続ける場合だけを扱います。

基本例題　左右対称な環を一歩ずつ進む

問題（標準）: 三地点 A、B、C が環状に並び、どの地点からも時計回りに 1/2、反時計回りに 1/2 の確率で隣へ移ります。はじめ A にいるとき、(1) 2回後に A にいる確率を求めてください。(2) n 回後に A にいる確率 pₙ を n の式で表してください。2回後の値と一般項を順に確かめ、確率は約分した分数で、一般項は n の式で答えてください。

解き方: n=0 では p₀ = 1、q₀ = 0、r₀ = 0 です。どの地点からも二方向の確率が 1/2 なので、a = b = c = 1/2 です。三本の関係に代入すると、pₙ₊₁ = (1/2) qₙ + (1/2) rₙ となります。qₙ + rₙ = 1 − pₙ なので、pₙ₊₁ = (1/2)(1 − pₙ) です。

1. p₁ = (1/2)(1 − 1) = 0、p₂ = (1/2)(1 − 0) = 1/2 です。2回後に A にいる確率は 1/2 です。図2の表のように、qₙ と rₙ も順に決まります。

図2のように、qₙ と rₙ はどの回も等しくなります。理由は、A を固定して B と C を入れ替える折り返しで、規則と初期状態の両方が変わらないからです。B に着く経路を折り返すと C に着く経路になり、確率が同じまま一対一に対応します。

2. pₙ₊₁ = (1/2)(1 − pₙ) を変形します。定数 1/3 を引くと、差が等比数列になる形になります。

pₙ₊₁ - 1/3 = -(1/2)(pₙ - 1/3)

p₀ − 1/3 = 2/3 なので、次の式になります。

pₙ - 1/3 = (2/3)(-1/2)ⁿ
pₙ = 1/3 + (2/3)(-1/2)ⁿ

n=0 で 1、n=1 で 0、n=2 で 1/2 となり、上の値と一致します。qₙ + rₙ = 1 − pₙ と qₙ = rₙ から、qₙ = rₙ = 1/3 − (1/3)(-1/2)ⁿ です。

n=2 を経路で確かめます。A から2回で A に戻る経路は A→B→A と A→C→A の二つです。それぞれ (1/2)(1/2) = 1/4 で、合計 1/2 です。A→B→C と A→C→B は C と B に着き、それぞれ 1/4 です。図2の n=2 の行と一致します。

標準例題　行き先の確率がそろわない環

問題（やや難）: 三地点 A、B、C が環状に並び、A からは B へ 1/3、C へ 2/3、B からは C へ 1/3、A へ 2/3、C からは A へ 1/4、B へ 3/4 の確率で移ります。はじめ A にいるとき、(1) 1回後に B と C にいる確率を求めてください。(2) 2回後に A、B、C にいる確率を求めてください。(3) pₙ₊₁ を pₙ と dₙ = qₙ − rₙ で表し、dₙ₊₁ も同じ形で表してください。(4) 3回後に A にいる確率を求めてください。回数を追うごとに三つの確率を順に決め、値は約分した分数で答えてください。

解き方: この規則では a = 1/3、b = 1/3、c = 1/4 です。A を固定して B と C を入れ替える折り返しを考えると、A から B へ進む確率 1/3 は A から C へ進む確率 2/3 に移ります。移した先で値が変わるので、規則は折り返しで変わらないとは言えません。初期状態が A でも、規則の対称性が無いので qₙ = rₙ は使えません。

1. 1回後は A から直接移るだけです。q₁ = 1/3、r₁ = 2/3 です。p₁ = 0 で、和は 1 です。

2. 三本の関係に n=1 の値を代入します。

p₂ = (1 - 1/3)(1/3) + (1/4)(2/3) = 2/9 + 1/6 = 7/18
q₂ = (1/3)(0) + (1 - 1/4)(2/3) = 1/2
r₂ = (1 - 1/3)(0) + (1/3)(1/3) = 1/9

