【小6算数】拡大図と縮図を図解で総まとめ—縮尺で実際の長さを求める｜武蔵野個別指導塾

対応する辺と角を図で確かめ、三角形の拡大図のかき方から、縮尺1/2000の地図で実際の距離を求める文章題まで、順を追って学べます。

よくあるのは、公園の案内板の前で地図を見ながら、「地図ではすぐ隣なのに、どうして歩くと遠いのだろう」と立ち止まる場面です。紙や画面に大きな場所を収めるには、長さを短くして表す必要があります。ただ短くするだけでなく、どの部分も同じ割合で短くすると、道の曲がり方や建物の並び方を保てます。

反対に、小さな図形を見やすく大きくすることもあります。このとき、横だけを長くすると、もとの形とは変わってしまいます。「大きさを変えても形を変えない」という約束が、拡大図と縮図の出発点です。

この単元を学ぶと、図の中で対応する辺を見つけ、必要な長さを計算したり、実際には測りにくい距離を縮図から求めたりできます。数字を見る前に「どちらをもとにするか」を決めると、かけ算とわり算の選び方にも理由がつきます。定規で確かめるつもりで、図と式を行き来してみましょう。

この単元で身につけること

• 拡大図と縮図の意味をつかみます。形を変えずに、すべての長さを同じ割合で大きくした図が拡大図、小さくした図が縮図です。
• 対応する頂点・辺・角を見つけます。もとの図形のどの部分が、もう一方の図形のどの部分に当たるかを組にします。
• 辺の長さと角の大きさを区別します。対応する辺の長さの比はどの組でも等しく、対応する角の大きさは変わりません。
• 拡大図や縮図をかきます。必要な長さを先に計算し、定規、コンパス、分度器を使って図形を決めます。
• 縮尺を使います。縮図の長さと実際の長さを同じ単位で比べ、地図から実際の距離を求めます。

これまで学んだ合同な図形の対応、比、分数のかけ算・わり算が土台になります。多くの教科書では6年生で学びますが、計算で迷ったときは「何倍か」の考え方まで戻ると整理できます。

基本の考え方

形を保つには、すべての長さを同じ倍にする

写真を形が変わらないように引き伸ばすところを思い浮かべてください。横の長さを2倍にしたら、縦の長さも2倍にします。図形でも同じで、一部の辺だけを長くするのではありません。対応する辺をすべて同じ倍にすることと、対応する角の大きさが等しいことを確かめます。

図1のように、三角形ABCと三角形DEFを比べましょう。頂点の対応をAとD、BとE、CとFと決めると、辺ABと辺DE、辺BCと辺EF、辺CAと辺FDがそれぞれ対応します。図では同じ色の辺どうしが組になっています。

図1では、ABが3cm、BCが4cm、CAが5cmで、DEが6cm、EFが8cm、FDが10cmです。6 ÷ 3、8 ÷ 4、10 ÷ 5は、どれも2になります。したがって、三角形DEFは三角形ABCの2倍の拡大図です。もとの図と拡大図の対応する辺の比は、どの組でも1：2です。

見方を逆にすると、三角形ABCは三角形DEFの1/2の縮図です。拡大図と縮図という名前は、どちらの図をもとにするかで決まります。「2倍」と「1/2」は別々の図の話ではなく、同じ2つの図を反対向きに比べた結果です。

辺は変わっても、角は変わらない

図1のBとEは、どちらも直角です。辺の長さを2倍にしても、90°を2倍にはしません。角は辺の開き具合を表すので、同じ形を保つなら開き具合も同じです。AとD、CとFの角も、それぞれ等しくなります。

対応を調べるときは、紙の上での「右の辺」「下の角」だけを手がかりにしないようにします。図を回して置くと、右や下という位置は変わります。頂点の名前、角の印、辺のつながる順番を見て、対応する組を先に書くと確かです。

また、1組の辺だけで拡大図だと決めることはできません。横が2倍でも縦が3倍なら、引き伸ばし方が違います。四角形では、辺の比がそろっているかに加えて、対応する角も確かめます。辺の長さが同じひし形どうしでも、角の開き方が違えば同じ形とはいえません。

