高校数学B 標本平均の期待値と分散—標本数とばらつきの関係を和の公式から導く｜武蔵野個別指導塾

測定値を平均するとき、分散を標本数で割る理由と、標準偏差を小さくするために必要な回数を式から導きます。

よくあるのは、測定を繰り返して平均を出すと、もとの測定値そのもののばらつきまで小さくなると考える場面です。高2の学習では、1回の値と、複数回の値をまとめた平均とを別の確率変数として扱います。どちらの分散を求めているのかを明確にすると、測定回数を増やしたときに変わる量が見えてきます。

どんな問いで使うか

第1の型は、母平均と母分散、標本数から標本平均の期待値と分散を求める問題です。標本数で割るのは分散であり、標準偏差はその後に平方根をとります。分散と標準偏差では減り方が異なります。

第2の型は、標本平均のばらつきを指定された大きさにするために、標本数を逆算する問題です。分散を比べるのか標準偏差を比べるのかで、必要な倍率が変わります。標本数は正の整数なので、条件が不等式なら整数に戻して確かめます。

第3の型は、抽出の方法を見て公式の条件を判断する問題です。同じ母集団からの値でも、互いに影響する取り方では、独立な変数の和の分散の公式をそのまま使えません。平均を求める式と分散を求める式では、必要な条件が違う点に注意します。

1回の値と標本平均を分ける

母集団から無作為に復元抽出を n 回行い、各回の値を X₁, X₂, …, Xₙ とします。復元抽出では、取り出したものを戻してから次を選ぶので、各回の分布は同じで、各回は互いに独立です。母平均を m、母分散を σ²、母標準偏差を σ とすると、各 X の期待値は m、分散は σ² です。ここで σ は 0 以上とします。

標本平均 X̄ は、抽出した n 個の値の和を n で割った確率変数です。抽出をやり直せば値が変わるため、その期待値や分散を考えられます。一度得られた数値の平均は標本平均の実現値で、確率変数そのものとは区別します。

図1のように、母集団の1回分の分布と標本平均の分布を別々に考えます。図の n は正の整数です。

図1で左右に書いた分散は異なる対象の量です。母集団の分布を変えずに n を変えると、母分散は σ² のままで、標本平均の分散が変わります。

期待値は和の各項の期待値を足せるので、独立性を使わずに次のように求められます。

E(X̄) = E((X₁ + X₂ + … + Xₙ)/n)
       = (E(X₁) + E(X₂) + … + E(Xₙ))/n
       = (nm)/n
       = m

2行目は期待値の線形性、3行目は同じ分布から各項の期待値が m であることを使いました。標本平均の期待値が m であることは、毎回の標本平均が必ず m になるという意味ではありません。抽出を繰り返したときの標本平均の分布の中心を表します。

分散では独立性を使います。独立な確率変数の和の分散は各分散の和であり、定数倍の分散はその定数の二乗倍です。

V(X̄) = V((X₁ + X₂ + … + Xₙ)/n)
       = (1/n²)V(X₁ + X₂ + … + Xₙ)
       = (1/n²)(V(X₁) + V(X₂) + … + V(Xₙ))
       = (1/n²)nσ²
       = σ²/n

3行目に進むには独立性が必要です。標準偏差は分散の正の平方根なので σ/√n です。n = 1 なら分散は σ²、標準偏差は σ に戻り、1回の値をそのまま平均とする状況に一致します。

母集団が正規分布である必要は、この期待値と分散の計算にはありません。母平均と母分散が定まり、上の独立同分布の条件が成立していることを確認します。一方、平均の分布の形や区間の確率は、期待値と分散だけからは決まりません。

公式の適用前に確認すること

同じ分布という条件は、各回の期待値と分散をそれぞれ同じ文字で表すために使います。独立という条件は、和の分散を足し合わせるために使います。どちらかが欠けたときは、計算の最初からどの等式が使えるかを見直します。各回の期待値が異なっていても、その平均の期待値は各期待値の平均です。しかし一般に、それを1つの母平均 m と置くことはできません。

