【中学受験算数】水そうと水位の問題を図解で総まとめ—おもりを入れる 仕切り グラフの読み取り｜武蔵野個別指導塾

おもりが完全に沈む場合と水面から出る場合を断面図で比べ、仕切りのある水そうのグラフまで順にたどります。水の体積をもとに、使う面積と時間を選ぶ手順を家庭でも確かめられます。

よくあるのは、学習発表会の練習の合間の音楽室で算数のプリントを開き、おもりを入れた図を見て「水を足していないのに、なぜ高さが変わるのだろう」と手が止まる場面です。体積の公式は覚えていても、水のある場所とおもりのある場所を同じひとかたまりとして見てしまうと、何をかけて何を引くのかが決まりません。

水そうの問題では、水の量と水面の高さを分けて考えます。水の量が同じでも、水が入れる場所がせまくなれば水面は上がります。反対に、水を入れ続けていても、別の場所へ流れていく間は、見ている側の水面が上がらないことがあります。

そこで、最初に水が占める部分を図で確かめ、次に体積を計算し、最後に高さや時間へ直す順に進めましょう。おもりや仕切りのある問題も、この順序で区切れば読み解けます。計算の前に「今、どこへ水が入っているか」を指で示せることが、解き方を選ぶ手がかりになります。

この単元で身につけること

• 水の体積と水位を区別します。水位は決めた基準から水面までの高さであり、このページでは水そうの底から測ります。同じ体積の水でも、底面積が違う水そうでは水位が変わります。
• 高さを求めるときの面積を選びます。おもりのない水そうなら底面積を使い、水面から出ている柱形のおもりがあるときは、水が入れる部分の面積を使います。
• おもりが押しのけた水の体積をとらえます。おもり全体の体積を使えるのは、全体が水に沈んでいる場合です。沈んでいる部分だけを使う場合との違いを確かめます。
• 仕切りの高さに達する前後で分けます。どちら側の水位が変わるかを追うと、必要な水の体積も時間も順番に求められます。
• グラフの折れ目を水そうの中の変化と結びつけます。横軸と縦軸を確認し、折れ目の前後で水の入り方や広がる面積がどう変わったかを説明します。

長方形の面積、直方体の体積、単位の換算が土台になります。割合や比で考えるときにも、まず具体的な面積と体積を求める方法を理解しておくと、数の意味を見失いにくくなります。

基本の考え方

水位は長さ、水の量は体積です

直方体の水そうに水が入っているとき、水の部分も直方体になります。水の体積は「底面積 × 水位」で求められ、水位を知りたいときは「水の体積 ÷ 底面積」にします。高さを求めるのに、たての長さだけで割ってしまわないようにしましょう。

図1の水そうは、内側の横が40 cm、奥行きが20 cm、高さが30 cmです。水位は12 cmなので、底面積は40 × 20 = 800 cm²、水の体積は800 × 12 = 9600 cm³です。ここで使う高さは水そう全体の30 cmではなく、水が入っている部分の12 cmです。図1のように水面に線を引くと、計算する直方体の上端がはっきりします。

図1は正面から見た断面図です。奥行き20 cmは紙面の奥へ続く長さなので、横40 cmと合わせて底面積を求めます。正面の長方形の面積を求める40 × 12では、水の体積にはなりません。水の量を求めるには、横、奥行き、水位という3つの長さが必要です。

この水そうで水位が1 cm上がるには、底面全体に厚さ1 cmの水を広げると考えます。その体積は800 × 1 = 800 cm³です。水位が3 cm上がるなら800 × 3 = 2400 cm³、2400 cm³の水を加えたなら2400 ÷ 800 = 3 cm上がります。かけ算とわり算を逆向きに使うだけですが、「厚さ1 cmの水の層」を思い浮かべると、式を選ぶ理由が説明できます。

水の量がLで示され、長さがcmで示される問題では、単位をそろえます。1 L = 1000 cm³、1 mL = 1 cm³です。たとえば1.2 Lは1200 cm³ですから、底面積800 cm²の水そうへ1分間に1.2 Lずつ入れると、1分間に1200 ÷ 800 = 1.5 cm上がります。Lの数値のままcm²で割ると、単位の違いが答えに入りこんでしまいます。