縮尺は、実際の長さを1とした割合

縮尺とは、実際の長さをどれだけ縮めて図に表したかを示す割合です。「縮尺1/2000」は、縮図の長さが実際の長さの1/2000であることを表し、1：2000とも書きます。長さの単位をそろえてから比べることが約束です。

この縮尺なら、地図の1cmは実際の2000cm、つまり20mに当たります。1cmが2000mという意味ではありません。「縮図の長さ ÷ 実際の長さ」で縮尺を求める場合も、cmとmを混ぜず、両方をcmなどに直してから計算します。

実際の長さから縮図の長さを求めるときは、縮尺をかけます。縮図から実際の長さへ戻すときは、縮尺でわります。1/2000でわることは2000をかけることなので、実際の長さは縮図の2000倍になります。計算前に、答えが図より大きくなるのか、小さくなるのかを予想しましょう。

例題で解き方を確かめる

例題1　対応する辺の長さを求める

三角形ABCの2倍の拡大図が三角形DEFです。AとD、BとE、CとFが対応し、ABは3cm、BCは4cm、CAは5cmです。DE、EF、FDの長さを求めましょう。

1. 対応を「AB→DE、BC→EF、CA→FD」と書きます。辺の名前を先にそろえると、求める辺を取り違えずにすみます。
2. 拡大図の辺はもとの辺の2倍なので、3 × 2=6、4 × 2=8、5 × 2=10と計算します。どの辺にも同じ2をかけるのが、形を保つ約束です。
3. 6 ÷ 3=2、8 ÷ 4=2、10 ÷ 5=2と戻して確かめます。図1の長さとも一致し、どの組でも倍率がそろっています。

答え：DEは6cm、EFは8cm、FDは10cmです。

例題2　三辺の長さを使って拡大図をかく

辺ABが3cm、辺BCが4cm、辺CAが5cmの三角形について、1.5倍の拡大図DEFをかきましょう。対応は例題1と同じです。

1. 三辺を1.5倍し、DEは4.5cm、EFは6cm、FDは7.5cmと求めます。かく前に必要な長さをそろえると、もとの長さを使ってしまう間違いを防げます。
2. 定規で辺EFを6cmに引きます。初めに1本の辺を決めると、残りの頂点Dの場所を探せます。
3. コンパスを4.5cmに開き、Eを中心に弧をかきます。次に7.5cmに開き、Fを中心に弧をかきます。DはEから4.5cm、Fから7.5cmの両方を満たす点だからです。
4. 辺EFより上にある弧の交点をDとして、DとE、DとFを結びます。最後に三辺の長さを測り直し、計算した長さと合っているかを確かめます。

答え：DEが4.5cm、EFが6cm、FDが7.5cmの三角形DEFです。

図2の点Dは、2つの弧が交わる位置です。図はかく順序を示すものなので、画面を定規で測っても表示されたcmになるとは限りません。ノートでは、手順で求めた長さを定規とコンパスで取ります。

三辺がわかる場合のほか、2辺とその間の角、1辺とその両端の角を使うかき方もあります。長さは同じ倍に変え、角はもとの大きさのまま取ります。縮図をかく場合も手順は同じで、初めに求める長さを1/2などに変えます。

例題3　地図から実際の距離を求める

縮尺1/2000の地図で、公園の入口から池までのまっすぐな距離が4.5cmありました。実際の距離は何mでしょうか。

1. 「地図1cm→実際2000cm」と書きます。縮尺の2000は、単位をそろえた長さの比を表すからです。
2. 4.5 × 2000=9000と計算します。地図の長さを2000倍に戻すので、ここでの答えは9000cmです。
3. 9000 ÷ 100=90としてmに直します。1m=100cmなので、cmで表した数を100でわります。
4. 地図1cmが20mなので、4.5 × 20=90でも確かめます。別の順序で単位を直しても、同じ距離になります。

答え：実際の距離は90mです。

求めたのは入口と池をまっすぐ結んだ距離です。曲がった道に沿って歩く距離を知りたい場合は、地図でもその道に沿った長さを使う必要があります。何の長さを測ったのかも、問題文と合わせて確認しましょう。

