【物理】電場と電位を図解で総まとめ—クーロンの法則・電場 電位・電気力線と等電位面｜武蔵野個別指導塾

正負の電荷がつくる電場と電位を3枚の図で整理し、クーロン力や電場内の仕事を4つの例題でたどります。負電荷を動かすときの符号も、自分で判断できるように確かめましょう。

よくあるのは、駅前の本屋の参考書の棚で電磁気のページを開き、「電場は右向きなのに、負電荷は左へ力を受ける」と書かれた図を見て、矢印をどちらに描けばよいのか止まるという場面です。その隣には電位の高い点と低い点が描かれ、電場、力、電圧が同じもののように見えてきます。式を暗記しても、どの符号を入れるか決められなければ、計算を始められません。

この単元で整理したいのは、空間の各点に決まる性質と、そこへ置いた電荷が受ける作用の区別です。電場は正の電荷を基準にした力の情報、電位は正の電荷を基準にした位置エネルギーの情報です。この区別ができると、負電荷を置いた場合も一つの決まりで説明できます。力学で学んだ力、仕事、位置エネルギーを思い出しながら、矢印を描く場面と数値を足す場面を分けて進めましょう。

この単元で身につけること

• クーロンの法則から、電荷どうしが及ぼし合う力の大きさを求めます。引力か斥力かは電荷の符号で判断し、数値計算の前に向きを決めます。
• 電場を、正の単位電荷が受ける力として読み取ります。複数の電荷があるときは、それぞれがつくる電場を向きも含めて重ね合わせます。
• 電位と電位差を区別します。電位には基準が必要ですが、2点間の電位差は基準を一緒に変えても変わりません。
• 電気力線と等電位面を読み取ります。電気力線の接線が電場の向きを表し、等電位面との交わり方が仕事の有無を教えます。
• 電気力のする仕事と位置エネルギーの変化を結びつけます。動かす電荷の符号と移動の向きを別々に確かめ、外力の仕事とも区別します。

物理基礎の仕事とエネルギーが土台になります。重力による位置エネルギーでは高さを使いましたが、電気的な位置エネルギーでは電位を使います。ただし、電荷には正負があるため、電位の高低だけから運動の向きを決めないことが新しい注意点です。

基本の考え方

電荷がつくる力を、空間の性質として表す

電荷は電気的な性質を表す量で、単位は C（クーロン）です。正負の2種類があり、同符号の電荷どうしには遠ざけ合う斥力、異符号の電荷どうしには引き合う引力が働きます。電荷の大きさを無視できるほど小さな領域に集中しているとみなしたものを点電荷と呼びます。点電荷間の距離 r は、2個の点の間の距離です。

真空中の2個の点電荷 q₁、q₂ の間に働く静電気力の大きさ F は、クーロンの法則で表します。

F = k｜q₁q₂｜/r²

絶対値を付けるのは、ここで求めているのが力の大きさだからです。力の向きは2個の電荷を結ぶ直線上にあり、引力か斥力かを別に判断します。この法則は実験に基づく法則です。電荷の大きさを増すと力も比例して増え、距離を広げると距離の2乗に反比例して弱くなる、という関係を式にしています。

数値計算では教科書で用いる近似値 k = 9.0×10⁹ N・m²/C² を使い、空気中も真空中と同じとみなします。問題中の数値はこの近似のもとで計算し、数値の答えは指示に合わせて有効数字3桁で示します。接頭語は μC = 10⁻⁶ C、nC = 10⁻⁹ C です。接頭語を残したまま k に掛けると桁がずれるので、代入前に C へ直します。

電場とは、電荷に電気力を及ぼす空間の性質です。ある点に、もとの電荷の配置を変えないほど小さい正の電荷 q₀ を置き、その電荷が受ける力を q₀ で割って電場を定めます。向きを含めて「ベクトル E = ベクトル F/q₀」と書き、電場の大きさの単位は N/C です。電場の向きは、この正の電荷が力を受ける向きとして決まります。

電場を調べるための小さな電荷を試験電荷といいます。試験電荷を実際に置いていなくても、もとの電荷がつくる電場は考えられます。電場が決まったあと、そこに電荷 q を置くと、受ける力は「ベクトル F = q ベクトル E」です。q が負なら力の向きは電場と逆になります。電場そのものの向きが、置いた電荷によって反転するのではありません。

