【小6算数】分数のわり算を図解で総まとめ—なぜ逆数をかけるのか｜武蔵野個別指導塾

分数でわるときに逆数をかける理由を、テープ図とわり算のきまりで確かめます。分数÷整数から帯分数のまじった計算、何倍かを求める文章題まで、途中式を追って学べます。

よくあるのは、工作の材料を広げた休日の机で、3/4mのリボンを1/4mずつに切る式を書き、「わり算なのに、どうして答えが3になるのですか」と手が止まる場面です。「わると小さくなる」と思っていると、3/4より大きい答えに不安が残ります。さらに「分数をひっくり返してかける」と聞くと、どちらの分数を変えるのかも迷いやすくなります。

分数のわり算は、これまでのわり算と別の計算ではありません。「同じ量ずつ分ける」「何個分あるかを調べる」という意味はそのままです。変わるのは、1個分や1つ分の大きさに分数が使われることです。図で量の関係を見てから式を直すと、逆数をかける理由と、答えが大きくなる理由をつなげて考えられます。計算の答えだけでなく、その数が何を表すのかも確かめていきましょう。

この単元で身につけること

• 分数を整数でわる計算ができます。等しく分けた1つ分を求め、分母に整数をかける意味を確かめます。
• 逆数を使って分数のわり算をかけ算に直せます。わる数を1にするために、わられる数にも同じ数をかけます。
• かけ算とわり算がまじった式を計算できます。かっこの有無を見て、計算する順番と約分する場所を判断します。
• 何倍かを分数で表せます。もとにする量を見つけ、比べられる量をもとにする量でわります。
• 答えのおよその大きさを見通せます。わる数が1より大きいか小さいかを見て、計算後に確かめます。

前に学んだ分数のかけ算、約分、小数のわり算で使った「わられる数とわる数に同じ数をかけても商は変わらない」というきまりが土台になります。多くの教科書では6年生で学びますが、計算に迷ったら、この3つを順に確かめると戻る場所が見つかります。

基本の考え方

何個分かを、同じ大きさの目盛りで見る

まず、3/4mのリボンを1/4mずつに切る場面です。求めるのは「1/4mが何個分あるか」なので、式は3/4 ÷ 1/4です。図1のように1mを4等分すると、3/4mの中には1/4mが3つあります。したがって、3/4 ÷ 1/4 = 3となり、3本に切れます。

図1で数えているのは、1mの個数ではなく1/4mの個数です。1つ分が小さければ、同じ長さから多くの本数が取れます。「わり算の答えはいつも小さくなる」と決めず、何を1つ分として数えているかを見るのが出発点です。長さの3/4mと本数の3本は、表している量も違います。

一方、3/4Lのジュースを3人で等しく分ける場合は、3/4 ÷ 3 = 1/4で、1人分は1/4Lです。この式は「全体を等しく分けた1つ分」を求めています。分数があっても、文章を読んで、何個分を求めるのか、1つ分を求めるのかを区別できます。

逆数をかけると、わる数が1になる

2つの数をかけた答えが1になるとき、一方の数をもう一方の数の逆数といいます。2/3の逆数は3/2です。2/3 × 3/2 = 1になるからです。整数の4は4/1と書けるので、逆数は1/4です。帯分数は仮分数に直してから考えます。なお、0には逆数がなく、0でわる計算はできません。

では、3/4 ÷ 2/3を考えます。小数のわり算では、わられる数とわる数をともに10倍などにして、わる数を整数にしました。分数でも、両方に同じ0でない数をかけても商は変わりません。ここでは両方に3/2をかけ、わる数を1にします。

3/4 ÷ 2/3 = (3/4 × 3/2) ÷ (2/3 × 3/2) = (3/4 × 3/2) ÷ 1 = 9/8です。1でわっても数は変わらないので、最後に残る計算が3/4 × 3/2になります。逆数をかける方法は、わる数を1に直した結果なのです。

「両方に同じ数をかける」のと「両方を逆数にする」のは違います。3/4には3/2をかけていますが、3/4そのものを4/3に変えてはいません。ふだんの計算では、わられる数をそのまま書き、÷を×に直し、わる数だけを逆数にすると、この変形を短く表せます。

