【物理】光の反射 屈折とレンズを図解で総まとめ—屈折率・全反射・レンズの公式・鏡｜武蔵野個別指導塾

法線から測る角度と光路図を手がかりに、屈折率・臨界角・凸レンズと凹レンズの像を学びます。4つの例題と鏡を含む練習問題で、計算結果と像の見え方を結びつけて確かめられます。

よくあるのは、定期テスト前の自習室の白板の前で、凸レンズを通る光を2本描いたのに、交点が答えの位置と合わず手が止まるという場面です。レンズの公式に数値を入れると答えは出ます。それでも、負の値を消してよいのか、光をどちらへ延ばすのかが決まらないと、計算と図は別々の作業になってしまいます。

光の問題では、まず光が実際に進む道筋と、目が光を逆向きにたどって判断する位置を区別します。次に、境界面で測る角度や、レンズから測る距離に基準を置きます。この順序で考えると、水中の物が浅く見えること、鏡の奥に顔が見えること、レンズで紙に像を映せることを、つながった現象として説明できます。

必要なのは、多くの光線を描くことではありません。進む向きがわかる少数の光線と、何を表すかが明確な文字です。反射・屈折の決まりから出発して、全反射、レンズの像、鏡の像まで、図と式を照らし合わせて確かめましょう。

この単元で身につけること

• 光の進む向きと角度の基準を決めます。入射角・反射角・屈折角は、境界面そのものではなく、それに垂直な法線から測ります。
• 屈折率を速さと結びつけます。屈折率が大きい媒質では光の速さが小さくなり、境界を越えても振動数は変わらず、波長が変わります。
• 全反射の条件を2段階で判定します。光がどちらの媒質から来るかを調べてから、入射角が臨界角を超えているかを比べます。
• 凸レンズ・凹レンズの像を作図と計算で求めます。実像と虚像、倒立と正立、大きさの違いを、像の距離と倍率に結びつけます。
• レンズと鏡の違いを光路で説明します。レンズは透過した光、鏡は反射した光をたどり、それぞれの符号の約束に従って像を決めます。

物理基礎で学んだ「波の速さ＝振動数×波長」と、中学校で学んだ反射や凸レンズの作図が出発点です。高校の物理では、そこに屈折率と距離の関係を加え、見える位置を数値で説明できるようにします。三角比は角度を求める道具、相似は像の大きさを求める道具として使います。

基本の考え方

法線から角度を測り、屈折率から曲がり方を決める

光の進む道筋を線で表したものを光線といいます。均一な媒質の中では光は直進し、異なる媒質との境界で一部が反射したり、透過する光の向きが変わったりします。この向きの変化が屈折です。以下では、透明な媒質どうしの境界と、光の道筋を線で扱える場合を考えます。

入射点で境界面に垂直な直線を引き、これを法線と呼びます。入射する光と法線のなす角を入射角 i、反射する光と法線のなす角を反射角、屈折する光と法線のなす角を屈折角 r とします。反射の法則は「入射角＝反射角」です。また、入射光・反射光・法線は同じ平面内にあり、屈折光も入射光と法線を含む平面内にあります。

図1のように、まず入射点に法線を描くと、3つの角度を同じ基準から読めます。図は空気からガラスへ入る場合で、上側に反射光、下側に屈折光を示しています。線の色は光路を区別するためのもので、実際の光の色や光の強さを表していません。

屈折率 n は、真空中の光の速さ c と、その媒質中の光の速さ v の比として n＝c/v と定義します。速さどうしの比なので単位はありません。数値計算では教科書で用いる c＝3.00×10⁸ m/s とし、空気の屈折率を1.00として扱います。同じ色の光を比べると、屈折率の大きい媒質ほど光の速さは小さくなります。

媒質1から媒質2へ光が進むとき、屈折の法則は次の形です。

n₁ sin i＝n₂ sin r

この式の筋道は、波面の進み方から考えられます。波面とは同じ振動状態にある点をつないだ面で、光線は波面に垂直です。斜めに境界へ届く波面では、片端が先に媒質2へ入り、もう片端は少し遅れて境界に届きます。その間に両側で進む距離は、それぞれの速さ v₁、v₂ と同じ時間の積です。波面と境界でできる直角三角形を比べると、sin i/sin r＝v₁/v₂ となります。v＝c/n を入れると v₁/v₂＝n₂/n₁ となり、上の式が得られます。同じ媒質へ戻る反射では速さが等しく、同じ作図から入射角と反射角が等しいことも確かめられます。

n₂ が n₁ より大きければ sin r は sin i より小さく、屈折光は法線に近づきます。逆に、屈折率の小さい媒質へ進むと法線から離れます。ただし、法線に沿って入ると i＝0° なので r＝0° です。速さは変わっても、向きは変わりません。「屈折率が変わると必ず光線が折れ曲がる」とは限らないのです。

