【物理】剛体のつり合いを図解で総まとめ—力のモーメント・重心・つり合いの条件｜武蔵野個別指導塾

棒を支える力や箱が倒れ始める力を、作用線と重心の図から求めます。偶力、重心、つり合いの2条件を4つの例題でたどり、滑りと転倒を区別する考え方まで確かめられます。

よくあるのは、部活帰りの自転車置き場で、荷物を載せた自転車が傾くのを手で支えながら、「上向きの力と重力がつり合えば、倒れないはずなのに」と考える場面です。力の大きさだけを見るとつり合いそうでも、どこを押すかで支えやすさが変わります。物体に大きさがあると、移動しようとする働きに加え、回転しようとする働きも調べる必要があるからです。

これまで物体を1つの点として扱ってきた問題では、力の作用する位置を省略できました。棒や箱のつり合いでは、その省略ができません。同じ大きさ、同じ向きの力でも、作用する場所によって回転させる働きが異なります。この違いを数で表すのが力のモーメントです。

自転車の支持は立体的ですが、まずは紙面内で力が働く棒や箱に絞ると、考え方を整理できます。力の矢印を描き、作用線までの距離を測り、重心の位置を確かめる。この順を身につければ、支えにかかる力も、倒れ始める限界も同じ原理から求められます。

この単元で身につけること

• 剛体と質点の違いを説明します。大きさを無視する質点に対し、剛体では形と大きさを保ったまま、力の作用する位置まで考えます。
• 力のモーメントを求めます。基準点から作用点までの距離をそのまま使わず、力の作用線までの垂直距離を見つけます。
• 偶力の働きを判断します。合力が0でも回転させる働きが残る組合せを、力の打ち消しだけで片づけないようにします。
• 重心の位置を計算します。重力を1点にまとめて表せる位置を、質量と位置の関係から求めます。
• つり合いの2条件を使い分けます。力の和と力のモーメントの和を別々に0と置き、接触が保たれる条件も確かめます。
• 倒れ始める条件を説明します。支持する範囲の端と重心の関係を調べ、横から押す問題では滑り出す可能性も検討します。

物理基礎で学んだ力のつり合いと、数学で学んだ三角比が土台になります。新しい公式を増やす前に、物体が何から力を受けるかを矢印で表せることが大切です。以下では重力加速度に教科書で用いる g＝9.8 m/s² を使い、数値の答えは有効数字3桁で示します。

基本の考え方

剛体と力のモーメント

剛体とは、力を受けても変形しないとみなす物体です。実物の棒にもわずかな変形はありますが、その変形を問題にしない場合には剛体として扱えます。一方、質点とは、大きさや形を考えず、質量が1点に集中しているとみなす物体です。どちらも物体そのものの種類ではなく、調べたい現象に合わせた扱い方です。

ドアを開くとき、ちょうつがいの近くを押すよりも、離れた取っ手を押すほうが回しやすくなります。また、取っ手を押しても、ちょうつがいに向かう方向に押すだけでは回しにくくなります。回転させる働きは、力の大きさと、力がどの直線に沿って働くかの両方で決まります。この直線を作用線といいます。

力のモーメントは、ある点のまわりに物体を回転させようとする力の働きを表す量です。基準点Oから作用線に下ろした垂線の長さを d、力の大きさを F とすると、モーメントの大きさ M は次の式で表されます。

M＝Fd

距離 d を力の腕といいます。単位は N·m です。単位の組合せは仕事の J と同じですが、仕事は力の方向への移動に関係する量であり、モーメントは回転させる働きです。この単元では区別がわかるように N·m と書きます。

図1のように、Oと力の作用点Aを結ぶ線の長さ r と、作用線までの垂直距離 d は一般には違います。図では力Fが水平なので、腕dは鉛直な線になります。斜めの棒の長さを測って F と掛けるのではなく、まず作用線を延ばすと、必要な距離を見つけやすくなります。

OからAへ向かう線と力の向きのなす角を θ とすると、直角三角形の関係から d＝r sinθ です。そのため M＝Fr sinθ とも書けます。別の見方では、力のうちOAに垂直な成分 F sinθ だけが回転に寄与し、それに長さ r を掛けています。作用線がOを通る場合は d＝0 となり、力が大きくてもOまわりのモーメントは0です。

