【物理】音波とドップラー効果を図解で総まとめ—気柱の共鳴・うなり・ドップラー効果の式｜武蔵野個別指導塾

弦と気柱の振動を端の条件から整理し、うなりと動く音源・観測者・反射板の計算を4つの例題でたどります。波面の図と符号の決め方を結びつけ、自分で式を組み立てる手がかりを示します。

よくあるのは、冬期講習の初日の教室で、気柱の共鳴までは解けたのに、次のドップラー効果の問題で分子と分母の符号を決められなくなるという場面です。「近づくと高い音になる」と覚えていても、音源が動く場合と自分が動く場合の式が違う理由が見えなければ、反射板が登場したところで手が止まります。

音の問題には、空間に並ぶ波の間隔を調べる見方と、ある場所を1秒間に通る波の数を調べる見方があります。気柱の共鳴では管の中にどの波長が収まるかを考え、ドップラー効果では届く波の間隔と出会う速さを考えます。この二つを行き来できれば、公式を別々に覚える負担が減ります。

まず音の速さと振動数の区別をつけ、端の条件から固有振動を作ります。その後でうなりと移動による振動数の変化を扱い、最後は動く反射板から戻る音まで、自分の言葉と式で追えるようにしましょう。

この単元で身につけること

• 音速・振動数・波長を区別します。音速は媒質の状態で決まり、振動数は1秒間の振動回数、波長は同じ振動状態が繰り返す空間的な間隔です。
• 弦と気柱の固有振動を描きます。端が節か腹かを先に決め、長さの中に半波長または4分の1波長が何個入るかで式を作ります。
• うなりの回数を求めます。近い振動数の音が重なるとき、強め合う状態が繰り返す間隔を、二つの振動回数の差から説明します。
• 音源と観測者の運動を分けます。音源の移動が波長を変えることと、観測者の移動が波面に出会う頻度を変えることを区別します。
• 反射板による変化を2段階で計算します。板が受け取る振動数を求め、その板を反射波の音源とみなして戻る音を調べます。

物理基礎で学ぶ波の関係式「速さ＝振動数×波長」と、波の重ね合わせが出発点です。新しい記号を使うときも、その記号が空気中の波を表すのか、人が受け取る音を表すのかを書き添えると、式の役割を見失いにくくなります。

基本の考え方

音は空気の振動が伝わる縦波です

音波は、空気などの媒質の振動が伝わる波です。空気中では、空気の粒子が音の進行方向と平行に往復する縦波として伝わります。粒子が音源から耳まで飛び続けるのではなく、空気の密な部分と疎な部分が順に伝わります。圧力の変化を横軸が位置のグラフに描くと波形は上下しますが、空気そのものが上下に動くという意味ではありません。

振動数 f の単位は Hz で、1 Hz は1秒間に1回の振動を表します。1回の振動にかかる時間を周期 T といい、T＝1/f です。波が1周期の間に進む距離が波長 λ なので、音速を V とすると λ＝VT、したがって V＝fλ になります。どの式から使うか迷ったら「1回分の波が届く間に、波は1波長だけ進む」と読み直します。

空気中の音速は主に温度で変わります。高校の問題で使う近似は、温度を t ℃ として V＝331.5＋0.60t m/s です。例えば20.0 ℃なら有効数字3桁で344 m/sとなります。以下の数値問題では、問題用に指定する教科書でよく用いる音速 V＝3.40×10² m/sを使い、温度から毎回計算し直すことはしません。風はなく、音源や観測者の速さは静止した空気に対する速さとします。

音の高さは主に振動数、音の大きさは主に振幅と関係します。同じ空気中で高い音ほど速く進むと考えるのは誤りです。高校で扱う通常の条件では、振動数が大きい音は同じ音速で波長が短くなります。また、音色は含まれる振動数成分や波形と関係し、振動数が一つ決まるだけでは音色まで同じにはなりません。

弦と気柱は端の条件から波長を決めます

決まった長さの弦や管の中の空気には、振動しやすい特定の振動数があります。その振動を固有振動といい、その振動数が固有振動数です。入射波と反射波が重なることで定常波ができ、振幅が常に0となる場所を節、振幅が最大となる場所を腹といいます。定常波の隣り合う節と節、腹と腹の距離は半波長、隣り合う節と腹の距離は4分の1波長です。

