【小6算数】角柱と円柱の体積を図解で総まとめ—底面積×高さ｜武蔵野個別指導塾

三角柱や円柱、段のある立体の体積を、底面と高さを示す図で確かめます。容器の内側の寸法を使う文章題にも取り組み、容積をLで表すところまで練習できます。

よくあるのは、工作の材料を広げた机で、箱形の積み木の体積は求められたのに、三角柱の見取図を見て「どの長さを3つかけるのですか」と止まる場面です。直方体では縦、横、高さをかけました。けれども、底が三角形や円になると、長さを拾ってかけるだけでは答えに届きません。

ここで役に立つのが、立体を「同じ形の面が、同じ向きに重なったもの」と見る考え方です。底の形が変わっても、まずその面積を求め、次に積み重なる高さをかける順序は変わりません。円柱の曲がった側面も、体積を求めるために広げる必要はありません。

角柱と円柱の体積を学ぶと、三角柱の積み木や円柱形の容器を同じきまりで考えられます。さらに、段のある形を分けて求めたり、容器に入る水の量を調べたりできます。図のどこを底面にしたのか、指で示すところから始めましょう。

この単元で身につけること

• 底面と高さを見つけます。角柱や円柱の、平行で合同な2つの面を底面とし、その間の垂直な長さを高さとして読みます。
• 底面積を先に求めます。三角形、長方形、円など、底面の形に合う面積の公式を選びます。底面積は底面1つ分の面積です。
• 底面積×高さで体積を求めます。三角柱でも円柱でも、同じ順序で計算し、答えにはcm³などの体積の単位を付けます。
• 組み合わせた立体を分けます。重なりもすき間もできないように角柱などへ分け、それぞれの体積をたします。
• 容積を内側の寸法から求めます。外側の大きさと入れ物の中の広さを区別し、cm³で求めた量をmLやLに直します。

これまでの直方体の体積、三角形や円の面積が土台になります。面積の計算で止まるときは、立体全体を考える前に、底面だけを紙にかいて確かめると進めやすくなります。

基本の考え方

底面積は「1段分」を決める面積

角柱は、平行で合同な多角形を底面にもつ立体です。円柱では、その底面が円になります。ここでは、底面に垂直な向きにまっすぐ伸びた、教科書で扱う角柱と円柱を考えます。体積は立体が空間の中で占める大きさで、面の広さを表す面積とは区別します。

1辺が1cmの立方体の体積は1cm³です。この小さな立方体を、縦3cm、横4cmにすき間なく並べると、1段に3×4=12個並びます。これを3段積むと、12×3=36個です。図1のように、先に1段分を数えると、底面の面積と体積のつながりが見えてきます。

図1では、底面積が4×3=12cm²、高さが3cmなので、体積は12×3=36cm³です。直方体の「縦×横×高さ」は、「縦×横」で底面積を求めてから、高さをかけていたのです。式を2つのまとまりに分けて読むと、新しい公式ともつながります。

三角柱や円柱も、底面と同じ形の薄い板を重ねるように考えます。同じ高さなら底面積が大きいほど体積は大きく、同じ底面積なら高さが高いほど体積は大きくなります。角柱や円柱の体積は、底面積×高さで求められます。高さが小数でも、このきまりは使えます。

底面の形に合わせて面積を求める

底面が三角形なら、三角形の底辺×その底辺に垂直な高さ÷2で底面積を求めます。底面が長方形なら縦×横、台形なら（上底+下底）×台形の高さ÷2です。体積の公式は共通でも、その前に使う面積の公式は底面の形で変わります。

円柱の底面積は、半径×半径×3.14です。たとえば半径2cmなら、2×2×3.14=12.56cm²になります。直径が書かれていたら、まず2でわって半径に直します。円周を求める直径×3.14では、面積になりません。求めたものが円の周りの長さなのか、円の内側の広さなのかを言葉で確かめましょう。

底面は2つありますが、体積の計算に使う底面積は片方だけです。2つの底面の面積をたすのではありません。また、側面の面積も使いません。立体の表面を紙で包むことと、中身の大きさを求めることは、別の問いです。

2種類の高さと、容積の意味

三角柱では「三角形の高さ」と「立体の高さ」が同じ問題に出てきます。三角形の高さは底面積を求めるための長さです。立体の高さは2つの底面の間の垂直な長さで、底面積にかける長さです。どちらにも高さという名前がありますが、使う場所が違います。