境界を通過するとき、振動数 ν は変わりません。境界へ到着する振動と、そこから送り出される振動の周期が一致するためです。v＝νλ で振動数が一定なので、媒質中の波長 λ は速さに比例し、真空中の波長 λ₀ に対して λ＝λ₀/n となります。屈折率をかける量と割る量を暗記するより、遅くなるなら同じ1周期で進む距離も短くなる、と考えると判断できます。

全反射は進む向きと入射角の両方で決まる

光が屈折率の大きい媒質1から小さい媒質2へ進むときは、屈折角 r が入射角 i より大きくなります。入射角を大きくしていくと、やがて屈折角が90°となる限界に達します。このときの入射角を臨界角 i₍c₎ といいます。屈折の法則に sin 90°＝1 を入れると、次の式になります。

sin i₍c₎＝n₂/n₁　ただし n₁＞n₂

入射角が臨界角を超えると、屈折の式は sin r＞1 を要求し、通常の屈折光の向きを決められなくなります。この場合に光がすべて境界で反射する現象が全反射です。吸収などを無視した透明な媒質を考えています。「屈折光が境界に沿う限界」と「限界を超えて全反射する場合」を区別し、問題では原則として i＞i₍c₎ を全反射の条件にします。

空気からガラスへ入る場合は、入射角を大きくしても全反射しません。屈折率の大きい側から来るという条件が欠けているためです。光ファイバーでは、中心部の屈折率を周囲より大きくし、側面で全反射する条件を満たす光を内部へ導きます。曲がる光路も、境界での反射を繰り返した結果として考えられます。

屈折の法則は光路を逆にたどっても成り立ちます。これは光路の可逆性と呼ばれる性質です。ただし、ある図を逆向きに読むときには、元の屈折角が新しい入射角になります。媒質名だけを入れ替え、角度をそのままにした計算は、元の光路を逆にたどる計算ではありません。

レンズと鏡の像を、光線の交点から決める

凸レンズは中央が厚く、凹レンズは中央が薄いレンズです。ここではガラスなどのレンズを空気中に置き、厚さを無視できる薄いレンズとして扱います。レンズの中心を通り、両面の中心付近に垂直な直線が光軸です。光軸に平行な光は、凸レンズを通ると反対側の焦点へ集まり、凹レンズを通ると入射側の焦点から出たように広がります。レンズの中心から焦点までの距離に、後述の符号をつけた量が焦点距離 f です。

作図では、光軸に平行な光と、レンズの中心を通る光を使うと交点を求めやすくなります。薄いレンズでは中心を通る光は直進するとみなします。凸レンズの入射側の焦点を通った光は、透過後に光軸と平行になります。凹レンズでは反対側の焦点へ向かう光が、透過後に光軸と平行になります。これらは、平行な光の進み方と光路の可逆性を組み合わせた決まりです。

実際の光が集まる位置にできる像が実像で、そこに紙などのスクリーンを置けば像を映せます。一方、広がる光の進行方向を逆に延長した線が交わる位置にあるように見える像が虚像です。虚像も目で見ることはできますが、その位置へスクリーンを置いても光は集まりません。実像・虚像は明るさの違いではなく、光線そのものが交わるかどうかの違いです。

物体はレンズへ光が入る側にあるものとし、物体までの距離 a を正とします。像の距離 b は反対側にできる実像で正、物体と同じ側にできる虚像で負とします。焦点距離 f は凸レンズで正、凹レンズで負です。この約束によるレンズの公式は次のとおりです。

1/a＋1/b＝1/f

公式の導出も作図の相似で追えます。凸レンズで焦点の外側に高さ h の物体を置き、倒立実像の高さの大きさを H とします。中心を通る光線が作る2つの三角形から、H/h＝b/a です。物体の先端から光軸と平行に進み、レンズ通過後に焦点を通る光線に注目すると、H/h＝(b−f)/f です。両者を等しくして b/a＝b/f−1 とし、b で割って整理するとレンズの公式になります。虚像や凹レンズでも、延長線を使う相似に符号の約束を組み合わせると、同じ式で扱えます。

像の大きさが物体の何倍かを表す倍率 m は、ここでは正の値として m＝|b|/a とします。縦棒 | | は絶対値です。像の向きも含めた符号つき倍率を M と書くなら、中心を通る光線から M＝−b/a となります。M が正なら正立、負なら倒立です。教材によって倍率という語が指す量に違いがあるため、答えでは大きさの倍率と向きを別々に示すと確実です。