整数でわる場合と、答えの見通し

分数÷整数も同じ考え方です。3/4 ÷ 2なら、2の逆数1/2をかけて、3/4 × 1/2 = 3/8となります。3/4をさらに半分にするので、1/4の1つ分が1/8になり、それが3つ残ると考えることもできます。

整数でわるときは、分子をその整数でわり切れる場合もあります。たとえば6/7 ÷ 3 = 2/7です。ただし、3/4 ÷ 2のように分子を整数の範囲でわり切れないときにも使える方法として、逆数をかける形を身につけておくと確かです。

ここから先は、わられる数もわる数も0より大きい場合を考えます。1より大きい数でわると商はわられる数より小さく、1より小さい数でわると商はわられる数より大きくなります。1でわると変わりません。この見通しは、計算を始める前にも、答えを見直すときにも役立ちます。

例題で解き方を確かめる

例題1　分数を整数でわる

4/5 ÷ 3を計算しましょう。4/5を3等分した1つ分なので、答えは4/5より小さくなるはずです。

1. 3を3/1と見て、逆数を1/3とします。整数も分数で表せば、同じ計算のきまりが使えます。
2. 4/5 ÷ 3 = 4/5 × 1/3と直します。わる数の逆数をかけることで、わり算をかけ算に変えています。
3. 分子どうし、分母どうしをかけ、4/15とします。4と15には1以外の公約数がないので、これ以上約分できません。

答え：4/15です。

求めた4/15を3倍すると、4/15 × 3 = 4/5に戻ります。「1つ分×3で全体」という関係でも確かめられました。逆数に直す段階と、かけ算をする段階を分けて書くと、分母だけをわる間違いを防ぎやすくなります。

例題2　分数でわり、途中で約分する

5/6 ÷ 10/9を計算しましょう。わる数の10/9は1より大きいので、答えは5/6より小さくなると予想できます。

1. 10/9の逆数を9/10として、5/6 × 9/10と書きます。わられる数の5/6は変えません。
2. 分子の5と分母の10を5で約分して1と2にし、分子の9と分母の6を3で約分して3と2にします。かけ算に直した後なら、全体の分子と分母にある共通の約数で約分できます。
3. 約分後の1/2 × 3/2を計算すると3/4です。先に数を小さくすると、45/60まで大きな数を作らずにすみます。

答え：3/4です。

大きさも、3/4 = 9/12、5/6 = 10/12なので、予想どおり小さくなっています。約分した数を元の数のそばに残しておくと、どの数を何でわったのかを後から追えます。

例題3　帯分数とかけ算がまじる計算

1と1/2 ÷ 3/4 × 2/5を計算しましょう。かっこがなく、かけ算とわり算だけなので、左から順に計算します。

1. 1と1/2を3/2に直します。整数部分と分数部分を別々に扱わず、1つの分数にすると逆数や約分を使えます。
2. 左のわり算をかけ算に直し、3/2 × 4/3 × 2/5とします。÷ 3/4は× 4/3に変わりますが、もともと× 2/5だった部分はそのままです。
3. 3/2 × 4/3 = 2なので、2 × 2/5 = 4/5と計算します。左から計算することで、最初のわり算の答えを次のかけ算に使えます。

答え：4/5です。

すべてかけ算に直した後なら、3/2 × 4/3 × 2/5の全体で約分してもかまいません。ただし、÷が残ったまま、離れた分子と分母を勝手に消さないようにしましょう。かっこがあれば、その中を先に計算します。式の形を確認してから、計算しやすい方法を選びます。

例題4　分数の長さで何倍かを求める

赤いリボンは3/4m、青いリボンは2/3mです。赤いリボンは青いリボンの何倍の長さでしょうか。図2では、青いリボンの長さと1倍の位置をそろえています。

1. もとにする量を2/3mと決めます。「青いリボンの長さの何倍」なので、青を1倍として比べるためです。
2. 比べられる量÷もとにする量として、3/4 ÷ 2/3と立式します。図2でも赤いほうが少し長いので、答えは1倍より少し大きくなるはずです。
3. 3/4 × 3/2 = 9/8 = 1と1/8と計算します。同じ単位の長さを比べた答えなので、mではなく「倍」をつけます。

答え：9/8倍（1と1/8倍）です。

青い長さに求めた倍をかけると、2/3 × 9/8 = 3/4となり、赤い長さに戻ります。もし長さの単位がmとcmに分かれていたら、同じ単位にそろえてからわります。数だけでなく、何をもとにした倍なのかも答えの一部です。