和は 7/18 + 1/2 + 1/9 = 7/18 + 9/18 + 2/18 = 1 です。

3. qₙ + rₙ = 1 − pₙ と dₙ = qₙ − rₙ から、qₙ = (1 − pₙ + dₙ)/2、rₙ = (1 − pₙ − dₙ)/2 です。これを pₙ₊₁ の式に入れます。

pₙ₊₁ = (2/3)(1 - pₙ + dₙ)/2 + (1/4)(1 - pₙ - dₙ)/2
     = (1/3)(1 - pₙ + dₙ) + (1/8)(1 - pₙ - dₙ)
     = (11/24)(1 - pₙ) + (5/24) dₙ

dₙ₊₁ = qₙ₊₁ − rₙ₊₁ は、q と r の式の差を取って、次のようになります。

dₙ₊₁ = (1/3)pₙ + (3/4)rₙ - (2/3)pₙ - (1/3)qₙ
     = -(1/3)pₙ + (3/4)rₙ - (1/3)qₙ

qₙ と rₙ を和と差で置き換えると、次の式になります。

dₙ₊₁ = -(1/3)pₙ + (3/8)(1 - pₙ - dₙ) - (1/6)(1 - pₙ + dₙ)
     = 5/24 - (13/24)pₙ - (13/24)dₙ

p と d の二つの量で閉じた連立関係になりました。この形は、q と r を毎回書き並べる代わりに、目的の p と、対称性の崩れを表す d だけを追う見方です。

4. n=2 の p₂ = 7/18、d₂ = q₂ − r₂ = 1/2 − 1/9 = 7/18 を使います。

p₃ = (11/24)(1 - 7/18) + (5/24)(7/18)
   = (11/24)(11/18) + 35/432
   = 121/432 + 35/432
   = 13/36

3回後に A にいる確率は 13/36 です。

(2) は2回の経路を書き並べても求められます。A から2回で A に戻る経路は A→B→A と A→C→A で、確率は (1/3)(2/3) = 2/9 と (2/3)(1/4) = 1/6 です。合計 2/9 + 1/6 = 7/18 で、同じ値になります。B に着く経路は A→C→B だけで、確率は (2/3)(3/4) = 1/2 です。C に着く経路は A→B→C だけで、確率は (1/3)(1/3) = 1/9 です。経路の合計が 2/9 + 1/6 + 1/2 + 1/9 = 1 になることも確かめられます。

この問題で qₙ = rₙ と置くと、p₂ は (2/3)(1/2) + (1/4)(1/2) = 1/3 + 1/8 = 11/24 となり、正しい 7/18 と食い違います。対称性が無い問題では、三つの状態をそのまま保ち、和と差で未知数を減らす方針に切り替えます。

発展例題　和と差に分けて三つの確率をすべて求める

問題（難）: 三地点 A、B、C が環状に並び、A からは B へ 1/2、C へ 1/2、B からは C へ 1/3、A へ 2/3、C からは A へ 2/3、B へ 1/3 の確率で移ります。はじめ B にいるとき、(1) n 回後に A にいる確率 pₙ を求めてください。(2) dₙ = qₙ − rₙ を求めてください。(3) qₙ と rₙ をそれぞれ求めてください。最後に三つの確率すべてを n の式で表し、途中の値は約分した分数で答えてください。

解き方: a = 1/2、b = 1/3、c = 2/3 です。A を固定して B と C を入れ替える折り返しで、規則は変わりません。A から B へ 1/2 と A から C へ 1/2 が入れ替わり、B から A へ 2/3 と C から A へ 2/3 が入れ替わり、B から C へ 1/3 と C から B へ 1/3 が入れ替わるからです。しかし、はじめ B にいるという条件は、折り返すと C に変わるので対称ではありません。したがって qₙ = rₙ は使えません。ここが最初の分かれ目です。