凸レンズの物体位置を変えたときの対応は、次の表で整理できます。表の f は正の焦点距離で、有限の距離にある実物体を考えています。

凹レンズでは、実物体をどこに置いても、像はレンズと入射側の焦点の間にできる縮小・正立の虚像です。この結論は、f を負にしたレンズの公式から b＜0、|b|＜a が得られることとも一致します。レンズの種類だけで実像・虚像を判断せず、凸レンズでは物体と焦点の位置関係も確認します。

鏡の場合は、反射後の光をたどります。平面鏡では、物体と鏡に関して対称な位置に、等大・正立の虚像が見えます。物体から出る2本の光を反射の法則に従って描き、反射光を鏡の奥へ延長すると、その交点までの距離は物体から鏡までの距離と等しくなります。鏡の奥から実際に光が来るわけではありません。

球面の一部を鏡にした球面鏡には、内側で反射する凹面鏡と、外側で反射する凸面鏡があります。光軸に近く、光軸となす角が小さい光に限ると、焦点距離の大きさは球の半径 R の半分です。球面上の法線は球の中心を通り、そこで入射角と反射角が等しくなります。光軸に平行な光について、その小さな角度の関係を調べると、反射光と光軸の交点が鏡の頂点と球の中心のほぼ中間になるためです。

球面鏡でも近軸の範囲で 1/a＋1/b＝1/f が成り立ち、主な光線が作る三角形の相似から導けます。ただし、鏡では反射して進む側、つまり鏡の手前の実像を b＞0、鏡の奥の虚像を b＜0 とします。凹面鏡は f＞0、凸面鏡は f＜0 で、倍率の大きさは |b|/a です。凹面鏡は物体が焦点の外側なら倒立実像、内側なら拡大した正立虚像を作り、凸面鏡は縮小した正立虚像を作ります。式が同じでも、像ができる側をレンズと取り違えないことが大切です。

例題で解き方を確かめる

以下の数値の答えは有効数字3桁で示します。三角比から角度を求めるときは、電卓を度の設定で使います。途中の値を早く丸めると結果がずれるため、計算の最後で丸めます。

例題1　空気からガラスへ入る光

屈折率1.00の空気から、屈折率1.50のガラスへ、入射角45.0°で光が入ります。屈折角、ガラス中の速さ、ガラス中の波長を求めます。光の真空中の波長は600 nmとし、この値は有効数字3桁の値として扱います。1 nm＝10⁻⁹ m です。

1. 入射側を n₁＝1.00、透過側を n₂＝1.50 と決めます。媒質と角度の組を固定すると、屈折率の比を逆にする間違いを防げます。
2. 屈折の法則から sin r＝(1.00/1.50) sin 45.0°＝0.471404… と求めます。角度そのものを屈折率の比で割るのではなく、正弦の値に対して計算します。
3. この正弦に対応する角度を求めると r＝28.1255…° です。屈折率が大きい側へ進むので、45.0°より小さいことも確かめます。図1の屈折光が法線へ近づく向きと一致します。
4. 定義から v＝c/n＝3.00×10⁸/1.50＝2.00×10⁸ m/s です。また λ＝λ₀/n より600/1.50＝400 nmです。振動数は変わらないため、速さと波長が同じ割合で小さくなります。

答え：屈折角28.1°、速さ2.00×10⁸ m/s、波長4.00×10² nmです。

例題2　ガラスから空気へ出る光と臨界角

屈折率1.50のガラスから、屈折率1.00の空気へ進む光を考えます。臨界角を求め、入射角が50.0°の場合に全反射するか判断します。例題1とは光の進む側が逆になっています。

1. 入射側の屈折率が1.50、出ていく側が1.00なので、全反射が起こり得る向きです。この確認を先に行うのは、臨界角の式が使える条件を満たすか確かめるためです。
2. sin i₍c₎＝1.00/1.50＝0.666666… とします。屈折角が90°となる限界を計算しているので、比は小さい屈折率を大きい屈折率で割ったものになります。
3. i₍c₎＝41.8103…° となります。50.0°はこれを超えるため全反射します。念のため屈折の式に戻すと、sin r＝1.50 sin 50.0°＝1.14906…となり、通常の屈折角を求められないことも確認できます。

答え：臨界角は41.8°で、入射角50.0°では全反射します。

例題3　凸レンズが作る倒立実像

焦点距離20.0 cmの凸レンズの前方30.0 cmに、高さ10.0 cmの物体を置きます。像の位置、倍率、像の高さと向きを求めます。光は左から右へ進むものとします。

