【物理】波の性質を図解で総まとめ—正弦波の式・重ね合わせ・反射 屈折 回折・ホイヘンスの原理｜武蔵野個別指導塾

正弦波の移動、定常波の節と腹、反射・屈折を3枚の図で確かめ、波の式から変位を求める例題と干渉条件の練習で、位相を使った説明へ進めます。

よくあるのは、夏休みの課題の山を前に、波形のグラフなら山と谷を読めるのに、隣のページの y＝A sin 2π(t/T−x/λ) を見た途端に手が止まるという場面です。式には時刻も位置も入っているので、「時間を進めたら山はどちらへ動くのか」「グラフの右上がりは、ひもの点が上に動く意味なのか」が混ざりやすくなります。

波の式は、別々の位置で起こる振動を一つにまとめたものです。位置を決めれば一つの点の振動になり、時刻を決めればその瞬間の波形になります。この二つの読み方を分けると、反射した波との重なりや、境界で進行方向が変わる現象も、同じ考え方で追えるようになります。

まず波長・周期・速さの関係を確かめ、式から実際に変位を求めます。そのうえで、定常波、反射、屈折、回折、干渉をつなぎます。計算の結果だけでなく、図で示される動きと式の符号が一致するところまで確かめましょう。

この単元で身につけること

• 波長 λ、周期 T、振動数 f、波の速さ v を区別します。距離の繰り返しと時間の繰り返しを分ければ、v＝fλ の意味を説明できます。
• 正弦波の式を、位置と時刻を入れて読むことができます。位相が同じ点を追い、波の進行方向や二点の振動のずれを判断します。
• 重ね合わせの原理で変位を足し、定常波の節と腹を探します。ある瞬間に変位が零の点と、いつも動かない点を区別します。
• 反射角・屈折角を法線から測り、媒質が変わったときの速さ・波長・振動数の関係を整理します。境界面から測った角をそのまま使わないようにします。
• ホイヘンスの原理を使い、波面の進み方から反射・屈折・回折を考えます。干渉では、経路差に加えて波源の位相関係も確かめます。

物理基礎で学んだ波の山・谷、横波と縦波の区別に、単振動と三角関数の知識を重ねる単元です。式が長く見えても、位置を固定したときには一つの単振動に戻ることを、学習の出発点にします。

基本の考え方

波形が進むことと、媒質が動くこと

波は、ある場所で生じた振動が周囲へ伝わる現象です。ひもや空気など、振動を伝える物質を媒質といいます。ひもを伝わる小さな波では、ひもの各部分はつり合いの位置のまわりで振動し、山と一緒に端から端まで運ばれるわけではありません。波の速さと、媒質の一部分が動く速さは別の量です。

振動方向が波の進行方向に垂直な波を横波、平行な波を縦波といいます。横波の図では紙面の縦方向を変位にできますが、縦波の変位を縦軸に描いたグラフは、実際の振動方向をそのまま描いた絵ではありません。空気の縦波を扱うときにも、横軸は媒質の位置、縦軸は決めた正方向への変位、と読みます。

振幅 A は、つり合いの位置からの変位の最大値です。周期 T は一つの点が1回振動する時間、振動数 f は1 s 当たりの振動の回数で、単位は Hz です。したがって f＝1/T となります。波長 λ は、同じ瞬間に同じ振動状態が空間的に1回繰り返す距離です。隣り合う山と山の間隔で読めますが、山と谷の間隔は λ/2 です。

一つの山を追うと、1周期の間に1波長だけ進みます。速さは距離を時間で割ったものなので、v＝λ/T＝fλ が導かれます。λ を m、T を s で入れると v の単位は m/s です。これからの数値計算は有効数字3桁で示します。この単元の例題では、重力加速度などの物理定数は使いません。円周率 π は三角関数の角を表すために用います。

正弦波の式と位相を読む

一定の周期で滑らかに繰り返す、正弦関数で表される波を正弦波といいます。原点 x＝0 の振動が y＝A sin(2πt/T) で、波が x 軸の正方向へ速さ v で伝わるとします。位置 x の点には、原点で起こった振動が x/v だけ遅れて届きます。原点の式の t を t−x/v に置き換えると、次の式が得られます。

y＝A sin[2π(t/T−x/λ)]

ここでは vT＝λ を使いました。角の部分 2π(t/T−x/λ) を位相といい、振動が1周期のうちのどの段階にあるかを表します。角はラジアンで扱い、2π で1周です。出発時の振動状態が異なるなら、初期位相 φ₀ を加えて y＝A sin[2π(t/T−x/λ)＋φ₀] と書きます。初期位相は、時刻零で原点がどこにいて、どちらへ動くかに合わせて決めます。

