【物理】等速円運動を図解で総まとめ—角速度・向心加速度・向心力と慣性力｜武蔵野個別指導塾

速さが一定でも加速度がある理由を、速度の向きと図から確かめます。周期・向心力の計算から円錐振り子の例題まで進み、遠心力を使う立場も区別して式を立てられるようにしましょう。

よくあるのは、夕方の台所のテーブルで円運動の問題を解き、「速さが一定」と書いてあるので加速度を0としたところ、解答には中心向きの矢印が描かれていて手が止まるという場面です。直線上を同じ速さで進む運動では加速度が0だったのに、円の上ではなぜ違うのでしょうか。「向心力」と「遠心力」という反対向きに見える言葉も、戸惑いを大きくします。

この疑問をほどく出発点は、速さと速度を区別することです。速度には向きがあり、円の上を進む物体では、その向きが絶えず変わります。中心向きの力は物体を中心へ一直線に引き込むためだけのものではなく、進む向きを曲げ続ける役割を果たします。

まず円を回る時間と角度の関係を整理し、次に加速度の向きと大きさを考えます。そのうえで、糸の張力や摩擦力が円運動を支える仕組み、物体と一緒に回る立場で遠心力を使う理由を確かめます。最後には、糸が斜めに傾く円錐振り子でも、自分で力を分解して運動方程式を立てられるようにしましょう。

この単元で身につけること

• 周期と角速度を結びつけます。1周にかかる時間から、単位時間に回転する角度や道のりを求められるようにします。
• 向心加速度の理由を説明します。速さが一定でも、速度の向きが変われば加速度が生じることを図で確かめます。
• 向心力を具体的な力で表します。張力、摩擦力などを先に描き、その中心向きの合力が円運動に必要な力になると考えます。
• 観測者の立場をそろえます。地上から見る場合と物体と一緒に回る場合で、遠心力を式に含めるかどうかを区別します。
• 円錐振り子を解きます。鉛直方向のつり合いと水平方向の運動方程式を組み合わせ、回転半径、速さ、周期を求めます。

物理基礎で学んだ運動方程式「合力＝質量×加速度」と、平面内の運動で学んだ速度の向きが、この単元の土台です。新しい力の法則を覚え直すのではなく、円に沿って動く場合の加速度を同じ運動方程式に入れます。計算の前に、どの向きの運動を扱うかを言葉にすると、式の左辺に何を置くべきかが見えてきます。

基本の考え方

周期・角速度・速さを結ぶ

等速円運動とは、物体が円周上を一定の速さで動く運動です。円の半径をr、速さをvとします。周期Tは1周するのにかかる時間で、単位はsです。1周の道のりは円周2πrなので、「道のり÷時間」からv＝2πr/Tが得られます。円の半径が大きいほど、同じ時間で1周するためには大きな速さが必要です。

角速度ωは、単位時間に半径の向きが回転する角度です。読み方はオメガで、単位はrad/sです。radはラジアンという角度の単位で、円弧の長さを半径で割った値で角度を表します。円弧の長さをs、回転角をθとすれば、θ＝s/r、したがってs＝rθです。1周ではs＝2πrなので、回転角は2π radになります。度数で表した角度をそのままs＝rθへ入れないようにしましょう。

一定時間Δtに角度Δθだけ回るなら、ω＝Δθ/Δtです。等速円運動ではωが一定なので、1周について考えるとω＝2π/Tとなります。また、移動した円弧rΔθをΔtで割ればv＝rωです。この2式とv＝2πr/Tは、別々に暗記する公式ではなく、同じ1周を角度と道のりの両方で表した関係です。

回転数fを使う問題もあります。fは単位時間あたりの回転の回数で、単位はHzまたはs⁻¹です。1周にT秒かかるためf＝1/Tとなり、ω＝2πf、v＝2πrfと書けます。Tが長くなるほど回転はゆっくりになり、fとωは小さくなります。「毎分何回転」という条件なら、まず1秒あたりの回転数へ直してから式を使います。

速さが一定なのに加速度がある理由

速度は大きさと向きを持つ量です。図1の左側では、円の右端にある物体が上向きに進んでいます。速度はその点での接線方向、つまり半径に垂直な方向です。一方、加速度は中心を向きます。同じ物体に描かれた矢印でも、速度と加速度は違う意味を表すので、向きが一致する必要はありません。