紙面内の問題では、反時計回りを正、時計回りを負と決めると便利です。図1のFはOまわりに時計回りに回そうとするので、符号を含めたモーメントは −Fd です。力が右向きだから正なのではありません。力の正負は座標軸で決め、モーメントの正負は回そうとする向きで決めます。

つり合いの2条件と偶力

剛体が静止し続けるためには、合力が0であることと、任意の点まわりの力のモーメントの和が0であることの両方が必要です。ここで合力とは、物体に働く力を向きまで含めて合成した力です。平面内なら、力の条件は「水平方向の和＝0」「鉛直方向の和＝0」に分けて書きます。モーメントの条件を加えると、通常は3本の式になります。

合力が0なら物体全体の並進運動を変える働きがなく、モーメントの和が0なら回転運動を変える働きがありません。ただし、これだけで初めから動いていた物体が止まるわけではありません。静止している剛体がその状態を保つ問題として、2条件を使っています。また、1点まわりのモーメントが0というだけで、合力も0になるわけではありません。

モーメントを計算する基準点は、実際の支点に限りません。合力が0のとき、基準点を移したことによるモーメントの変化は互いに打ち消されます。そのため、力のつり合いを満たしていれば、1つの基準点でモーメントの和が0になることを調べれば十分です。未知の力の作用線上に基準点を置くと、その力のモーメントが0になり、計算が短くなります。

ここで、同じ大きさで逆向きの平行な2力が、異なる作用線上に働く場合を考えます。この組合せを偶力といいます。合力は0ですが、2力が物体を同じ向きに回そうとするため、モーメントは消えません。2本の作用線の間隔を d とすると、偶力のモーメントの大きさは Fd です。

この式は、一方の力の作用点を基準にすると導けます。その力のモーメントは0、もう一方の力の腕はdなので、全体でFdです。基準点を変えても値は変わりません。同一直線上の逆向き2力なら d＝0 で、偶力による回転の働きはありません。作用反作用の2力は別々の物体に働くため、1つの剛体に働く偶力と混同しないようにします。

重心を求める考え方

重心とは、物体の各部分に働く重力を1つにまとめたとき、その重力の作用点として扱える点です。地表付近で重力の向きと大きさが場所によらずほぼ一定とみなせる範囲を考えます。一様な細い棒の重心は中央、一様な長方形の板の重心は対角線の交点にあります。ただし、形が対称でも密度が一様でなければ、見た目の中心とは限りません。

同一直線上の位置 x₁、x₂ に質量 m₁、m₂ があるとします。原点まわりの各重力のモーメントの和と、まとめた重力のモーメントが等しいことから、次の関係が成り立ちます。

(m₁＋m₂)g xG＝m₁g x₁＋m₂g x₂

両辺のgを消して解けば、重心の座標は xG＝(m₁x₁＋m₂x₂)/(m₁＋m₂) です。位置の単純な平均ではなく、質量を重みとした平均になっています。重い部分ほど強く重力を受けるため、重心は重い部分に近づきます。3つ以上の部分でも、分子に各部分の「質量×位置」を足し、全質量で割れば同じように求められます。

平面内の物体なら、横の座標と縦の座標について別々に同じ計算をします。複雑な形の板も、重心がわかる長方形などに分ければ扱えます。重心は必ずしも物体の材料がある場所にあるとは限らず、輪のような物体では空洞の中に位置することもあります。「重心に質量が本当に集まっている」という意味ではないことを押さえましょう。

例題で解き方を確かめる

例題1　斜めに加える力のモーメント

一端Oを基準とする長さ0.800 mの棒があります。他端Aに、大きさ15.0 Nの力を、OからAへ向かう方向に対して30.0°の角度で加えます。力は棒を反時計回りに回そうとしています。Oまわりの力のモーメントを求めます。

1. 腕を求めます。力が棒と直角ではないため、棒の長さをそのまま腕にはできません。d＝0.800×sin30.0°＝0.400 m です。
2. 力の大きさと腕を掛けます。M＝15.0×0.400＝6.00 N·m となります。先に垂直成分15.0×sin30.0°＝7.50 Nを求め、それに0.800 mを掛けても同じです。
3. 回転の向きを確認します。反時計回りを正と決めたので、符号は正です。数値が正である理由を、力の上向き・下向きだけで説明しないことが大切です。

