中学受験算数 相似な図形—向きに惑わされず対応する辺と角を結び付ける｜武蔵野個別指導塾

回した三角形の角を手掛かりに対応する辺を並べ、比の向きと不足する条件を点検する相似の見方を育てます。

よくあるのは、回した三角形を見て、紙の上で同じ向きにある辺どうしを対応させる小6の場面です。図を回すと、上にあった辺は横や斜めへ移ります。それでも角の大きさと辺どうしのつながりは変わりません。まず角を手掛かりに頂点を結び、それから辺の長さを比べます。

問題で求められるもの

相似（そうじ）とは、一方を同じ割合で拡大・縮小すると他方に重なる関係です。倍率が1の、形も大きさも等しい場合も含みます。問題の出方には、対応する角を見つける型、対応する辺の長さから未知の長さを求める型、与えられた条件で相似と判断できるかを調べる型があります。どの型でも、図の向きや、頂点の名前が書かれた位置に引きずられないことが出発点です。

長さを求める型では、わかっている辺が2本ずつあっても、違う組を比べると正しい倍率になりません。角の型では、見た目が似ていることだけで等しいと決めず、問題で示された角や辺を使います。判断する型では、足りない条件を足りないままにしておくことも答えです。定規で測ったように見える値を勝手に条件に加えないようにします。

形が同じとはどういうことか

図1の左の三角形ABCと右の三角形DEFは相似です。AとD、BとE、CとFの角がそれぞれ等しく、辺ABとDE、BCとEF、CAとFDが対応します。右の図は向きを変えています。紙の上でどの辺が水平に見えるかではなく、両端にある角の対応で辺を決めます。

図1では、Aの角をはさんだ2辺はABとACです。対応するDの角をはさんだ2辺はDEとDFです。さらにBに対応するのはEなので、ABにはDEが対応します。残ったACにはDFが対応します。辺の両端を確かめると、回転や裏返しによって配置が変わっても対応が追えます。

相似な図形では、対応する角はそれぞれ等しく、対応する辺の長さの比はどの組でも同じです。この比を相似比と呼びます。たとえば小さい図形から大きい図形への比が2:3なら、対応する長さはどれも2:3です。角が2倍や3倍になるという意味ではありません。角の大きさは変わらず、長さが同じ倍率で変わります。

三角形では、2組の角がそれぞれ等しければ、残る1組も内角の和から等しくなり、2つの三角形は相似です。3組の辺の比がそれぞれ等しいことからも相似と判断できます。一方、1組の角が等しいだけでは、残りの角はさまざまに変えられます。三角形以外では、角がそれぞれ等しいだけで相似とは限りません。たとえば縦横の比が違う長方形は、どちらも角が直角でも形が違います。

基本例題：回転した図から長さを出す

三角形ABCと三角形DEFは相似で、AとD、BとE、CとFがそれぞれ対応しています。ABは6 cm、BCは8 cm、ACは10 cm、DEは9 cmです。EFの長さを整数で、単位を付けて答えましょう。

図2では大きい三角形を回してあります。まず名前の順に対応を書き、辺の組を並べます。わかっている長さと、求める長さを同じ表に置くと、使う組が選びやすくなります。

1. ABとDEは対応するので、小さい方:大きい方は6:9です。
2. 両方を3で割り、相似比を2:3にします。
3. BCとEFも同じ順で2:3です。
4. BCの8 cmを比の2に当てると、比の1に当たる長さは8 ÷ 2 = 4 cmです。
5. EFは比の3に当たるので、4 × 3 = 12 cmです。

答えは12 cmです。確かめとして8:12を両方4で割ると2:3となり、ABとDEの比にそろいます。小さい方から大きい方へという順が、計算の途中でも変わっていません。

表の最後の行は、求めるEFの計算に使わなくても構いません。対応を全部書いておくと、残った辺を偶然選んでいないかを確かめられます。DEが9 cmだからといって、図で近くに見える辺に9を対応させるのではありません。DとEの両端が、AとBの両端に対応することが根拠です。