角柱を横に寝かせても体積は変わりません。紙面の上から下までの長さを、いつでも立体の高さと考えるのは危険です。先に底面を1つ選び、もう1つの底面までどの向きに伸びているかを見ます。見取図では奥行きが斜めにかかれるので、定規で測らず、示された長さを読みます。

容積は、容器の内側にどれだけ入るかを表す大きさです。円柱形の容器なら内側の半径と内側の高さを使い、同じ公式で求めます。1cm³=1mL、1000cm³=1Lです。水が途中までなら、容器全体の高さの代わりに水の深さを使うと、その水の体積が求められます。

例題で解き方を確かめる

例題1　三角柱の体積

底面が、底辺6cm、高さ4cmの直角三角形で、立体の高さが10cmの三角柱があります。体積を求めましょう。底面の6cmの辺と4cmの辺は垂直です。図2の色の付いた三角形が、面積を求める底面です。

1. 底面の形を確かめます。図2のように、平行で合同な三角形が2つあるので、片方の三角形の面積から求めます。
2. 底面積を6×4÷2=12cm²と計算します。6×4だけでは、同じ底辺と高さをもつ長方形の面積になるので、2でわります。
3. 体積を12×10=120cm³と計算します。底面の三角形が10cmの高さまで続くので、12にかけるのは立体の高さ10です。

答え：120cm³です。

続けた式なら、6×4÷2×10=120です。途中の12は長さではなく面積です。「底面積12cm²」「体積120cm³」と単位を書き分けると、どの段階まで求めたかがはっきりします。三角柱だから最後にもう一度2でわる、という操作は要りません。

例題2　直径から求める円柱の体積

底面の直径が6cm、高さが8cmの円柱の体積を求めましょう。円周率は3.14を使います。円の面積の公式に入る長さは半径なので、問題の「直径」に印を付けてから始めます。

1. 半径を6÷2=3cmと求めます。直径は中心を通って円の端から端までの長さなので、半径の2倍です。
2. 底面積を3×3×3.14=28.26cm²と求めます。円柱でも、まず底面1つ分の広さを決める手順は三角柱と同じです。
3. 体積を28.26×8=226.08cm³と求めます。底面積に立体の高さをかけ、円柱全体の大きさにします。

答え：226.08cm³です。

3×3×8×3.14の順に計算しても同じ答えになります。かけ算だけになった後は、整数の部分を先にまとめると計算しやすくなります。ただし、直径を半径に直す手順まで省かないようにしましょう。

例題3　段のある立体を分ける

図3の立体は、下の直方体が横8cm、奥行き5cm、高さ6cmです。その左側に、横3cm、奥行き5cm、高さ4cmの直方体が載っています。全体の体積を求めましょう。2つの直方体は面で接していて、重なっている部分はありません。

1. 図3の色分けに沿って、下と上に分けます。どちらも直方体になるため、すでに知っている公式が使えます。
2. 下の体積を8×5×6=240cm³、上の体積を3×5×4=60cm³と求めます。上の高さは、床からの高さではなく、段から上の4cmです。
3. 240+60=300cm³とたします。2つの部分ですき間なく全体ができているので、体積をたせます。

答え：300cm³です。

別の確かめ方もあります。全体を横8cm、奥行き5cm、高さ10cmの直方体で包むと考えます。そこから右上の欠けた部分を引けば、8×5×10-5×5×4=300cm³です。欠けた部分の横は8-3=5cmになります。分ける場所を変えても答えが一致することを確かめられます。

例題4　円柱形の容器に入る水の量

内側の半径が5cm、内側の高さが12cmの円柱形の容器があります。いっぱいまで水を入れると何L入りますか。容器の内側は、底から口まで同じ太さの円柱とします。

1. 内側の底面積を5×5×3.14=78.5cm²と求めます。水が入る場所の広さを使うので、外側の寸法は必要ありません。
2. 容積を78.5×12=942cm³と求めます。いっぱいまで入れるため、水の深さは内側の高さ12cmと同じです。
3. 942÷1000=0.942Lに直します。1000cm³が1Lなので、cm³の数を1000でわります。

