中学受験の算数 図形の平行移動—重なりの幅と高さを時刻ごとに求める｜武蔵野個別指導塾

長方形二枚がすれ違うとき、重なりの幅は相手の端までの距離で決まり、面積は増えて止まり、そして減ります。止まっている間も、片方の長方形は右へ進み、二枚は重なります。

【舞台】テストの見直しで、二枚の長方形が少しずつ重なっていく図の横に、面積の折れ線がかいてありました。お子さまは重なりの面積を一本の式にまとめ、14秒より後の欄にも同じ式で数字を書きこんでいます。16秒の欄は「-40」、19秒の欄は「-100」とあり、その時刻の図では二枚はもう離れています。よくあるのは、式そのものは正しく立てられたのに、その式が使える時間の範囲を決めずに最後まで延ばしてしまうという場面です。面積が0になった後も式が動き続けると、図にない負の面積が答案に残ります。

重なりの面積はどこで問われるか

出題の形は大きく三つに分かれます。一つ目は、ある時刻を指定して面積を求める形です。「3秒後の重なりの面積を求めなさい」と聞かれ、その時刻の幅と高さをそれぞれ求めて掛けます。二つ目は、面積の値を先に与えて時刻を聞く形です。「重なりの面積が40cm²になるのは何秒後ですか」という問いで、増えていく途中と減っていく途中の二回、答えが出ることが多くなります。三つ目は、重なっている時間の長さや最大の面積、グラフの空欄を埋める形です。

どの形でも、先に読むのは数字ではなく条件です。動くのはどちらか、向きはどちらか、速さは毎秒何cmか、二枚の下端や左端はそろっているか、0秒のとき二枚はどこにあるか。この五つを図の上に書きこんでから式を作ると、途中で迷いません。逆に、この五つを読まずに式から入ると、重なっていない時間にまで式を当てはめてしまいます。

どの問題でも、答えを出す順番は同じです。重なりの高さを決め、時刻ごとの重なりの幅を決め、その二つを掛ける。面積を先に求めようとすると、幅と高さのどちらを掛け損ねたのかが見えなくなります。

重なりは横と縦の共通部分

平行移動とは、形も向きも変えずに、まっすぐずらすことです。長方形を平行移動しても、横の辺は横のまま、縦の辺は縦のままです。向きが変わらないからこそ、重なりの幅は横の長さだけで測れます。これが回転移動との違いで、回転では辺の向きが変わるため、幅と高さを別々に読むことができません。

重なりとは、二枚が同時に占めている部分のことです。長方形と長方形の共通部分は、また長方形になります。だから面積は、幅と高さの二辺だけで決まります。

重なりの幅は、二枚の右端のうち小さいほうから、二枚の左端のうち大きいほうをひいて求めます。重なりの高さも同じで、二枚の上端のうち小さいほうから、二枚の下端のうち大きいほうをひきます。面積はその幅と高さの積です。

ここで大事な条件が一つあります。幅と高さの両方が0より大きいときだけ、面積は正になります。どちらか一方でも0以下なら、二枚はその向きでは重なっていないので、面積は0です。面積が負になる場面は、図形の平行移動では起こりません。式が負の値を返したら、それは式ではなく、式を使う時間の範囲が間違っています。

なぜ共通部分が長方形になるのかを、図1で確かめます。重なりの幅を決めているのは、二枚のうち内側にある二つの端です。左側から入ってくる長方形Bの右端と、動かない長方形Aの左端、この二つの間の長さが幅になります。高さも同じで、下端がそろっていれば、上端の低いほうが重なりの高さを決めます。

図1のように、長方形Bが長方形Aの右端を越えて進むと、重なりの幅を決める端が入れ替わります。入ってくるときはBの右端とAの左端でしたが、通り過ぎるときはAの右端とBの左端になります。この入れ替わりが、面積の増え方が変わる境目です。

