中学受験算数 線対称と点対称—折る線と回す中心を分け対応する点を探す｜武蔵野個別指導塾

対応点の作図と誤答の修正で、折る線と回す中心を区別する基本は線対称と点対称です。

よくあるのは、点対称の図を描くときに、左にある点を同じ高さの右側へ移す小5の場面です。左右を入れ替えただけでは、中心の上下も入れ替わるという条件を見落とします。紙を折る動きと、紙を半回転させる動きは似て見えても、点の移り方が違います。対応する点を1組ずつ確かめ、線や角の関係までたどりましょう。

問題では何を見分けるか

線対称（せんたいしょう）の問題では、折り目となる直線を見つけたり、片側の図からもう片側を描いたりします。見た目が左右で似ているかではなく、折ったときに辺や頂点が重なるかが判断の基準です。軸が縦とは限らず、斜めの直線を軸にする問題もあります。

点対称（てんたいしょう）の問題では、中心を決めて図形を半回転させます。対応する点どうしを結んだ線が中心を通り、中心から両方の点までの長さが等しいかを調べます。中心が図形の内側にあるとは限りません。外側の中心のまわりに回す場合も、同じ条件を使います。

もう1つの型は、対応する辺や角を使って長さや角度を求める問題です。対応点を取り違えると、等しい量を選ぶところからずれます。まず図に対応を記し、次に何が重なるかを言葉で確かめてから計算します。軸と中心が両方描かれている場合は、どちらの動きについて聞かれているかを問題文に戻って選びます。

折り目と回転の中心

線対称な図形を、ぴったり重なるように折ったときの折り目を対称の軸（じく）といいます。軸をはさんで重なる2点を対応する点と呼びます。点から軸へ垂直な線を引くと、その足から反対側へ同じ長さだけ進んだところが対応点です。2点を結ぶ線は軸と直角に交わり、交点で二等分されます。

図1の左では、点Aと点A’を結ぶ線が軸と直角に交わり、軸からの距離が等しくなっています。軸上の点は折っても動かないので、その点自身が対応点です。軸上にある頂点を別の場所へ移さないようにしましょう。

図1の右では、点Bを中心Oのまわりに180度回すと点B’に重なります。180度は1回転の半分です。BとB’を結ぶ線はOを通り、Oからの距離は等しいですが、ある直線との直角は必要ありません。中心Oも回して動かない点です。

点を移したら、元の図でつながっていた点どうしを、移した先でも同じ順序で結びます。辺の長さや角の大きさは折っても回しても変わりません。ただし、線対称では折り返しによって向きが裏返り、点対称では180度の回転によって向きが変わります。点を1つだけ合せて、残りを見た目で描くと、この違いが表れません。

作図では、長さの等しさだけでなく線の向きも必要です。線対称なら軸への垂直、点対称なら中心を通る一直線を先に描きます。その後に長さを移せば、どちらの条件を使ったかが図に残ります。

軸が候補として示されたとき

線対称かどうかを調べるときは、目につきやすい頂点の1組だけで決めないようにします。まず折り目の候補を引き、各頂点からその線へ垂直な線を引きます。反対側の対応する頂点まで、折り目からの長さが同じか調べます。頂点が重なっても、辺のつながり方が違えば図形全体は重なりません。辺の途中で切れていないかも確かめます。

例えば細長い長方形には、向かい合う辺の真ん中を結ぶ軸が2本あります。一方、対角線で折ると、長い辺と短い辺が重ならないため軸にはなりません。正方形では4辺が等しく、対角線でも辺が重なります。見た目が似た四角形でも、どの辺が対応するかを調べて判断します。

軸が図形の境界に沿うように見える場合も、折った後に図形全体が重なるかを確かめます。軸の片側にしか図形がないのに、その境界で折れば図形は反対側へ移ります。境界に線があるというだけでは、対称の軸と決められません。反対側にも対応する部分があるかを確認します。