1. B から A へ進む確率は 1 − b = 2/3、C から A へ進む確率は c = 2/3 で、等しくなっています。pₙ₊₁ の式で qₙ と rₙ の係数が同じなので、和だけで書けます。

pₙ₊₁ = (2/3) qₙ + (2/3) rₙ
     = (2/3)(qₙ + rₙ)
     = (2/3)(1 - pₙ)

p₀ = 0 です。pₙ₊₁ − 2/5 = -(2/3)(pₙ − 2/5) と変形でき、p₀ − 2/5 = -2/5 なので、次の式になります。

pₙ - 2/5 = (-2/5)(-2/3)ⁿ
pₙ = 2/5 - (2/5)(-2/3)ⁿ

n=0 で 0、n=1 で 2/3、n=2 で 2/9 となり、経路の計算と一致します。

2. dₙ₊₁ を q と r の関係から作ります。qₙ₊₁ = (1/2)pₙ + (1/3)rₙ、rₙ₊₁ = (1/2)pₙ + (1/3)qₙ なので、差を取ると pₙ の項が消えます。

dₙ₊₁ = (1/3)rₙ - (1/3)qₙ
     = -(1/3)(qₙ - rₙ)
     = -(1/3)dₙ

d₀ = q₀ − r₀ = 1 − 0 = 1 なので、dₙ = (-1/3)ⁿ です。p の式で pₙ だけが閉じた理由と、d の式で p が消えた理由は別です。前者は目的の地点へ入る確率が二地点で等しいこと、後者は二地点から出る確率が対称であることによります。

3. qₙ + rₙ = 1 − pₙ = 3/5 + (2/5)(-2/3)ⁿ です。dₙ = (-1/3)ⁿ と合わせて、次の式になります。

qₙ = (1/2)(3/5 + (2/5)(-2/3)ⁿ + (-1/3)ⁿ)
rₙ = (1/2)(3/5 + (2/5)(-2/3)ⁿ - (-1/3)ⁿ)

n=0 で q₀ = 1、r₀ = 0、n=1 で q₁ = 0、r₁ = 1/3、n=2 で q₂ = 4/9、r₂ = 1/3 となり、順に代入した値と一致します。

pₙ を使わずに、sₙ = qₙ + rₙ の式を先に立てる方法もあります。qₙ₊₁ と rₙ₊₁ を足すと、sₙ₊₁ = pₙ + (1/3)sₙ です。pₙ = 2/5 − (2/5)(-2/3)ⁿ を入れて、s₀ = 1 から、sₙ = 3/5 + (2/5)(-2/3)ⁿ が得られます。dₙ と合わせて qₙ と rₙ を出せば、同じ答えになります。和の式を先に解くか、p の式を先に解くかで、計算の順番が変わります。

n=2 を経路で確かめます。B から2回で A に着く経路は B→C→A だけで、確率は (1/3)(2/3) = 2/9 です。B に着く経路は B→A→B と B→C→B で、確率は (2/3)(1/2) = 1/3 と (1/3)(1/3) = 1/9 です。C に着く経路は B→A→C だけで、確率は (2/3)(1/2) = 1/3 です。p₂ = 2/9、q₂ = 1/3 + 1/9 = 4/9、r₂ = 1/3 となり、式の値と一致します。

誤答を直す　二つの地点を同じ確率と決めつける

標準例題で「B と C はどちらも A の隣だから同じ確率」と考え、q₁ = r₁ = 1/2 と置きます。そのまま p₂ = (2/3)(1/2) + (1/4)(1/2) = 11/24 と答えます。正しい値は 7/18 です。

A から B へ進む確率は 1/3、A から C へ進む確率は 2/3 で、最初から違います。さらに B から A へ戻る確率は 2/3、C から A へ戻る確率は 1/4 です。図3のように、六本の辺の値が B と C で入れ替わっていないため、折り返しても規則が元に戻りません。隣であるという位置関係だけでは、確率の等号は支えられません。

図3のように、1回後の値は q₁ = 1/3、r₁ = 2/3 です。二地点を同じと置く前に、確率を入れ替える対応を一つ書けるかを確かめます。まず六本の辺の値を書き、折り返しで値が入れ替わるかを照合します。入れ替わらなければ qₙ と rₙ は別の文字のままにし、和と差の式に進みます。標準例題では、qₙ + rₙ = 1 − pₙ と dₙ = qₙ − rₙ の二本を追うことで、p₃ = 13/36 まで到達できます。