速さが一定なら、1秒に進む長さも一定です。だから重なりの幅は、区間ごとに同じ割合で増えたり減ったりします。境目の時刻は、端と端が重なる瞬間です。重なり始め、全部が入り終えた時、出はじめ、重なり終わりの四つが基本の境目になります。

基本例題　二枚の長方形が少しずつ重なる

長方形Aは横20cm、縦10cmで、動きません。長方形Bは横8cm、縦12cmで、Aの左側から右へ毎秒2cmの速さで平行移動します。Bの右端がAの左端に重なった瞬間を0秒とし、二枚の下端は同じ直線上にあるものとします。次の三つを求めなさい。

1. 2秒後の重なりの面積
2. 7秒後の重なりの面積
3. 重なりの面積が60cm²になるのは何秒後か

まず重なりの高さを決めます。二枚の下端はそろっているので、下側は0cmから上へ数えれば同じ位置です。上端はAが10cm、Bが12cmで、低いほうはAの10cmです。したがって重なりの高さは、Bが上に2cmはみ出していても10cmです。この高さは、重なっている間ずっと変わりません。

次に幅です。0秒のとき、Bの右端はAの左端と同じ位置にあります。Bの左端は、Bの横の長さが8cmなので、Aの左端より8cm左です。Bは毎秒2cm進むので、t秒後のBの左端は、Aの左端から左へ8cmの地点から2t cmだけ右に動いた位置になります。

0秒から4秒までを考えます。この間、Bの右端はAの中にあり、Bの左端はまだAの外です。重なりの幅は、Bの右端とAの左端の間の長さなので、2t cmです。1秒後は2cm、2秒後は4cm、3秒後は6cm、4秒後は8cmとなります。4秒後にBの左端がAの左端に届き、Bの横の長さ8cmがそのまま重なります。

4秒から10秒までは、Bの全体がAの横の範囲に入っています。幅は8cmのままです。この間、Bは動き続けていますが、重なりの幅は増えません。面積が止まって見える時間があることに注意してください。

10秒から14秒までは、Bの右端がAの右端を越えていきます。重なりの幅は、Aの右端とBの左端の間の長さです。Bの左端は、0秒の位置から2t cm進んだ地点にあるので、幅は28cmから2t cmをひいた長さになります。10秒後は8cm、11秒後は6cm、12秒後は4cm、13秒後は2cm、14秒後は0cmです。

面積は幅に高さ10cmを掛けます。0秒から4秒までは20t cm²で、2秒後は40cm²です。4秒から10秒までは80cm²で、7秒後も80cm²です。10秒から14秒までは280cm²から20t cm²をひいた値で、12秒後は40cm²、14秒後は0cm²です。

図2のように、2秒後と12秒後は同じ幅4cmでも、重なっている場所が違います。2秒後はBの右側がAに入ったところで、12秒後はBの左側だけがAに残ったところです。幅が同じでも、次に幅が増えるのか減るのかは、時刻によって逆になります。

3の問いは、面積が60cm²になる時刻です。増えていく途中では20tが60になるので、tは3です。減っていく途中では280から20tをひいた値が60になるので、tは11です。答えは3秒後と11秒後になります。同じ面積でも時刻は二つある、という点がこの単元の中心です。

標準例題　面積が同じになる時刻は二度ある

長方形Aは横24cm、縦12cmで動きません。長方形Bは横8cm、縦8cmで、毎秒4cmの速さで右へ平行移動します。0秒のときBの右端はAの左端に接しており、二枚の下端はそろっています。重なりの面積が32cm²になるのは何秒後か、また面積が最大になるのは何秒後から何秒後までか、そのときの面積を求めなさい。

重なりの高さは、Aが12cm、Bが8cmなので、低いほうの8cmです。Bが上にも下にもはみ出さないので、高さは8cmで固定されます。

幅は、0秒から2秒までが4t cmです。毎秒4cm進むので、2秒でBの横の長さ8cmがすべて入ります。2秒から6秒までは8cmのままです。6秒から8秒までは、Aの右端とBの左端の間の長さになり、32cmから4t cmをひいた値です。8秒で0になります。

