【小6算数】比を図解で総まとめ—比の値・等しい比・比を使った問題｜武蔵野個別指導塾

比の順番と比の値を確かめ、等しい比の作り方から全体を分ける問題まで進めます。飲み物やリボンの例題と3枚のテープ図で、何を1つ分とみるかを自分で説明できるようにしましょう。

よくあるのは、休日の工作机で、赤と青のリボンを2:3に切り分けようとして、「全部で100cmなら、100÷2と100÷3でよいのかな」と手が止まる場面です。2と3は見えていても、その数字が何を表すのかがはっきりしないと、どの計算を使うか決められません。

比は、2つの量の割合を、2つの数を使って表す方法です。2:3の2と3は、必ずしも2cmと3cmという実際の長さではありません。同じ大きさのまとまりで測ったとき、一方が2つ分、もう一方が3つ分という関係を表します。

このまとまりが見つかると、同じ濃さの飲み物を多く作ったり、決まった割合で材料を分けたりできます。まずは量の名前と数字を結びつけ、次に等しい比を作り、最後に実際の量を求めていきましょう。計算の前に「何の何つ分か」を言葉にすることが、比を使う出発点です。

この単元で身につけること

• 比の順番を読み取ります。「赤:青=2:3」なら、赤が2つ分、青が3つ分です。量の名前も数字と同じ順番に並べます。
• 比の値を求めます。2:3の比の値は2÷3=2/3です。後ろの量を1とみたときの、前の量の大きさを表します。
• 等しい比を作ります。両方の数に同じ数をかけたり、同じ数でわったりして、割合を変えずに表し方を変えます。
• 比を簡単にします。整数だけでなく、小数や分数の比も、できるだけ小さい整数の比に直せるようにします。
• 比から実際の量を求めます。一方の量がわかる問題と、全体の量がわかる問題を区別し、1つ分を求めてから必要な量を計算します。

これまで学んだ割合、分数の約分、公約数がつながる単元です。新しい計算をたくさん覚えるというより、すでに知っている計算を、比の意味に合わせて選びます。多くの教科書では6年生で学びます。

基本の考え方

比は同じ大きさのまとまりで比べる

果汁を同じ計量カップで2杯、水を3杯使うとします。果汁の量と水の量の比は2:3と書き、「2対3」と読みます。「:」は、前と後ろの数で2つの量の割合を表す記号です。果汁と水の順番を入れ替えれば、水:果汁=3:2になります。

図1のように、同じ幅のますを使うと、2つ分と3つ分の関係が見えます。1ますが50mLなら果汁は100mL、水は150mLです。1ますが100mLなら果汁は200mL、水は300mLです。実際の量が変わっても、同じますで数えた関係は2:3のままです。

この図では、果汁の1ますと水の1ますを同じ量として扱っています。果汁だけ大きなカップで量り、水を小さなカップで量った場合は、杯数だけを比べても量の比にはなりません。長さならcmとcm、かさならmLとmLというように、同じ種類の量は単位もそろえてから比を作ります。

比の値と等しい比

比の値は、前の数を後ろの数でわった商です。2:3なら2÷3=2/3です。これは「果汁は水の2/3倍」という意味で、水をもとにしています。果汁と水を合わせた全体をもとにした割合ではありません。

比は2つの数を並べた表し方で、比の値は1つの数です。「比を答えましょう」には2:3、「比の値を答えましょう」には2/3と答えます。また、3:2の比の値は3÷2=3/2です。順番が変わると、どちらをもとにするかも変わります。

2:3と4:6を比べると、2÷3=2/3、4÷6=4/6=2/3です。このように比の値が等しいとき、2つの比は等しいといい、2:3=4:6と書きます。両方の数を2倍にすると、果汁も水も同じ割合で増えるので、混ぜ方は変わりません。

等しい比を作るには、両方の数に同じ数をかけるか、両方の数を同じ数でわります。ただし0ではわりません。また、両方に0をかけると元の割合が表せなくなるため、等しい比を作る操作には使いません。

比を簡単にする

12:18は、両方を6でわると2:3になります。このように、等しい比のうち、できるだけ小さい整数で表した比に直すことを「比を簡単にする」といいます。12と18の最大公約数は6なので、6でわれば一度で簡単にできます。