図2のように、光軸と平行な光は透過後に右の焦点 F₂ を通ります。中心を通る光はそのまま直進します。図の横方向・縦方向は同じ縮尺で、物体と像の高さの比も計算結果に対応しています。

1. a＝30.0 cm、f＝＋20.0 cm と置きます。物体が焦点の外側にあるので、作図では透過光が反対側で交わると予想できます。図2の焦点 F₁ はレンズの左側の焦点です。
2. 1/b＝1/f−1/a＝1/20.0−1/30.0＝1/60.0 とします。どの距離にも cm を使っているため、逆数の単位は1/cmでそろっています。
3. 逆数を戻して b＝＋60.0 cm です。正なので反対側の実像となり、m＝|b|/a＝60.0/30.0＝2.00 と計算できます。像までの距離が物体までの距離の2倍なので、相似から高さも2倍です。
4. 像の高さの大きさは2.00×10.0＝20.0 cmです。符号つき倍率は M＝−2.00 なので倒立です。像ができる位置へスクリーンを置けば、上下が逆になった像が映ります。

答え：レンズの反対側60.0 cmに、倍率2.00、高さ20.0 cmの倒立実像ができます。

例題4　凹レンズの負の焦点距離

焦点距離が−20.0 cmの凹レンズの前方40.0 cmに物体を置きます。像の位置、倍率、向きを求めます。光は左から右へ進み、図3では屈折後の光線の延長を破線で示します。

1. a＝40.0 cm、f＝−20.0 cm と置きます。凹レンズでは平行光が広がるので、焦点距離に負の符号を入れます。物体が左側にあることを理由に a まで負にする必要はありません。
2. 1/b＝1/(−20.0)−1/40.0＝−0.0750 cm⁻¹ と求めます。式を立てた段階から符号を保ち、最後だけ負にするような処理はしません。
3. b＝−13.3333… cm、m＝13.3333…/40.0＝0.333333… となります。b が負なので物体側の虚像です。M＝−b/a は正なので、像は正立です。
4. 像の位置はレンズから物体側へ約13.3 cmで、20.0 cm離れた焦点よりレンズに近い位置です。縮小した虚像という凹レンズの作図の特徴と、計算結果が合っていることを確かめます。

答え：レンズの物体側13.3 cmに、倍率0.333の正立虚像ができます。

つまずきやすいところと直し方

境界面との角を、そのまま入射角にする

誤った書き方は「境界面となす角が30.0°だから、i＝30.0°」です。どこが違うかというと、法線と境界面が直角であることを使っていません。入射角は法線から測る角度なので、正しい書き方は「i＝90.0°−30.0°＝60.0°」です。

図の中に角度が1つだけ書かれていると、その角度を反射・屈折の式にそのまま入れたくなります。まず法線を自分で描き、角を示す弧が法線と光線の間にあるかを確かめます。反射角も同じ基準で読むので、鏡面となす角が等しいことと、反射の法則を述べる角度とを区別して書けます。

臨界角を求めたら、進む向きを見ずに全反射とする

誤った書き方は「ガラスと空気の臨界角は41.8°だから、空気から50.0°で入る光も全反射する」です。どこが違うかというと、全反射の条件のうち、入射側の屈折率が大きいという条件を落としています。正しい書き方は「ガラスから空気へ進む場合に、入射角が臨界角を超えると全反射する」です。

比 n₂/n₁ を書く前に、境界へ向かう矢印を入れると、どちらが入射側かが定まります。また、i＝i₍c₎ は屈折角が90°となる限界です。丸めた臨界角と、問題の角度が非常に近い場合には、途中の値を残して大小を比べます。小数第1位の表示だけを使って等しいと決めるのは避けます。

虚像を表す負の符号を消し、実像として描く

誤った書き方は「b＝−13.3 cmだが、距離なので13.3 cmに直し、レンズの反対側に像を描く」です。どこが違うかというと、b の負号が表している像の側を消しています。正しい書き方は「b＜0なので物体側の虚像、実際の隔たりは13.3 cm」です。距離の大きさを答えることと、符号つきの変数を直すことは別です。

図3のように、凹レンズを出た実際の光は右側で広がり、交わりません。右側から届く光を目で受けると、光はまっすぐ来たように感じられるため、左側へ延長した破線の交点に像が見えます。破線は実際の光が逆走する道筋ではありません。

図3では物体の先端から出る2本の光線に注目します。平行に入った光の延長は左の焦点 F₁ を通り、中心を通った光との交点が、例題4の虚像の先端です。凸レンズで物体を焦点の内側へ置いた場合も、透過光の延長を使って虚像を描きます。「凸なら実像、凹なら虚像」と覚えるだけでは、凸レンズの拡大された虚像を説明できません。