両端を固定した長さ L の弦では、両端が変位の節です。弦の波の速さを v とすると、L＝nλ/2、λ＝2L/n より、固有振動数は fₙ＝nv/(2L) です。n は1、2、3、…の整数で、最も低い n＝1 が基本振動、その整数倍が倍振動です。張力を S、単位長さ当たりの質量である線密度を μ とすると、弦の波の速さは v＝√(S/μ) です。同じ弦では張力を大きくすると波が速くなり、同じ長さに収まる波長でも振動数が大きくなります。

弦の速さの式は、張力による復元作用と弦の動きにくさの比で決まる関係です。小さく曲がった弦の短い部分について、両端の張力の横向き成分の差がその部分の質量を加速すると考えます。同じ形の波なら張力が大きいほど加速度が大きく、線密度が大きいほど加速度が小さくなるため、波の速さの2乗が S/μ となります。この弦の速さと、弦が周囲の空気に出す音の速さ V は別の量です。

気柱は管の中の空気の柱です。閉じた端では空気が端を突き抜けられないため、空気の変位は節になります。開いた端では空気が動きやすく、変位はほぼ腹になります。図1のように端の条件を並べると、弦と管を同じ手順で考えられます。図の曲線は各位置での変位を縦軸方向に表した表示で、気柱の空気が曲線の形に上下する様子ではありません。

両端が開いた開管では、基本振動の両端が腹、中央が節となり、L＝λ/2 です。したがって fₙ＝nV/(2L) となります。一端が閉じた閉管では、閉端が節、開端が腹で、基本振動は L＝λ/4、基本振動数は f₁＝V/(4L) です。次の振動も端の条件を保つ必要があり、L に入る4分の1波長の個数は1、3、5、…となります。よって fₙ＝(2n−1)V/(4L) で、基本振動の奇数倍だけが現れます。閉管の2番目の固有振動は3倍振動です。

ここでの節と腹はすべて空気の変位について述べています。圧力変化では逆になり、閉端は圧力変化の腹、開端は圧力変化の節です。変位の節の付近では両側の空気が寄ったり離れたりするため、密度や圧力の変化が大きくなると考えます。問題文が変位と圧力のどちらを尋ねているかを、図を描く前に確認します。

実際の開口端では変位の腹が管の少し外側にできます。このずれを開口端補正といい、一つの開口端の補正量を e とすれば、閉管の有効長は L＋e、開管では L＋2e です。補正を考える問題では、この有効長を式の L の代わりに使います。同じ振動数の音で閉管の長さを変え、隣り合う共鳴位置を調べると、有効長は λ/4 から3λ/4へ増えるので差は λ/2 です。同じ補正量が引き算で消えることが、共鳴位置の差から波長を測れる理由です。

外から加える振動の振動数が固有振動数に近づくと、振動の振幅が大きくなる現象を共振といい、音の場合には共鳴ともいいます。管の長さを変えて音が強く聞こえるのは、音源の振動数が勝手に変わるからではありません。その音と合う固有振動数を持つ気柱になったためです。

うなりとドップラー効果は何を数えるのでしょうか

振動数の少し異なる二つの音が重なると、音が強くなったり弱くなったりする変化が繰り返されます。これがうなりです。振動数を f₁、f₂ とすると、1秒間に生じるうなりの回数は |f₁−f₂| です。例えば一方がもう一方より1秒間に4回多く振動すると、振動のタイミングのずれは1秒間に4周します。そのたびに再び強め合うので、うなりは1秒間に4回となります。二つの振幅が同じなら弱め合う瞬間に打ち消し合いますが、振幅が違えば完全には消えません。

一方、ドップラー効果は、音源や観測者の運動によって、観測される振動数が音源の振動数と異なる現象です。一直線上の運動を考え、音が進む向きを正と定めます。その向きの音源の速度を uₛ、観測者の速度を uₒ とし、逆向きなら負の値を入れます。音源が次の波を出すまでの1周期 T に、先の波は VT 進み、音源は uₛT 進むので、前方の波長は λ＝(V−uₛ)T＝(V−uₛ)/f です。