最大公約数がすぐに見つからなければ、12:18=6:9=2:3と、共通にわれる数で少しずつわってもかまいません。最後の2と3には、1以外に共通の約数がありません。ここが簡単にし終えた目印です。

小数の比は、両方を10倍や100倍して整数にしてから考えます。分数の比は、分母の公倍数を両方にかけると整数になります。どちらも、片方ずつ別の操作をするのではなく、両方に同じ操作をすることが決まりです。整数に直したあとも、さらに共通にわれる数がないかを確かめます。

例題で解き方を確かめる

例題1　比と比の値を求める

赤い玉が8個、白い玉が12個あります。赤い玉の個数と白い玉の個数の比を簡単にし、その比の値を求めましょう。

1. 量の順番をそろえ、赤:白=8:12と書きます。問題が赤と白の順に聞いているので、8を前に置きます。
2. 8と12を最大公約数の4でわり、8:12=2:3とします。同じ数でわると、2つの量の割合は変わりません。
3. 比の値を2÷3=2/3と求めます。前の数を後ろの数でわるので、3÷2にはしません。

答え:比は2:3、比の値は2/3です。

8÷12=8/12=2/3と、元の個数から求めても同じ値です。簡単にしたあとと前で比の値が一致することが、計算を確かめる手がかりになります。

例題2　小数と分数の比を簡単にする

0.6:1.5と、2/3:5/6を、それぞれ簡単にしましょう。

1. 0.6と1.5を両方10倍して、6:15にします。両方を整数にすると、公約数でわる方法が使いやすくなります。
2. 6と15を両方3でわり、2:5にします。2と5には1以外の公約数がないので、ここで終わりです。
3. 2/3と5/6には両方6をかけます。分母の3と6の公倍数を使うと、2/3×6=4、5/6×6=5となり、4:5にできます。

答え:0.6:1.5=2:5、2/3:5/6=4:5です。

分数を4/6:5/6と通分して考えても、同じ1/6が4つ分と5つ分なので4:5です。分母を消すように見える計算にも、同じ大きさのまとまりで数える意味があります。小数のほうは0.6だけを10倍して6:1.5としないよう、2本の矢印に同じ「×10」を書いて確認しましょう。

例題3　一方の量からもう一方を求める

果汁と水を2:3の比で混ぜます。果汁を180mL使うとき、水は何mL必要ですか。

1. 果汁:水=2:3と書き、2つ分の下に180mLと書きます。180mLは全体ではなく、果汁に対応する量です。
2. 180÷2=90で、1つ分は90mLです。2つ分がわかっているので、2等分して共通のまとまりを求めます。
3. 90×3=270で、水の量を求めます。水はそのまとまりが3つ分あるからです。

答え:水は270mL必要です。

水は果汁の3/2倍なので、180×3/2=270としても求められます。どちらの方法でも、水のほうが多いという2:3の関係に合っています。量を求めたあと、180:270を簡単にすると2:3に戻ることも確かめられます。

例題4　全体を決まった比で分ける

100cmのリボンを、赤い部分と青い部分の長さが2:3になるように色分けします。それぞれ何cmになりますか。

1. 図2のように、赤の2つ分と青の3つ分をつなげます。全体は2+3=5つ分です。100cmはこの5つ分に対応します。
2. 100÷5=20で、1つ分は20cmと求めます。全体の長さを、全体のまとまりの数でわるためです。
3. 赤は20×2=40、青は20×3=60と求めます。それぞれのまとまりの数をかけて、長さに戻します。

答え:赤い部分は40cm、青い部分は60cmです。

図2では、100cmを表す線が赤と青の両方にまたがっています。40+60=100で全体に合い、40:60=2:3で指定された比にも合います。全体から分ける問題では、この2つを確かめると安心です。

赤は全体の2/5、青は全体の3/5なので、100×2/5=40、100×3/5=60でも求められます。分母の5は比の後ろの3ではなく、2+3で求めた全体の数です。例題3と例題4の違いは、わかっている量が一方なのか、全体なのかにあります。