少し難しい例題：先に全体の辺を取り戻す

三角形PQRと三角形STUは相似で、PとS、QとT、RとUが対応します。PQは12 cm、QRは15 cmです。ST上の点VについてSVは5 cm、VTは3 cmです。TUの長さを整数で、単位を付けて答えましょう。

ここではSVの5 cmをそのままPQと比べたくなります。しかし対応する辺はPQとSTです。SVはSTの一部分であり、点Vは対応する三角形の頂点ではありません。まず全体のSTを求めます。

1. STはSVとVTを合わせた長さなので、5 + 3 = 8 cmです。
2. PQ:STは12:8で、両方を4で割ると3:2です。
3. QRとTUは対応するので、QR:TUも3:2です。
4. QRの15 cmが比の3に当たり、比の1は15 ÷ 3 = 5 cmです。
5. TUは5 × 2 = 10 cmです。

答えは10 cmです。15:10を約分すると3:2で、最初に決めた順に一致します。基本例題との違いは、対応する辺の全体が直接書かれていないことです。部分を足す必要があるかは、点が辺のどこにあるかで判断します。点VがST上にあるという条件があるので足せますが、辺の外側にある点なら同じ足し方は使えません。

また、相似という条件を見落として、PQが12 cm、STが8 cmだから差の4 cmをQRから引く方法は使えません。相似では対応する長さが同じ倍率で変わります。差は辺の長さによって変わるため、まず比を作ります。長い辺と短い辺をそれぞれ比べ、倍率が一致するか確認することが判断の分かれ目です。

似た位置を結んだ誤答を直す

図3は基本例題と同じ対応を、辺の組として整理したものです。誤答ではABの6 cmと、紙の上で横向きに近いEFを対応させてしまい、EFを9 cmとしています。これは誤りです。EFの両端はEとFで、対応する小さい三角形の頂点はBとCです。したがってEFに対応するのはBCです。

図3の正しい組はABとDE、BCとEF、ACとDFです。6:9から2:3を作り、8 ÷ 2 × 3でEFは12 cmとなります。誤りの原因は計算以前に、辺の両端を確認せず、図の向きで組を選んだことです。式だけを直すより、頂点の対応に戻って表を書き直すと、別の向きの図にも対応できます。

もう1つの失敗は、2:3を作った後に、大きい方の長さを比の2に当てることです。比の左が小さい方、右が大きい方という約束を表の上に書いておきます。求めた長さが大きい図形の辺なのに、対応する小さい図形の辺より短くなった場合は、比の順を確認するきっかけになります。ただし大小の見た目だけで正解を決めず、元の辺の組に戻って比を確かめます。

練習：対応の順から考える

次の問題はそれぞれ独立しています。長さは整数で、角度は整数で答え、単位も付けましょう。相似という条件がない問題では、与えられた条件から判断します。

1. 三角形GHIと三角形JKLは相似で、GとJ、HとK、IとLが対応します。GHは4 cm、JKは10 cm、HIは6 cmです。KLの長さを求めましょう。
2. 三角形MNOと三角形RSTは相似で、MとR、NとS、OとTが対応します。角Mは48度、角Nは67度です。角Tの大きさを求めましょう。
3. 三角形ABCと三角形DEFは相似で、AとD、BとE、CとFが対応します。ABは18 cm、BCは21 cm、DEは12 cmです。EFの長さを求めましょう。
4. 2つの三角形について、1組の角がともに50度であることだけがわかっています。この条件だけで相似と決まるか答え、理由を説明しましょう。

練習の答えと道筋

1. GHとJKは対応するので、比は4:10 = 2:5です。HIとKLも同じ順に2:5です。6 ÷ 2 = 3、3 × 5 = 15より、KLは15 cmです。6:15を約分すると2:5なので、比の向きも一致します。

2. 三角形MNOの内角の和は180度です。角Oは180 − 48 − 67 = 65度です。OとTは対応するので、角Tも65度です。相似では角の大きさを辺の倍率で掛けないことを確かめます。