図1の右側は、少し離れた2点での速度を、始点をそろえて描いたものです。これは位置の図ではなく、速度の変化を調べる図です。青い2本の矢印の長さは同じですが、向きが違います。ベクトルv₁からベクトルv₂への変化、すなわちベクトルΔvは、v₁の先端からv₂の先端へ向けて描きます。速さが等しくても、この差は0にはなりません。

向心加速度の大きさa＝v²/rが出る理由も、この図からたどれます。円の中心から2点へ引いた半径が作る角度と、2本の速度が作る角度は等しくなります。各点で速度が半径に垂直だからです。2本の半径と2点を結ぶ弦の三角形、2本の速度とその差の三角形は相似なので、「速度の変化の大きさ÷v＝弦の長さ÷r」となります。

2点の時間差Δtを十分短くすると、弦の長さはその間の道のりvΔtに近づきます。したがって、Δv/vはvΔt/rに近づき、Δv/Δtはv²/rに近づきます。加速度はごく短い時間あたりの速度の変化なので、a＝v²/rです。同時に差の向きは、その瞬間の中心向きに近づきます。このように、微分の計算をしなくても、三角形の相似から式の理由を追えます。

ここでv＝rωを代入すると、a＝rω²とも書けます。またω＝2π/Tより、a＝4π²r/T²です。半径が同じなら速さが2倍になると加速度は4倍になります。式の単位も、v²/rなら「m²/s²をmで割る」のでm/s²となり、加速度の単位に一致します。なお、これらは中心方向の加速度の式です。円周上で速さまで変わる運動では、接線方向の加速度も加わるので、加速度全体が中心向きとは限りません。

向心力と慣性力を分ける

物体に働く実際の力の中心向きの合力をFとすると、運動方程式よりF＝ma＝mv²/r＝mrω²です。この合力を向心力と呼びます。「向心力」という名前の力が張力や摩擦力に追加されるわけではありません。円運動を成立させるために、どの力が中心向きの役割を担っているかを表す呼び方です。

水平な滑らかな台の上で糸につながれた小球が回る場合、重力と台から受ける垂直抗力は鉛直方向につり合い、糸の張力が水平方向の向心力になります。水平な円形の道に沿って曲がる車を単純化して考える場合は、路面から受ける横向きの静止摩擦力が向心力を担います。円という軌道だけでは力の種類は決まりません。必ず物体と周囲の接触や引力を調べます。

一方、加速する観測者の立場で運動方程式を扱うときに導入する、見かけの力を慣性力といいます。観測者の乗る台が一定の向きに加速度を持つ場合、台から見た物体には、その加速度と逆向きに「質量×台の加速度」の大きさの慣性力を加えて考えます。これは糸や床のような別の物体から受ける力ではなく、加速する立場で運動を記述するための力です。

円運動する物体と同じ角速度で回る観測者には、物体が静止して見えます。その回転する立場では、中心から外向きに大きさmrω²の遠心力を入れると、実際の力とのつり合いで説明できます。遠心力は慣性力の一種です。地上を近似的に慣性系、つまり慣性の法則が成り立つ観測の立場として扱うときは、物体の運動方程式へ遠心力を足しません。以下では地上の回転などの影響を無視します。また、回転する立場での説明は物体がその立場に対して静止している場合に限って扱います。

例題で解き方を確かめる

数値の答えは有効数字3桁で示します。重力加速度には教科書で用いるg＝9.8 m/s²を使い、計算途中のπや平方根は丸めずに残します。周期にはT、糸の張力にはSを使います。同じ文字で異なる量を表さないことも、式を読み違えない工夫です。

例題1　周期から角速度と速さを求める

半径0.600 mの円周上を、小球が周期1.50 sで等速円運動しています。角速度ωと速さvを求めましょう。まず「1周」という共通の基準に戻れば、角度の式と距離の式を選べます。