発展例題で「規則が B と C で対称だから qₙ = rₙ」と置くと、q₁ = r₁ = 1/2 となります。しかし正しい値は q₁ = 0、r₁ = 1/3 で、和は 1/3 です。1/2 と 1/2 の和は 1 になり、p₁ = 2/3 と足すと 5/3 になってしまうので、和が1という条件にも反します。

規則の対称性は、はじめの地点まで折り返して同じであることを保証しません。はじめが B なら、折り返すと C が始点になります。qₙ = rₙ ではなく、qₙ と rₙ は別の量として扱います。pₙ の計算だけは、B と C から A へ入る確率が等しいために和で閉じます。p₂ は (2/3)(q₁ + r₁) = (2/3)(1/3) = 2/9 と、和を使って正しく出ます。目的の p が合っても、q と r の等号は別に検証が要ります。

対称性を使う前に、規則の対称性と初期状態の対称性を分けて確認します。両方がそろえば qₙ = rₙ、片方だけなら和と差に分けます。発展例題では dₙ = (-1/3)ⁿ を求め、q₁ = 0、r₁ = 1/3 を確認してから先へ進みます。

練習問題

次の5問を解いてください。数と場面は本文の例題と変えてあります。難度も各問に示します。確率はすべて約分した分数で答えてください。

練習1（標準）: 三つの部屋 P、Q、R が環状に並び、どの部屋からも時計回りに 2/3、反時計回りに 1/3 の確率で隣へ移ります。はじめ P にいるとき、(1) 2回後に P にいる確率、(2) 3回後に P にいる確率を求めてください。2回後と3回後の値を順に求めます。

練習2（標準）: 三つの停留所 P、Q、R が環状に並び、P からは Q へ 1/2、R へ 1/2、Q からは R へ 2/3、P へ 1/3、R からは P へ 1/4、Q へ 3/4 の確率で移ります。はじめ Q にいるとき、(1) 2回後に P にいる確率、(2) 3回後に Q にいる確率を求めてください。どちらの値も1より小さい分数になります。

練習3（やや難）: 三つの教室 P、Q、R が環状に並び、P からは Q へ 1/4、R へ 3/4、Q からは R へ 2/5、P へ 3/5、R からは P へ 3/5、Q へ 2/5 の確率で移ります。はじめ P にいるとき、(1) 2回後と3回後に P にいる確率を求めてください。(2) n 回後に P にいる確率 pₙ を求めてください。(3) q₁ と r₁ は等しくないのに、pₙ だけの式が作れる理由を説明してください。3回後まで順に追い、最後に n の式へまとめます。

練習4（やや難）: 三つの棚 P、Q、R が環状に並び、P からは Q へ 1/2、R へ 1/2、Q からは R へ 1/4、P へ 3/4、R からは P へ 3/4、Q へ 1/4 の確率で移ります。はじめ Q にいるとき、(1) 2回後に P、Q、R にいる確率を求めてください。(2) 規則は Q と R で対称なのに q₂ と r₂ が等しくならない理由を説明してください。(3) d₃ = q₃ − r₃ を求めてください。2回後までの値を並べ、等号を使ってよいかどうかを分けて考えます。

練習5（難）: 三つの広場 P、Q、R が環状に並び、P からは Q へ 1/3、R へ 2/3、Q からは R へ 1/3、P へ 2/3、R からは P へ 5/6、Q へ 1/6 の確率で移ります。はじめ P にいるとき、(1) 2回後に P、Q、R にいる確率を求めてください。(2) 3回後に P、Q、R にいる確率を求めてください。(3) 2回後に q₂ = r₂ となることを見て「すべての回で等しい」と結論できるか、理由を付けて答えてください。2回後と3回後の値を比べ、一致が偶然かどうかを確かめます。

