【小6算数】並べ方と組み合わせ方を図解で総まとめ—樹形図と表で落ちなく数える｜武蔵野個別指導塾

カードの並べ方や試合の組み合わせを、樹形図と表で確かめます。順番を入れかえると別になるかを手がかりに、数え落としと重なりを防ぐ方法を例題と練習問題で身につけましょう。

よくあるのは、図書館の机で宿題を広げ、赤・青・黄のカードから2枚を選ぶ問題に「赤青、青赤」と書いたところで、両方を数えてよいのか迷う場面です。計算はできても、「同じものとして扱う範囲」が決まらないと、答えは変わってしまいます。

左と右に並べるなら、赤青と青赤は別の並べ方です。持っていく2枚を選ぶだけなら、どちらも赤と青を選んだ同じ組み合わせです。まず確かめたいのは、数の大きさではなく、問題が何を1通りと数えているかです。

この単元では、思いついたものを次々に書く方法から、決めた順にすべてを調べる方法へ進みます。枝分かれした図や表を使えば、まだ調べていない場所と、すでに数えた場所が見えるようになります。答えの数だけでなく、「これで全部です」と説明できることを目指しましょう。

この単元で身につけること

• 並べ方と組み合わせ方を区別します。順番や役目を入れかえたとき、別の結果になるかを具体的に比べます。
• 樹形図をかいて調べます。1つ目を固定してから2つ目へ進み、枝の先までたどって1通りを読み取ります。
• 表で組み合わせを整理します。たてと横に同じ記号を置き、同じ相手の組や、順番を逆にした組を見つけます。
• 落ちや重なりを防ぎます。数え落としは必要な場合が抜けること、重なりは同じ場合を二度以上数えることです。
• 図と式を結びつけます。枝の本数がそろっている理由や、同じ組を何度数えたかを確かめて計算します。

これまでに学んだかけ算は「同じ数ずつのまとまり」を数える計算であり、ここでは樹形図の枝のまとまりを数えるときに役立ちます。多くの教科書では6年生で学びますが、難しい公式を覚える前に、小さな数で実際に書き出すことから始められます。

基本の考え方

順番を入れかえると別になるか

並べ方では、何を選ぶかに加えて、どの位置に置くかを区別します。A、B、Cの3枚のカードを1枚ずつ使って横1列に並べるなら、ABCとBACは別です。左端のカードが違い、できた列も違うからです。読み取る方向は左から右と決めておきます。

組み合わせ方では、選ばれたものが同じなら、書く順番が変わっても同じ1通りです。A、B、Cから2人の係を選び、役目を分けない場合、AとBを選ぶこととBとAを選ぶことは同じです。一方、班長と副班長を1人ずつ選ぶなら、Aが班長の場合とBが班長の場合は別になります。

「選ぶ」という言葉が出たら必ず組み合わせ、と決めつけないようにします。問題文にある「順に」「1位と2位」「左と右」「役目を分けずに」などを手がかりに、実際の1組を入れかえて判断しましょう。同じ物を繰り返して使ってよいかという条件も、先に確かめます。

樹形図は枝の先までたどる

いくつかの選び方を、木の枝のように分けて表した図を樹形図といいます。図1は、A、B、Cを1枚ずつ使い、3枚とも並べる場合です。左端をAに決めると、2枚目はBかCです。Aの次にBを置いた場合、残ったCが3枚目になります。

図1のように、左端がAの枝を調べ終えてから、B、Cの枝へ進みます。上から読むと、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAの6通りです。途中のAやABだけでは、まだ3枚の列が完成していません。数えるのは、3枚目まで決まった枝の先です。

1枚目は3通り、それぞれについて2枚目は2通り、3枚目は1通りなので、3 × 2 × 1 = 6と表せます。図にある「2本ずつ」がそろっているため、同じ数のまとまりとしてかけ算できるのです。使ったカードを除き、残りを調べるたびに、選べる枚数は減ります。

樹形図をかくときは、各分かれ道でA、B、Cの順に候補を見ます。使った記号は飛ばし、残っている記号はすべて書きます。この約束なら、どこから調べたかを忘れにくくなり、途中から見直すときも同じ手順で確かめられます。

