高校数学I 二次関数の絶対値を含む最大最小—折れ目と頂点と端を候補にして値を比べる｜武蔵野個別指導塾

絶対値の中身が0になる位置で閉区間を分け、各枝で使える頂点と端点の値を比較します。片方の枝だけを調べた誤答も、候補の一覧から修正できます。

よくあるのは、高1の本人が復習中に、絶対値を外して得た片方の枝だけで最小値を探すという場面です。平方完成が正しくても、もう片方の枝にもっと低い点があれば答えは変わります。折れ目で式が変わることと、それぞれの式を使える範囲を並べてから、値を比較しましょう。

何を比べる問題か

扱うのは y = x² + b|x − c| + d を閉区間で考える問題です。b、c、d は実数で、閉区間は両端を含みます。二次の係数は各枝で 1 ですから、どちらも下に凸の放物線の一部分です。絶対値が付く場所は x − c であり、x² 全体に付いているのではありません。

出方は主に3つあります。折れ目が区間内にあるときは左右の枝の最小値と端の値を比較します。折れ目が区間外にあるときは区間全体が片方の枝に入り、通常の二次関数の最大最小に戻ります。文字を含むときは、枝の頂点がその枝に入る条件や、端の値が入れ替わる条件を調べます。

準備として、|u| は u ≧ 0 なら u、u < 0 なら -u です。また (x − p)² は 0 以上で、x = p のとき 0 です。この2点を使えば、必要な平方完成と値の比較を自分で追えます。

折れ目と枝の有効範囲

x = c で絶対値の中身が 0 になります。この点を折れ目と呼ぶことにします。左では |x − c| = c − x、右では |x − c| = x − c なので、式は次のように分かれます。折れ目は両方の式で同じ値になるため、計算上どちらに含めても構いません。

x ≦ c: y = x² - bx + bc + d
             = (x - b/2)² - b²/4 + bc + d
x ≧ c: y = x² + bx - bc + d
             = (x + b/2)² - b²/4 - bc + d

左の放物線の頂点の x 座標は b/2、右の頂点は -b/2 です。ただし、それが実際の候補になるのは、それぞれの枝と元の閉区間の共通部分に入るときです。式だけを延長して見つけた頂点が有効範囲の外なら、その値は採用できません。

図1のように、まず元の区間と左右の条件の共通部分を取ります。空になった枝は候補から除きます。共通部分が1点なら、その点の値だけを調べます。区間の端と折れ目が一致した場合も同じです。

各枝では、頂点が範囲内ならそこが最小です。範囲外なら軸に近い端が最小です。最大はその枝の両端のうち軸から遠い方で取ります。なぜなら平方の値は軸からの距離が大きいほど大きいからです。元の区間が2枝に分かれたときは、各枝の結果をさらに比べます。折れ目が区間内なら、折れ目も枝の端として比較の対象に入ります。

候補の抜けを防ぐ順序

閉区間を L ≦ x ≦ R とします。L < c < R なら左右の範囲は L ≦ x ≦ c と c ≦ x ≦ R です。c ≦ L なら区間内では右の式を使い、c ≧ R なら左の式を使います。等号では折れ目が端に重なり、どちらの式に代入しても同じ値です。L = R の場合は、その1点を代入すれば最大値と最小値が同時に決まります。L > R なら条件を満たす x がなく、最大値も最小値もありません。

候補を表にするときは、まず元の両端 L、R を書き、区間内にある折れ目 c を加えます。次に左の頂点 b/2 が L ≦ b/2 ≦ R かつ b/2 ≦ c を満たすか調べます。右の頂点 -b/2 も同様に、L ≦ -b/2 ≦ R かつ -b/2 ≧ c を満たす場合に加えます。同じ位置が重なったら1回の代入で済みます。

この方法が十分なのは、各枝が下に凸の二次関数だからです。平方完成した形では、枝の中のどの点の平方も、軸に最も近い点で最小、最も遠い端で最大になります。区間を両枝の和として覆っているので、各枝の最小同士、最大同士を比較すれば全体の値が決まります。候補が複数同じ値を示した場合には、それらの x を落とさず記します。

基本例題：左右の候補を並べる

次の関数の最大値と最小値、およびそれぞれを取る x を求めてください。答えは整数または分数で示します。

y = x² - 4|x - 1|,  -2 ≦ x ≦ 3

折れ目は x = 1 で、区間内にあります。左の区間は -2 ≦ x ≦ 1、右の区間は 1 ≦ x ≦ 3 です。左では絶対値を 1 − x に、右では x − 1 に置き換えます。