おもりが水の中で占める部分を数えます

水を吸わないおもりを沈めると、おもりのある場所には水が入れません。水がこぼれなければ水の体積は変わらず、入れなくなった場所の分だけ水面が上がります。おもり全体が沈んだ場合は、「底面積 × 上がった水位」が「おもりの体積」と等しくなります。

この関係で使うのは、もとの水位から増えた高さです。入れた後の水位全体をかけると、水とおもりを合わせた体積を求めることになり、おもりだけの体積にはなりません。水そうの底から引いた高さの線と、もとの水面から引いた高さの線を区別しておきましょう。

一方、底に立てた直方体のおもりの上部が水面から出ている場合、水を押しのけるのは水中にある部分だけです。このときは「水そうの底面積 − おもりの底面積」を求めると、水が入れる部分の面積になります。その面積に水位をかけたものが、水の体積です。

ただし、この引き算をそのまま使えるのは、底から水面までおもりが同じ太さで立っている間です。水面がおもりの上端を越えた後は、おもりの上にも水が広がります。そこから先の水位の上がり方は別に考える必要があります。おもりを入れた問題では、計算結果を出した後に「水位はおもりの高さより上か、下か」を必ず確かめます。

変わらない量と変わる場所を分けます

水を足さず、おもりを入れただけなら、変わらないのは水の体積です。一定の割合で水を注ぐ問題なら、変わらないのは1分間に入る水の体積です。水位が一定の速さで上がるとは限らないので、「何が一定か」を問題文から拾いましょう。

グラフも同じ考え方で読めます。横軸が時間、縦軸が水位なら、同じ時間に水位が大きく上がるところほど線は急になります。水が広がる面積が大きくなると、同じ量を入れても上がる高さは小さくなり、線はゆるやかになります。ただし、線が折れた理由を面積の変化だけに決めつけてはいけません。注ぐ量を変えた場合にも折れるので、水そうの形と問題文を合わせて判断します。

以下の例題と練習では、水そうは水平な場所に置き、示した長さはすべて内側の長さとします。おもりは水を吸わない直方体で、底に水平に置いて動かず、水は外へこぼれません。仕切りの厚さは考えず、仕切りの下にはすき間がないものとします。こうした条件を確かめると、どの体積を保って計算できるかが定まります。

例題で解き方を確かめる

例題1　水位を上げるのにかかる時間

内側の横40 cm、奥行き20 cm、高さ30 cmの直方体の水そうに、水位12 cmまで水が入っています。1分間に1.2 Lずつ水を加えると、水位が24 cmになるのは何分後ですか。

1. 底面積を求めます。40 × 20 = 800 cm²です。水位の変化を体積へ直すために、まず水が広がる面積をそろえます。
2. 上げたい高さを求めます。24 − 12 = 12 cmです。すでにある水をもう一度入れるわけではないので、必要なのは水位の差です。
3. 加える体積を求めます。800 × 12 = 9600 cm³です。底面全体に厚さ12 cmの水を加えると考えます。
4. 1分間の量で割ります。1.2 L = 1200 cm³なので、9600 ÷ 1200 = 8分です。同じ量の水を何回分入れるかが時間になります。

答え：8分後です。

確かめるときは、1分間に上がる高さから考えることもできます。1200 ÷ 800 = 1.5 cmずつ上がり、8分では1.5 × 8 = 12 cm上がります。もとの12 cmに足して24 cmになるので、求める水位と合います。

800 × 24で求められるのは、最後に入っている水全体の体積です。その体積を1200で割ると、空の水そうから入れる時間になってしまいます。「何cmまで」と「何cm上がる」は違うので、問題文の24 cmにそのまま反応せず、初めの水面も図に残しておきます。

例題2　完全に沈むおもりを入れる

内側の横40 cm、奥行き30 cm、高さ20 cmの直方体の水そうに、水位10 cmまで水が入っています。横20 cm、奥行き10 cm、高さ6 cmの直方体のおもりを底に置きました。おもりを入れた後の水位は何cmですか。

図2は、入れる前と入れた後を同じ縮尺で並べたものです。図2のように、おもりの上端が水面より下にあるなら、おもりの体積全部を使って上がる高さを求められます。正面図では奥行きの違いが見えないため、水そうの奥行き30 cmとおもりの奥行き10 cmは問題文から確かめます。

