高校数学I 二次関数の解の配置と片側—軸と判別式と端の符号をそろえて範囲を決める｜武蔵野個別指導塾

端の符号、軸、判別式を組み合わせ、異なる2根と重解を許す場合の境界を整理し、解の片側配置に迫ります。

よくあるのは、高1の本人が復習中に二次関数の端の値を計算し、正になったので2つの解はどちらもその端より右にある、と判断する場面です。上に開く放物線なら、2つの解の左側でも右側でも値は正です。端の値が正という情報は、端が2つの解の外側にあることを示しますが、左右のどちらの外側かは決めません。軸の位置を重ねると、この不足を補えます。

何を片側に置くのか

問題の出方には、異なる2つの実数解をある数 c より右に置く型、左に置く型、同じ解が重なってもよいとして境界を含める型があります。最後の型では、解の個数を「異なる2個」と言うのか、「重解を含む2根」と言うのかを読み分けます。c 自身を許すかどうかも別の条件です。

ここでは f(x) = ax² + bx + d、a ≠ 0 とし、方程式 f(x) = 0 の実数解を調べます。定義域は実数全体です。まず平方完成して軸の位置を見つけ、判別式 D = b² − 4ad で実数解の有無を調べます。解の公式から D > 0 なら異なる2実根、D = 0 なら重解、D < 0 なら実数解はありません。この判別は a ≠ 0 の二次方程式に対するものです。

条件を満たす範囲を求める際には、3つの不等式をそれぞれ解いて共通部分を取ります。いずれか1つを満たす範囲を寄せ集めるのではありません。係数に文字があれば、その値によって a が0になる場合を先に除きます。文字を含む式を割るときも、正負が決まってから不等号の向きを扱います。

軸・交点・端の3つをそろえる

平方完成すると、軸の x 座標は p = -b/(2a) です。2つの異なる実数解があるとき、平方完成した式から、その解は軸から等しい距離にあります。小さい方を α、大きい方を β とすると、α < p < β です。これは解と係数の関係の公式を使わず、平方の値が同じになる2点が軸に対称であることから得られます。

上に開く場合を図1で考えます。2つの根がともに c より大きければ、c は小さい根より左です。したがって軸は c の右にあり、f(c) は正です。また異なる2根があるので D > 0 です。逆に D > 0、p > c、f(c) > 0 がそろうと、f(c) > 0 から c は2根の外側です。軸より左にある c は右側の外側には置けないので、2根はともに c より大きくなります。これで必要性と十分性の両方を説明できます。

図1のように、端が2根の外側のどちらにあるかは、軸との位置で決まります。下に開く場合は、2根の外側で関数値が負です。開き方に依存しない条件は a f(c) > 0 です。a と f(c) が同符号なら、その積は正です。

異なる2根がともに c より大きい条件は、D > 0、p > c、a f(c) > 0 の3つです。ともに c より小さい条件は、D > 0、p < c、a f(c) > 0 です。等号を外す理由は、重解、軸の境界、端が根となる場合をそれぞれ除くためです。例えば f(c) = 0 なら c 自身が解なので、厳密に c より右という条件には合いません。

重解を許し、2根がともに c 以上とするなら、D ≥ 0、p ≥ c、a f(c) ≥ 0 が必要十分です。D > 0 なら端の値が0でも c が小さい根となる場合を含みます。D = 0 なら唯一の解は p で、p ≥ c が直接その位置を保証します。c 以下の場合は p ≤ c に変えます。重解は異なる解が2個あることを意味しないので、問題の言葉と答えの条件を対応させます。

基本例題：右側に2根を置く

実数 t について、方程式 x² − 2tx + 3t − 2 = 0 が、異なる2つの実数解をともに 1 より大きいところにもつための t の範囲を、不等号を使って求めてください。