観測者が波面に追いつかれる相対的な速さは V−uₒ です。1秒間に出会う波の数は、その速さを波長で割れば求まります。したがって観測振動数は f′＝(V−uₒ)/λ＝f(V−uₒ)/(V−uₛ) です。この式は空気に対する速度を用い、音源と観測者が音速より遅く、波の進行方向に沿って運動する場合に使います。音源と観測者の相対速度だけを分子や分母に入れる式ではありません。

例題で解き方を確かめる

例題1　弦と閉管の基本振動を比べる

長さ0.850 m、張力68.0 N、線密度2.00×10⁻³ kg/mの弦を両端で固定します。この弦の基本振動数と、長さ0.850 mの閉管の基本振動数・その次の固有振動数を求めます。管の開口端補正は無視します。

1. 弦を伝わる波の速さを求めます。空気の音速を弦に流用しないため、v＝√(68.0/(2.00×10⁻³))＝184.390… m/s と計算します。途中の値は丸めずに残します。
2. 弦の両端に節を置きます。基本振動では長さに半波長が入るので、f₁＝v/(2L)＝184.390…/(2×0.850)＝108.465… Hz です。
3. 閉管の端の条件を使います。一端が節、他端が腹なので、基本振動数は340/(4×0.850)＝100 Hz、その次は基本振動数の3倍です。2倍を選ぶと開端が腹にならず、条件を満たしません。

答え：弦は1.08×10² Hz、閉管は基本振動が1.00×10² Hz、その次が3.00×10² Hzです。

長さが同じでも、媒質の波の速さと端の条件が違えば振動数は異なります。仮に同じ長さの開管に変えれば両端が腹となり、基本振動数は閉管の2倍です。まず図で収まる波長を決め、その後にその媒質の速さを使う順序にすると、弦と管の式を取り違えずに済みます。

例題2　うなりから未知の振動数を決める

440 Hzの基準音と未知の音を重ねると、1.00秒間に4.00回のうなりが生じました。未知の音を変えずに基準音を442 Hzにすると、うなりは1.00秒間に2.00回になりました。未知の音の振動数を求めます。基準音の値は設定値として扱います。

1. 最初の測定から候補を二つ出します。うなりは振動数の差の絶対値なので、未知の振動数を f とすると |f−440|＝4.00 です。候補は436 Hzと444 Hzになります。
2. 基準音を変えた結果をそれぞれに当てはめます。436 Hzなら |436−442|＝6.00 Hz、444 Hzなら |444−442|＝2.00 Hz です。音が近い高さになるほど、うなりは遅くなります。
3. 測定と合う方を選びます。2回目のうなりが2.00回なので444 Hzです。最初の測定だけでは高い側か低い側かを決められないことが、この問題の要点です。

答え：未知の音の振動数は444 Hzです。

うなりの回数が減ったことは、二つの振動数の差が小さくなったことを意味します。未知の音そのものが2.00 Hzになったわけではありません。耳に届く数百 Hzの速い振動と、その強弱が数 Hzで変わる現象を分けて読みましょう。

例題3　音源と観測者が互いに近づく

680 Hzの音源が観測者に向かって20.0 m/sで進み、観測者も音源に向かって10.0 m/sで進みます。音源は左、観測者は右にいて、音は右向きに伝わるものとします。観測する振動数を求めます。

1. 音の進行方向を正にします。音源の速度は uₛ＝＋20.0 m/s、観測者の速度は uₒ＝−10.0 m/s です。「互いに近づく」という文章を、同じ座標の符号に直してから式を使います。
2. 音源の前方の波長を求めます。λ＝(340−20.0)/680＝0.470588… m です。音源が次の波を前へ進んだ位置から出すため、波面の間隔は静止時より狭くなります。
3. 観測者が波面に出会う速さを求めます。観測者は波に向かうので340−(−10.0)＝350 m/sです。よって f′＝350/0.470588…＝743.75 Hz となります。

答え：観測する振動数は744 Hzです。

図2は動く音源の波面を同じ時刻に描いた模式図です。円の中心はそれぞれの波が出た位置で、赤い点が現在の音源です。図では位置の差を見やすくするため、音源の速さと音速の比を3：10としており、例題3の速さの比そのものではありません。右側で波面の間隔が狭く、左側では広いことを確かめます。