面積は、0秒から2秒までが32t cm²、2秒から6秒までが64cm²、6秒から8秒までが256cm²から32t cm²をひいた値です。表にすると次のようになります。

表から、面積が32cm²になるのは1秒後と7秒後です。最大は64cm²で、2秒後から6秒後までの4秒間続きます。

別の見方もできます。速さが一定なので、幅が0から8cmになるのに2秒、8cmから0cmになるのにも2秒かかります。増える時間と減る時間が同じなら、面積の折れ線は左右対称の台形になります。32cm²という同じ高さで横に切ると、台形の左の斜面と右の斜面で一か所ずつ交わります。その二つの時刻は、増え終わる2秒と減り始める6秒から、それぞれ同じ1秒だけ離れた1秒と7秒です。

この対称性は、速さが一定のときにだけ使えます。途中で速さが変わる問題では、区間ごとに幅の式を作り直してください。公式として覚えるのではなく、増える量と減る量が同じになる理由を、幅の式で確かめておくと安心です。

発展例題　二枚とも同じ向きに動くとき

長方形Aは横30cm、縦10cmで、毎秒1cmの速さで右へ動きます。長方形Bは横6cm、縦10cmで、Aの左側から毎秒3cmの速さで右へ動きます。0秒のとき、Bの左端はAの左端より20cm左にあり、二枚の下端はそろっています。次の三つを求めなさい。

1. 重なりの面積が40cm²になるのは何秒後か
2. 二枚が重なっているのは何秒間か
3. 面積が最大になるときの値と、その状態が続く時間

二枚とも動くので、そのままでは幅の式が作りにくくなります。ここでは、二枚の間の距離が毎秒どれだけ縮むかに目を向けます。Aは毎秒1cm、Bは毎秒3cmで同じ向きに進むので、BはAに毎秒2cmずつ近づきます。この2cmが、この問題の実質の速さです。

0秒のとき、Bの右端はBの左端より6cm右にあり、Aの左端より14cm左です。この14cmの差が毎秒2cmずつ縮むので、7秒でBの右端がAの左端に届きます。ここが重なり始めです。

7秒から10秒までは、Bの右端がAの中に入っていきます。幅は、近づいた距離のうち重なりに変わった分なので、2t cmから14cmをひいた長さです。7秒後は0cm、8秒後は2cm、9秒後は4cm、10秒後は6cmです。

10秒から22秒までは、Bの全体がAの横の範囲に入っています。幅は6cmで変わりません。Bの左端がAの左端に届くのが10秒後、Bの右端がAの右端を追い越すのが22秒後です。

22秒から25秒までは、BがAの右側へ出ていきます。幅は50cmから2t cmをひいた長さで、22秒後は6cm、23秒後は4cm、24秒後は2cm、25秒後は0cmです。

面積は、7秒から10秒までが20t cm²から140cm²をひいた値、10秒から22秒までが60cm²、22秒から25秒までが500cm²から20t cm²をひいた値です。面積が40cm²になるのは、増える途中の9秒後と、減る途中の23秒後です。

重なっている時間は、7秒後から25秒後までなので18秒間です。面積が最大になるのは60cm²で、10秒後から22秒後までの12秒間続きます。

別の求め方もあります。重なり始めから重なり終わりまでに、BはAより余分に進みます。その距離は、Aの横の長さ30cmとBの横の長さ6cmをたした36cmです。毎秒2cmずつ余分に進むので、36を2で割って18秒。これが重なっている時間になります。二枚の横幅をたした長さを、速さの差で割る、と覚えるのではなく、なぜその長さだけ余分に進むのかを図で確かめてください。