つまずきやすいところと直し方

間違い1　すべての辺に同じ数をたす

間違った書き方：縦2cm、横3cmの長方形を2倍にするとき、両方に2cmをたし、縦4cm、横5cmにします。どこが違うかというと、縦は2倍でも、横は2倍になっていないことです。同じ数をたすことと、同じ倍にすることは違います。

正しい書き方：2 × 2=4、3 × 2=6なので、縦4cm、横6cmです。図3のように、左の長方形から右下へは縦横とも2倍ですが、右上へは横の伸び方が足りません。計算が不安なときは、方眼で縦と横のます目を数える方法もあります。

間違い2　角の大きさも同じ倍にする

間違った書き方：2倍の拡大図だから、もとの角60°を60 × 2=120として120°にします。どこが違うかというと、辺の長さの変化を、角の大きさにも当てはめていることです。角が開けば形が変わります。

正しい書き方：対応する角は60°のままです。ノートでは辺の長さの横に「2倍」、角の印の横に「同じ」と書き分けましょう。分度器でかくときも、計算した辺の長さと、もとの角の大きさを使います。

間違い3　縮尺の計算で単位を飛ばす

間違った書き方：例題3で4.5 × 2000=9000mとします。どこが違うかというと、地図の4.5cmを2000倍した直後に、単位だけをmへ変えていることです。2000倍した結果もcmで表した長さです。

正しい書き方：4.5 × 2000=9000cm、9000cm=90mです。数の横に単位を残しておくと、どの段階で換算したかが見えます。反対に縮図を求めるときも、実際の長さをcmに直してから縮尺をかければ、図のcmが求まります。

練習問題

練習1：ある三角形を3倍に拡大します。もとの辺が2.4cm、その辺の一方の端の角が50°のとき、対応する辺の長さと角の大きさを求めましょう。

練習2：三辺が6cm、8cm、10cmの三角形の1/2の縮図をかきます。かくために必要な三辺の長さを求めましょう。

練習3：縮尺1/5000の地図で、2地点間のまっすぐな距離は3.2cmです。実際の距離は何mでしょうか。

練習4：実際には120mある直線の道を、縮尺1/3000の図に表します。図の上では何cmでしょうか。

答えと解説

練習1：7.2cm、50°です。2.4 × 3=7.2で辺を求めます。形を保つので、対応する角は変えません。

練習2：3cm、4cm、5cmです。6 × 1/2=3、8 × 1/2=4、10 × 1/2=5と、三辺とも同じ割合で短くします。

練習3：160mです。3.2 × 5000=16000cm、16000 ÷ 100=160mです。縮図から実際へ戻すので、長さが大きくなります。

練習4：4cmです。120m=12000cmに直し、12000 × 1/3000=4と計算します。図から戻すと4 × 3000=12000cmとなり、実際の長さと一致します。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

拡大図と縮図は、比や比例を図形に使う学習です。中学校で学ぶ相似な図形にもつながり、直接は測れない長さを求める場面で役立ちます。

家庭では、5分ほどでできる確かめ方が2つあります。1つ目は、方眼紙に縦2ます、横3ますの長方形と、その2倍の拡大図をかくことです。辺を指しながら、どの長さを2倍にしたか説明してみましょう。2つ目は、縮尺1/100の部屋の図を想定し、実際に1mある部分が図では何cmになるかを考えることです。100cmを1/100にするので1cmになります。

お子さまが迷ったとき、個別指導では、対応する辺を選べるか、何倍かを求められるか、mとcmを直せるかまで戻って確かめます。止まった場所が見えれば、図をかく練習と計算の練習のどちらが必要かも決められます。

まとめ

縮尺の問題で答えが合わなかったら、すぐ計算をやり直す前に、式の横へ「図の長さ」「実際の長さ」と書いてみましょう。どちらをもとにしたか、単位はそろっているかが見えてきます。図をかく問題なら、対応する頂点を結ぶ順序をたどり、使った長さを確かめます。

正しい数字が出たことだけで終わらず、その辺を選んだ理由や、角を変えなかった理由まで説明できると、別の図でも使えます。縮尺の分母は、紙の上の1cmを実際の世界へ戻す手がかりです。