左: y = x² - 4(1 - x)
       = x² + 4x - 4
       = (x + 2)² - 8
右: y = x² - 4(x - 1)
       = x² - 4x + 4
       = (x - 2)²

左の頂点 x = -2 は左端にあり、右の頂点 x = 2 は右の区間内です。両端と折れ目、それに有効な頂点の値を並べます。左の頂点は端と重なるので重複して数える必要はありません。

x = -2: y = 4 - 4・3 = -8
x = 1:  y = 1 - 4・0 = 1
x = 2:  y = 4 - 4・1 = 0
x = 3:  y = 9 - 4・2 = 1

図2のように両枝を合わせると、最小値は -8、これを取る x は -2 です。最大値は 1、これを取る x は 1 と 3 です。折れ目も最大の候補になることと、同じ最大値を取る位置が複数あることに注意します。

確認として、x = -2 は定義域の左端、x = 1、2、3 も定義域内です。上の代入は元の絶対値を含む式で行っています。左の枝は頂点から右へ進むほど増え、右の枝は頂点まで減ってから増えるため、列挙した点以外により大きい値や小さい値はありません。

標準例題：範囲外の頂点を捨てる

次の関数の最大値と最小値、およびそれぞれを取る x を整数または分数で求めてください。

y = x² + 2|x - 1| + 1,  -1 ≦ x ≦ 3

x = 1 で分け、枝ごとに平方完成します。

-1 ≦ x ≦ 1:
y = x² + 2(1 - x) + 1
  = x² - 2x + 3
  = (x - 1)² + 2
1 ≦ x ≦ 3:
y = x² + 2(x - 1) + 1
  = x² + 2x - 1
  = (x + 1)² - 2

左の頂点は x = 1 で、左の範囲に入ります。右の式の頂点は x = -1 ですが、右の範囲 1 ≦ x ≦ 3 の外です。したがって右の最小は左端 x = 1 で取り、右の最大は x = 3 で取ります。左の最大は軸から遠い x = -1 で取ります。

x = -1: y = 1 + 2・2 + 1 = 6
x = 1:  y = 1 + 2・0 + 1 = 2
x = 3:  y = 9 + 2・2 + 1 = 14

よって最小値は 2、そのとき x = 1、最大値は 14、そのとき x = 3 です。右の式の頂点値 -2 を答えると、元の式には適用できない x を使ったことになります。代入した3点はいずれも元の区間に入り、元の式からそれぞれの値が戻ります。

基本例題との分かれ目は、平方完成そのものではなく、頂点を使える区間にあります。頂点が枝の外なら、枝の端を調べ直してください。

発展例題：係数で候補が切り替わる

実数 t に対し、次の関数の最小値とそれを取るすべての x を、t の範囲ごとに求めてください。値は整数または t を用いた式で示します。

y = x² - 2t|x|,  -2 ≦ x ≦ 2

折れ目は 0 です。左右は次の式です。

-2 ≦ x ≦ 0: y = x² + 2tx = (x + t)² - t²
0 ≦ x ≦ 2:  y = x² - 2tx = (x - t)² - t²

左の頂点は x = -t、右の頂点は x = t です。両方がそれぞれの枝に入る条件は 0 ≦ t ≦ 2 です。t < 0 では両頂点が反対側にはみ出し、各枝で折れ目が最小になります。t > 2 では両頂点が区間の外へ出て、各枝で外側の端が最小になります。

t < 0: 最小値 0、x = 0
0 ≦ t ≦ 2: 最小値 -t²、x = -t, t
 t > 2: 最小値 4 - 4t、x = -2, 2

中央の x = -t と x = t は t = 0 のとき同じ x = 0 を表します。t = 2 では x = -2, 2 で、中央の式は -4、外側の式も 4 − 8 = -4 です。境界をどちらに含めても値と位置が一致します。

なぜこの3つで尽くせるのでしょうか。t < 0、0 ≦ t ≦ 2、t > 2 は実数全体を重なりなく分けます。それぞれについて軸と枝の両端の順序が決まるため、平方の最小となる位置も決まります。さらに元の式に x = 0、x = ±t、x = ±2 を各条件のもとで代入すると、それぞれ 0、-t²、4 − 4t が戻ります。候補の位置が定義域に入ることも同時に確認できます。