答え：Oまわりのモーメントは＋6.00 N·m（反時計回り）です。

この問題で角度が棒ではなく棒に垂直な方向から測られていれば、同じ式にその角度を入れることはできません。公式のθがどの2方向のなす角なのかを図に書き込みます。角度の表示を読み取る段階が、計算より先にあります。

例題2　2つの支えが受け持つ力

長さ2.00 m、質量20.0 kgの一様な水平な棒を、両端A、Bで下から支えます。Aから1.50 mの位置に質量25.0 kgのおもりを載せます。棒は静止しています。支えが棒を押し上げる力RA、RBを求めます。

図2のように、棒とおもりをまとめて調べる対象にすると、外から受ける鉛直方向の力は4本です。棒とおもりの間の力は、この対象の内部でやり取りする力になるため、全体のつり合いの式には入れません。棒自身の重力は中央Gに働くものとして扱います。

1. 重力を計算します。棒の重力は20.0×9.8＝196 N、おもりの重力は25.0×9.8＝245 Nです。質量をそのまま力の式に入れると単位が合わないため、最初にNに直します。
2. Aまわりのモーメントを取ります。RAの作用線がAを通るため、未知数RAをこの式から除けます。反時計回りを正として、RB×2.00−196×1.00−245×1.50＝0です。
3. RBを解きます。RB＝(196×1.00＋245×1.50)/2.00＝281.75 Nです。途中では丸めず、最後の表示だけ有効数字3桁にします。
4. 鉛直方向のつり合いを使います。RA＋RB−196−245＝0より、RA＝159.25 Nです。左右に均等に分けるのではなく、荷重の位置で負担が変わっています。

答え：Aの支持力は159 N、Bの支持力は282 Nで、どちらも上向きです。

丸める前の2力を足すと全重力441 Nに一致します。また、おもりがB寄りなのでBの支持力のほうが大きいという図の読み取りとも一致します。式を解いた後に、合計と大小関係の2つを確かめると、距離の取り違えを見つけやすくなります。

例題3　棒とおもりを合わせた重心

長さ1.20 m、質量2.00 kgの一様な細い棒の左端に質量1.00 kg、右端に質量3.00 kgの小さなおもりを取り付けます。おもりの大きさは無視できるものとします。全体の重心は左端から何mの位置にありますか。

1. 原点を左端に決めます。棒の重心は0.600 m、左のおもりは0 m、右のおもりは1.20 mです。物体ごとに違う原点を使うと位置を足せないため、座標の基準をそろえます。
2. 質量と位置の積を足します。分子は2.00×0.600＋1.00×0＋3.00×1.20＝4.80 kg·mです。棒も質量を持つので、両端のおもりだけを平均しないようにします。
3. 全質量で割ります。xG＝4.80/(2.00＋1.00＋3.00)＝0.800 mとなります。中央より右にあるのは、右のおもりのほうが重いからです。

答え：重心は左端から0.800 mの位置にあります。

この位置で棒を下から支えたときのモーメントも調べられます。棒全体の重力を左端から0.600 mの位置にまとめ、全体の重心である0.800 mの位置を基準にします。反時計回りを正とすると、棒の重力のモーメントは＋3.92 N·m、左のおもりは＋7.84 N·m、右のおもりは−11.76 N·mとなり、その和は0になります。重心の公式とモーメントの条件は、別々の知識ではなく同じ関係を違う形で表しています。

例題4　箱が倒れ始める水平な力

質量10.0 kg、底面の横幅0.400 mの一様な箱を水平な床に置きます。箱の上端の高さ0.600 mの位置を、右向きの水平な力Fでゆっくり押します。床との静止摩擦係数は0.500です。先に滑るか倒れるかを判断し、静止を保てる限界のFを求めます。押す力には鉛直成分がなく、箱の重心は横幅の中央にあります。