電場をつくる点電荷を Q とすると、試験電荷へのクーロン力 k｜Q｜q₀/r² を q₀ で割ることで、E = k｜Q｜/r² が得られます。正の Q がつくる電場は Q から外向き、負の Q がつくる電場は Q へ向かう内向きです。電場の式に試験電荷が残らないことも、空間の性質を表しているという意味と一致します。

電位は、単位電荷あたりの位置エネルギー

電気力に伴う位置エネルギーを U とすると、電位 V は U = qV を満たす量です。電位の単位 V（ボルト）は J/C と同じです。記号の V は電位という量にも単位にも使われるので、「V = 120 V」では左が量の記号、右端が単位だと読みます。電位は向きをもたない量で、右向きの電位、という表現はしません。

位置エネルギーと同様、電位を定めるにはゼロの基準が必要です。孤立した点電荷 Q では無限に遠い点を電位0とすると、距離 r の点の電位は V = kQ/r です。この式では Q の符号をそのまま残します。正電荷の近くは正の電位、負電荷の近くは負の電位です。点電荷の位置そのものには r = 0 を代入できません。

この電位の式は、距離によって変わるクーロン力の仕事から導かれます。動かす電荷を q とし、Q からの距離が r₁ から r₂ になるように移すと、電気力の仕事は kQq（1/r₁ − 1/r₂）となります。細かく区切った各区間の力と変位の積を足した結果です。仕事だけ位置エネルギーが減るため、無限遠をゼロとする位置エネルギーは U = kQq/r、これを q で割った電位は V = kQ/r とつながります。

高校の計算問題では、この変化する力の足し算を毎回行う必要はありません。初めと終わりの電位を求め、その差を使えば仕事が得られます。電荷の符号を残す点と、電場では距離の2乗、電位では距離の1乗で割る点を、式の意味と一緒に押さえましょう。

2点 A、B の電位差は、例えば Vʙ − Vᴀ と表す「終点の電位から始点の電位を引いた差」です。電位差は電圧とも呼ばれます。ただし、問題によっては「AのBに対する電位」として Vᴀ − Vʙ を尋ねます。どちらの点を基準に、どちらから引くのかを書いておくと、電圧という言葉だけで符号を決めずに済みます。

電気力線と等電位面で関係を読む

電気力線は、各点での接線の向きが電場の向きになるように描いた線です。正電荷から出て負電荷へ入る向きに矢印を付け、相手の電荷が図の中にないときには無限遠へ続く場合もあります。同じ描き方の約束では、電場に垂直な単位面積を通る線の本数が多いところほど、電場が強いと読みます。電気力線そのものが物質として存在しているわけではありません。

同じ電位の点を集めた面が等電位面です。紙面上では、その面と紙面との交線を等電位線として描きます。図1のように、正の点電荷だけがある場合、電気力線は放射状、等電位面は電荷を中心とした球面です。図の円は球面の断面で、半径 r、2r、3r の順に電位は kQ/r、kQ/（2r）、kQ/（3r）となります。円の間隔が等しくても電位差は等しくありません。

図1で円に沿って電荷を動かすと、力は半径方向、移動は円の接線方向で互いに垂直です。そのため電気力は仕事をせず、電位は変わりません。一般にも、電場がゼロでない点では、電気力線と等電位面は直交します。電場に沿って進むと電位は低下し、等しい電位差で描いた等電位面どうしが近いところほど電場は強くなります。

複数の電荷がある場合、電場はそれぞれの電荷がつくる電場のベクトル和です。一直線なら左右の符号を決めて足し、平面内なら成分に分けて足します。一方、電位は各電荷による電位を符号付きの数として足します。試験電荷への力が重ね合わされることから電場の重ね合わせが、位置エネルギーが加わることから電位の重ね合わせが得られます。

例題で解き方を確かめる

例題1　クーロン力の大きさと向き

点電荷 A は +2.00 μC、点電荷 B は −3.00 μC で、距離は 0.300 m です。B が A から受ける力の大きさと向きを求めます。ほかの電荷の影響はないものとします。