誤答を図で直す

基本例題で、右の枝だけを見て「最小値は 0、x = 2」とする誤答を考えます。右の枝に限れば正しい計算です。しかし元の定義域には左の枝も含まれます。x = -2 を元の式に戻すと -8 となり、0 より小さいので、右枝の結果は全体の最小ではありません。

図3のように、枝ごとに最小値とその位置を記録してから、値を比べると修正できます。左枝は -8、右枝は 0 です。さらに最大を求める場合は、最小の候補だけを比較しても足りません。各枝の端も調べ、折れ目と元の両端を見落とさないようにします。

別の失敗は、枝の式の頂点を無条件で採用することです。標準例題の右枝では頂点 x = -1 は右枝の外です。候補を書いた直後に、その x が元の区間と枝の両方に入るかを確かめると、この誤りを止められます。

練習：候補と範囲を自分で決める

各問で最大値と最小値、およびそれらを取るすべての x を求めてください。値と x は整数または分数で示します。5問を解いてから後の答えと比べてください。

1. y = x² − 2|x|、-3 ≦ x ≦ 2。
2. y = x² + 4|x − 2|、0 ≦ x ≦ 3。
3. y = x² − 6|x − 4|、0 ≦ x ≦ 2。
4. y = x² + |x + 1|、-1 ≦ x ≦ -1。
5. y = x² − 2|x − 1| + 2、-1 ≦ x ≦ 3。

練習の答えと調べ方

1

左枝は (x + 1)² − 1、右枝は (x − 1)² − 1 です。頂点 -1 と 1 は各枝の区間内にあり、どちらも値は -1 です。端と折れ目では、元の式から x = -3 で 3、x = 0 で 0、x = 2 で 0 です。したがって最小値は -1、そのとき x = -1, 1、最大値は 3、そのとき x = -3 です。2つの最小位置を元の式に戻しても、いずれも 1 − 2 = -1 です。

2

折れ目 2 を境に、左枝は (x − 2)² + 4、右枝は (x + 2)² − 12 です。左の頂点は x = 2、右の頂点 -2 は右枝の外です。元の式で x = 0, 2, 3 の値は順に 8, 4, 13 です。よって最小値は 4、x = 2、最大値は 13、x = 3 です。右枝は軸 -2 より右で増えるので、端の比較で足ります。

3

折れ目 4 は区間の右外にあります。全区間で |x − 4| = 4 − x なので、y = x² + 6x − 24 = (x + 3)² − 33 です。軸 -3 は区間の左外にあり、区間内で値は増えます。元の式へ戻すと x = 0 で -24、x = 2 で 4 − 12 = -8 です。最小値は -24、x = 0、最大値は -8、x = 2 です。存在しない右枝を足す必要はありません。

4

区間は x = -1 の1点です。元の式に代入すると y = 1 + 0 = 1 です。最大値も最小値も 1 で、どちらも x = -1 で取ります。両端が一致するときは、異なる2点があると考えず、許された1点の値を調べます。

5

左枝は x² + 2x = (x + 1)² − 1、右枝は x² − 2x + 4 = (x − 1)² + 3 です。左の頂点は -1、右の頂点は折れ目の 1 です。元の式で x = -1, 1, 3 の値は順に -1, 3, 7 です。最小値は -1、x = -1、最大値は 7、x = 3 です。それぞれの位置は元の区間にあり、絶対値を含む式への代入でも値が一致します。

比較を終えた後の点検

候補の値が並んだら、数の大小だけでなく、同じ値が別の位置で出ていないかを見ます。たとえば正の値と負の値の比較では、絶対値の大きさだけで大小を決めません。最小値が負であっても、その値を取る x が負とは限りません。値と位置は別の欄に書き、元の式への代入で対応を確かめます。

手元に残すこと

• 折れ目と閉区間の位置を先に比べます。
• 各枝の式と有効範囲を対にします。
• 範囲内の頂点、枝の端を候補にします。
• 値と、それを取るすべての x を元の式で確かめます。

どこで止まったかを見分ける

絶対値を外す前に止まるなら、折れ目の左右で中身の符号を数直線に書きます。平方完成までは進むのに答えが合わないなら、頂点の x がその枝に入るかを指で示し、入らない場合にどちらの端が軸に近いかを説明します。個別指導で確かめるときも、答えの数だけでなく、各枝の範囲と候補を結ぶ式を見ます。

最大値の位置を1つしか書けないときは、同じ値を取る別の候補がないか一覧に戻ります。折れ目、頂点、端をそれぞれ元の定義域に戻して比べれば、両枝を含む最大最小が見えてきます。