【小6算数】円の面積を図解で総まとめ—半径×半径×3.14になる理由｜武蔵野個別指導塾

円を切って並べ替える図から面積の公式をたどります。直径から求める例題や、半円・円の4分の1を使う問題を通して、使う長さと式の意味まで説明できるようになるのが目標です。

よくあるのは、工作用の丸い色紙を広げた机で、直径が書かれた円を見ながら「3.14をかけるのは覚えているけれど、その前に何をかけるのだろう」と手が止まる場面です。円周を求めたときにも3.14を使ったので、直径をかけるのか、半径をかけるのかが混ざってしまいます。

円の面積は、円の内側の広さです。色紙のふちにひもを沿わせて測る長さと、色紙が机をおおう広さは、別の量です。この区別がつくと、使う公式と答えの単位を自分で選べるようになります。

円は曲がった線で囲まれていますが、細かく切って並べ替えると、これまでに学んだ形に近づきます。公式の理由を図からたどり、半円や円の一部分、四角形と円が組み合わさった形まで考えていきましょう。まずは計算を始める前に、求める場所を指で示すところからです。

この単元で身につけること

• 半径と直径を見分けます。中心から円周までが半径で、中心を通って円周から円周まで結ぶ長さが直径です。
• 円の面積を求めます。半径×半径×3.14という式を、並べ替えた図の縦と横に結びつけます。
• 円の一部分の面積を求めます。半円なら円全体の1/2、4等分した1つなら1/4として計算します。
• 組み合わせた図形を分けて考えます。どの形をたすか、どの部分をひくかを、色を塗った場所から判断します。
• 答えを確かめます。長さの単位と面積の単位を区別し、もとの図形より大きくなっていないかも調べます。

長方形や平行四辺形の面積、円周の長さを求めた学習が、この単元につながっています。多くの教科書では6年生で円の面積を学びますが、式を忘れたときは、前に学んだ図形の面積へ戻って考えられます。円周率は、この説明ではすべて3.14を使います。

基本の考え方

広さを求める式に入るのは半径です

円の中心から円周上の点までの長さは、どの向きでも等しくなります。その長さを半径といいます。直径は半径2本分なので、直径がわかっているときは、まず直径÷2で半径を求めます。図に数字が1つしかなくても、そのまま公式に入れるとは限りません。

円の面積の公式は、円の面積=半径×半径×3.14です。たとえば、半径が2cmなら、2×2×3.14=12.56で、面積は12.56cm²です。半径を2回かける点が、円周の式と違います。長さをcmでそろえて計算した面積はcm²、mでそろえた面積はm²で表します。

面積の単位のcm²は、1辺が1cmの正方形の面積を表す単位です。円の中に正方形をすき間なく並べることはできませんが、小さなますに分けて考えれば、円の広さも同じ単位で比べられます。丸い形だからといって、面積の単位まで変わるわけではありません。

切って並べ替えても広さは変わりません

図1のように、円を中心から同じ大きさに細かく分け、向きを交互にして並べます。ピザを細く切ったような形を、上向き、下向きと組み合わせるイメージです。切った部分をすべて使い、重ねたりすき間を作ったりしなければ、面積はもとの円と同じです。

図1の右側は、まだ上下が波打っていて、左右の端も傾いています。図の段階で長方形そのものになった、と考えないようにしましょう。分ける数を増やして1つ1つを細くすると、波も端の傾きも目立たなくなり、全体が長方形に近づきます。面積を変えずに形を変えて考える方法です。

このとき、縦の長さは円の半径に近づきます。横の長さは円周の半分に近づきます。円周を作っていた曲線の半分が上側、残り半分が下側に並ぶからです。「横は直径」と思い込まず、円のふちがどこへ移ったかを追ってください。

円周は直径×3.14、つまり半径×2×3.14です。その半分は半径×3.14になります。長方形の面積は縦×横なので、円の面積は半径×（半径×3.14）と考えられます。これが半径×半径×3.14になる理由です。最後に2でわらないのは、横の長さを考える段階で、すでに円周の半分を使っているためです。

