共通テスト数学の数と式で条件が食い違う—絶対値を外した後の候補を戻す｜武蔵野個別指導塾

絶対値を外した各枝で候補を不等号に照らし、条件に合わない値を除いて元の等式へ戻す過程を追えます。

絶対値を外して方程式を解いたら、出てきた値をそのまま並べず、その式を使うために置いた条件へ戻します。条件を満たした候補を各枝に残し、最後に元の式でも確かめます。枝の条件と候補が重ならない場合は、その枝から解は出ません。

よくあるのは、高1の春休み、二つの場合から出た解を全部足して答えた机の場面です。場合分けも計算も紙には残っているのに、最後に並んだ値を見ると解説と合いません。どちらかの計算を最初からやり直す前に、それぞれの式の横に書いた条件を見てみましょう。候補が生まれた場所と、その候補が使える範囲をつなげると、どこで答えに余分な値が混ざったかを追えます。

外した式には条件が付いている

たとえば、実数 x について |x − 2| = x + 4 を解きます。絶対値の中身 x − 2 が0以上なら |x − 2| は x − 2、0未満なら -(x − 2) です。ここでは境目を x = 2 とし、前者を x ≧ 2、後者を x < 2 と分けます。境目をどちらに入れるかも含め、この二つで実数全体を重なりなく扱えます。

x ≧ 2 の枝では x − 2 = x + 4 となります。両辺から x を引くと -2 = 4 なので、この枝には解がありません。x < 2 の枝では -x + 2 = x + 4 から x = -1 です。-1 は x < 2 を満たすので、この枝に残ります。元の式でも左辺は |-3| = 3、右辺は -1 + 4 = 3 です。したがって解は x = -1 です。

図1のように、枝で作った式は条件と対になっています。条件を消して式だけを持ち出すと、その式が元の絶対値を正しく表す場所を見失います。計算結果が一つ出たことと、その値が元の問題の解であることは、別の確認です。

ここで「解がない」は、問題全体に解がないという意味ではありません。最初の枝では等式が成立しないとわかりましたが、もう一方には候補が残ります。逆に、片方の枝で候補を見つけても、もう片方を確かめなければ他に解がないとは言えません。枝ごとの結論を出してから、残った値をまとめます。

絶対値の外し方を逆にしてしまう失敗もあります。x − 2 が負のとき、そのまま x − 2 と書けば負の数になりますが、絶対値は負にはなりません。負の中身にマイナスを付ける操作と、枝の条件を守る操作は別です。どちらか片方が合っていても、もう片方を省けません。

答案のどこで候補が答えに変わったか

答案を見直すときは、計算の最後の行だけでなく、その行の左側にある仮定へ視線を戻します。「x ≧ 2 とする」と書いた下で得た値なら、その値が2以上かを確かめます。「x < 2 とする」枝なら、2未満かを確かめます。どちらの式から出たのかわからなくなった値は、いったん答えの欄に入れず、前の行をたどって枝を特定します。

枝の条件と解いた式の両方を満たす値が、その枝での解です。式から出た値が条件を満たさなければ、条件を広げて救うのではなく、その枝では採用しません。たとえば「2未満」という条件に2を入れることはできません。境目を含む枝は別に決めてあるので、そこへ勝手に移して採用するのでもなく、その枝の式で改めて調べます。

計算が合わない原因には、移項の符号を間違えた場合もあります。この場合は、その計算を直して新しい候補を出します。一方、計算が正しくても候補と仮定が食い違う場合があります。こちらは計算ミスと決めつけず、矛盾する候補を取り除く必要があります。途中の計算の正しさと候補の採否を分けて点検すると、正しい変形まで消さずに済みます。

また、元の式へ代入して成立しなかった値は解ではありません。ただし、最後に代入して不適合を見つけるだけでは、どの条件から離れたかが残りにくくなります。枝の条件を先に照合し、その後に元の式に戻ると、採否の理由と計算の検算の両方を記録できます。元の式での確認は、枝分けの際に間違った式を立てた場合を発見する助けにもなります。