練習問題

答えを見る前に、入射側の媒質、法線、物体と焦点の位置のうち、その問題で必要なものを紙に書きます。角度や距離の答えには単位をつけ、像の問題では実像・虚像と向きも記します。特に鏡では、レンズと光が進む側が違うことに注意しましょう。

練習1　屈折と全反射を分ける

屈折率1.50のガラスから、屈折率1.00の空気へ、入射角30.0°で光が進みます。屈折角を求めてください。また、入射角を45.0°に変えると全反射するか、理由とともに答えてください。

練習2　焦点の内側にある物体

焦点距離12.0 cmの凸レンズから8.00 cmの位置に実物体を置きます。像の位置、倍率、向きを求めてください。スクリーンに直接映せる像かどうかも答えてください。

練習3　平面鏡の奥に見える像

平面鏡の前方1.20 mに点状の物体を置きます。像はどこにできますか。また、物体と像の間の距離はいくらですか。像の種類と大きさの倍率も答えてください。

練習4　凹面鏡で作る像

曲率半径40.0 cmの凹面鏡の前方60.0 cmに物体を置きます。光軸に近い光だけを考えて、焦点距離、像の位置、倍率、像の向きを求めてください。像が鏡の手前と奥のどちらにできるかも明記してください。

答えと解説

練習1：屈折角は48.6°です。sin r＝(1.50/1.00) sin 30.0°＝0.750 より求めます。入射角30.0°は臨界角41.8°より小さいため、屈折光があります。入射角45.0°では、屈折率の大きい側から小さい側へ進み、かつ臨界角を超えるので全反射します。

練習2：レンズの物体側24.0 cmに、倍率3.00の正立虚像ができます。1/b＝1/12.0−1/8.00＝−1/24.0 より b＝−24.0 cm です。m＝24.0/8.00＝3.00 となります。凸レンズでも物体が焦点の内側なので虚像となり、その位置のスクリーンには直接映せません。

練習3：鏡の奥1.20 mに等大・正立の虚像ができます。物体と像は鏡に関して対称なので、両者の距離は1.20＋1.20＝2.40 m、倍率は1.00です。鏡の奥に光が集まるのではなく、手前で反射した光を逆向きに延長した交点が像の位置になります。

練習4：焦点距離は＋20.0 cm、像は鏡の手前30.0 cmにできる、倍率0.500の倒立実像です。f＝R/2＝40.0/2＝20.0 cm とし、1/b＝1/20.0−1/60.0＝1/30.0 より b＝＋30.0 cm と求めます。m＝30.0/60.0＝0.500 です。鏡の b＞0 は、反射した光が進む手前側を意味します。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

次に学ぶ干渉や回折では、光の道筋に加えて、波の山と山が重なるかどうかを調べます。同じ長さを進んでも、屈折率が異なれば光の速さと波長が変わるため、振動の進み具合に差が生まれます。ここで確認した「振動数は変わらず、波長が変わる」という区別が、薄い膜などで見える明暗や色の理解につながります。

家では、それぞれ5分ほどで次の2つを確かめられます。1つ目は、倒れないように置いた平面鏡へ、文字を書いた紙を近づけたり遠ざけたりすることです。像までの見かけの奥行きも変わることを観察し、紙と像が鏡に関して対称な図を描きます。2つ目は、透明なコップの水にスプーンを入れ、横から見ることです。水面付近でずれて見える部分に注目し、水中から目へ届く光を境界で曲げた図にします。コップの曲面も見え方に影響するため、観察したずれからそのまま屈折率を求めようとはせず、屈折が見える位置を変えることを確認します。

個別指導で作図が合わない場合は、法線から測る角度、三角比、相似、距離の符号のどこで判断が変わったかまで戻って確かめます。保護者がお子さまの説明を聞くときも、「その線は実際の光、それとも延長線ですか」と尋ねると、式の暗記だけでは見えにくい理解の位置を確かめられます。

まとめ

光の問題で答えが出たら、値を図へ戻してみます。屈折角は法線へ近づく向きと合うか、像の距離は光線の交点の側と合うか、倍率は図の高さの比と合うかを調べます。式と作図が食い違う場所には、角度の基準や符号の読み違いが残っています。

一方がもう一方の確かめになると、公式の選択も理由をもって行えます。負の像の距離を見て止まる代わりに、透過光を物体側へ延長する次の一手が決まります。光線の交点と計算した像の位置が重なることが、光学の答えを自分で確かめられた証拠です。