中学受験の算数 点の並びの規則—段ごとの増分を数えて三角形状の点の総数を出す｜武蔵野個別指導塾

段ごとの増分を表に積み、角を二度数えない数え方で枠の点も足し上げた、並んだ点の総数です。

点の並びは三つの型で出ます

よくあるのは、正方形の枠に等間隔で点を並べた図を見て、一辺の点の数を4回足し、角の点を二度数えてしまう場面です。答えは4個だけ多くなります。図を見直しても、どの点を二度数えたのかは目で追いにくいため、原因がわからないまま次の問題へ進みがちです。

点の並びを問う問題は、並べ方によって三つの型に分かれます。

第一の型は、一段ごとに点が1個ずつ増える並びです。上から1段目に1個、2段目に2個、3段目に3個と置き、最後の段までの点の総数を聞きます。三角形の形に見えるので、ここでは三角形の点の並びと呼ぶことにします。

第二の型は、一段ごとに決まった数ずつ増える並びです。1段目に2個、2段目に4個、3段目に6個のように、隣り合う段の差が一定です。増える数が1でないだけで、表の作り方は第一の型と同じです。

第三の型は、一辺に決まった数の点を並べて枠を作る並びです。正方形や長方形の周だけに点が並び、内側には点がありません。この型だけは、角の点をどちらの辺に数えるかという取り決めが加わります。

三つの型は、どれも「その段の点」「増分」「累計」の三列の表で追えます。総数は表の最後の累計です。型が違っても表の形は変わらず、変わるのは増分の決まり方だけです。だから、まず表を書くところまでを共通の手順にしてしまえば、あとは増分の列を読む作業になります。

問題文が聞いているのが総数なのか、途中の段の点なのか、増分なのかを、最初に確かめます。「全部で」とあれば総数、「7段目は」とあればその段だけの点、「何個ずつ増えるか」とあれば増分です。同じ図でも、聞かれている場所が変われば使う行が変わります。この三つを取り違えることが、点の並びの単元でよくある失点になります。

段・増分・累計の三つを決めます

「段」は、上から順に数えた点の行のことです。いちばん上の行が1段目、その次が2段目です。「その段の点」は、その行に置かれた点の数です。「増分」は、前の段と比べて何個増えたかです。「累計」は、1段目からその段までの点をすべて足した数です。

三つのうち、最初に書くのは増分です。累計だけを並べると、1, 3, 6, 10, 15という数の列に見え、隣どうしの差が1, 2, 3, 4, 5であることに気づきにくくなります。増分の列を先に埋めると、規則が1列にそろい、その列が1, 1, 1, 1なのか1, 2, 3, 4なのかがひと目で分かれます。規則は、点の形よりも数の列に表れます。

累計は、前の段の累計にその段の点を足して作ります。1段目の累計は1です。2段目は1に2を足して3、3段目は3に3を足して6、4段目は6に4を足して10、5段目は10に5を足して15となります。前の段の累計が決まらないと次の累計が決まらないので、表は上から順に積みます。

この作り方から、検算の方法が一つ出ます。累計の隣どうしの差を取ると、その段の点に戻ります。15から10を引くと5で、5段目の点の数と一致します。足し算を引き算で戻せるので、表の1行を書き間違えたときは、差の列が合わなくなった行の前後を見れば見つかります。検算は最後だけでなく、表を書いている途中にも同じように使えます。

図1のように、左に点の並び、右に三列の表を置くと、点と数の対応が取れます。図1は5段目までで、累計は15です。増分の列はすべて1で、三角形の点の並びでは増分が1でそろうことが読み取れます。点の形だけを見ていると、増分が1であることは見えません。表にして初めて、規則が一つの列になります。

増分が途中から変わる並びもあります。1段目から3段目までは1個ずつ増え、4段目からは3個ずつ増える、という形です。このときは、増分の列が途中で切り替わります。表の増分の列を上から見て、同じ数が続く区間ごとに区切って読みます。区切りがどこかを勝手に決めず、問題文に書かれた段の番号を確かめます。図だけが与えられて、点の並びが数段しか描かれていないときは、見えている数段から規則を一つに決めつけません。規則は問題文に書かれているものを読みます。