点対称の中心を探す場合は、対応する頂点の組を選んで結び、それぞれの線分の真ん中を調べます。複数の組で同じ点が真ん中になれば、その点を中心とする候補になります。最後に対応する辺も重なるかを確かめます。辺を抜かして頂点の数だけ数えると、結び方の違う図形を誤って判定することがあります。

基本例題：軸から対応点を作る

縦の直線を軸とします。点Aは軸の左に4 cm、点Bは軸の左に2 cmあります。Aから軸へ下ろした垂線の足をH、Bから軸へ下ろした垂線の足をKとし、HはKより3 cm上にあります。線対称に移した点をそれぞれA’、B’とします。AA’とBB’の長さ、およびHとKの間の長さを、それぞれ整数で答えましょう。

図2では、まずAから軸へ直角に線を引き、足Hを決めます。軸を越えて同じ直線上に4 cm進んだ位置がA’です。Bからも同じように直角の線を引き、Kから右へ2 cm進んだ位置をB’とします。定規で長さを移す前に、線が軸と直角になっているかを確かめます。

答えはAA’が8 cm、BB’が4 cm、HKが3 cmです。HとKは軸上の点なので、折っても動きません。AとBの高さが違うからといって、A’をBと同じ高さに置くことはできません。それぞれの点から軸に下ろした垂線の足を別々に使います。

図2のAとA’は、横に並ぶから対応するのではありません。軸と直角な同じ線上にあり、軸からの距離が等しいために対応します。軸が斜めなら、紙の上で左右に同じだけ移しても垂直にならないことがあります。紙の上下左右ではなく、軸に対する直角を基準にするのが作図の要点です。

少し難しい例題：中心の位置から角を追う

点Oを中心として三角形ABCを180度回し、三角形A’B’C’に重ねます。AとA’を結ぶ線上にOがあり、AOは5 cmです。角ABCは68度、角BACは47度です。AA’の長さを整数のcmで、角A’B’C’と角A’C’B’を整数の度で答えましょう。

まず点対称ではOがAA’の真ん中です。したがって、OA’はAOと等しく5 cmです。

5 + 5 = 10 cm

よってAA’は10 cmです。半回転でBはB’に、AはA’に、CはC’に移ります。角の真ん中の文字は頂点を表すので、角ABCに対応するのは角A’B’C’です。回転しても角の大きさは変わらないため、角A’B’C’は68度です。

三角形ABCの角の合計は180度です。残る角ACBを次の順に求めます。

180 − 68 − 47 = 65度

角ACBに対応する角は、頂点Cに対応するC’を真ん中に置いた角A’C’B’です。したがって角A’C’B’は65度です。辺の向きを見て感覚で角を選ぶのではなく、3つの点の対応を順に書き換えると間違いを減らせます。

判断の分かれ目は、線の両側を折るのか、点のまわりを回すのかです。軸がある問題なら垂直と等距離を使い、中心があるこの問題なら中心をはさんだ一直線と等距離を使います。どちらでも長さは保存されますが、作図に必要な線の条件は同じではありません。

間違えた図をどこから直すか

中心Oの左上に点Pがあります。PからOまで、横に3目盛り、縦に2目盛りです。点対称の位置を「右上へ移した点Q」とした答えは誤りです。左右を入れ替えただけで、上下の位置が変わっていません。

図3のPと誤った点Qを結ぶと、線はOを通りません。中心が2点の真ん中にもなりません。正しい点P’は、Oから右へ3目盛り、下へ2目盛りの位置です。P、O、P’が一直線に並び、OPとOP’も等しくなります。

直すときはQの位置から線をつぎ足すのではなく、PとOを結んでOの先へ延ばします。コンパスなどでOPの長さを先へ移し、P’を決めます。目盛りのある図なら、横と縦の移動を両方とも逆向きにして確認できます。目盛りがない図では、中心を通る一直線と等距離の2条件を使います。