1. おもりの体積を求めます。20 × 10 × 6 = 1200 cm³です。水が入れなくなる部分は、おもり全体と同じ体積です。
2. 水そうの底面積を求めます。40 × 30 = 1200 cm²です。増えた水位の部分は、おもりの上端より上にあり、底面全体に広がります。
3. 上がる高さを求めます。1200 ÷ 1200 = 1 cmです。押しのけた体積を、底面全体に広げた厚さへ直しています。
4. 初めの水位に足します。10 + 1 = 11 cmです。11 cmはおもりの高さ6 cmより高く、水そうの高さ20 cmより低いので、完全に沈み、こぼれない条件にも合っています。

答え：11 cmです。

別の確かめ方では、水とおもりを合わせた体積を計算します。初めの水は1200 × 10 = 12000 cm³です。おもりを入れた後、水面より下の全体は12000 + 1200 = 13200 cm³なので、13200 ÷ 1200 = 11 cmとなります。

水が1200 cm³増えたわけではありません。増えたのは、水面より下にある「水とおもりを合わせた部分」の体積です。説明するときは「水は同じ量で、おもりの居場所も水面の下に必要になった」と言うと、体積を足す意味を伝えられます。

例題3　おもりの上部が水面から出る

内側の横30 cm、奥行き20 cm、高さ30 cmの直方体の水そうに、水位8 cmまで水が入っています。横10 cm、奥行き10 cm、高さ18 cmの直方体のおもりを底に立てて置きました。入れた後の水位は何cmですか。また、そこから水面がおもりの上端に達するまでに、何Lの水を加えればよいですか。

1. 初めの水の体積を求めます。30 × 20 × 8 = 4800 cm³です。おもりを入れても、この水の体積は変わりません。
2. おもりが水面から出ていると考えて、水が入れる部分の面積を求めます。30 × 20 − 10 × 10 = 500 cm²です。おもりの底面の上には、水が入れないからです。
3. 水位を求めます。4800 ÷ 500 = 9.6 cmです。9.6 cmはおもりの高さ18 cmより低いので、おもりが水面から出ているという考え方でよいと確かめられます。
4. 上端に達するまでに上がる高さを求めます。18 − 9.6 = 8.4 cmです。この間はまだおもりの上に水が乗らないので、加える体積は500 × 8.4 = 4200 cm³、つまり4.2 Lです。

答え：入れた後の水位は9.6 cm、加える水は4.2 Lです。

水面が18 cmに達したとき、水は500 × 18 = 9000 cm³あります。初めの4800 cm³との差を求めても、9000 − 4800 = 4200 cm³となります。小数の高さを使う計算に不安があるときは、このように初めと終わりの水の体積を比べても確かめられます。

ここで、さらに水位を20 cmまで上げるなら、18 cmから20 cmまでの2 cmは底面全体に水が広がります。その部分に必要なのは600 × 2 = 1200 cm³です。9.6 cmから20 cmまでを一度に500でかけず、18 cmで区切る必要があります。上端を境に、水を受け入れる面積が500 cm²から600 cm²へ変わるためです。

例題4　仕切りを越えて水が流れる

内側の横60 cm、奥行き20 cm、高さ24 cmの空の水そうがあります。底から高さ12 cmの仕切りで、横の長さが左20 cm、右40 cmに分かれています。左側へ1分間に800 cm³ずつ水を入れるとき、左側の水位の変化を考え、水そう全体がいっぱいになるまでの時間を求めましょう。仕切りを越えた水はすぐ右側へ流れ、水位のごく小さな差は考えないものとします。

1. 左側だけがたまる時間を求めます。左の底面積は20 × 20 = 400 cm²です。高さ12 cmまでの水は400 × 12 = 4800 cm³なので、4800 ÷ 800 = 6分かかります。6分後に初めて水が仕切りを越えます。
2. 右側が高さ12 cmになるまでの時間を求めます。右の底面積は40 × 20 = 800 cm²です。右にたまる水は800 × 12 = 9600 cm³なので、9600 ÷ 800 = 12分かかります。この間、左側の水位は12 cmのままです。
3. 両側の水位がそろう時刻を求めます。6 + 12 = 18分後です。12分は右側へためるのにかかった時間なので、入れ始めてからの時刻に直すには、最初の6分を足します。
4. そこから上の部分を満たす時間を求めます。底面全体の面積は60 × 20 = 1200 cm²、残りの高さは24 − 12 = 12 cmです。1200 × 12 ÷ 800 = 18分なので、合計は18 + 18 = 36分です。