1. 電荷を C に直します。qᴀ = +2.00×10⁻⁶ C、qʙ = −3.00×10⁻⁶ C です。k の単位に合わせてから計算するためです。
2. 大きさの式に絶対値を使います。F = 9.0×10⁹ ×（2.00×10⁻⁶）×（3.00×10⁻⁶）/0.300² = 0.600 N です。負号で大きさを負にしないようにします。
3. 電荷の符号から向きを決めます。異符号なので引力が働き、B に働く力は B から A へ向きます。位置関係に左右されない言葉で答えると、図の左右を取り違えません。

答え：B が受ける力は 0.600 N、向きは B から A へ向かう向きです。

A が B から受ける力も大きさは等しく、向きは逆です。ただし、作用する物体が異なるため、この2力を「B に働く力のつり合い」に使ってはいけません。電気力についても、力学で学んだ作用・反作用の区別がそのまま必要です。

例題2　中点の電場と電位を別々に求める

x 軸上で A を x = −0.300 m、B を x = +0.300 m に置きます。A の電荷は +2.00 nC、B の電荷は −2.00 nC です。中点 O の電場と電位を求め、O に −3.00 nC の電荷を置いたときの力も求めます。無限遠の電位を0とします。

図2のように、中点から両電荷までの距離は等しくても、電場の向きが逆になるとは限りません。上段の矢印は2つの寄与を別々に示しており、どちらも O での電場を表しています。

1. 各電荷の電場の向きを決めます。A は正なので O では A から遠ざかる右向き、B は負なので O では B に向かう右向きです。同じ方向だとわかってから大きさを足します。
2. 一方の電場を計算します。Eᴀ = Eʙ = 9.0×10⁹ ×2.00×10⁻⁹/0.300² = 200 N/C です。右向きを正とした合成電場は Eₓ = +200 +200 = +400 N/C です。
3. 電位を符号付きで足します。Vᴀ由来 = +60.0 V、Vʙ由来 = −60.0 V なので、O の電位は0 Vです。これは数値の和であり、電場の矢印の足し算とは分けます。
4. 置いた電荷への力を求めます。Fₓ = qEₓ =（−3.00×10⁻⁹）×400 = −1.20×10⁻⁶ N です。負号は左向きを表し、負電荷だから電場と逆向きになります。

答え：電場は右向きに 4.00×10² N/C、電位は 0 V、置いた電荷への力は左向きに 1.20×10⁻⁶ N です。

図2は、電位が0でも電場は0とは限らない例です。逆に、同じ大きさの正電荷を左右対称に置けば、中点の電場は打ち消し合いますが、無限遠を基準にした電位は正です。ある点の電位だけを見ても、その近くで電位がどの向きにどれだけ変化するかは決まりません。

例題3　点電荷の電場内で電気力がする仕事

固定した点電荷 Q = +4.00 nC からの距離が、A では 0.200 m、B では 0.600 m です。+2.00 μC の電荷 q を A から B へ移すとき、電気力がする仕事と位置エネルギーの変化を求めます。Q だけが電場をつくり、無限遠の電位を0とします。

1. 両端の電位を求めます。Vᴀ = 9.0×10⁹ ×4.00×10⁻⁹/0.200 = 180 V、Vʙ = 60.0 V です。力の大きさが途中で変わるので、一定の力として Fd を計算する代わりに電位差を使います。
2. 位置エネルギーの変化を「後 − 前」で求めます。ΔU = q（Vʙ − Vᴀ）= 2.00×10⁻⁶ ×（60.0 −180）= −2.40×10⁻⁴ J です。正電荷が低い電位へ移るため減少します。
3. 電気力の仕事を求めます。W電気力 = −ΔU = q（Vᴀ − Vʙ）= +2.40×10⁻⁴ J です。位置エネルギーの減少分が電気力の仕事になるため、符号が反対になります。

答え：電気力の仕事は +2.40×10⁻⁴ J、位置エネルギーの変化は −2.40×10⁻⁴ J です。

もし外からゆっくり動かし、運動エネルギーの変化を無視できるなら、外力の仕事は −2.40×10⁻⁴ J です。外力は電気力による加速を抑える側なので、負の仕事をします。静電場では電気力の仕事は始点と終点で決まり、同じ A、B の間なら回り道をしても変わりません。ただし、途中で別の固定電荷の位置を変えてしまう状況は、この条件から外れます。