3. AB:DEは18:12 = 3:2です。対応するBC:EFも3:2です。21 ÷ 3 = 7、7 × 2 = 14より、EFは14 cmです。21:14を約分すると3:2となります。大きい方から小さい方への順を最後まで保ちました。

4. 相似とは決まりません。たとえば角が50度、60度、70度の三角形と、50度、50度、80度の三角形は、ともに1つの角が50度ですが、対応する角をすべて等しくできません。どちらも角の和は180度です。もう1組の角がそれぞれ等しいとわかれば、三角形の相似を判断できます。

条件を見分けるための寄り道

図を読むときには、書かれている事実と、そこから言えることを分けておきます。たとえば2つの三角形に等しい角が1組あるとわかっても、別の角が同じかどうかはまだ決まりません。問題に「相似」と書かれていれば、その条件から対応する角や辺の比を使えます。書かれていなければ、2組の角が等しいなどの根拠を先に探します。

反対に、辺の比が1組わかっただけでは、他の辺の比が同じとは限りません。見た目がよく似た図でも、印や数値がなければ長さの関係を決められないことがあります。図は条件を整理する助けですが、ものさしで測った印象を問題の条件の代わりにはしません。条件が不足していると気づくことも、解くための大事な判断です。

対応を確かめるとき、頂点の名前の順も役に立ちます。ただし、名前が並んでいるというだけでは対応順を勝手に決められません。問題文に対応が明示されているか、等しい角などから順番を確かめられるかを見ます。対応がAとD、BとE、CとFなら、辺はABとDE、BCとEF、CAとFDの順です。辺の名前を逆に書いたBAもABと同じ辺ですが、一方の端だけを見て別の辺へ移らないようにします。

比を使う前には、同じ単位にそろえることも必要です。たとえば一方がcmでもう一方がmmなら、どちらかに直してから比べます。単位をそろえず数字だけで比を作ると、拡大の倍率が変わってしまいます。答えを書いた後も、長さの単位と、比には単位を付けないことを見直します。図を頭の中で回せなくても、対応表を作って順にたどれば十分です。

相似比が1:1のときは対応する長さが等しく、同じ大きさの同じ形です。倍率が1より大きいか小さいかは、どちらを先に置いた比なのかで変わります。比の数字だけを覚えるのではなく、表に書いた2つの図形の順を一緒に読む習慣を付けます。

求めた値の検算では、使った比を逆にたどります。小さい辺から大きい辺を求めたなら、大きい辺を元の比で割り戻して、小さい辺に戻るかを見る方法もあります。途中の数が合っていても、求める辺の名前が違えば答えにはなりません。最後に問題文の名前と単位まで照合します。

手元に残す要点

• 相似な図形では、対応する角は等しく、対応する辺の比は一定です。
• 辺の対応は、両端の頂点の対応から決めます。
• 辺の部分が示されたら、対応する辺の全体が必要かを確かめます。
• 比の順をそろえ、答えを元の辺の組に戻して点検します。
• 条件が不足するときは、図の見た目から相似と決めません。

家で見守るときの確認

お子さまが答えを間違えたら、まず式を消さずに、どの頂点どうしを対応させたか尋ねてみてください。角の対応は合っているのに辺を取り違えた場合と、比を作った後に左右を入れ替えた場合では、戻る場所が違います。辺を指でたどり、両端の名前を声に出すと、対応の間違いが見えます。

次に「この辺の全部の長さはどれですか」と問いかけ、部分と全体を区別できているか見ます。計算が止まったときも、すぐに式を示す前に、表の空欄を1つ埋めるところまで待ちます。最後はお子さま自身が答えの辺と、最初に使った辺の比を比べます。回した図でも、対応する2つの端をたどれば辺の組が定まります。