また、独立でも各回の分散が異なれば、和の分散を足すことはできますが、n 個の同じ σ² の和にはなりません。各回の分散を足してから n² で割ります。たとえば2回の分散が 4 と 8 なら、平均の分散は (4 + 8)/4 = 3 です。平均をとる係数 1/2 を二乗することまで含めて式にします。

抽出が復元かどうか書かれていない場合、母集団が同じという情報だけで独立を補ってはいけません。条件が不足していれば、まず抽出方法を確かめます。測定器の共通のずれなどで値が連動する設定でも同様です。公式の形を覚えるだけでなく、和の分散を足す行の根拠まで戻ると、適用の可否を判断しやすくなります。

基本例題：4回の平均

ある装置の1回の測定値を表す母集団の平均は 12 mm、分散は 16 mm² です。この母集団から独立に同じ分布で4個の値を得ます。4個の標本平均の期待値、分散、標準偏差をそれぞれ単位を付けて求めてください。値は正確な数で答えます。

独立同分布と標本数 n = 4 が与えられているので、上の式を使えます。母標準偏差は √16 = 4 mm です。

E(X̄) = 12 mm
V(X̄) = 16/4 = 4 mm²
標準偏差 = √4 = 2 mm

期待値は母平均に等しく、分散は母分散を4で割りました。標準偏差は分散の平方根をとるので 2 mm です。図2のように、母分散 16 mm² はそのままで、4回の平均の分散が 4 mm² になります。

図2の値を元に戻すと、標本平均の分散 4 mm² に標本数 4 を掛けて母分散 16 mm² です。また標準偏差 2 mm を二乗すると 4 mm² になり、単位も分散に戻ります。1組の実測値が必ず 12 mm の平均になるわけではありません。

標準例題：ばらつきを何倍にするか

同一の母集団から復元抽出します。独立に得る標本の数を 9 個から 36 個に変えたとき、標本平均の分散と標準偏差はそれぞれ何倍になりますか。母分散は正とし、分数で答えてください。

9個と36個の標本平均の分散を順に V₉, V₃₆ とします。母分散を σ² とすると、復元抽出なので独立同分布の公式を両方に使えます。

V₉ = σ²/9
V₃₆ = σ²/36
V₃₆/V₉ = (σ²/36)/(σ²/9)
           = 9/36
           = 1/4

母分散が正なので、比をとる際に σ² で割れます。標準偏差の比は、分散の比の平方根です。

√(V₃₆)/√(V₉) = √(1/4)
                       = 1/2

したがって分散は 1/4 倍、標準偏差は 1/2 倍です。標本数が4倍になったので、分散の比がその逆数になったことも確認できます。母分散が 0 なら両方の標準偏差は 0 で、0 を 0 で割る倍率は定義できません。正という条件には、この比を成立させる役割があります。

発展例題：必要な標本数を求める

ある母集団の標準偏差は 18 g です。独立に同じ分布で n 個の値を得て平均します。その標本平均の標準偏差を 4 g 以下にするには、n を最小でいくつにすればよいですか。正の整数で答えてください。

独立同分布なので標本平均の標準偏差は 18/√n g です。n は正なので、√n も正であり、不等式の向きを保って掛けられます。

18/√n ≦ 4
18 ≦ 4√n
9/2 ≦ √n
81/4 ≦ n

両辺は 0 以上なので、最後は両辺を二乗できました。81/4 = 20.25 ですから、条件を満たす最小の整数は n = 21 です。

元の条件に戻して点検します。n = 21 では 18/√21 ≦ 4 と 324 ≦ 16・21 は同値で、324 ≦ 336 が成り立ちます。一方 n = 20 では 324 ≦ 320 が成り立ちません。標本数を増やすと分母が増えるので、それより小さい正の整数も条件を満たしません。

誤答から条件を見直す

基本例題で「4回にしたので標準偏差は 4/4 = 1 mm」と答える誤りを考えます。分散が標本数の逆数倍になることを、標準偏差にそのまま移したことが原因です。正しくは分散 16/4 = 4 mm² の平方根をとり、標準偏差は 2 mm です。

図3のように、分散を割ってから平方根をとる道順をたどります。図3で 1 mm を二乗すると 1 mm² になり、先に求めた分散 4 mm² に戻りません。この逆向きの確認は、分母に n と √n のどちらを使うか迷ったときに役立ちます。