図2の円は音波の波面の断面を表します。放出された波の中心は、後から動く音源について移動しません。静止した空気中では、波は放出位置から音速で広がり続けます。この点が見えると、分母の V−uₛ が波長に由来することを納得しやすくなります。

例題4　近づく反射板から戻る音を聞く

静止した音源が680 Hzの音を右へ出し、その右にある反射板が音源に向かって17.0 m/sで動いています。板は音の進む直線に垂直で、音は反射して左へ戻ります。音源と同じ位置にいる静止した観測者が聞く反射音の振動数を求めます。

1. 板を音を受け取る観測者とみなします。入射音の進行方向である右を正とすると、板の速度は−17.0 m/sです。板が受け取る振動数は f板＝680×(340＋17.0)/340＝714 Hz になります。
2. 板を反射波の音源とみなします。理想的な反射では、板に対して数えた振動の周期が反射後も対応します。そのため板が受け取った714 Hzを、動く板が出す反射波の振動数として使えます。
3. 反射波に合わせて正方向を左に取り直します。板は左向きに17.0 m/sで動くので、反射波の音源の速度は＋17.0 m/s、最後の観測者は静止です。f反射＝714×340/(340−17.0)＝751.578… Hz となります。

答え：反射音の振動数は752 Hzです。

全体をまとめると、近づく板の速さを u として f反射＝f(V＋u)/(V−u) です。単に「反射だから2倍」とするのではなく、受信による倍率と再放出による倍率を掛けています。板が遠ざかる場合は両方の変化が逆となり、f反射＝f(V−u)/(V＋u) で、元の音より低くなります。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　閉管でもすべての整数倍があるとする

誤った書き方は「閉管の2番目の振動だから f₂＝2f₁」です。どこが違うかというと、振動の順番と基本振動に対する倍率を同一視しています。閉端が節、開端が腹であるため、長さは4分の1波長の奇数個分に限られます。

正しい書き方は「2番目は3倍振動なので f₂＝3f₁」です。図1の閉管の形から節と腹を交互に足し、開端を腹のままにできる長さを選びます。また、「開端は節」と書いてしまったときは、圧力変化の節の話か、空気の変位の節の話かを確かめます。量を省略した節・腹の暗記が混乱の原因になります。

誤り2　近づく速さをまとめて分母に入れる

誤った書き方は、例題3で「f′＝680×340/(340−30.0)」とすることです。どこが違うかというと、観測者の移動まで空気中の波長を縮める働きとして扱っています。波長を変えるのは、波を出す位置が移る音源の運動です。観測者が歩いても、すでに空気中を進んでいる波の間隔は変わりません。

正しい書き方は「λ＝(340−20.0)/680、f′＝(340＋10.0)/λ」です。音源と観測者が同じ向きに同じ速度で進む場合は、一般式の分子と分母が同じになり、観測振動数は元に戻ります。しかしこの性質だけから、すべての問題を相対速度一つで解けるとはいえません。空気を基準にして、波長と波面に出会う速さを別々に求める必要があります。

誤り3　反射板を観測者として1回だけ計算する

誤った書き方は「板が714 Hzを受け取るので、戻ってきた音も714 Hz」です。どこが違うかというと、動く板から静止した観測者へ届くまでの変化が抜けています。反射波の出発点も移動するため、板の前方で反射波の波長が縮まります。

正しい書き方は「714 Hzを板での振動数として、さらに340/(340−17.0)を掛ける」です。図3のように入射と反射を分けると、同じ板の移動がそれぞれで別の役割を持つことが見えます。図の2本の横線は経路を見分けるために上下へずらした表示で、実際には同一直線上を往復する設定です。

図3では、上段の音は右向き、下段の音は左向きです。一般式に代入する速度の符号は音の進行方向に対して決めるため、同じ左向きの板の運動でも、入射を扱うときは負、反射を扱うときは正になります。計算用紙に正方向の矢印を2本描けば、符号を頭の中だけで反転させずに済みます。

練習問題

特に指定がなければ音速は3.40×10² m/s、風はなく、管の開口端補正は無視します。答えは有効数字3桁で示しましょう。式に数値を入れる前に、管なら両端の条件、移動する音なら音の進む向きを書きます。