つまずきやすいところと直し方

両方の分数を逆数にしてしまう

間違った書き方は、2/5 ÷ 3/4 = 5/2 × 4/3です。どこが違うかというと、わられる数の2/5まで逆数にしている点です。正しくは、2/5 ÷ 3/4 = 2/5 × 4/3 = 8/15です。

「ひっくり返す」とだけ覚えず、「わる数を1にするため、その逆数をかける」と言葉を添えましょう。元の式で÷の右にある数に丸をつけ、その数だけを逆数にすると、変える場所がはっきりします。

わり算だから小さくなると思い込む

間違った書き方は、3/4 ÷ 1/2 = 3/8です。どこが違うかというと、1/2でわるところを1/2をかける計算にしている点です。正しくは、3/4 ÷ 1/2 = 3/4 × 2 = 3/2です。図3のように、同じ3/4でも、わる数によって商の大きさは変わります。

図3の棒はすべて同じ目盛りです。2でわると半分の3/8、1でわると元の3/4、1/2でわると2倍の3/2になります。計算の前に、わる数と1を比べる習慣をつけると、この種類の間違いに気づけます。

右側のかけ算を先にまとめてしまう

間違った書き方は、3/4 ÷ 1/2 × 2/3 = 3/4 ÷ (1/2 × 2/3)です。どこが違うかというと、元の式にないかっこをつけ、わる数を変えている点です。正しくは、3/4 × 2 × 2/3 = 1です。

かけ算がわり算より先というきまりはありません。右側を先にまとめた式では3/4 ÷ 1/3 = 9/4となり、別の答えになります。式を書き直すときは、数だけでなく、÷と×、かっこの位置まで指で追って確かめましょう。

練習問題

答えを読む前に、わる数に印をつけ、かけ算に直した式を1行書きましょう。練習4では、どちらを1倍とするかも言葉で説明してみてください。

• 練習1：7/8 ÷ 4を計算しましょう。
• 練習2：4/9 ÷ 2/3を計算しましょう。
• 練習3：1と1/5 ÷ 3/10 × 1/4を計算しましょう。
• 練習4：黄色いひもは5/6m、白いひもは2/3mです。黄色いひもは白いひもの何倍でしょうか。

答えと解説

練習1の答えは7/32です。7/8 × 1/4 = 7/32と計算します。4等分した1つ分なので、元の7/8より小さくなります。

練習2の答えは2/3です。4/9 × 3/2と直し、4と2、3と9を約分します。わる数が1より小さいため、答えは4/9より大きくなっています。

練習3の答えは1です。6/5 × 10/3 × 1/4 = 4 × 1/4 = 1となります。帯分数を仮分数に直し、÷の直後の分数だけを逆数にするのがポイントです。

練習4の答えは5/4倍（1と1/4倍）です。白いひもの2/3mをもとにし、5/6 ÷ 2/3 = 5/6 × 3/2 = 5/4と計算します。2/3 × 5/4 = 5/6になることも確かめられます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

分数のわり算は、比の値を求めるときや、全体の量から1あたりの量を求めるときにも使います。何を1とするかを決める力は、この先の比例を学ぶ場面にもつながります。

家庭では5分ほどで、次の2つを試せます。1つ目は、紙に1mを表す線をかき、3/4mの中に1/4mがいくつ入るかを指で数える方法です。2つ目は、料理の場面を使い、3/4Lのスープを3人で分けると1人分はいくらかを説明する方法です。同じ3/4でも、答えが表すものの違いまで話してみましょう。

お子さまと確かめるときは、答えを急いで教える前に「何を1つ分にしましたか」と尋ねてみてください。個別指導では、式が作れないならわり算の意味へ、式は作れても計算できないなら逆数や約分へ戻って確かめます。

まとめ

途中式に残した1行は、迷った場所を見つける手がかりです。かけ算に直した式が合っていれば、その後の約分を見直せます。計算が合っていても文章題の答えが合わないなら、もとにする量を図で確認できます。間違いをひとまとめにせず、どの段階までできているかを見ていきましょう。

3/4 ÷ 1/4の答えの3には、「1/4が3つ入る」という意味があります。逆数をかける1行には、わる数を1にそろえる理由が詰まっています。