二次係数は1なので0ではなく、上に開きます。f(x) = x² − 2tx + 3t − 2 と置き、3つの条件を順に調べます。軸は平方完成から求められます。

f(x) = (x - t)² - t² + 3t - 2
p = t
p > 1 より t > 1

判別式は4で割った値を使うと計算が短くなります。4は正なので符号は変わりません。

D/4 = t² - 3t + 2
    = (t - 1)(t - 2)
D > 0 より t < 1 または t > 2

端 x = 1 における値は次の通りです。

f(1) = 1 - 2t + 3t - 2
     = t - 1
f(1) > 0 より t > 1

3つの範囲の共通部分は t > 2 です。t = 2 では f(x) = (x − 2)² となり、解は2ですが重解なので除きます。t = 1 では f(x) = (x − 1)² となり、端そのものが重解です。t = 3 では図2のように軸は3、根は 3 − √2 と 3 + √2 です。√2 < 2 なので小さい根も1より大きく、求めた範囲の内側を具体的に確かめられます。

図2は t = 3 の場合を示します。f(1) = 2、f(3) = -2 で、根の位置は (x − 3)² = 2 を満たします。例えば t = 3/2 では軸と端の符号は条件を満たしますが、D/4 = -1/4 で実数解がありません。この失敗例は、軸と端の値だけで根の存在まで決めない理由を示します。

標準例題：左側へ移す

実数 s について、方程式 x² − 2sx + s + 2 = 0 が、異なる2実根をともに 2 より小さいところにもつための s の範囲を、不等号で求めてください。

右側の問題と変わるのは軸の向きです。端の値は上に開く放物線の外側で正となるため、正のままです。g(x) = x² − 2sx + s + 2 とすると、平方完成は次のようになります。

g(x) = (x - s)² - s² + s + 2
p = s
p < 2 より s < 2

次に判別式と端の符号を調べます。

D/4 = s² - s - 2
    = (s - 2)(s + 1)
D > 0 より s < -1 または s > 2

g(2) = 4 - 4s + s + 2
     = 6 - 3s
g(2) > 0 より s < 2

共通部分は s < -1 です。境界 s = -1 では g(x) = (x + 1)² となり、-1 は2より小さいものの重解です。したがって異なる2根の条件に合いません。s = 2 では (x − 2)² で、重解が端にあります。範囲外の s = 3 では軸が2より右にあり、端の値も負です。端の符号、軸、根の存在を一つずつ確認すると、境界を除く理由が混ざりません。

答えの内側の s = -2 を元の方程式に戻すと、x² + 4x = 0、すなわち x(x + 4) = 0 です。解は -4 と0で、異なり、どちらも2より小さいと確かめられます。式の条件だけでなく、実際の位置に戻すことが大切です。

発展例題：重解と端を含める

実数 u について、方程式 x² − 2ux + u + 2 = 0 の2根が、重解を含めてともに -1 以上となるための u の範囲を、不等号で求めてください。端 -1 自身も許します。

ここでは異なる2根の問題と違い、判別式にも端にも等号が入ります。h(x) = x² − 2ux + u + 2 の軸は u ですから、まず u ≥ -1 が必要です。判別式の条件を解きます。

D/4 = u² - u - 2
    = (u - 2)(u + 1)
D ≥ 0 より u ≤ -1 または u ≥ 2

端での値と軸の条件は次の通りです。

h(-1) = 1 + 2u + u + 2
      = 3u + 3
h(-1) ≥ 0 より u ≥ -1
軸の条件は u ≥ -1

共通部分は u = -1 または u ≥ 2 です。u = -1 では h(x) = (x + 1)² で、端に重解をもちます。u = 2 では h(x) = (x − 2)² で、端より右に重解をもちます。いずれも問題が重解と端を許しているため採用します。u = 3 では x² − 6x + 5 = 0、根は1と5で、双方 -1 以上です。

境界の間を調べると、例えば u = 0 では D/4 = -2 なので実数解がありません。u = -2 では D/4 = 4 ですが軸が -2 であり、解は -4 と0です。端より左の解が残ります。u = -1 の直前では軸が端の左にあり、直後では判別式が負です。u = 2 の直前も判別式が負で、直後は軸と端の条件を満たします。こうした境界とその両側の照合は、等号や孤立した値 u = -1 を落とさないために役立ちます。

端の値だけで判定した答案を直す

「f(1) > 0 だから2根は1より右」と書いた答案を考えます。例えば f(x) = (x + 2)(x + 4) では f(1) = 15 > 0 ですが、根は -4 と -2 で、ともに1より左です。図3のように、端の正の値は2根の左外側でも右外側でも現れます。