1. 倒れ始めるときの回転の中心を右下の角Pとします。転倒直前には床からの垂直抗力の作用点がPに達します。Pまわりでは床からの力のモーメントが0になるため、重力と押す力だけで限界を表せます。
2. モーメントを等しく置きます。重力の腕は横幅の半分0.200 m、Fの腕は高さ0.600 mです。F×0.600＝(10.0×9.8)×0.200より、転倒の限界はF＝32.666… Nです。
3. 滑り出す力を求めます。鉛直方向のつり合いから垂直抗力N＝98.0 Nです。最大静止摩擦力は0.500×98.0＝49.0 Nであり、静止中は摩擦力の大きさがFに等しくなります。
4. 2つの限界を比べます。転倒に必要な32.666… Nのほうが49.0 Nより小さいので、滑り出す前に転倒の限界に達します。摩擦を比較せずに転倒の式だけで結論を出さないことがポイントです。

答え：先に倒れ始め、静止を保てる限界の力は32.7 Nです。

転倒の式に使う高さは「押した位置の床からの高さ」であり、重心の高さではありません。この問題の重力は鉛直なので、その腕に必要なのは重心からPまでの水平距離です。どちらも、力の向きに直角な距離を使っている点で共通しています。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　腕をいつも棒の長さにする

誤った書き方は「棒の長さがrなので、どんな向きの力でもM＝Fr」です。違うのは、作用点までの距離と作用線までの垂直距離を同じにしている点です。棒に沿う向きに押す場合まで回転の働きがあることになり、ドアや棒の動きと合わなくなります。

正しい書き方は「作用線を延長し、基準点からの垂線の長さdを求め、M＝Fd」です。三角比を使うなら、rと力の向きのなす角θを確認してM＝Fr sinθとします。基準点に働く支えの力も、力自体が消えるのではありません。その点まわりのモーメントだけが0になるので、力のつり合いの式には残します。

誤り2　合力が0なら必ずつり合うとする

誤った書き方は「上向きと下向きに同じ大きさの力があるので、棒はつり合う」です。違うのは、2力の作用線を調べていない点です。棒の左端を下向きに、右端を上向きに同じ力で押せば、合力は0でもどちらの力も反時計回りに回そうとします。

正しい書き方は「合力が0であることに加え、モーメントの和が0であることを確かめる」です。2力だけで剛体がつり合うには、大きさが等しく、向きが反対で、作用線が一致している必要があります。作用線の異なる逆向きの平行な2力は偶力ですから、1本の合力だけに置き換えて回転の働きまで表すことはできません。

誤り3　転倒前の垂直抗力をいつも底面の中央に描く

誤った書き方は「箱の中央に重心があるので、床からの垂直抗力も常に中央に働く」です。違うのは、床との接触の各部分で受ける力の分布が変化することを無視している点です。横から押すと、押される側の端に近い部分の負担が増え、垂直抗力をまとめた作用点もその端へ移ります。

図3のように、転倒直前には垂直抗力Nの作用点が右下の角Pに達します。図は原理を示す模式図で、例題4の寸法比とは別です。右向きのFに対して床から左向きの静止摩擦力fが働き、鉛直方向にはNと重力mgがつり合います。正しい書き方は「接触面内で垂直抗力の作用点が移動し、端に達したところで転倒の限界になる」です。

底面の中央から垂直抗力の作用点までの右向きの距離をx、押す高さをhとすると、底面中央まわりのモーメントより Nx＝Fh です。N＝mgなので、x＝Fh/(mg)となり、押す力を増すほど作用点が右へ移ることが式でも読み取れます。底面幅をbとするとxはb/2を超えられず、限界でFh＝mgb/2になります。

横から押す力がなく、重力と支持面からの力だけを考える場合には、重心からの鉛直線が支持する範囲内を通るかどうかが判断の基準です。箱を傾けてその鉛直線が支持する端を越えると、重力は倒れる向きのモーメントを生じます。ただし、図3のように外から横向きの力が加わる場合は、重心の鉛直線が底面内でも倒れ始めます。「重心だけ見ればよい」と適用範囲を広げすぎないようにしましょう。

練習問題

途中式には、モーメントの基準点と回転の正の向きを添えてください。答えの数値だけでなく、どの距離を腕にしたかが読み取れる図を描くと、間違えた場合も修正する場所が見つかります。