別の誤りは、軸上の点を反対側の別の場所へ移すことです。折り目の上は動かないので、まず軸上の点に印を付け、そのまま対応点として残します。さらに、同じ距離でも斜めに測ってしまうと折り返しの位置は決まりません。軸に垂直な線を引き直し、その線上で距離を比べます。

途中で迷ったときの点検

描いた点が正しいか迷ったら、元の点と対応点を結び、必要な印を図に書き込みます。線対称では交点に直角の印を付け、軸から両側の長さを比べます。点対称では中心を通っていることを見たうえで、中心から両側の長さを比べます。長さが等しいという一方の条件だけで判断しないことが大切です。

図形の一部が重なって見えても、残りの頂点や辺を順番に調べます。点の名前を書き添えれば、どの角が移ったかも追いやすくなります。作図した線を消さずに残しておくと、直す場所を探す手がかりになります。

練習：条件を図に書き込む

次の問題は、図を自分で描いてから解きましょう。長さは整数のcm、角は整数の度、軸の本数は整数で答えます。

1. 直線を軸として点Dを線対称に移した点をD’とします。Dから軸への垂線の長さは7 cmです。DD’の長さを求めましょう。
2. 点Oを中心として点Eを点対称に移した点をE’とします。EE’の長さは18 cmです。OEの長さを求めましょう。
3. 正方形の対称の軸は何本ですか。どこを通るかも答えましょう。
4. 三角形FGHを点Oのまわりに180度回して三角形F’G’H’に重ねます。角FGHが53度、角GFHが61度のとき、角F’H’G’を求めましょう。

解答と考え方

1. 軸はDD’と直角に交わり、その交点からDとD’までの距離はどちらも7 cmです。

7 + 7 = 14 cm

答えは14 cmです。7 cmは点から軸までの片側の長さなので、対応する2点の間を聞かれたときは両側を合わせます。軸からの距離を斜めに測らない点も確かめます。

2. OはEE’の真ん中にあるため、EE’を等しい2つに分けます。

18 ÷ 2 = 9 cm

答えは9 cmです。中心から片方までを求める問題なので、2倍ではなく2で割ります。EとE’を結んだ線がOを通ることも条件です。

3. 答えは4本です。向かい合う辺の真ん中どうしを結ぶ2本と、向かい合う頂点どうしを結ぶ対角線（たいかくせん）2本です。それぞれを折り目にすると、対応する辺と頂点が重なります。辺の真ん中を通る線は、その辺と直角に交わります。対角線を折り目にすると、隣り合う辺どうしが重なります。

4. まず元の三角形の角FHGを求めます。

180 − 53 − 61 = 66度

FはF’、GはG’、HはH’に対応します。角FHGの頂点HがH’へ移るので、対応する角はF’H’G’です。回転で角度は変わらず、答えは66度です。G’を真ん中にしてしまうと、別の角を答えることになります。

覚えておくこと

• 線対称の対応点は、軸に垂直な同じ線上にあり、軸から等しい距離にあります。
• 点対称の対応点は、中心を通る同じ線上にあり、中心から等しい距離にあります。
• 軸上の点と回転の中心は、それぞれの操作で動きません。
• 対応する辺の長さと角の大きさは等しくなります。

家で見守るときの確かめ方

お子さまが点を描き終えたら、すぐに正しい位置を示す前に「どの点とどの点が重なるかな」と尋ねてみてください。対応点の組を指せるかどうかで、条件を使う前の取り違えを見分けられます。次に「折る線と回す中心のどちらを使ったかな」と聞き、図に残した線を見ます。

線対称なら、対応点を結んだ線と軸が直角か、軸から両側が同じ長さかを順に確かめます。点対称なら、2点を結ぶ線が中心を通るか、中心が真ん中かを確かめます。片方が合っていてももう片方が欠けている場合は、欠けた条件を自分で見つけられるよう待ちます。最後に紙を折る、または中心に印を付けて半回転する動きを想像し、描いた図が重なるかを言葉にしてもらいます。

折り目の直角と中心を通る一直線が、対応点を選ぶ手がかりです。