もう一つの誤りは、同じ母集団から選んだという理由だけで独立と決めることです。例えば 0 と 2 の札を1枚ずつ戻さずに2回引くと、各回の値の分布は同じですが、最初が 0 なら次は 2 と決まります。平均は必ず 1 なので分散は 0 です。母分散は 1 ですが、独立の場合の 1/2 とは一致しません。同分布であることと独立であることを別々に確かめます。

測定の失敗で値が欠けたときも、予定した回数をそのまま n に入れることはできません。残った値が独立同分布か、欠け方が値に関係していないかを確認し、その条件が与えられなければ公式による分散を断定しません。値を勝手に補うと、平均もばらつきも変わりえます。

練習問題

以下は互いに独立した自作の設定です。指定された形で答えてください。

1. 平均 7、分散 25 の母集団から復元抽出で25個の値を得ます。標本平均の期待値、分散、標準偏差を正確な数で求めてください。
2. 母分散が正の母集団から復元抽出します。標本数を 16 から 64 にすると、標本平均の分散と標準偏差はそれぞれ何倍ですか。分数で答えてください。
3. 母標準偏差が 10 cm の母集団から復元抽出します。標本平均の標準偏差を 3 cm 以下にする最小の標本数を整数で求めてください。
4. 1と5の札が各1枚あります。戻さずに2回引き、2回の平均の期待値と分散を正確な数で求めてください。独立の場合の分散の公式が使えるかも答えてください。
5. 復元抽出した 9 個の標本平均の分散が 4 秒² です。母分散と母標準偏差を正確な数で、単位を付けて求めてください。

練習の答えと解き方

1. 復元抽出なので独立同分布です。母標準偏差は √25 = 5 です。

E(X̄) = 7
V(X̄) = 25/25 = 1
標準偏差 = √1 = 1

分散 1 に標本数 25 を掛けると母分散 25 に戻ります。標準偏差の二乗も分散に一致します。

2. 母分散を σ² とすると、2つの分散は σ²/16 と σ²/64 です。母分散は正なので比を計算できます。

(σ²/64)/(σ²/16) = 16/64 = 1/4
√(1/4) = 1/2

分散は 1/4 倍、標準偏差は 1/2 倍です。標本数の比 64/16 = 4 の逆数が分散の比に戻ります。

3. 独立同分布なので、標本平均の標準偏差は 10/√n cm です。n は正の整数です。

10/√n ≦ 3
10 ≦ 3√n
100/9 ≦ n

したがって最小の標本数は 12 です。元の条件は 100 ≦ 9n と同値で、n = 12 なら 100 ≦ 108、n = 11 なら 100 ≦ 99 は不成立です。12より小さい標本数も不成立です。

4. 引く順序は (1, 5) または (5, 1) です。どちらも平均は (1 + 5)/2 = 3 です。

E(X̄) = 3
V(X̄) = (3 - 3)² = 0

1回目が1なら2回目は5と決まるため独立ではなく、独立な和の分散の公式は使えません。両方の順序で平均が3に戻ることが、分散0の確認です。

5. 復元抽出なので、母分散を σ² として次が成り立ちます。

σ²/9 = 4
σ² = 36 秒²
σ = √36 = 6 秒

母分散は 36 秒²、母標準偏差は 6 秒です。36/9 = 4 秒² と元の標本平均の分散に戻ります。

覚えておくこと

独立同分布なら標本平均の期待値は m、分散は σ²/n です。 標準偏差は σ/√n で、母分散自体は標本数を変えても変わりません。 独立性がないとき、分散の和の公式をそのまま使えません。

つまずきを見分ける

まず「何の分散か」と問い、母集団の1回の値と標本平均のどちらを指すのか説明してもらいます。個別指導では、n = 1 を代入して母分散に戻るか、n = 4 のとき標準偏差が半分になるかを式で確かめます。答えの単位が元の単位か、その二乗かも確認します。

さらに復元の有無を図に書き、次の抽出に前の結果が影響するかを尋ねます。独立性が示されない設定では、期待値の計算と分散の計算を分け、使える条件を探します。標本数が増えて縮むのは、繰り返し得られる標本平均の散らばりです。