練習1

水平な棒に、大きさ12.0 Nの上向きと下向きの力が働いています。下向きの力は左、上向きの力は右にあり、2本の作用線の間隔は0.250 mです。この2力の合力と、偶力のモーメントを求めてください。

練習2

長さ1.50 m、質量4.00 kgの一様な棒を両端で下から支えます。左端から0.300 mの位置に質量2.00 kgのおもりを載せました。左端と右端の支持力をそれぞれ求めてください。棒とおもりは静止しています。

練習3

質量を無視できる長さ0.900 mの棒の左端に質量2.00 kg、右端に質量4.00 kgの小さなおもりを付けます。全体の重心の位置を左端からの距離で求めてください。また、その重心位置で下から支えるとき、支える力の大きさはいくらですか。

練習4

質量5.00 kg、底面の横幅0.300 mの一様な箱を、床から0.500 mの高さで右向きにゆっくり押します。静止摩擦係数は0.200です。箱の重心は横幅の中央にあります。転倒と滑りのそれぞれの限界となる力を計算し、先に起こることを判断してください。

答えと解説

練習1の答えは、合力0 N、偶力のモーメント3.00 N·mで反時計回りです。大きさは12.0×0.250で求めます。棒の中央を基準にしても、左右の力がともに反時計回りのモーメントを生むことを確かめられます。0は厳密な打ち消しを表すので、有効数字の桁数を付ける対象ではありません。

練習2の答えは、左端35.3 N、右端23.5 Nで、ともに上向きです。左端まわりで、右端の力をRとして、R×1.50＝39.2×0.750＋19.6×0.300と置くとR＝23.52 Nです。左端の力は全重力58.8 Nから引いて35.28 Nです。おもりのある左側の負担が大きくなることとも一致します。

練習3の答えは、左端から0.600 m、支える力58.8 Nです。重心は(2.00×0＋4.00×0.900)/(2.00＋4.00)で求めます。重心位置を決めるのはモーメントの条件、支える力の大きさを決めるのは鉛直方向の力の条件です。位置を求めた後に、支える力を重いほうのおもりの重力だけとしないようにします。

練習4の答えは、転倒の限界14.7 N、滑りの限界9.80 Nで、先に滑り出します。転倒についてはF×0.500＝49.0×0.150、滑りについてはF＝0.200×49.0です。14.7 Nは滑らずに静止できるとしたときの転倒の候補値であり、実際にはその値に達する前に静止状態が失われます。滑り出した後の運動は、静止のつり合いの式だけでは決まりません。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

剛体のつり合いで身につけた「調べる対象を決め、外から働く力だけを取り出す」という手順は、力学全体で使います。斜面上の物体や、糸でつながれた物体でも、矢印を正確に描ければ、どの方向の運動やつり合いを考えるかが整理できます。重心の考え方は、複数の部分からなる物体の運動をまとめて捉える土台にもなります。

家庭で5分ほど確かめるなら、まず紙に棒と斜めの力を描き、力の矢印を直線に延ばしてから、基準点から定規で垂線を下ろしてみます。力の向きを変えた図も隣に描けば、棒の長さが同じでも腕が変わることを目で確かめられます。もう1つは、机のすぐ上で軽い定規を指1本に載せ、静かにつり合う位置を探す方法です。端の形や穴によっては、長さの中央と重心が少しずれることにも気づけます。重い物を傾けたり、自転車を倒しかけたりする必要はありません。

個別指導で式が立たない場合は、まず「どの物体に、何からの力が働くか」まで戻って図を確かめます。その後、作用線、垂直距離、回転の向きの順に、数値を入れる前の判断を言葉にします。

まとめ

剛体の問題を解いたノートには、答えだけでなく、基準点と作用線が残っていることが大切です。支持力が負になったら支えが引ける仕組みか、転倒の力を求めたら摩擦で静止を保てるか、と図の意味に戻って答えを確かめます。式の上で求まった値と、実際に成り立つ状態を結びつけるところまでが、つり合いの理解です。

止まっている理由を説明するには、力がいくらかに加えて、どの作用線上に働くかまで必要です。