正方向へ進む理由は、位相が同じ点を追うと確かめられます。時間が Δt だけ増えたとき、t/T−x/λ を一定に保つには、位置も Δx＝(λ/T)Δt だけ増やす必要があります。したがって同じ山は右へ進みます。一方、t/T＋x/λ が一定なら、時間の増加に対して位置が減るため、負方向へ進みます。単に「sin の中のマイナスは右」と暗記するより、同じ位相を保つ点がどちらへ動くかを考えるほうが、式の書き方が変わっても対応できます。

図1のように、ある瞬間の波形を右へ平行移動すると、少し後の波形になります。紺色は t＝0、赤い破線は t＝T/4 です。A＝0.0200 m、λ＝0.800 m としており、右への移動距離は λ/4＝0.200 m です。縦軸の変位は見やすく拡大してあり、横方向の距離と同じ縮尺ではありません。

図1で原点に注目すると、紺色の変位は零、赤い破線の変位は正の最大値です。原点の媒質は上へ動きましたが、波形全体は右へ移りました。これが二つの動きの違いです。右へ進む波の右上がりの部分では、少し後に左側の低い変位が到着するので、その場所の媒質は下へ動きます。微分を使わなくても、波形をわずかにずらして比べれば上下の動きを判断できます。

同じ時刻の二点について、距離 Δx による位相差の大きさは 2πΔx/λ です。同じ位置で時刻を Δt だけ進めると、位相は 2πΔt/T だけ進みます。位相差が 2π の整数倍なら同位相、π の奇数倍なら逆位相です。ただし、変位が同じだけで同位相とは限りません。変位が零でも、上へ通過する瞬間と下へ通過する瞬間では位相が π だけ違います。

重ね合わせから波面の変化へ

複数の波が重なったとき、その場所の変位は、それぞれの波が単独でつくる変位の和になります。これを重ね合わせの原理といいます。ここでは、この原理が成り立つ小さな振幅の波を扱います。上向きを正にして、正と負の変位を符号つきで足すことが大切です。波がすれ違った後は、それぞれが重なる前と同じように伝わります。

同じ振幅・同じ振動数の正弦波が同一直線上を逆向きに進むと、定常波ができます。例えば y₁＝A sin[2π(t/T−x/λ)] と y₂＝−A sin[2π(t/T＋x/λ)] を足すと、三角関数の加法定理から、y＝−2A sin(2πx/λ) cos(2πt/T) となります。位置によって決まる部分と、時間によって決まる部分が積に分かれました。波形が一方向へ移るのではなく、動かない点と大きく振動する点が決まった場所に現れます。

いつも変位が零の点を節、振幅が最大の点を腹といいます。この式では節が x＝nλ/2、腹が x＝(2n＋1)λ/4 にあります。n は位置に合わせて選ぶ整数です。隣り合う節の間隔も腹の間隔も λ/2、隣り合う節と腹の間隔は λ/4 です。各波の振幅が A なら、腹の振幅は 2A です。節の位置は二つの波の位相関係で変わりますが、これらの間隔は変わりません。

同じ位相にある点をつないだ線や面を波面といいます。均一で、方向によって波の速さが変わらない媒質では、波の進行方向は波面に垂直です。ホイヘンスの原理では、ある瞬間の波面上の各点から素元波という小さな波が広がり、その先端に共通に接する面を次の波面と考えます。同じ時間 Δt の間に素元波が広がる半径は vΔt なので、速さが変われば新しい波面の向きも変わり得ます。

境界で元の媒質へ戻る現象が反射、別の媒質へ入り速さの違いによって一般に進行方向が変わる現象が屈折です。反射では入射角と反射角が等しく、屈折では sin i/sin r＝v₁/v₂＝λ₁/λ₂ が成り立ちます。i と r はどちらも境界に垂直な法線から測ります。屈折の式の理由と振動数の扱いは、例題3で図と合わせて確かめます。

障害物の陰や隙間の後ろへ波が回り込む現象は回折です。隙間に届いた波面上の点からも素元波が広がると考えると、波が直進方向だけに限られないことを説明できます。隙間の幅や障害物の大きさに比べて波長が長いほど、回折は目立ちやすくなります。波長だけの大小で決めず、隙間などの大きさとの比を比べます。

二つ以上の波が重なって強め合い・弱め合いが起こる現象は干渉です。持続的な強弱の模様を考えるには、同じ振動数で、位相差が一定に保たれる波を用います。同位相の二つの波源から来た波なら、経路差 ΔL が mλ のとき強め合い、(m＋1/2)λ のとき弱め合います。m は0以上の整数です。移動距離 λ の差が位相 2π の差に当たるので、整数波長の差なら到着時も同位相、半波長を余分に含めば逆位相になるからです。