候補と枝の共通部分を残す

別の自作例として、実数 x について |x − 2| = 2x − 1 を解いてみます。まず境目は先ほどと同じく x = 2 です。この問題では右辺も変化しますが、絶対値を外すための条件は左辺の中身 x − 2 の符号で決めます。右辺が負なら等式は成り立たないという見方もできますが、枝を立てて候補を戻す手順だけでも結論まで進めます。

図2のように、条件、条件の下で得られる式、候補、採否を順につなぎます。図の二つの枝は互いに代わりではなく、実数全体を漏れなく調べるための分担です。

x ≧ 2 なら x − 2 = 2x − 1 です。整理すると x = -1 となります。この計算自体は正しいものの、-1 は2以上ではありません。この枝で使った式が絶対値を表す範囲の外に出たため、候補を捨てます。元の式に代入しても左辺は3、右辺は-3で一致しません。

x < 2 なら -x + 2 = 2x − 1 です。これを解くと x = 1 です。1は2未満なので条件に合い、元の式でも左辺と右辺はともに1です。したがって解は x = 1 です。最初の枝で出た -1 は、もう一方の枝に入る数ではありますが、もう一方の枝の方程式を満たさないので解にはなりません。

この確認を集合の言葉で表すなら、各枝の解集合と枝の条件の共通部分を取ります。x ≧ 2 の枝の式から得られた集合は {-1} ですが、2以上の範囲との共通部分は空です。x < 2 の枝では {1} と2未満の範囲の共通部分が {1} です。最後に二つの枝に残ったものを合わせるので、全体の解集合は {1} です。

「候補を戻す」という言い方は、代入する場所を一つに限りません。まず枝の条件に戻して、その枝で有効かを判定します。次に元の絶対値の式へ戻して、左右の値が本当に一致するかを確認します。条件には合っても元の式に合わなければ、絶対値の外し方や途中の計算を見直します。どこに戻ったかを答案に短く残すと、違う種類の誤りを区別できます。

式を解いた結果が数ではなく、両辺が同じ式になることもあります。そのとき「すべての実数」と即断せず、まずその枝の条件の範囲で成立すると読みます。反対に、変数が消えて成り立たない等式になったときは、その枝の解集合は空です。途中式の見た目が似ていても、常に成立する等式と成立しない等式では結論が違います。

境目を含む枝と、残らない枝

境目で絶対値の中身は0です。正の側を「0以上」、負の側を「0未満」とすれば、境目は前者に含まれます。逆に「正」と「0以下」に分けても、境目を一度調べられます。どちらの約束でも、二つの条件が全体を覆うことと、答案の式がその条件で正しいことを確認してください。

図3のように、境目の値が条件に入るかは不等号で決まります。黒丸に相当する塗った点は境目を含む側、白い点は含まない側です。図は採否の位置を示していますが、実際に解であるかは元の等式も満たすかで決まります。

境目そのものが候補になったとき、開いた不等号の枝で除外しても、問題全体から直ちに捨ててはいけません。境目を含む枝で成立するかを調べます。分け方の約束を途中で変えると、境目が二重に登場したり、どちらにも入らなくなったりします。最初に書いた不等号を最後まで保つことが大切です。

両方の枝で候補が条件に合わない場合は、解集合は空になります。片方が矛盾した時点では、もう片方を調べ終わるまで全体の結論を出せません。両方に残った場合は、それぞれの候補を合わせます。同じ値が重なる扱いを選んだ場合でも、集合では同じ値を重複して数えません。

確かめ問題

実数 t について、|t + 3| = 2t + 9 を解いてください。絶対値を外した式だけでなく、各枝の条件と候補の採否も書きます。解答を見ずに進めた後、境目をどちらの枝に入れたかを確認してください。

解答と戻り先

t ≧ -3 では t + 3 = 2t + 9 なので t = -6 です。-6 は -3以上ではないため、この枝の候補として採用しません。t < -3 では -t − 3 = 2t + 9 なので t = -4 です。-4 は -3未満であり、元の式でも左辺は1、右辺は1です。よって解は t = -4 です。