例題4　一様な電場で負電荷を動かす

右向きに 2.00×10² N/C の一様な電場があります。左の A と右の B の距離は 0.600 m、A の電位は 120 V です。−2.00 μC の電荷を A から B へゆっくり動かします。B の電位、電気力の仕事、外力の仕事を求めます。

1. 一様な電場では、正電荷 q₀ に働く力 q₀E が一定です。電場方向に距離 d を動くときの仕事は q₀Ed であり、q₀（Vᴀ − Vʙ）に等しいので、Vᴀ − Vʙ = Ed が得られます。ここでは d を電場方向に測っています。
2. 電位差を計算します。Ed = 200×0.600 = 120 V なので、Vʙ = 120 −120 = 0 V です。電場に沿う右方向へ進むと電位が下がることとも一致します。
3. 負の電荷をそのまま代入します。W電気力 =（−2.00×10⁻⁶）×120 = −2.40×10⁻⁴ J です。負電荷への電気力は左向き、移動は右向きなので、仕事が負になります。
4. ゆっくり動かす条件から、運動エネルギーの変化を無視します。電気力と外力の仕事の和が0なので、W外力 = +2.40×10⁻⁴ J です。外力が与えたエネルギーは電気的な位置エネルギーとして蓄えられます。

答え：B の電位は 0 V、電気力の仕事は −2.40×10⁻⁴ J、外力の仕事は +2.40×10⁻⁴ J です。

「外力の仕事は電気力の仕事と反対」という関係は、いつでも使えるわけではありません。運動エネルギーが変わる場合は、W外力 + W電気力 = ΔK から求めます。問題文の「ゆっくり」「速さを変えずに」という条件は、仕事の式を選ぶための情報です。

つまずきやすいところと直し方

電場にも負電荷の向きを入れてしまう

誤った書き方は「O に負電荷を置いたので、図2の電場は左向き」です。どこが違うかというと、電場を定める正の試験電荷と、あとから置く負電荷を入れ替えてしまっています。電場をつくる電荷 A、B の配置が同じなら、O の電場は同じです。

正しい書き方は「O の電場は右向き、負電荷が受ける力は左向き」です。まず置く電荷を隠したつもりで電場の矢印を描き、次に q の符号から力を描きます。求めるものが E なのか F なのか、答案の最初に書くだけでも混同を減らせます。

電位差の式に、場所を問わず E を掛ける

誤った書き方は「点電荷の近くでも、始点の電場 E と移動距離 d から電位差を Ed とする」です。どこが違うかというと、点電荷の電場は距離によって変わるのに、途中も同じ強さだと扱っています。さらに、一様な電場でも d に使うのは電場方向の距離で、斜めの道のり全体ではありません。

正しい書き方は「一様な電場では電場方向の距離を使い、点電荷では各点の kQ/r の差を使う」です。図3は例題4の一様な電場を電位のグラフで表したものです。横軸の x が等しく増すごとに電位が同じだけ下がり、直線になります。

図3で電位の変化を距離で割ると、（0 −120）/0.600 = −200 V/m です。電場の右向き成分は、この傾きの符号を反転した +200 V/m です。N/C と V/m は同じ電場の単位で、J = N・m と V = J/C から確かめられます。電位が0となる右端にも電場はあり、グラフの高さと傾きを分けて読む必要があります。

電位が下がると位置エネルギーも必ず下がると思う

誤った書き方は「A から B へ電位が下がったので、負電荷の位置エネルギーも減った」です。どこが違うかというと、位置エネルギー U = qV の q が負であることを落としています。同じ電位差でも、正電荷と負電荷の位置エネルギーの変化は符号が逆です。

正しい書き方は「ΔU = q（Vʙ − Vᴀ）を計算してから、増減を判断する」です。例題4では q も電位の変化も負なので、ΔU は正です。負電荷は電位の低い側へ動かされると、位置エネルギーが増えます。静止していた負電荷を自由にすれば、初めは電場と逆向き、つまり電位の高くなる向きへ加速します。電気力線を荷電粒子の通り道だと思わないことも必要です。最初の速度が電場と異なる方向を向いていれば、正電荷でも軌道が電気力線に沿うとは限りません。