答え：左側は6分後に水位12 cmになり、18分後までそのままです。水そう全体がいっぱいになるのは36分後です。

全体の体積からも、60 × 20 × 24 ÷ 800 = 36分と確かめられます。ただし、この一度の計算だけでは、途中で左の水位が止まって見える理由は説明できません。グラフをかくときや途中の水位を聞かれたときは、3つの段階に分ける必要があります。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　おもりの体積をいつも全部使う

誤った書き方は、例題3で「10 × 10 × 18 ÷ 600 = 3 cm上がるので、水位は11 cm」とする計算です。おもり全体の体積を使っていますが、求めた11 cmの水位では、高さ18 cmのおもりは全部沈んでいません。水面から出ている部分まで、水を押しのけたものとして数えている点が違います。

正しい書き方は「水が入れる面積は600 − 100 = 500 cm²、水位は4800 ÷ 500 = 9.6 cm」です。この答えなら18 cmより低いので、使った面積と図の状態が合います。お子さまには「水面より上のおもりも、水を押しているかな」と問いかけ、水中にある部分だけを指で囲んでもらいましょう。

誤り2　横ばいの線を水が止まった印と決める

誤った読み方は、例題4のグラフで「6分後から18分後は横ばいなので、水を入れていない」とするものです。違うのは、縦軸の水位と、入ってきた水の量を同じものとして読んでいる点です。見ているのは左側の水位であり、右側にたまる水の体積は増えています。

図3の左は、6分後に左の水面が仕切りの上端へ届いたときの断面です。右のグラフは、例題4の左側の水位だけを表します。図3のように、左の水位が12 cmで止まっている間にも、入ってきた水は右側へ移ります。

正しい読み方は「6分後から18分後は右側に水がたまり、左側の水位は12 cmを保つ」です。実際に、この12分間には800 × 12 = 9600 cm³が入り、右側の高さ12 cmまでの体積と一致します。横ばいが表しているのは、あくまで縦軸の量が変わらないことです。

最初の6分間は1分間に800 ÷ 400 = 2 cm上がります。18分後からは800 ÷ 1200 = 2/3 cmずつ上がるので、グラフの線は最初よりゆるやかになります。水を入れる量は同じでも、水が広がる面積は3倍になったため、1分間に上がる高さは1/3になります。

誤り3　グラフの時刻をそのまま区間の時間にする

誤った書き方は「右側へ水が入った時間は18分なので、800 × 18 = 14400 cm³」です。18分後は、初めから数えた時刻です。右側へ流れ始めるまでの6分間も含んでいる点が違います。

正しい書き方は「右側へ水が入った時間は18 − 6 = 12分、体積は800 × 12 = 9600 cm³」です。グラフの横軸で、区間の始まりと終わりを両方指してから差を求めると、取り違えを減らせます。

縦軸についても同じ注意が必要です。18分後から36分後までの区間では、上がった高さは24 − 12 = 12 cm、かかった時間は36 − 18 = 18分です。12 ÷ 18 = 2/3 cmという1分間の変化は、区間の両端の差から求めます。1つの点の水位をそのまま時刻で割る方法は、途中で変化の仕方が変わるグラフには使えません。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

それぞれの問題で、計算の前に簡単な断面図をかきましょう。図には最初の水面と求めたい水面を入れ、おもりがある場合は上端もかきます。仕切りがある場合は、見ているのが左と右のどちらの水位かを書き添えます。

練習1

内側の横25 cm、奥行き16 cm、高さ30 cmの直方体の水そうに、水位7 cmまで水が入っています。1分間に0.8 Lずつ入れると、水位19 cmになるのは何分後ですか。

練習2

内側の横30 cm、奥行き20 cm、高さ25 cmの直方体の水そうに、水位10 cmまで水が入っています。横12 cm、奥行き10 cm、高さ5 cmの直方体のおもりを底に置くと、水位は何cmになりますか。