1. 1周の角度を使います。周期がわかっているので、ω＝2π/T＝2π/1.50より、ω＝4.19 rad/sです。半径は角速度の計算には必要ありません。
2. 角度の変化を道のりの変化へ直します。v＝rω＝0.600×2π/1.50より、v＝2.51 m/sです。途中で4.19へ丸めた値を使うより、2π/1.50の形を保つほうが丸めによるずれを防げます。
3. 別の関係で確かめます。v＝2πr/Tへ直接代入しても同じ答えになります。角速度にmを掛けることで速さになっているか、単位も確認します。

答え：角速度4.19 rad/s、速さ2.51 m/sです。

例題2　張力が向心力になる場合

質量0.200 kgの小球を軽い糸で中心につなぎ、滑らかな水平な台の上で半径0.500 m、速さ3.00 m/sの等速円運動をさせます。小球の加速度の大きさと糸の張力を求めましょう。空気抵抗は無視し、糸は水平に張られているものとします。

1. 実際の力を選びます。小球には下向きの重力、上向きの垂直抗力、水平で中心向きの張力が働きます。鉛直方向の加速度は0なので、鉛直の2力はつり合います。
2. 中心向きの加速度を求めます。a＝v²/r＝3.00²/0.500＝18.0 m/s²です。速さが一定という条件から0とせず、速度の向きが変わることを反映させます。
3. 中心向きを正にして運動方程式を立てます。この方向の力は張力Sだけなので、S＝ma＝0.200×18.0＝3.60 Nです。左辺にさらに「向心力」という項を加える必要はありません。

答え：加速度は中心向きに18.0 m/s²、張力は3.60 Nです。

もし糸が切れ、その後に水平な力が働かなければ、小球は切れた瞬間の接線方向へ進みます。外向きの力で押し出されるのではなく、それまで向きを曲げていた張力がなくなるためです。この予想までできると、力と速度の役割を区別できています。

例題3　摩擦力で曲がれる速さの上限

水平な道路で、車を質点として半径20.0 mの円に沿って走らせると考えます。タイヤと路面の静止摩擦係数を0.400とすると、横滑りせずに等速で曲がれる速さの上限はいくらでしょうか。道路の傾き、空気抵抗、車体の転倒は考えず、水平方向の力は曲がるための静止摩擦力だけとします。

1. 鉛直方向から垂直抗力Nを求めます。上下の加速度が0なのでN＝mgです。静止摩擦力の上限を決めるには、このNが必要です。
2. 曲がるために必要な力を表します。中心向きの静止摩擦力をFとすれば、F＝mv²/rです。一方、最大静止摩擦力はμN＝μmgです。滑らない条件はmv²/r≦μmgとなります。
3. 上限では等号が成立します。両辺のmを消してv＝√(μgr)＝√(0.400×9.8×20.0)＝8.85 m/sです。質量が消えるのは、この単純化した条件では必要な力と供給できる力がどちらも質量に比例するためです。

答え：速さの上限は8.85 m/sです。

静止摩擦力は、いつもμNになるわけではありません。上限より遅い速さで回るなら、必要なmv²/rの大きさだけ働きます。求めた値は問題の条件のもとでの計算結果であり、実際の道路での走行判断に使う数値ではありません。

例題4　円錐振り子の速さと周期

長さ0.800 mの軽く伸びない糸に質量0.200 kgの小球をつけます。糸が鉛直方向と60.0°の角度を保ち、小球が水平面内で等速円運動しています。張力S、速さv、周期Tを求めましょう。このように糸が円錐の側面をなぞる運動を円錐振り子といいます。小球の大きさと空気抵抗は無視します。

図2の左側は、支点、円の中心、小球を含む鉛直な断面です。水平線の長さrが円運動の半径であり、糸の長さLとは異なります。右側は同じ瞬間の小球の力を描いたもので、破線の矢印は張力Sの成分です。張力とその成分を、別々に追加される3つの力として数えてはいけません。