枠の型では、角の点に注意します。正方形の枠を1周すると、角の点はたての辺にも横の辺にも入ります。一辺の点の数を辺の数だけ掛けると、角の点を2度数えたことになります。正方形の頂点は4つなので、角はいつも4個です。辺の長さが変わっても頂点の数は変わらないため、掛けた数から4を引けば、二度数えた分だけが除かれます。

角を引かずに数える方法もあります。各辺で角を1個だけ残し、残りの点を数えると、角はどの辺でも1回しか数えられません。一辺が6個なら、各辺で角を1個除いて5個、それが4辺で20個です。引く数え方と除く数え方のどちらでも同じ数になることが、枠の総数の確かめになります。二つの数え方を両方書いておくと、片方で角の数を間違えても、もう片方が合わなくなるので気づけます。

基本例題　段ごとに1個ずつ増える並び

例題です。1段目に1個、2段目に2個、3段目に3個と、前の段より1個ずつ多い点を並べます。7段目まで並べたとき、点は全部で何個になるか、整数で答えなさい。

段の点は1, 2, 3, 4, 5, 6, 7です。増分はすべて1です。累計を上から順に作ります。

1段目まで 1
2段目まで 1 + 2 = 3
3段目まで 3 + 3 = 6
4段目まで 6 + 4 = 10
5段目まで 10 + 5 = 15
6段目まで 15 + 6 = 21
7段目まで 21 + 7 = 28

答えは28個です。

確かめます。累計の差を取ると、7段目は28から21を引いて7、6段目は21から15を引いて6、5段目は15から10を引いて5となり、段の点の列1, 2, 3, 4, 5, 6, 7に戻ります。逆に、28から7を引き、21から6を引き、15から5を引くという順に下へ戻ると、最後に1が残ります。足した数を順に引いて1に戻るので、途中の足し算は落ちていません。

図2のように、7段目までの点を段ごとに並べると、いちばん下の段だけが7個で、上の段ほど少なくなります。いちばん下の段の7個を数え終えたら、その上の段は6個、その上は5個と、1個ずつ減らして数えます。指を上へ動かしながら数を減らすと、段の点を取り違えません。

ここで間違えやすいのは、7段目までの総数を聞かれているのに、7段目の点の7個を答えにしてしまうことです。7は最後の段の点であって、総数ではありません。問題文が「全部で」と聞いていれば、累計の最後の数を見ます。答えを書く前に、問題文の「全部で」と、自分の見ている数が同じものを指しているかを確かめます。

途中の段でも確かめられます。4段目までの累計は10です。図2の上から4段目までを指で数えると、1段目が1個、2段目が2個、3段目が3個、4段目が4個で、合わせて10個です。表の10と図の10が合わなければ、上の行から順に見直します。最後の段まで進んでから間違いを探すより、途中の段で一度止めて確かめるほうが、直す場所を絞れます。

もう一つの間違いは、段の点を全部同じ数だと思って、7段×7個で49個とすることです。段の点は1, 2, 3, 4, 5, 6, 7と増えているので、同じ数を段の数だけ足す計算にはなりません。増分の列がすべて1であることは、段の点が1個ずつ増えるという意味で、各段が7個という意味ではありません。増分の1は、段と段の間の段差であって、段そのものの高さではありません。

標準例題　正方形の枠の外周

例題です。1辺に6個ずつ点を等間隔に並べて、正方形の枠を作ります。枠の上の点は全部で何個ですか。

まず、一辺の点の数を辺の数だけ掛けます。6 × 4 = 24です。次に、角の点を確かめます。正方形の角は4つあり、それぞれの角はたての辺と横の辺の両方に数えられています。だから24個のうち、角の4個は2度数えた分です。二度数えた分だけを除くので、24 − 4 = 20となります。

角を1個ずつ除いて数える方法でも確かめます。一辺6個から角の1個を除くと5個です。これが4辺あるので、5 × 4 = 20です。どちらの数え方でも20個になりました。