練習3

内側の横30 cm、奥行き20 cm、高さ30 cmの直方体の水そうに、水位6 cmまで水が入っています。横15 cm、奥行き10 cm、高さ16 cmの直方体のおもりを底に立てて置きました。水位は何cmになりますか。また、そこから水位が18 cmになるまでに加える水は何Lですか。

練習4

内側の横50 cm、奥行き20 cm、高さ24 cmの空の水そうがあります。高さ10 cmの仕切りが、横の長さを左20 cm、右30 cmに分けています。例題4と同じ流れ方で、左へ1分間に1000 cm³ずつ水を入れます。左側の水位が一定になるのは何分後から何分後までですか。また、入れ始めてから14分後の左側の水位は何cmですか。

答えと解説

練習1の答えは6分後です。底面積は25 × 16 = 400 cm²、上がる高さは19 − 7 = 12 cmなので、必要な水は400 × 12 = 4800 cm³です。0.8 L = 800 cm³より、4800 ÷ 800 = 6分です。初めからある水の体積を、加える水の体積に含めないようにします。

練習2の答えは11 cmです。おもりの体積は12 × 10 × 5 = 600 cm³、水そうの底面積は30 × 20 = 600 cm²なので、上がる高さは600 ÷ 600 = 1 cmです。10 + 1 = 11 cmとなり、おもりの高さ5 cmより上なので完全に沈みます。求めた1 cmは水位そのものではなく、増えた高さです。

練習3の答えは水位8 cm、加える水は4.8 Lです。水は30 × 20 × 6 = 3600 cm³、水が入れる面積は600 − 150 = 450 cm²なので、水位は3600 ÷ 450 = 8 cmです。おもりの上端16 cmまでは450 × (16 − 8) = 3600 cm³、その先の18 cmまでは600 × (18 − 16) = 1200 cm³が必要です。合計4800 cm³をLに直します。水位8 cmから18 cmまでを、同じ面積で計算しない点が要点です。

練習4の答えは4分後から10分後まで、水位は14 cmです。左が仕切りの高さに達するまで20 × 20 × 10 ÷ 1000 = 4分、その後に右を満たすまで30 × 20 × 10 ÷ 1000 = 6分かかります。両側がそろうのは4 + 6 = 10分後です。その後の4分間に入る4000 cm³は底面全体の1000 cm²に広がるので、4 cm上がり、10 + 4 = 14 cmです。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

水そうの問題は、体積だけでなく、比例や反比例、速さ、グラフの読み取りへつながります。「1分間にどれだけ増えるか」を比べる見方は速さと共通し、一定の体積を広い底面に広げるほど高さが低くなる関係は反比例を考える土台になります。ただし、仕切りを越える前後などでは関係が切り替わるので、いつでも1本の式で考えられるわけではありません。

家庭で5分ほど確かめるなら、1つ目は紙に同じ底面積の水そうを2つかき、片方だけに完全に沈むおもりを加える方法です。「変わらないのは水の量か、水位か」「増えた高さはどこか」を、お子さまに指で示してもらいます。計算前にこの2つが言えれば、体積と高さを分けてとらえられています。

2つ目は、図3のグラフを指でたどり、折れ目ごとに水の行き先を言う方法です。「左にたまる」「右にたまる」「両方の上にたまる」と順に言えたら、横ばいの区間の時間を引き算で求めてもらいます。数字だけを読むのでなく、線と水そうの中の状態を対応させているかを確かめます。

個別指導で確かめる場合も、式が選べない原因が体積の理解にあるのか、奥行きの読み落としにあるのかを分けます。必要なら底面全体に厚さ1 cmの水を広げるところまで戻り、使う面積を選べてからおもりや仕切りを加えます。

まとめ

難しい水そうの図を見たとき、すぐに体積の公式へ数字を入れなくてもかまいません。水面の線を1本引き、その下にある水の部分とおもりの部分を分けるだけで、計算の出発点ができます。途中で止まったら、次に水が広がる場所を図に足してみましょう。

おもりの上端や仕切りの高さは、単なる長さの情報ではありません。そこを境に、水の入り方を考え直す必要があるという目印です。仕切りのある水そうでは、グラフの折れ目は水の行き先が変わる境目です。