1. 図形から半径を求めます。鉛直から測った角度をθとすると、r＝L sinθです。したがってr＝0.800 sin60.0°＝0.693 mとなります。糸の全長をそのまま半径に使わないため、力の計算より先に幾何の関係を確かめます。
2. 鉛直方向のつり合いを立てます。高さが一定なのでS cosθ＝mgです。S＝mg/cosθ＝0.200×9.8/cos60.0°＝3.92 Nとなります。糸が斜めなので、張力全体ではなく鉛直成分が重力を支えます。
3. 水平方向の運動方程式を立てます。円の中心向きにはS sinθが働くので、S sinθ＝mv²/rです。鉛直方向の式で割るとtanθ＝v²/(rg)となり、v＝√(rg tanθ)です。rを丸めず代入するとv＝3.43 m/sを得ます。
4. 1周の道のりを速さで割ります。T＝2πr/v＝1.27 sです。さらにv²＝rg tanθとr＝L sinθを使えば、T＝2π√(L cosθ/g)とも表せます。これは別の振り子の周期を流用した式ではなく、今立てた2方向の式から出てきた関係です。

答え：張力3.92 N、速さ3.43 m/s、周期1.27 sです。

支点から水平な回転面までの鉛直距離をhとすると、h＝L cosθなのでT＝2π√(h/g)とも書けます。小球の質量は周期の式に残りません。ただし、張力は質量が増えれば大きくなります。ある量に質量が関係しないからといって、他の量もすべて質量によらないとは判断しないようにしましょう。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　速さが一定だから加速度も0とする

誤った書き方は「vが一定なのでa＝0」です。ここでvが速さの大きさを表しているのか、向きまで含む速度を表しているのかが曖昧になっています。等速直線運動なら速度の大きさも向きも変わりませんが、等速円運動では向きが変わります。

正しい書き方は「速さは一定だが速度の向きが変わるので、中心向きにa＝v²/rの加速度がある」です。直すときは、円周上の2点で接線方向の速度を描き、矢印を平行移動して始点をそろえます。始点をそろえると先端が一致しないことが、速度の変化の証拠です。位置の矢印と速度の矢印を同じ意味で扱わないことも確認しましょう。

誤り2　向心力と遠心力を同じ式に入れる

誤った書き方は、地上から見た例題2の小球に対して「S−mv²/r＝mv²/r」とすることです。左辺で張力から遠心力を引き、右辺で地上から見た加速度を使ってしまっています。観測者の立場を混ぜたため、同じ円運動の効果を二重に数えています。

図3のように、正しい書き方は地上なら「S＝mv²/r」、小球と同じ角速度で回る立場なら「S−mrω²＝0」です。図は水平面内の矢印だけを示しており、鉛直方向でつり合う重力と垂直抗力を省いています。両方の式はv＝rωによって同じ張力を与えますが、右辺が0となる理由は回る立場では小球が静止して見えるからです。

遠心力を張力の反作用と呼ぶのも誤りです。糸が小球を引く力の反作用は、小球が糸を引く力で、別の物体に働きます。遠心力は回転する立場で小球自身に導入する慣性力です。作用・反作用では「どの物体が、どの物体に及ぼす力か」、つり合いでは「同じ物体に働く力か」を確認します。

誤り3　半径が大きいほど加速度が小さいと言い切る

誤った書き方は「a＝v²/rだから、半径が大きい円運動では必ず加速度が小さい」です。どこが違うかというと、半径を変えたときに速さvも変わるかもしれない点を見落としています。分母だけに注目して増減を判断できるのは、分子の値を一定に保つ場合です。

正しい書き方は「速さ一定ならaはrに反比例し、角速度一定ならa＝rω²よりrに比例する」です。同じ回転台に固定した2つの小物は1周の時間が共通なので、角速度が同じです。中心から遠い小物ほど速さも加速度も大きくなります。問題文の「同じ速さ」「同じ周期」「同じ回転台」を読み分け、何を一定にして比べるのかを式の横に書いておくと修正できます。

円錐振り子でも、長さLと半径rを取り違えるとこの増減の判断を誤ります。角度を変えると回転半径だけでなく、張力の水平成分と鉛直成分の割合も変わります。図2の直角三角形に戻り、固定されている長さと、運動に応じて変わる長さを区別してから式を使います。

練習問題

条件を読み終えたら、計算より先に「地上から見る」「中心向きを正にする」など、採用する立場と向きを書きましょう。必要ならg＝9.8 m/s²を使い、数値の答えは有効数字3桁にそろえます。角度の数値が与えられた三角関数は度数として計算します。

練習1

半径0.250 mの円周上を、物体が毎分120回転で等速円運動しています。回転数fをHzで表し、周期T、角速度ω、速さvを求めましょう。毎分の回転数を直接ωに代入せず、時間の単位を先に合わせます。