誤答を直す　重なっていない時間に式を延ばす

よくある誤りを三つ取り上げます。どれも計算の力ではなく、条件の読み方で生まれる誤りです。

一つ目は、重なっていない時間にまで式を当てはめる誤りです。基本例題の10秒から14秒の式は、幅が28cmから2t cmをひいた長さでした。この式を16秒まで延ばすと、28から32をひいて-4cm、面積は-40cm²になります。お子さまの答案に多いのは、この負の値をそのまま書いてしまう形です。理由は、式が「二枚は重なっている」という前提の上で作られていることを意識していないからです。前提が切れた後は、式を止めて0と書くのが正しい扱いです。直し方は、表に「重なっているか」という列を足すことです。式を書く前に、その時刻の二枚の位置を図に戻して確かめます。

図3のように、正しい折れ線は14秒で0になり、その先は時刻の軸に重なります。誤った折れ線は同じ傾きのまま下へ伸びていきます。グラフの形が違うのではなく、式を使う範囲が違うのです。

二つ目は、重なりの高さに高いほうの縦を使う誤りです。基本例題で、Bの縦が12cmだから高さも12cmと考え、2秒後の面積を4かける12で48cm²と答える形です。正しくは10cmなので40cm²です。理由は、重なりが二枚の共通部分だからです。Bの上端はAの上端より2cm上にあり、その部分はAと重なっていません。直し方は、上端の低いほうを選ぶことです。図にAの上端の線を延ばし、Bのうち線より上を消してから考えると、共通部分だけが残ります。

三つ目は、重なり始めの時刻を取り違える誤りです。基本例題で、Bの左端がAの左端に着いた4秒後を重なり始めとし、最初の4秒を数え落とす形です。面積が生まれるのは、Bの右端がAの左端を越えた瞬間です。左端が着くのは、Bの全体が入り終えた時刻で、重なり始めではありません。直し方は、0秒の図と1秒後の図を並べてかくことです。0秒では二枚は点で接していて、面積は0です。1秒後には幅2cmの重なりができています。この二枚の絵があれば、始まりの時刻を間違えません。

練習問題

1. 長方形Aは横16cm、縦9cmで動きません。長方形Bは横4cm、縦6cmで、毎秒2cmの速さで右へ動きます。0秒のときBの右端はAの左端に接しており、下端はそろっています。2秒後の重なりの幅と面積を求めなさい。また、面積が12cm²になるのは何秒後ですか。

2. 長方形Aは横18cm、縦10cmで動きません。長方形Bは横6cm、縦14cmで、右から左へ毎秒3cmの速さで動きます。0秒のときBの左端はAの右端に接しており、下端はそろっています。4秒後の重なりの面積を求めなさい。また、面積が30cm²になるのは何秒後ですか。

3. 長方形Aは横20cm、縦8cmで動きません。長方形Bは横10cm、縦13cmで、下端はAの下端より3cm上にあります。Bは毎秒2cmの速さで右へ動き、0秒のときBの右端はAの左端に接しています。重なりの高さを求めなさい。また、8秒後の重なりの面積と、面積が30cm²になる時刻を求めなさい。

4. 長方形Aは横30cm、縦12cmで動きません。長方形Bは横14cm、縦12cmで、毎秒一定の速さで右へ動きます。0秒のときBの右端はAの左端に接しており、下端はそろっています。3秒後に重なりの幅が12cmになりました。Bの速さを求めなさい。また、重なりが終わるのは何秒後か、面積が最大になるときの値を求めなさい。

5. 長方形Aは横24cm、縦10cmで、毎秒1cmの速さで右へ動きます。長方形Bは横8cm、縦10cmで、0秒のときBの左端はAの左端より16cm左にあり、毎秒3cmの速さで右へ動きます。下端はそろっています。重なりの面積が40cm²になるのは何秒後ですか。また、二枚が重なっているのは何秒間ですか。