答えは20個です。

枠の総数は、辺の点を1個増やすと4個増えます。辺の点が3個なら4 × 3 − 4 = 8、4個なら12、5個なら16、6個なら20です。隣どうしの差はすべて4です。増えた1個は、4つの辺のそれぞれに1個ずつ加わるので、増分が4になるというわけです。辺の点を1個増やしても、角の数は4個のまま変わりません。

表の差の列が4でそろうことを確かめてから、答えを書くと安心です。もし差が3や5になった行があれば、その行の計算のどこかで角の数を1個多く引いたか、少なく引いています。差の列は、答えの確かめだけでなく、式の組み立ての確かめにもなります。

いちばん小さい枠でも同じ式が使えます。一辺2個の枠は、四つの角だけが並ぶ形で、4 × 2 − 4 = 4です。一辺の途中の点はありませんが、角を1個除く数え方でも(2 − 1) × 4 = 4となり、同じ4個です。この小さい場合を先に確かめておくと、辺の点が増えても式の形が変わらないことが納得できます。

分かれ目は、角を引く回数です。角は4個あり、1個につき1回だけ多く数えています。だから引くのは4です。角を2回ずつ引いて24 − 8 = 16とするのは誤りです。16は、一辺5個の枠の総数と同じ数になるので、答えだけを見ると気づきにくい間違いです。一辺5個の枠なら、5 × 4 − 4 = 16が正しい答えです。同じ16でも、6個の枠から出した16は誤りで、5個の枠から出した16は正しいのです。

標準例題　増分が一定の並び

例題です。1段目に2個、2段目に4個、3段目に6個と、前の段より2個ずつ多い点を並べます。8段目まで並べたとき、点は全部で何個ですか。

段の点は2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16です。増分はすべて2です。累計を上から作ります。

1段目まで 2
2段目まで 2 + 4 = 6
3段目まで 6 + 6 = 12
4段目まで 12 + 8 = 20
5段目まで 20 + 10 = 30
6段目まで 30 + 12 = 42
7段目まで 42 + 14 = 56
8段目まで 56 + 16 = 72

答えは72個です。

検算します。72から56を引くと16で、8段目の点の数と一致します。56から42を引くと14で、7段目の点と一致します。累計の差が段の点に戻ることを、最後の2行で確かめました。

別の数え方でも72になることを確かめます。段の点は2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16で、どれも2個ずつのかたまりに分けられます。かたまりの数は1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8です。1から8までの和は、基本例題で使った1から7までの和28に8を足して36です。2個ずつのかたまりが36組なので、2 × 36 = 72となります。段の点をそのまま足す数え方と、かたまりに分けてから掛ける数え方の二通りが同じ数になると、総数の計算は確かです。

ここで気をつけるのは、増分の2を段の数だけ掛けて2 × 8 = 16としないことです。16は8段目の点の数であって、総数ではありません。増分の2は、段が1つ進むごとに足される数です。8段目までの総数は、2を8回足した16ではなく、1段目から8段目までの段の点を全部足した72です。足す相手は前の段の点であって、増分どうしではありません。

1段目の点が増分と同じで、増分が一定の並びでは、その段の点は「増分×段の番号」で決まります。増分が2なら、8段目の点は2 × 8 = 16です。この関係を使うと、総数を出さずに途中の段の点だけを聞かれたときに速く答えられます。ただし、1段目の点が増分と違う並びでは、この式はそのまま使えません。4, 6, 8と増える並びなら、6段目の点は4 + 2 × 5 = 14です。どちらの型かは、増分の列が一定かどうかと、1段目の点がいくつかで見分けます。

発展例題　枠を内側にもうける

例題です。1辺に7個の点を並べた正方形の枠の内側に、間隔を同じにして1辺5個の枠を置きます。さらにその内側に1辺3個の枠を置きます。三つの枠の点は、全部で何個ですか。内側の枠の角の点は、外の枠の点と重なりません。

枠を一つずつ数えます。外の枠は4 × 7 − 4 = 24です。中の枠は4 × 5 − 4 = 16です。内の枠は4 × 3 − 4 = 8です。三つを足すと、24 + 16 + 8 = 48です。