練習問題の答え

練習1の答え: (1) 4/9 (2) 1/3。解き方: a = b = c = 2/3 です。p₀ = 1、q₀ = r₀ = 0 から、p₁ = 0、q₁ = 2/3、r₁ = 1/3 です。p₂ = (1/3)(2/3) + (2/3)(1/3) = 2/9 + 2/9 = 4/9 です。q₂ = (2/3)(0) + (1/3)(1/3) = 1/9、r₂ = (1/3)(0) + (2/3)(2/3) = 4/9 で、和は 1 です。p₃ = (1/3)(1/9) + (2/3)(4/9) = 1/27 + 8/27 = 1/3 です。検算として、時計回りに進んだ回数を k とすると、位置は 2k − n を3で割った余りで決まります。n=2 では k=1 の一本だけで 2・(2/3)・(1/3) = 4/9、n=3 では k=0 と k=3 で (1/3)³ + (2/3)³ = 1/27 + 8/27 = 1/3 となり、一致します。

練習2の答え: (1) 1/6 (2) 5/24。解き方: a = 1/2、b = 2/3、c = 1/4 です。p₀ = 0、q₀ = 1、r₀ = 0 から、p₁ = (1/3)(1) = 1/3、q₁ = 0、r₁ = (2/3)(1) = 2/3 です。p₂ = (1/3)(0) + (1/4)(2/3) = 1/6 です。q₂ = (1/2)(1/3) + (3/4)(2/3) = 1/6 + 1/2 = 2/3、r₂ = (1/2)(1/3) + (2/3)(0) = 1/6 で、和は 1 です。p₃ = (1/3)(2/3) + (1/4)(1/6) = 2/9 + 1/24 = 16/72 + 3/72 = 19/72、q₃ = (1/2)(1/6) + (3/4)(1/6) = 1/12 + 1/8 = 2/24 + 3/24 = 5/24、r₃ = (1/2)(1/6) + (2/3)(2/3) = 1/12 + 4/9 = 3/36 + 16/36 = 19/36 です。19/72 + 15/72 + 38/72 = 1 で、和の確認も通ります。2回の経路は Q→P→Q が 1/6、Q→P→R が 1/6、Q→R→P が 1/6、Q→R→Q が 1/2 で、p₂ は Q→R→P の 1/6 と一致します。

練習3の答え: (1) 2回後は 3/5、3回後は 6/25 (2) pₙ = 3/8 + (5/8)(-3/5)ⁿ (3) Q から P へ進む確率 3/5 と R から P へ進む確率 3/5 が等しいからです。解き方: a = 1/4、b = 2/5、c = 3/5 です。p₀ = 1、q₀ = r₀ = 0 から、p₁ = 0、q₁ = 1/4、r₁ = 3/4 です。q₁ と r₁ は等しくありません。しかし pₙ₊₁ = (1 − b)qₙ + c rₙ = (3/5)qₙ + (3/5)rₙ = (3/5)(1 − pₙ) となり、和だけで閉じます。p₂ = (3/5)(1) = 3/5、p₃ = (3/5)(1 − 3/5) = (3/5)(2/5) = 6/25 です。pₙ₊₁ − 3/8 = -(3/5)(pₙ − 3/8) と変形でき、p₀ − 3/8 = 5/8 なので、pₙ = 3/8 + (5/8)(-3/5)ⁿ です。n=2 で 3/5、n=3 で 6/25 となり、上の値と一致します。

練習4の答え: (1) p₂ = 3/16、q₂ = 7/16、r₂ = 3/8 (2) 規則は Q と R の入れ替えで変わらないが、はじめが Q で、入れ替えると R が始点になるからです。(3) d₃ = -1/64。解き方: a = 1/2、b = 1/4、c = 3/4 です。p₀ = 0、q₀ = 1、r₀ = 0 から、p₁ = (3/4)(1) = 3/4、q₁ = 0、r₁ = (1/4)(1) = 1/4 です。p₂ = (3/4)(0 + 1/4) = 3/16、q₂ = (1/2)(3/4) + (1/4)(1/4) = 3/8 + 1/16 = 7/16、r₂ = (1/2)(3/4) + (1/4)(0) = 3/8 です。和は 3/16 + 7/16 + 6/16 = 1 です。q₂ と r₂ が違うのは、Q と R の入れ替えが初期状態を保たないからです。dₙ = qₙ − rₙ は dₙ₊₁ = -(1/4)dₙ を満たし、d₁ = -1/4 なので d₃ = (-1/4)³ = -1/64 です。q₃ = 3/16、r₃ = 13/64 からも 12/64 − 13/64 = -1/64 と確かめられます。