練習2

質量0.150 kgの小球が、半径0.800 mの水平な円周上を速さ2.40 m/sで等速円運動しています。中心向きの加速度と合力の大きさを求めましょう。また、同じ半径のまま速さを2倍にした場合の合力も求めます。実際にどの力が合力を担うかは指定されていません。

練習3

長さ1.00 mの糸につながれた質量0.100 kgの小球が、鉛直から30.0°傾いた円錐振り子の運動をしています。回転半径r、張力S、速さv、周期Tを求めましょう。糸は軽く伸びず、小球の大きさと空気抵抗を無視します。

練習4

滑らかな水平な台の上で、質量0.300 kgの小球を中心につなぎ、半径0.400 m、角速度5.00 rad/sで回します。地上から見た張力を求め、次に小球とともに回る立場で遠心力の大きさと向きを答えましょう。それぞれの立場での式も書きます。

答えと解説

練習1：f＝2.00 Hz、T＝0.500 s、ω＝12.6 rad/s、v＝3.14 m/sです。毎分120回転は120/60＝2.00回転毎秒なので、T＝1/f、ω＝2πf、v＝rωの順に求めます。回転の回数とラジアンで測る角度は違うので、ωには2πが必要です。

練習2：加速度は中心向きに7.20 m/s²、合力は中心向きに1.08 N、速さを2倍にしたときの合力は4.32 Nです。a＝2.40²/0.800、F＝0.150aと計算します。速さの2倍は力の2倍ではなく、2²＝4倍に対応します。力の種類が指定されていないので、この結果をただちに張力と呼ぶことはできません。

練習3：r＝0.500 m、S＝1.13 N、v＝1.68 m/s、T＝1.87 sです。r＝L sin30.0°、S＝mg/cos30.0°、v＝√(rg tan30.0°)を順に使います。周期は2πr/v、または2π√(L cos30.0°/g)で求められます。途中で求めた速さを丸めてから周期へ代入せず、丸める前の値を保って計算しましょう。

練習4：張力は3.00 N、遠心力は外向きに3.00 Nです。地上からはS＝mrω²＝0.300×0.400×5.00²と立てます。回る立場ではS−mrω²＝0です。数値が等しいことより、地上では中心向きに加速し、回る立場では静止して見えるという違いを説明できることが大事です。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

等速円運動を横から眺め、位置を1本の直線上へ写すと、行ったり来たりする運動が現れます。これが次に学ぶ単振動と結びつきます。また、人工衛星では万有引力が向心力を担います。円運動の公式を使う際に力の正体を確かめる習慣は、天体の運動でもそのまま役立ちます。

家での確認は、物を振り回さず紙の上でできます。1つ目は、5分で円と中心を描き、右端・上端・左端・下端の4点に、反時計回りの速度と中心向きの加速度を描くことです。速度はすべて接線方向、加速度はすべて中心方向になっているかを見ます。速さ一定という条件を表すために、速度の矢印の長さもそろえましょう。

2つ目は、別の5分で円錐振り子の図を描き、L、r、θ、S、mgを書き込むことです。数字を入れずに「r＝L sinθ」「S cosθ＝mg」「S sinθ＝mv²/r」の3式を図から説明できれば、数値が変わっても解き始められます。お子さまの学習を見守る際も、答えの暗唱より「この式の左辺はどの矢印か」と尋ねると、理解している箇所を確かめやすくなります。

個別指導で途中の式が止まる場合は、加速度の定義、同じ物体に働く力の選び方、三角比による分解のうち、どこで図と式の対応が切れたかまで戻って確かめます。円錐振り子の公式だけを覚え直すより、必要な一歩を特定すると、その後の問題にも対応しやすくなります。

まとめ

円運動の答案は、答えの数値が合っていても、力の矢印や観測者の立場が混ざっていると、条件の違う問題で崩れてしまいます。解き終えた図を見て、速度の矢印、実際の力の矢印、必要なら慣性力の矢印を、それぞれ理由つきで説明してみましょう。説明できない矢印があれば、そこが次に確かめる箇所です。

円を描けることと、円運動を説明できることの間には、一本の力の矢印を誰の立場で描いたかという、見過ごせない違いがあります。