答えは48個です。

内側の枠の一辺が2個ずつ減る理由を確かめます。外の枠の一辺には7個の点があり、間隔は6つ分です。同じ間隔のまま1つ分内側へ入ると、両端がそれぞれ1個分ずつ内側へ寄ります。だから一辺の点は7 − 2 = 5個になります。もう1つ内側へ入ると、5 − 2 = 3個です。1個ずつ減らすと角の位置が外の点と重なってしまうので、2個ずつ減らすのが正しい置き方です。

別の数え方でも確かめます。三つの枠の辺の点をすべて足すと、7 × 4 + 5 × 4 + 3 × 4 = 28 + 20 + 12 = 60です。角は枠ごとに4個あり、三つの枠で12個です。辺の点を足した数から角の12個を引くと、60 − 12 = 48となります。一つずつ数えた48と一致しました。

分かれ目は、内側の枠の一辺の決め方です。外の一辺から1個だけ減らして6個にすると、内側の角の点が外の辺の点と同じ場所に来ます。同じ場所に来た点を二重に数えないなら、枠ごとの式をそのまま足すことはできません。間隔を同じにするという条件から、一辺は2個ずつ減る、と先に決めておくと、この行き違いは起きません。図を描いて、角の点が重なっていないかを目で確かめるのも有効です。

間隔が同じでない場合は、一辺が2個ずつ減るとは限りません。内側の枠の一辺がいくつになるかは、間隔をどこで取るかで変わるからです。この形の式をそのまま当てはめず、問題文に間隔の条件が書かれているかを確かめます。間隔の条件が書かれていなければ、内側の一辺の点の数は問題文から読めないので、勝手に決めません。

この形の問題では、枠の数が増えても、一つの枠の総数の出し方は変わりません。枠の一辺が3個、5個、7個、9個と増えていっても、それぞれの枠で辺の数を掛けて4を引くだけです。変わらない部分を先に決めておくと、枠がいくつ重なっても同じ手順を繰り返せます。

誤答から直す　角の二重数え

誤答の例です。1辺に6個ずつ点を並べた正方形の枠で、点は全部で24個と答えました。式は6 × 4 = 24です。

原因は、角の点を二度数えていることです。左上の角の点は、上の辺を数えるときにも、左の辺を数えるときにも入ります。四つの角がそれぞれ2回ずつ数えられ、1回分ずつ多いので、4個多く数えたことになります。

修正は、角の4個を1回分だけ引くことです。24 − 4 = 20となります。角を1個ずつ辺から除いて5 × 4 = 20と数えても同じです。図3のように、四つの角を赤で示すと、多く数えた場所が4か所あることが見えます。赤い点は、たての辺にも横の辺にも入っている点です。

同じ誤りは、辺の長さが変わっても起こります。一辺5個の枠で5 × 4 = 20と答えると、正しい16より4個多くなります。一辺9個の枠で9 × 4 = 36と答えると、正しい32より4個多くなります。角の数は辺の長さによらず4個なので、多く数える数もいつも4個です。辺の点がいくつでも、引く数は4で変わりません。

この誤りを見つけるには、引いた数が4かどうかを見ます。角を2回ずつ引いて24 − 8 = 16とした場合も、一辺5個の枠の正しい答えと同じ16になるので、答えの数だけでは区別できません。だから、角は4個で、引くのは1個につき1回分だと、言葉にして確かめます。式の形が合っているかではなく、角を何回数えたかを説明できるかで確かめます。

直したあとは、辺の点を1個増やして表を作り、差が4でそろうかを見ます。一辺4個なら12、5個なら16、6個なら20で、差はどれも4です。角の数を間違えた式では、この差が4でそろいません。答えを一つ直して終わりにせず、隣の辺の長さでも同じ式が成り立つかを確かめると、誤りが残りません。

枠の内側の点を数えてしまう誤りもあります。一辺6個の枠で6 × 6 = 36とするのは、枠の内側の4行4列の点まで数えたことになります。枠の問題では、点があるのは周だけです。図を見て、内側に点があるかどうかを最初に確かめます。内側に点が並んでいる図なら、外の枠と内側の枠を分けて数え、重なった点があればその分を引きます。