練習問題

途中の式には、距離の単位と、電位を引く順序を残して解きましょう。電場や力を問う問題では、大きさだけでなく向きまで書きます。定数と数値の扱いは例題と同じです。

練習1

+1.00 μC と +4.00 μC の点電荷を 0.200 m 離して置きます。互いに及ぼし合う力の大きさと、引力か斥力かを求めてください。さらに、電荷を変えずに距離を 0.400 m にすると力はいくらになりますか。

練習2

x = −0.200 m と x = +0.200 m に、ともに +2.00 nC の点電荷を固定します。無限遠の電位を0として、中点の電場と電位を求めてください。電場と電位で、何を足しているかも説明しましょう。

練習3

点電荷 Q = −3.00 nC から 0.300 m の位置 A と、0.600 m の位置 B があります。無限遠の電位を0とした各点の電位を求め、+2.00 μC の電荷を A から B へ動かすときの電気力の仕事を求めてください。

練習4

右向きに 3.00×10² N/C の一様な電場で、電荷 +4.00 μC を右へ 0.200 m、上へ 0.150 m 移します。上向きは電場と垂直です。始点に対する終点の電位の変化と、電気力の仕事を求めてください。途中の道筋は自由に選べるものとします。

答えと解説

練習1：0.900 N の斥力です。F = 9.0×10⁹ ×（1.00×10⁻⁶）×（4.00×10⁻⁶）/0.200² で計算します。同符号なので遠ざけ合います。距離を2倍にすると力は4分の1となり、0.225 N です。分母が r² であることを、計算の前後の大小でも確かめられます。

練習2：電場は 0 N/C、電位は 1.80×10² V です。各電荷がつくる電場は大きさ 450 N/C で互いに逆向きなので相殺されます。電位は各電荷から +90.0 V ずつで、符号付きの和は +180 V です。ゼロとなる電場には向きを割り当てません。2つの正電荷による電位を、電場の向きにならって引かないことが要点です。

練習3：Vᴀ = −90.0 V、Vʙ = −45.0 V、電気力の仕事は −9.00×10⁻⁵ J です。W電気力 = 2.00×10⁻⁶ ×｛−90.0 −（−45.0）｝と計算します。B のほうが負の程度が小さく、電位は高い点です。正電荷を引力に逆らって遠ざけているので、電気力の仕事が負になることも確かめられます。

練習4：電位の変化は −60.0 V、電気力の仕事は +2.40×10⁻⁴ J です。右方向の移動だけが電位を変えるので、ΔV = −300×0.200 とします。上方向の移動では力と変位が垂直になり、仕事は0です。斜めに一直線で移しても、同じ終点なら仕事は同じです。全体の移動距離を Ed に代入せず、電場方向の成分を使えたかを確かめましょう。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

電位差と一様な電場の関係は、向かい合う金属板に電荷を蓄えるコンデンサーで使います。また、回路の電圧は、電荷が運ぶエネルギーを考える手掛かりになります。電場を力の側から、電位をエネルギーの側から説明できると、図が変わっても同じ関係を使えます。

家では紙と筆記具だけで、合わせて5分ほどの確認ができます。1つ目は、正電荷1個の右側に点を打ち、その点の電場、正電荷への力、負電荷への力の3本の矢印を別々に描くことです。2つ目は、A を 120 V、B を 0 V と書き、正負の電荷をそれぞれ A から B へ動かす場合の ΔU と電気力の仕事の符号を表にすることです。実際に帯電させたり、電源につないだりする必要はありません。

個別指導では、符号の取り違えが続く場合、電位の式だけでなく、力学の「仕事が正になる向き」と「位置エネルギーの減少」に戻って確かめます。保護者が様子を見る場合も、お子さまが答えの数字を言えるかに加えて、「どの電荷がつくる電場か」を指して説明できるかが、理解を見取る手掛かりになります。

まとめ

電場と電位を同じ量だと思うと、0という数値や負号に意味を与えすぎてしまいます。答案には、最初に電場をつくる電荷と動かす電荷を分け、最後に力の向きと仕事の符号が合っているかを残しましょう。途中の計算に迷いが生じても、この対応をたどれば、どこで取り違えたのかを見つけられます。

電位が下がる向きは電場が決め、そこで位置エネルギーが増えるか減るかは動かす電荷の符号が決めます。