練習1　開管と閉管

長さ0.425 mの開管と、同じ長さの閉管があります。それぞれの基本振動数を求めてください。また、閉管の次の固有振動数を求めてください。どちらも空気の変位の節と腹を使って考えます。

練習2　共鳴位置の差とうなり

一端を閉じた管の長さを変えると、ある音に対して0.160 mと0.500 mで隣り合う共鳴が起こりました。両方の測定で開口端補正量は同じとします。この音の波長と振動数を求めてください。さらに、この音と504 Hzの音を重ねたとき、1秒間に何回うなりが生じるかを求めてください。

練習3　遠ざかる音源

510 Hzの音源が、静止した観測者から34.0 m/sで遠ざかります。観測者が聞く振動数を求めてください。音源から観測者へ向かう音の進行方向を正にすると、音源の速度はどちらの符号になるかも示してください。

練習4　遠ざかる反射板

静止した音源と観測者が同じ位置にあり、680 Hzの音を出しています。反射板が音源から34.0 m/sで遠ざかるとき、戻る音の振動数を求めてください。音は板に垂直に入射し、同一直線上を戻るものとします。

答えと解説

練習1：開管は4.00×10² Hz、閉管は2.00×10² Hz、閉管の次は6.00×10² Hzです。開管では f₁＝340/(2×0.425)、閉管では f₁＝340/(4×0.425) を使います。閉管の次は3倍振動です。同じ長さという条件を使って、開管の基本振動数が閉管の2倍になっているか確かめられます。

練習2：波長は0.680 m、振動数は5.00×10² Hz、うなりは1秒間に4.00回です。共鳴位置の差0.500−0.160＝0.340 mが半波長なので、λ＝2×0.340＝0.680 m、f＝340/0.680＝500 Hzとなります。補正量は差を取ると消えます。うなりは |504−500|＝4.00 Hzです。

練習3：音源の速度は負で、uₛ＝−34.0 m/s、聞こえる振動数は464 Hzです。観測者へ届く波の向きと音源の動きが逆なので、f′＝510×340/(340＋34.0)＝463.636… Hzとなります。音源の後方の波長が広がることと、音が低くなることが対応しています。

練習4：戻る音は556 Hzです。板が受け取る振動数は680×(340−34.0)/340＝612 Hzです。戻る音については板が観測者から遠ざかる音源になるので、612×340/(340＋34.0)＝556.363… Hzです。2段階とも振動数を下げる向きに働きます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

気柱の定常波とうなりは、波が重なると強め合いと弱め合いが生じることの具体例です。次に光の干渉を学ぶときも、波のタイミングのずれに注目する点は共通します。ただし、空気中の音のドップラー効果の式を、そのまま光に使うことはできません。ここでは媒質である空気に対する速度から式を作った、という適用条件を覚えておきます。

家庭で5分ほど使えるなら、まず紙に同じ長さの線を3本引き、弦・開管・閉管の端へ節または腹を書いてみましょう。その条件を満たす基本振動を描き、長さが波長のどれだけに当たるかを説明します。図1を隠してから取り組むと、自分で決められる部分がはっきりします。

もう一つは、音源と観測者を紙の上の点として置き、音源だけが近づく場合と観測者だけが近づく場合を描き分ける方法です。「波長が変わる」「波面に出会う速さが変わる」のどちらかをそれぞれに添え、最後に一般式を作ります。走る車や大きな音を使う実験をしなくても、符号の根拠を確かめられます。

個別指導では、代入を間違えた式だけを見るのでなく、1周期の意味や節と腹の区別まで戻って確かめます。反射板で止まる場合は、入射音を板が受け取るところと、反射音を人が受け取るところを別々に描けるかを確認します。

まとめ

解答に残したいのは、選んだ符号だけでなく、その符号を生んだ図です。気柱なら端に何が置かれるか、動く音源なら次の波がどこから出るか、反射板ならどの方向へ音が戻るかを書けば、式を使う理由が読み取れます。計算結果を見て「近づくのに低くなっている」と気づいたときも、図に戻れば修正する場所を探せます。

音の問題で分数の上下を決めるのは、波の間隔と、その波に出会う速さです。