半円や円の一部分も、もとの円から考えます

円を直径で2つに分けると、同じ形の半円ができます。半円の面積は円全体の面積÷2です。また、中心で直角になるように4等分した1つは円全体の面積÷4です。円の中心から伸びる2本の半径と、その間の円周の一部分で囲まれた形を、おうぎ形といいます。

おうぎ形のように見えても、見た目だけで「半分くらい」と決めることはできません。半円は直径で分けた形、円の4分の1は中心で直角を作る形、と条件を確かめます。同じ円を等しく分けた何個分なのかがわかれば、その分の面積を求められます。

円を組み合わせた問題でも、最初に円全体を思い浮かべることが役立ちます。足りない部分を補ってからひくのか、分けた部分をそれぞれ求めてたすのかを、計算より先に決めましょう。重なった部分を2回数えないことも大切です。

例題で解き方を確かめる

例題1　半径から円の面積を求める

半径3cmの円の面積を求めます。最も基本になる問題なので、公式の言葉と数字を1つずつ対応させましょう。

1. 半径が3cmであることを確かめます。公式に使う長さがすでにわかっているので、2でわる必要はありません。
2. 3×3×3.14と式を書きます。最初の3も次の3も、同じ円の半径を表しています。
3. 3×3=9、9×3.14=28.26と計算します。先に整数どうしをかけると、小数の計算が1回で済みます。

答え：28.26cm²です。

計算を終えたら、式の最初が「3×2」になっていないか見直します。2をかけるのは、半径から直径を求める場面です。円の面積では半径をもう一度かけるので、この2つを言葉で区別しておくと、数字だけを覚えるより迷いにくくなります。

例題2　直径がわかっている円の面積

直径10cmの円の面積を求めます。図の数字をそのまま2回かける前に、その数字がどこからどこまでの長さかを確かめます。

1. 10÷2=5で、半径は5cmと求めます。直径は中心をはさんだ半径2本分だからです。
2. 5×5×3.14と式を書きます。公式には直径10cmではなく、求めた半径5cmを使います。
3. 5×5=25、25×3.14=78.5と計算します。求めたのは広さなので、答えにはcm²を付けます。

答え：78.5cm²です。

答えの見当もつけられます。この円は1辺10cmの正方形にぴったり入るので、その面積100cm²より小さくなります。もし314cm²になったら、かけ算の筆算をやり直す前に、半径を使ったかを見直すのがよい順序です。

例題3　半円の形をした紙の広さ

工作で、半径4cmの円形の紙を直径に沿って2つに切りました。できた半円の紙1枚の面積を求めます。「紙1枚」が円全体のどれだけに当たるかを読み取る文章題です。

1. もとの円の面積を4×4×3.14=50.24と求めます。半円も、もとの円と半径は同じ4cmです。
2. 50.24÷2=25.12と計算します。等しい2つのうちの1つなので、面積を2でわります。
3. 4×4×3.14÷2という1つの式でも確かめます。半径を半分にするのではなく、求めた円の面積を半分にしています。

答え：25.12cm²です。

紙を切ったあとも、中心から曲線までの長さは変わりません。何が半分になり、何が変わらないのかを図に戻って考えると、半径を2cmにしてしまう間違いを防げます。

例題4　正方形から円の一部分を除く

1辺10cmの正方形があります。1つの頂点を中心として、半径10cmの円の4分の1を正方形の中にかきました。図2の橙色の部分、つまり正方形からその円の一部分を除いた面積を求めます。

1. 正方形の面積を10×10=100と求めます。図2では橙色と青色を合わせた全体に当たります。
2. 青色の面積を10×10×3.14÷4=78.5と求めます。中心が正方形の頂点にあり、2本の半径が直角を作るので円全体の1/4です。
3. 100-78.5=21.5と計算します。求める橙色は全体から青色を除いた残りなので、ひき算を使います。

答え：21.5cm²です。

曲線で囲まれた橙色の部分には、直接使える公式がすぐに見つからないかもしれません。それでも「正方形全体」と「円の4分の1」なら求められます。求めやすい形の差として見ることが、この問題の工夫です。