組み合わせは代表を1つ残す

A、B、Cから2つを選ぶ組み合わせは、AB、AC、BCの3通りです。BAはABと同じなので、Aから先に書くという約束をします。Aを含む組はAB、AC、Aを含まない残りの組はBCです。最後のCから書き始める新しい組はありません。

この数え方は、「書いたものを後で消す」だけではありません。初めから、自分より後の記号だけを相手にする方法です。Aの相手を調べ、次にBの相手を調べるので、ABを忘れずに数えながら、BAを追加せずに済みます。

どの場面でも、最初に記号が何を表すかを決めておくと整理できます。人ならAさん、Bさん、カードならAのカード、という対応です。同じ記号を別の意味に使わず、1通りを表す書き方もそろえれば、図と答えを行き来しやすくなります。

例題で解き方を確かめる

例題1　3枚のカードを並べる

1、2、3のカードが1枚ずつあります。3枚とも使って3けたの整数を作るとき、何通りできますか。

1. 百の位を1に固定します。最初の数字ごとに分けると、異なるまとまりの間で同じ整数を数えずに済みます。
2. 十の位を2、3の順に選び、残りを一の位に置きます。123、132の2通りで、使ったカードはもう一度使いません。
3. 百の位が2なら213、231、3なら312、321です。どの場合も2通りなので、2 + 2 + 2 = 6、または3 × 2 × 1 = 6と計算します。

答え：6通りです。

図1のA、B、Cを1、2、3に置きかえた考え方です。並びを数に読みかえるだけなので、末端の枝の数と、できる整数の数が一致します。

例題2　4チームが1回ずつ試合をする

A、B、C、Dの4チームが、ほかのすべてのチームと1回ずつ試合をします。試合は全部で何試合ですか。

1. Aの相手をB、C、Dと書きます。AB、AC、ADの3試合があり、AAのような自分自身との試合はありません。
2. BからはC、Dを相手にします。BAはすでに書いたABと同じ試合なので、BC、BDの2試合だけを加えます。
3. CからはDとのCDを加えます。Dの相手はすべて調べ終えているため、新たな試合はなく、3 + 2 + 1 = 6です。

答え：6試合です。

図2のように、たてと横にチーム名を並べると、調べる相手を一つずつ確かめられます。斜めの灰色のますは自分自身との組、反対側の赤い斜線のますは同じ試合を逆向きに書いた組です。緑の丸だけを数えると6個になります。

別の確かめ方では、各チームの相手は3チームなので、いったん4 × 3 = 12と数えます。するとABとBAのように各試合を2回ずつ数えるため、12 ÷ 2 = 6です。2でわる理由は、試合の数がたまたま偶数だからではなく、同じ試合がちょうど2回ずつ現れるからです。

例題3　班長と副班長を決める

A、B、C、Dの4人から、班長と副班長を1人ずつ決めます。同じ人が両方を担当しないとき、決め方は何通りありますか。

1. 班長を先に決めます。A、B、C、Dの4通りに分けると、役目を混ぜずに調べられます。
2. それぞれの班長について、副班長を残りの3人から選びます。班長Aなら副班長はB、C、Dで、ほかの班長でも候補は3人です。
3. 4つのまとまりに3通りずつあるので、4 × 3 = 12と計算します。班長A・副班長Bと班長B・副班長Aは役目が違うため、2でわりません。

答え：12通りです。

例題2と人数は同じでも、こちらには2つの役目があります。選ばれた人の名前だけを見るのではなく、その人が何をするのかまで比べる必要があります。

例題4　0を含むカードで整数を作る

0、1、2、3のカードが1枚ずつあります。この中から2枚を選び、2けたの整数を作るとき、何通りできますか。

1. 十の位に置けるカードを調べます。十の位が0では2けたの整数にならないので、1、2、3の3通りです。
2. 十の位を1にしたら、一の位は0、2、3です。10、12、13の3通りで、一の位の0は使えます。
3. 十の位が2なら20、21、23、3なら30、31、32です。各まとまりに3通りずつあるため、3 × 3 = 9です。

答え：9通りです。

0を使わないと決めるのではなく、置く場所で使えるかを判断します。3 × 2としないのは、一の位には十の位に使った1枚を除く3枚が残り、その中に0も含まれるからです。