答え：0.942Lです。

942cm³は942mLでもあります。1Lより少ない容器なので、Lで表した数が1より小さくなることも確かめられます。数だけを見て小さすぎると判断せず、どの単位で表しているかまで読みましょう。

つまずきやすいところと直し方

直径をそのまま面積の式に入れる

間違った書き方は、例題2で「6×6×3.14×8=904.32cm³」とすることです。どこが違うかというと、半径を使う2か所に、直径を入れています。半径が2倍になると、底面積は2×2=4倍になり、同じ高さの円柱の体積も4倍になります。

正しい書き方は「6÷2=3、3×3×3.14×8=226.08cm³」です。円の中心から端までの線に半径を書き込むと、使う長さを確認できます。間違った体積を何となく2でわるのではなく、半径を求めるところまで戻しましょう。

三角形の高さを2回使う

間違った書き方は、例題1で「6×4÷2×4=48cm³」とすることです。三角形の面積は正しく求められていますが、最後にも三角形の高さ4cmをかけています。立体が伸びている長さ10cmが式から抜けています。

正しい書き方は「6×4÷2×10=120cm³」です。底面を薄く色で囲み、その面積に使う6と4を先にまとめます。次に、2つの三角形を結ぶ辺の10を確かめます。「底面の中の高さ」と「底面どうしの間の高さ」を、図の別の場所で指せることが直す手がかりです。

上の部分に全体の高さを使う

間違った書き方は、例題3で「8×5×6+3×5×10=390cm³」とすることです。上の直方体に床からの高さ10cmを使ったため、左下の部分を二重に数えています。たし算で求めるときは、それぞれがどの部分を表すかを図に戻して確かめます。

正しい書き方は「8×5×6+3×5×4=300cm³」です。図3の上の色の部分は高さ4cmだけです。もし左側を高さ10cmで求めたいなら、右側は横8-3=5cm、高さ6cmとして、3×5×10+5×5×6=300cm³とします。分け方と式がそろえば、別の解き方も使えます。

練習問題

式を書く前に底面の形を言い、底面積と体積を別々の行に求めてみましょう。円周率は3.14とし、容器の内側はまっすぐな円柱とします。

練習1

底面積が18cm²、高さが7cmの四角柱の体積を求めましょう。

練習2

底面の三角形の底辺が8cm、その底辺に垂直な高さが3cm、立体の高さが5cmの三角柱の体積を求めましょう。

練習3

底面の直径が10cm、高さが4cmの円柱の体積を求めましょう。

練習4

内側の半径が4cm、内側の高さが15cmの円柱形の容器に、深さ10cmまで水が入っています。水の量は何mLですか。

答えと解説

練習1：126cm³です。底面積がわかっているので、18×7=126と計算します。底面の辺の長さを求める必要はありません。

練習2：60cm³です。底面積は8×3÷2=12cm²、体積は12×5=60cm³です。3cmと5cmの役割を区別します。

練習3：314cm³です。半径は10÷2=5cmなので、5×5×3.14×4=314となります。

練習4：502.4mLです。水の体積は4×4×3.14×10=502.4cm³です。水面までの深さ10cmを使い、1cm³=1mLで直します。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

底面積が変わらなければ、高さが2倍、3倍になると体積も2倍、3倍になります。この関係は比例の学習につながります。中学で立体を調べるときにも、底面と高さを区別する見方が役立ちます。

家庭では、5分でできる確かめ方が2つあります。1つ目は、空き箱を横に置き、選んだ底面と、それに対応する高さを指すことです。向きを変えても同じ組を追ってみましょう。2つ目は、円柱形の缶のふたで、中心から端までと端から端までの長さの違いを説明することです。容積を考えるなら内側の寸法が必要だという点も添えます。

お子さまが式を作れないとき、個別指導では底面の見つけ方や三角形・円の面積まで戻って確かめます。計算だけを直す前に、式の数が図のどの部分なのかを一緒にたどります。

まとめ

答えが合っていても、どこを底面としたか説明できなければ、向きが変わった立体で迷うかもしれません。反対に、底面を囲み、底面積に使う長さと立体の高さを分けられれば、三角柱も円柱も順序を決めて解けます。

ノートには、立体全体の式だけでなく、底面積を求めた1行を残しておきましょう。間違えたときにも、面積、高さ、単位のどこを見直すかが見えてきます。体積の式の出発点は、かける数字探しではなく、底面1つの広さです。