つまずきやすいところと直し方

順番を逆にしてしまう

間違った書き方は「赤8個、白12個だから、赤:白=12:8」です。どこが違うかというと、量の名前と数字の並びが反対になっています。正しくは「赤:白=8:12=2:3」です。

数字だけを書き始めず、先に「赤:白」と量の名前を書きましょう。「赤は白より少ない」と読んで、前の数が後ろの数より小さいことを確かめると、順番の間違いに気づけます。比の値も、赤を白でわる向きになります。

両方に同じ数を足してしまう

間違った書き方は「2:3=4:5」です。両方に2を足していますが、同じ数を足しても比は等しくなりません。2/3と4/5は、通分すると10/15と12/15で、比の値が違います。正しくは、両方を2倍した「2:3=4:6」です。

差が同じことと、割合が同じことを区別しましょう。2と3も4と5も差は1ですが、前の量が後ろの量の何倍かは変わっています。等しい比か迷ったら、両方に同じ倍率が使われているかを調べます。

全体と一方を取り違える

間違った書き方は「全体100cmを2:3に分けるので、赤は100×2/3」です。2/3は赤を青と比べた値で、全体と比べた割合ではありません。正しくは「赤は100×2/5=40cm」です。

図3のように、青だけをもとにすれば3つ分、全体をもとにすれば5つ分です。同じ赤の長さでも、何をもとにするかによって分母が変わります。式を書く前に、もとにする範囲を指でなぞってみましょう。

図3の上段は赤:青=2:3、下段は赤:全体=2:5を示しています。2:3という比そのものを変えたのではなく、比べる相手を変えています。問題文の「全部で」「合わせて」に線を引くと、全体の量だと見つけやすくなります。

練習問題

計算の前に量の名前を比の順番で書きましょう。答えを出したら、元の比と等しいか、全体の量に合うかを確かめます。

練習1

黄色い折り紙が15枚、緑の折り紙が25枚あります。黄色:緑を簡単にし、その比の値を求めましょう。

練習2

0.8:1.2と、3/4:1/2を、それぞれ簡単にしましょう。

練習3

赤と白の絵の具を3:5の比で混ぜます。赤を24mL使うとき、白は何mL必要ですか。

練習4

84cmのひもを、長さの比が3:4になるように2本に切ります。短いひもと長いひもは、それぞれ何cmですか。

答えと解説

練習1:比は3:5、比の値は3/5です。15と25を両方5でわります。比の値は15÷25=3/5でも確かめられます。

練習2:2:3と3:2です。小数の比は両方10倍して8:12にし、4でわります。分数の比は両方4倍して、3と2にします。

練習3:白は40mLです。24÷3=8で1つ分は8mL、8×5=40です。24mLは赤の量なので、3+5でわりません。

練習4:短いひもは36cm、長いひもは48cmです。3+4=7、84÷7=12より、12×3=36、12×4=48です。36+48=84、36:48=3:4の両方が成り立ちます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

比は、拡大図と縮図で対応する辺の長さを比べるときに使います。比例を学ぶときにも、2つの量の関係を見つける手がかりになります。中学校で学ぶ相似な図形にも、この比の考え方がつながります。

家庭では、5分で2つ試せます。まず同じ大きさのスプーンで、水を2杯と3杯、別々の容器に入れます。両方を2倍にするには何杯にすればよいか、お子さまに説明してもらいましょう。次に同じ大きさの積み木を10個並べ、2:3に分けます。全体を5つ分とみると、1つ分は2個です。

個別指導で確かめるなら、比を簡単にできないときは公約数へ、量を求められないときは等分の意味へ戻ります。図にわかっている量を書き込めるかを見ると、計算の練習が必要なのか、量の対応の読み直しが必要なのかを判断できます。

まとめ

2:3だけを見て計算を選ぶのではなく、その2と3に何の量が対応するのかを読みます。一方の量がわかればそのまとまりの数でわり、全体がわかればまとまりの合計でわると、共通の1つ分が見つかります。

答えの数字が出たあとも、元の比に戻るか、全体に合うかを確かめましょう。図のどの部分が式の数になったのかを説明できれば、別の量の問題にも進めます。比の計算を決めるのは、数字の見た目ではなく、量とまとまりの対応です。