練習問題

次の5問を解いてください。答えは整数で書き、単位があるときは単位も書きます。

1. 1段目に1個、2段目に2個、3段目に3個と、前の段より1個ずつ多い点を並べます。8段目まで並べたとき、点は全部で何個ですか。

2. 1辺に9個ずつ点を等間隔に並べて、正方形の枠を作ります。枠の上の点は全部で何個ですか。

3. 1段目に4個、2段目に6個、3段目に8個と、前の段より2個ずつ多い点を並べます。6段目まで並べたとき、点は全部で何個ですか。

4. 1段目に5個、2段目に8個、3段目に11個と、前の段より3個ずつ多い点を並べます。7段目まで並べたとき、点は全部で何個ですか。

5. たてに5個、横に8個の点を等間隔に並べて、長方形の枠を作ります。枠の上の点は全部で何個ですか。

答えと解き方

1. 段の点は1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8です。累計は1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36となります。8段目は28に8を足して36です。答えは36個です。確かめに、36から28を引くと8で、8段目の点と一致します。

2. 一辺9個を4辺で掛けると9 × 4 = 36です。角の4個を1回分引くと36 − 4 = 32です。角を除く数え方では、一辺9 − 1 = 8個が4辺で8 × 4 = 32です。答えは32個です。

3. 段の点は4, 6, 8, 10, 12, 14です。累計は4, 10, 18, 28, 40, 54となります。6段目は40に14を足して54です。答えは54個です。確かめに、54から40を引くと14で、6段目の点と一致します。

4. 段の点は5, 8, 11, 14, 17, 20, 23です。累計は5, 13, 24, 38, 55, 75, 98となります。7段目は75に23を足して98です。答えは98個です。確かめに、98から75を引くと23で、7段目の点と一致します。

5. たての辺は5個の点が2本、横の辺は8個の点が2本です。辺の点をすべて足すと5 × 2 + 8 × 2 = 10 + 16 = 26です。角は4個で、それぞれ2回数えているので、26 − 4 = 22です。角を除く数え方では、上の辺8個、下の辺8個、左の辺の角を除いた3個、右の辺の角を除いた3個で、8 + 8 + 3 + 3 = 22です。答えは22個です。

覚えておくこと

• 点の並びは、その段の点・増分・累計の三列の表で追う。
• 累計の隣どうしの差は、その段の点に戻る。
• 三角形の点の並びは、増分が1でそろう。
• 増分が一定の並びでは、増分と段の点を混同しない。
• 枠の点は、辺の数だけ掛けてから角の4個を1回分引く。

つまずきの見分け方と確かめる場所

総数と最後の段の点を取り違えるお子さまは、答えが問題文の数より小さくなります。7段目までの総数を聞かれて7と書いたら、問題文の「全部で」を指でなぞらせ、表の最後の行の累計を見るように伝えます。表の累計がそのまま答えになることを、1問ごとに確かめます。

増分の列を空欄のままにしているお子さまは、規則を言葉にできていません。段の点を2つ並べて書き、差がいくつかを聞きます。差が1なら三角形の点の並び、差が2なら増分が一定の並びです。差が一定でないときは、差の列をもう一段作り、差の増え方を見ます。

枠の問題で24と書いたお子さまには、角に指を置かせます。角は4か所あり、それぞれが2本の辺に属することを、図をなぞって確かめます。そのうえで、引く数が4になる理由を言葉にさせます。16と書いたお子さまには、角を2回引いていないかを聞きます。式の答えが合っていても、角の数え方が説明できなければ、次の辺の長さで同じ誤りが出ます。

数え直しをさせる順番も決めておきます。まず段の点を1段ずつ声に出して数え、次に増分の列を書き、最後に累計を足します。この順番を守ると、どこで止まったかが分かりやすくなります。累計から先に書こうとすると、足す数を思い出せずに手が止まり、規則の理解ではなく記憶の確認になってしまいます。

図と式の対応が取れていないお子さまには、式の1つ分が図のどの点かを指で示させます。6 × 4の6が一辺の点、4が辺の数であることを、図の上で確かめます。枠を重ねた問題では、内側の一辺が2個ずつ減る理由を、間隔の言葉で説明させます。説明が「なんとなく」で止まったら、外の一辺の間隔を指で数え直します。

どの段で数え間違えたかは、増分の列を一行ずつ戻れば見つかります。