解答と解き方

1. 重なりの高さは、Aが9cm、Bが6cmなので6cmです。幅は、0秒から2秒までが2t cm、2秒から8秒までが4cm、8秒から10秒までが20cmから2t cmをひいた長さです。2秒後の幅は4cm、面積は4かける6で24cm²です。面積は12t cm²、24cm²、120cm²から12t cm²をひいた値と移ります。12cm²になるのは、12tが12となる1秒後と、120から12tをひいた値が12となる9秒後です。

2. 高さは、Aが10cm、Bが14cmなので10cmです。Bは右から左へ動くので、幅は3t cm、6cm、24cmから3t cmをひいた長さ、と移ります。4秒後の幅は6cmで、面積は60cm²です。面積は30t cm²、60cm²、240cm²から30t cm²をひいた値と移るので、30cm²になるのは1秒後と7秒後です。向きが逆でも、増える区間と減る区間の作り方は同じです。

3. 重なりの高さは、Aの上端が8cm、Bの下端が3cm、Bの上端が16cmなので、8cmから3cmをひいた5cmです。幅は、0秒から5秒までが2t cm、5秒から10秒までが10cm、10秒から15秒までが30cmから2t cmをひいた長さです。8秒後の幅は10cmで、面積は50cm²です。面積は10t cm²、50cm²、150cm²から10t cm²をひいた値と移るので、30cm²になるのは3秒後と12秒後です。

4. 3秒間に重なった幅が12cmなので、速さは12を3で割って毎秒4cmです。重なり終わるまでの距離は、Aの横30cmとBの横14cmをたした44cmです。毎秒4cmで進むので、44を4で割って11秒後です。面積が最大になるのは、Bの全体がAの横の範囲に入っている間で、幅が14cmのときです。高さは12cmなので、14かける12で168cm²です。

5. 二枚の間の距離は、毎秒3cmから毎秒1cmをひいた毎秒2cmずつ縮まります。0秒のときBの右端はAの左端より8cm左にあるので、4秒で接します。幅は、2t cmから8cmをひいた長さ、8cm、40cmから2t cmをひいた長さ、と移ります。面積は20t cm²から80cm²をひいた値、80cm²、400cm²から20t cm²をひいた値と移るので、40cm²になるのは6秒後と18秒後です。重なっているのは4秒後から20秒後までなので、16秒間です。

覚えておくこと

• 重なりは二枚の共通部分で、横と縦の両方が0より大きいときだけ面積をもつ。
• 重なりの幅は、右端の小さいほうから左端の大きいほうをひく。
• 重なりの高さは、上端の小さいほうから下端の大きいほうをひく。
• 境目の時刻は、端と端が重なる瞬間。重なり始め、入り終わり、出はじめ、重なり終わりの四つを見る。
• 式は重なっている間だけ使う。表に「重なっているか」の列を足して、0で打ち切る。

つまずきの見分け方

負の面積を書いてきたら、式の立て方ではなく、式を使う範囲を疑ってください。答案の図の上で、その時刻の二枚の位置を指してもらい、重なっている部分を鉛筆で塗らせます。塗る部分がなくなった時刻より後は、面積は0です。

高さの取り違えは、図の上端を指して「ここはAの中か、外か」と聞くと見つかります。Bの上にはみ出した部分を塗らせると、共通部分ではないことがはっきりします。重なり始めの時刻の取り違えは、0秒の図を自分でかけるかどうかで分かります。0秒の図に重なりを塗ってしまうお子さまは、右端と左端のどちらが先に相手に届くかを確かめ直すと直ります。

個別指導では、次の三つを順に確かめます。まず、0秒の位置を図に書きこめるか。次に、重なりの幅を決めている二つの端を指で示せるか。最後に、面積が増える区間と減る区間を、表の時刻で言えるか。この三つが言えれば、式は自然に立ち、負の面積も出ません。

重なりの幅を決めるのは、その時刻に内側にある二つの端です。表の一行ごとにその二つを指でなぞれば、折れ線がどこで折り返すかは、計算の前に見えています。