例題で解き方を確かめる

例題1　正弦波の式から速さと変位を求める

正方向に進む波の式を、y＝0.0200 sin[2π(t/0.400−x/0.800)] とします。x と y の単位は m、t の単位は s です。振幅、周期、波長、振動数、波の速さと、x＝0.100 m、t＝0.100 s における変位を求めます。

1. 一般形と比べ、A＝0.0200 m、T＝0.400 s、λ＝0.800 m と読みます。分母をすぐに振動数とみなさず、t/T、x/λ の形に対応させるためです。
2. f＝1/T＝1/0.400＝2.50 Hz、v＝λ/T＝0.800/0.400＝2.00 m/s と求めます。時間の繰り返しから振動数を、距離と時間の対応から速さを出しています。
3. 指定された位置と時刻を入れ、t/T−x/λ＝0.100/0.400−0.100/0.800＝1/8 とします。先にこの無次元の数を求めると、単位の異なる量を引いてしまう誤りを防げます。
4. 位相は 2π×1/8＝π/4 なので、y＝0.0200×sin(π/4)＝0.0141 m です。正の変位という結果は、この点がつり合いの位置より上にあることを示します。

答え：A＝0.0200 m、T＝0.400 s、λ＝0.800 m、f＝2.50 Hz、v＝2.00 m/s、y＝0.0141 m です。

変位を求めるときの sin は、ラジアンの角を受け取っています。電卓で確かめるときは角度の設定を確認します。また、正の変位だけでは媒質が上へ動くか下へ動くかは決まりません。少し後の位相を考えると、π/4 から π/2 へ近づいて sin の値が増えるので、この瞬間には上へ動いています。

例題2　定常波の節・腹と瞬間の変位

振幅 A＝0.0150 m、波長 λ＝0.800 m、周期 T＝0.400 s の二つの波を、基本の考え方で示した y₁、y₂ と同じ位相関係で重ねます。0≦x≦1.20 m にある節と腹の位置、腹の振幅、および x＝0.200 m、t＝0.0500 s の変位を求めます。

1. 合成波を y＝−0.0300 sin(2πx/0.800) cos(2πt/0.400) と書きます。二つの変位を足してから、場所ごとの振幅を調べるためです。
2. 節は sin(2πx/0.800)＝0 となる点なので、0.400 m ごとに並びます。区間内の節は 0、0.400、0.800、1.20 m です。時刻によらず零になる条件を使っています。
3. 腹は sin の絶対値が1になる点なので、節の中間の 0.200、0.600、1.00 m にあります。腹の振幅は 2A＝0.0300 m で、山から谷までの変位の幅とは区別します。
4. x＝0.200 m では sin の値が1、t＝0.0500 s では cos の角が π/4 です。したがって y＝−0.0300×cos(π/4)＝−0.0212 m となります。振幅は正の大きさですが、瞬間の変位は負にもなります。

答え：節は x＝0、0.400、0.800、1.20 m、腹は x＝0.200、0.600、1.00 m、腹の振幅は 0.0300 m、指定点の変位は −0.0212 m です。

図2のように、節の位置は変わらず、隣り合う腹は逆向きに動きます。紺色は t＝0、赤い破線は t＝T/2 の波形で、緑の点が節です。この図も縦軸を拡大しています。

図2の二つの波形の中間で、t＝T/4 には cos(π/2)＝0 となり、ひも全体の変位が零になります。しかし、すべての点が節になったわけではありません。次の瞬間に動き始める点は節ではなく、一周期を通して零のままの緑の点だけが節です。

例題3　屈折しても変わらない量を選ぶ

波の速さが v₁＝0.800 m/s の領域から、v₂＝0.600 m/s の領域へ波が入ります。入射側の波長は λ₁＝0.400 m、入射角は i＝30.0° です。反射角、屈折角 r、屈折側の振動数と波長を求めます。境界は静止しており、波は規則的に続いているとします。

1. 反射角は入射角に等しいので 30.0° です。反射では元の媒質を進むため、反射波の速さも入射波と同じになります。
2. 境界を1 s 当たりに通過する振動の回数は両側で等しいため、f₂＝f₁＝v₁/λ₁＝0.800/0.400＝2.00 Hz とします。境界で振動を新しく増やしたり減らしたりするわけではないことが根拠です。
3. λ₂＝v₂/f₂＝0.600/2.00＝0.300 m と求めます。振動数が同じなので、速さが小さい側では、一周期の間に進む距離も短くなります。
4. sin r＝(v₂/v₁)sin i＝(0.600/0.800)×sin 30.0°＝0.375 より、r＝22.0° です。速さが小さい領域へ入るので、法線に近づく向きに曲がることも確かめます。