つまずきやすいところと直し方

直径を半径の場所に入れてしまう

間違った書き方は、直径8cmの円に対して「8×8×3.14=200.96cm²」とする式です。計算自体ができていても、半径の場所に直径が入っています。正しくは「8÷2=4、4×4×3.14=50.24cm²」です。

図3の左では、中心から右端までが4cm、左端から右端までが8cmです。式を書く前に半径の線をなぞり、数字が直径しかないなら、半径を書き足します。半径を2倍にすると面積は2×2で4倍になるため、この取り違えは答えに大きく影響します。

面積を半分にするつもりで半径を半分にする

間違った書き方は、半径4cmの半円に対して「2×2×3.14=12.56cm²」とする式です。これは半径2cmの円の面積であり、半径4cmの半円ではありません。正しくは「4×4×3.14÷2=25.12cm²」です。

図3では、円、半円、円の4分の1の曲線までの長さを、どれも4cmにそろえています。右の形ほど使う部分は少なくなりますが、半径の長さはそのままです。「形を半分にする」と「長さを半分にする」を、図で区別しましょう。

円周の式で面積を求めてしまう

間違った書き方は、半径4cmの円の面積を「8×3.14=25.12cm²」とする式です。直径×3.14で求めているのは円周なので、この計算結果に付く単位はcmです。面積の正しい書き方は「4×4×3.14=50.24cm²」になります。

求めるものが、ふちの長さか内側の広さかを、問題文と図の両方で確かめます。たまたま別の問題の面積と同じ数値になっても、同じ量とは限りません。単位は最後に付ける飾りではなく、何を求めたかを示す手がかりです。

練習問題

円周率は3.14とします。答えだけでなく、使った半径と、たす・ひく・等分する理由も書いてみましょう。練習4では、大きな円の中に小さな円をかいてから考えます。

練習1

半径6cmの円の面積を求めましょう。

練習2

直径14cmの円の面積を求めましょう。

練習3

半径8cmの円を、中心から同じ大きさに4等分しました。その1つの面積を求めましょう。

練習4

中心が同じで、半径が5cmと3cmの2つの円があります。大きい円の内側で、小さい円の外側にある輪の形の面積を求めましょう。

答えと解説

練習1：113.04cm²です。6×6×3.14=113.04です。半径はすでに6cmと示されています。

練習2：153.86cm²です。14÷2=7で半径を出し、7×7×3.14=153.86と計算します。

練習3：50.24cm²です。8×8×3.14=200.96で円全体を求め、200.96÷4=50.24とします。

練習4：50.24cm²です。大きい円は5×5×3.14=78.5、小さい円は3×3×3.14=28.26なので、78.5-28.26=50.24です。半径の差2cmを公式に入れるのではなく、2つの円の面積の差を求めます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

円の面積は、円柱の底面積を求めるときにも使います。底面がどれだけ広いかを求めてから高さと結びつけるので、ここで半径を見つける習慣が役立ちます。

家庭で5分ほど確かめるなら、1つ目は、丸いコースターの直径を測って半径を出し、面積の式を書く方法です。実物の測定では少し誤差が出るので、まずは使う長さが合っているかを確かめます。2つ目は、紙にかいた円を切り抜いて半分、さらに半分に折り、広さと半径のどちらが変わるかを話す方法です。

お子さまが式で迷うとき、個別指導では半径と直径の区別まで戻り、必要なら長方形の面積の意味も確かめます。計算ミスなのか、求める場所の読み違いなのかで、戻るところを変えます。

まとめ

円の問題に向かうときは、数字を拾う前に、中心からどこまでの長さが示されているかを見ます。求める広さを指で囲み、もとの円の何個分かを説明できれば、半円や輪の形でも計算の道筋を立てられます。

答えが違ったときにも、図の半径、式の中の数、最後の単位を順に照らし合わせれば、直す場所が見えてきます。円の面積を理解したしるしは、式の2つの半径を、図の中へ自分の言葉で戻せることです。