-6 を答えに含めた場合は、その候補が生まれた枝の不等号へ戻ります。-4 を捨てた場合は、負の数の大小を数直線に置き直してから元の式へ代入します。候補を一つも出せなかった場合は、絶対値の中身が負の枝で、かっこ全体にマイナスが付いているかを調べます。符号を直した後にも、条件との照合をやり直します。

条件の残し方をもう一度練習する

枝を見直すとき、横に書いた条件が計算の途中で消えてしまうことがあります。条件は最初の一行にしか書けないものではありません。行が長くなったら、候補が出た行の横に同じ不等号を書き直し、その直下に「満たす」または「満たさない」と添えます。別の枝へ移る前に判定まで済ませると、複数の候補が出た後で出どころを探し直さずに済みます。

等号の付く境目を扱う際は、まず中身を0にする値を求めてから、不等号を立てます。中身そのものの符号と、変数が正か負かは同じとは限りません。中身が負になる範囲を求める途中で不等号を逆にする必要がある形なら、その操作も書き残します。境目の両側から代表となる値を一つずつ選び、中身が想定した符号になるか調べると、分け方の取り違えを発見できます。

条件を満たす候補が出ても、計算途中の符号を見落としていれば元の式では一致しないことがあります。元の式への代入は、候補を採用する理由を重ねる点検です。左右が違ったときには、まず数を写し間違えていないか、次に絶対値の中身を計算してからその大きさを取ったかを見ます。それでも違うなら候補を出した枝に戻り、展開と移項を一行ずつ追います。

時間が足りず、片方の枝しか調べられなかったときは、そこで得た候補を暫定的な結果として印を付けます。未処理の枝があるまま解を確定させず、戻れるよう条件を書き残します。練習後にその枝まで計算し、両方の結果をまとめれば、未確認の範囲が答案から消えるのを防げます。候補を出すまで進められなかった場合でも、境目と二つの条件が正しいかを確かめるところから再開できます。

答えが解説と違った場合は、正解の値だけを写して終えず、自分の紙で最初に食い違った行を探します。枝の式が違うなら絶対値の定義へ、式は同じで候補が違うなら計算へ、候補は同じで答えが違うなら条件との照合へ戻ります。戻り先を分けることで、できていた部分を保ちながら、直すべき操作に焦点を当てられます。

枝の条件を書き忘れた答案では、候補が正しく見えても採否を判断できません。絶対値の中身がどちらの符号だったかまでさかのぼり、不等号を書き添えます。その後で候補を入れ、条件に合うか確かめてから、元の式に戻してください。

自分の紙を使って聞く

教科書で絶対値の定義を見返すときは、中身が0以上のときと負のときに、どの式で表すかを指で追います。そのうえで、自分の答案に書いた枝の不等号と、絶対値を外した式を並べて照らします。答えの数字だけを持っていくより、どこで条件を置き、どこで候補を採用したかが見える紙の方が、質問の場所を絞れます。

学校の先生に尋ねるなら、「この値は式から出ましたが、枝の条件を満たしません。元の式へ代入する前に除いてよいですか」と、迷った行を示してみてください。境目の扱いで迷ったときは、「この不等号では境目をどちらに含めましたか」と聞くと、場合分けの漏れを一緒に確認できます。お子さまの答案を家で見る場合も、答えだけに印を付ける前に、条件と候補を線で結んでみると話し合う箇所が具体的になります。

個別指導では、問題文と途中式を並べ、絶対値を外した各行の横に条件を残します。条件に合わない候補を消した理由まで本人の言葉で確かめ、必要なら元の式に代入した左右の値も書きます。消した候補を消しゴムで隠さず、一度線で残せば、次に同じ種類の食い違いが出たときに戻る場所が見つかります。

絶対値を外した後の値は、枝の条件を通って初めてその枝の解になります。境目を含むか、矛盾した候補を残していないか、元の式が成立するかを順にたどりましょう。条件と候補の共通部分が、答えを決めます。