答え：反射角は 30.0°、屈折角は 22.0°、屈折側の振動数は 2.00 Hz、波長は 0.300 m です。

屈折の法則は、ホイヘンスの原理からも導けます。斜めの波面の一端 A が先に境界に達し、もう一端 B が Δt 後に境界上の点 C に達するとします。B から C までの距離は v₁Δt、その間に A から第2の媒質へ広がる素元波の半径は v₂Δt です。線分 AC を共通の斜辺に持つ二つの直角三角形を考えると、sin i＝v₁Δt/AC、sin r＝v₂Δt/AC です。割り算すると、sin i/sin r＝v₁/v₂ が得られます。

反射についても、同じ媒質を進む入射波と反射側の素元波が同じ時間に進む距離は等しくなります。対応する直角三角形から入射角と反射角が等しいと説明できます。二つの法則を角度だけの約束として覚えるのではなく、同じ時間に波面の各部分がどれだけ進むかへ戻すと整理できます。

例題4　経路差から干渉を判断する

同位相で振動する二つの波源 S₁、S₂ があり、波長は 0.240 m です。点 P までの距離は S₁ から 1.20 m、S₂ から 1.56 m です。点 P での強め合い・弱め合いを判断します。また、P に届く二つの波の振幅がともに 0.0100 m なら、合成振幅はいくらになるでしょうか。

1. 経路差を ΔL＝1.56−1.20＝0.360 m とします。二つの距離そのものではなく、到着する位相の差を決める距離の差を使うためです。
2. ΔL/λ＝0.360/0.240＝1.50 と計算します。1波長分は位相1周分で同じ状態に戻り、残り半波長が逆位相をつくります。
3. 二つの波は逆位相で届くので弱め合います。振幅も等しいため、一方の正の変位と他方の負の変位が常に打ち消し合い、合成振幅は零です。

答え：点 P では弱め合い、等しい振幅の二つの波の合成振幅は 0 m です。

弱め合うことと完全に打ち消すことは同じ条件ではありません。逆位相でも振幅が異なれば、その差に当たる振幅が残ります。また、最初から逆位相の二つの波源なら、今回の経路差による半周期のずれが加わって同位相になり、強め合います。距離を計算する前に、波源がどのように振動しているかを読み取る必要があります。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　波形の傾きを媒質の動く向きだと思う

誤った書き方は「右上がりの部分だから媒質は上へ動く」です。どこが違うかというと、位置を横軸にしたグラフの傾きは、右隣の点との変位の違いであって、その点の時間変化ではありません。進行方向が示されていない波形だけでは、その瞬間の上下の動きは決まりません。

正しい書き方は「右向きに進む波なので、波形を少し右へずらし、同じ位置の変位を比べる」です。右上がりなら左側にあった低い部分が来るため、媒質は下へ動きます。左向きに進むなら反対です。位置を固定する印を縦線で描いてから波形を動かすと、山を追いかけてしまう誤りを防げます。

誤り2　反射での上下反転をすべての端に当てはめる

誤った書き方は「反射すると波は必ず上下反転する」です。どこが違うかというと、端の動きが拘束されているかどうかを区別していません。固定端は変位が常に零に保たれる端で、入射波の変位を反射波が打ち消す必要があります。そのため固定端反射では変位の向きが反転し、位相が π ずれます。

正しい書き方は「固定端では上下反転し、理想的な自由端では上下反転しない」です。自由端は横方向に動ける端で、理想化したひもでは端の傾きが零となるように入射波と反射波が重なります。同じ振幅の連続波が重なると、固定端は定常波の節、自由端は腹になります。自由端を「動かない端」と読み違えないことが大切です。

誤り3　境界から測った角を屈折の式に入れる

誤った書き方は「境界に対して30.0°だから、入射角は30.0°」です。どこが違うかというと、入射角の基準は境界面ではなく法線です。境界から30.0°なら、法線からは60.0°になります。正しい書き方は「境界に垂直な法線を描き、波の進行方向と法線の間の角を読む」です。

図3のように、例題3では法線から30.0°で入射し、30.0°で反射し、22.0°で屈折します。細い灰色の水平線が境界、灰色の縦の破線が法線です。紺・赤・緑の短い横切る線は、それぞれの進行方向に垂直な波面の一部を示します。