練習5の答え: (1) p₂ = 7/9、q₂ = 1/9、r₂ = 1/9 (2) p₃ = 1/6、q₃ = 5/18、r₃ = 5/9 (3) 結論できません。2回目の一致は偶然で、3回目には q₃ = 5/18、r₃ = 5/9 と違います。解き方: a = 1/3、b = 1/3、c = 5/6 です。p₀ = 1、q₀ = r₀ = 0 から、p₁ = 0、q₁ = 1/3、r₁ = 2/3 です。p₂ = (2/3)(1/3) + (5/6)(2/3) = 2/9 + 5/9 = 7/9、q₂ = (1/3)(0) + (1/6)(2/3) = 1/9、r₂ = (2/3)(0) + (1/3)(1/3) = 1/9 です。p₃ = (2/3)(1/9) + (5/6)(1/9) = 2/27 + 5/54 = 4/54 + 5/54 = 9/54 = 1/6、q₃ = (1/3)(7/9) + (1/6)(1/9) = 7/27 + 1/54 = 14/54 + 1/54 = 15/54 = 5/18、r₃ = (2/3)(7/9) + (1/3)(1/9) = 14/27 + 1/27 = 15/27 = 5/9 です。Q から P へ進む確率は 2/3、R から P へ進む確率は 5/6 で等しくなく、Q から R へは 1/3、R から Q へは 1/6 で、これも等しくありません。規則が Q と R の入れ替えで変わらないとは言えないので、2回目の一致をすべての回に広げる根拠はありません。

覚えておくこと

• 三地点の確率は pₙ + qₙ + rₙ = 1 で結ばれ、一つを残り二つで表せる。
• qₙ = rₙ は、規則の対称性と初期状態の対称性がそろったときだけ使える。
• 目的の地点へ入る確率が二地点で等しければ、和だけで pₙ が閉じる。
• 等しくなければ、dₙ = qₙ − rₙ を足して和と差で解く。
• 答えを出したら、和が1になることと、初期値 p₀ を式に戻して確かめる。

つまずきの見分け方

二地点の確率を等しいと置いたのに、六本の辺の値を照合していない場合があります。この型は、標準例題の誤答のように、最初の一歩で値がずれます。規則の対称性だけを見て、はじめの地点の対称性を確かめていない場合も同じ型です。どちらも、等号を支える折り返しの対応を一つ書けるかで見分けます。

和が1を使わずに三つの式をそのまま連立しようとして、式が増えて止まる場合もあります。qₙ + rₙ = 1 − pₙ で一つ消せば、目的の量に近づきます。pₙ の一般項を求める問題で、dₙ まで必要かどうかを分けていない場合も、目的の地点へ入る係数が等しいかを見れば判断できます。一つの n で値が等しくなっただけで、すべての n で等しいと結論するのも早合点です。練習5のように、次の n で崩れることがあります。

個別指導で確かめる箇所は、生徒が qₙ = rₙ と書いたときに、その等号を支える折り返しを説明できるかです。説明できない場合は、六本の辺の値を紙に書かせ、折り返して入れ替わるかを一組ずつ照合します。pₙ の式が閉じた場合は、どの二つの係数が等しいから閉じたのかを言葉にさせます。式の変形が合っていても、根拠の説明が抜けていれば、次の問題で同じ型の誤りが再び出ます。

三つの確率のうち二つを等しいと置く前に、その等号を支える対応を一つ書けるかどうかが、答えの正しさを分けます。