誤りの原因は、端が根の外側にあるという情報を、左外側にあるという情報に置き換えたことです。図3の軸は -3 で、端1より左にあります。右側に2根を置きたいなら、軸が1より右である条件を加えます。さらに放物線が横軸と交わらない場合もあるため、異なる2根を求めるなら D > 0 を加えます。

反対に、D > 0 と軸が右という条件だけでも不十分です。例えば f(x) = (x − 2)² − 4 では軸は2、根は0と4で、端1を挟みます。f(1) = -3 と負なので、端の符号がこの失敗を見つけます。3条件はそれぞれ、根の存在、左右の方向、端が根の外側にあることを担当します。

練習問題

次の5問はすべて実数の範囲で考えます。条件を満たす文字の範囲は不等号で、根を求める問題は整数または根号を使って答えてください。2根とは重なりを数えて扱い、重解を許すかどうかは各問の指定に従います。

1. x² − 2vx + 4v − 3 = 0 が異なる2実根をともに 1 より大きいとき、v の範囲を求めてください。
2. x² − 2wx + 2w − 3 = 0 が異なる2実根をともに 1 より小さいとき、w の範囲を求めてください。
3. x² − 2qx + 3q − 4 = 0 の2根が重解を含めてともに 1 以上となるとき、q の範囲を求めてください。
4. -x² + 6x − 5 = 0 の根を求め、両根が 0 より大きいか判定してください。
5. x² − 8x + 12 = 0 の根を求め、端 c に対して異なる2根がともに c より小さくなる c の範囲を求めてください。

練習の答えと道筋

1. 軸は v です。D/4 = v² − 4v + 3 = (v − 1)(v − 3)、端の値は 1 − 2v + 4v − 3 = 2v − 2 です。v > 1、v < 1 または v > 3、v > 1 の共通部分は v > 3 です。v = 3 は (x − 3)² の重解で除きます。v = 4 なら根は 4 ± √3 で、√3 < 3 より両方1より大きいと元の条件に戻せます。

2. 軸は w、D/4 = w² − 2w + 3 = (w − 1)² + 2 > 0 です。端の値は 1 − 2w + 2w − 3 = -2 です。上に開く放物線で端の値が負なので端は2根の間にあり、求める w は存在しません。例えば w = 0 でも根は -√3 と √3 で、後者は1より大きくなります。軸の条件を満たす値があっても端の条件が成立しないことに注意します。

3. 軸は q、D/4 = q² − 3q + 4 = (q − 3/2)² + 7/4 > 0 です。端の値は 1 − 2q + 3q − 4 = q − 3 です。q ≥ 1 と q − 3 ≥ 0 から q ≥ 3 です。q = 3 の式は x² − 6x + 5 = 0 で根は1と5です。端1を許すので等号を採用します。q = 2 では端の値が -1 で、端を挟むため除きます。

4. 両辺を -1 倍すると x² − 6x + 5 = 0、(x − 1)(x − 5) = 0 です。根は1と5で、両方0より大きいです。元の式に戻すと x = 1 で -1 + 6 − 5 = 0、x = 5 で -25 + 30 − 5 = 0 です。下に開く場合、端0の値は -5 で負ですが、二次係数も負なので積は正です。

5. (x − 2)(x − 6) = 0 より根は2と6です。2つとも c より小さいためには、大きい根6について 6 < c が必要十分です。答えは c > 6 です。c = 6 は一方の根が端に等しいので除き、c = 7 なら2 < 7、6 < 7 を満たします。元の式にも2と6を代入し、それぞれ 4 − 16 + 12 = 0、36 − 48 + 12 = 0 と確かめられます。

要点を手元に残す

異なる2根を片側に置くには、D > 0、軸の向き、a f(c) > 0 を同時に使います。 重解や端を許すときは、問題の指定に合わせて等号を調べます。 求めた範囲は境界とその両側で確かめ、根を元の位置条件へ戻します。

答案を見直すとき、端の値だけで結論を書いていれば、軸が端のどちらにあるか図に書き足します。軸だけで決めていれば、端が2根の間に入る例を描きます。個別指導で確かめるなら、D、軸、端の符号を別々の行に書き、それぞれが何を保証するか説明できるかを見ます。最後に不等式の共通部分と端点を照合すると、片側配置の条件が答案に残ります。