図3では、屈折波は入射波より法線に近くなっています。sin r/sin i＝v₂/v₁ を使う前に、この曲がり方を予想すると、速さの比を逆にした計算に気づけます。垂直入射では両方の角が零で方向は変わりませんが、速さと波長は変わります。この場合は零同士の割り算をせず、v₁ sin r＝v₂ sin i の形で考えます。

練習問題

以下では、波が重ね合わせの原理に従うとします。計算問題は数値に単位を添え、有効数字3桁で答えましょう。零や節の番号など、正確に決まる値に桁数を付け足す必要はありません。

練習1

波の式が y＝0.0120 sin[2π(t/0.300＋x/0.900)] で表されます。x、y は m、t は s です。進行方向、振動数、波の速さ、および x＝0.150 m、t＝0 の変位を求めてください。

練習2

同じ振幅・同じ振動数の二つの波が逆向きに進んで定常波をつくっています。隣り合う節の間隔は 0.250 m、各波の振幅は 0.00600 m、振動数は 12.0 Hz です。もとの進行波の波長と速さ、腹の振幅、隣り合う節と腹の間隔を求めてください。

練習3

静止した境界を通って、速さ 1.20 m/s の領域から 0.900 m/s の領域へ波が進みます。入射角は 40.0°、入射波の波長は 0.600 m です。屈折角と屈折側の波長を求めてください。また、同じ波長の波が幅の異なる隙間を通るとき、回折が目立ちやすいのは狭い隙間と広い隙間のどちらですか。

練習4

同位相の二つの波源が波長 0.160 m の波を出しています。ある点までの距離は、それぞれ 0.720 m、1.04 m です。この点では強め合いますか、弱め合いますか。また、距離を変えずに波源同士を逆位相にした場合はどうなりますか。

答えと解説

練習1：進行方向は x 軸の負方向、f＝3.33 Hz、v＝3.00 m/s、y＝0.0104 m です。同じ位相を保つには、t が増えた分だけ x が減る必要があります。速さは 0.900/0.300 で求め、変位は 0.0120 sin(π/3) を計算します。途中で振動数を丸めてから速さを求めず、元の数値を使います。

練習2：λ＝0.500 m、v＝6.00 m/s、腹の振幅は 0.0120 m、節と腹の間隔は 0.125 m です。節と節の間が λ/2 なので、まず2倍してもとの波長を求めます。波の速さは 12.0×0.500、腹の振幅は 2×0.00600 です。定常波の山がその速さで進む、という意味ではありません。

練習3：r＝28.8°、λ₂＝0.450 m で、回折が目立ちやすいのは狭い隙間です。sin r＝(0.900/1.20)sin 40.0° を計算し、波長も速さと同じ比で 0.750 倍にします。回折では波長と隙間の幅との比が大きいほど、広がりが目立ちます。狭い場合にだけ回折が存在するわけではありません。

練習4：同位相の波源なら強め合い、逆位相に変えると弱め合います。経路差は 0.320 m で、波長の2倍です。経路差による位相差は 4π なので、波源での位相関係が到着時にも保たれます。弱め合う場合に完全に零になるかは、その点に届く二つの波の振幅が等しいかどうかによります。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

定常波の節と腹は、弦や気柱が特定の振動数で大きく振動する共鳴につながります。波源や観測者が動く場合は、山が届く時間間隔を考えることでドップラー効果へ進めます。また、波面・位相差・経路差は、光の干渉や回折でもそのまま使います。波の種類が変わっても、何が繰り返し、何がずれるのかを見分ける手順は共通です。

家庭では5分でできる確かめ方が二つあります。一つ目は、紙に正弦波を描き、別の紙へ少し右にずらして写す方法です。横軸上の一つの位置に印を付け、その位置の変位が増えるか減るかを比べます。グラフを動かす操作と、同じ点を見る操作を分ける練習になります。

二つ目は、節を等間隔に四つ描き、その間に腹を書き込む方法です。節の間隔を一つだけ与え、自分で波長と節・腹の間隔を説明します。個別指導でこの説明が止まる場合は、式の計算に進む前に、横軸が位置か時刻か、振幅と波長をどこで読むかまで戻って確かめます。

まとめ

課題の波形を見て止まったときは、すぐに公式を探す前に、「今は同じ時刻の別の場所を比べているのか、同じ場所の別の時刻を比べているのか」を書き添えてみましょう。その区別ができれば、進む山と振動する媒質、瞬間の零点と定常波の節、経路差と位相差を、一つずつ分けて説明できます。

波の問題で追いかけるべきものは、紙の上の山の形だけでなく、場所と時刻を結ぶ振動の位相です。