つまずきやすいところと直し方

同じカードをもう一度選んでしまう

間違った書き方：3枚を1枚ずつ使う並べ方を「3 × 3 × 3 = 27」とします。この式では、AAAのように同じカードを繰り返す場合まで数えてしまいます。

どこが違うか：1枚目を置いた後の手元には、カードが2枚しか残っていません。正しい書き方は「3 × 2 × 1 = 6」です。樹形図の途中で迷ったら、その枝で使ったカードに小さな印をつけ、次の枝に同じ記号がないか確かめます。

組み合わせで逆の順も数えてしまう

間違った書き方：A、B、Cから役目を分けずに2人を選ぶ答えを「AB、BA、AC、CA、BC、CBの6通り」とします。図3のように、入れかえた2つを並べて比べてみましょう。

どこが違うか：ABとBAは、選ばれた2人が同じです。正しい書き方は「AB、AC、BCの3通り」で、図3では横に並ぶ2つを1組として数えます。並べ方との違いがあいまいになったら、「ABとBAで何が変わるか」を言葉にしましょう。

ただし、3人を選ぶ場合にも必ず2でわるわけではありません。A、B、Cの3人だけでも、書く順番は図1の6通りあります。わり算を使う前に、同じ組が何回現れるかを小さな例で確かめることが必要です。

思いついた順に書いて一部を落とす

間違った書き方：4チームの試合を「AB、AC、BD、CD、ADの5試合」とします。どこが違うか：Aから始まる組とBから始まる組が混ざり、BCが抜けています。数え直しても、同じ順に読むだけでは気づきにくいものです。

正しい書き方は「AB、AC、AD／BC、BD／CD」の6試合です。最初の記号ごとに区切り、相手を記号順にそろえます。図2の表で対応するますを確かめれば、BCの位置だけに丸がないことも見つけられます。

練習問題

各問題で、何を先に決めるかを短く書いてから解きましょう。式だけで済ませず、最初のまとまりを書き出すと、かける数やわる数の理由がはっきりします。

練習1

A、B、C、Dの4枚から2枚を選び、左と右に1枚ずつ並べます。同じカードを2回使わないとき、何通りありますか。

練習2

A、B、C、D、Eの5人から、役目を分けずに2人の図書係を選びます。何通りの組み合わせがありますか。

練習3

0、1、2のカードを1枚ずつ使い、3枚とも並べて3けたの整数を作ります。何通りできますか。

練習4

A、B、C、Dの4人が横1列に並びます。Aが左端に立つとき、並べ方は何通りありますか。

答えと解説

練習1：12通りです。左がAならAB、AC、ADの3通りです。左の選び方は4通りあり、4 × 3 = 12となります。ABとBAでは左のカードが違います。

練習2：10通りです。AB、AC、AD、AE／BC、BD、BE／CD、CE／DEと整理すると、4 + 3 + 2 + 1 = 10です。順番を逆にした組は追加しません。

練習3：4通りです。百の位は1か2で、残った2枚の並べ方はそれぞれ2通りです。2 × 2 × 1 = 4で、102、120、201、210が全部です。

練習4：6通りです。左端のAは決まっているので、残りのB、C、Dを並べます。ABCD、ABDC、ACBD、ACDB、ADBC、ADCBとなり、1 × 3 × 2 × 1 = 6です。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

条件に合わせて場合を分ける考え方は、この先、資料を整理するときや、中学校で起こりやすさを調べるときにも使います。全部の場合を確かめる土台は、計算の速さより、1つのまとまりを最後まで調べる手順にあります。

家庭では、次の2つをそれぞれ5分ほどで試せます。まず、異なる3枚のカードを並べ、できた列を記録して、まだない列を探します。次に、異なる4冊の本から持っていく2冊を選び、書く順番を逆にしても同じ2冊か確かめます。

保護者の方は、お子さまに「どうして全部だといえるの」と尋ねてみてください。個別指導では、答えが合わないとき、具体物で1通りを作るところや、使ったものを除いて残りを確かめるところまで戻ります。

まとめ

ノートに並んだ答えの数が合っていても、途中に抜けと重なりがあれば、たまたま同じ数になった可能性があります。見直すときには、答えの数字を隠し、最初の枝から自分の約束どおりにたどってみましょう。

友達や家の人に説明するときは、「Aから始まるものはここまで、次はBです」と指を動かしてみます。相手が同じ順番で確かめられれば、数え方も伝わっています。落ちなく数えた証拠は、答えの大きさではなく、すべての場合に行き先がある図と表です。