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【中学受験算数】相似と面積比を図解で総まとめ—ピラミッド型ちょうちょ型・辺の比と面積比・高さの等しい三角形｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.10.12更新 2026.10.12武蔵野個別指導塾の特徴中学受験算数単元解説

【中学受験算数】相似と面積比を図解で総まとめ—ピラミッド型ちょうちょ型・辺の比と面積比・高さの等しい三角形のアイキャッチ武蔵野個別指導塾

ピラミッド型とちょうちょ型の図で対応する辺を確かめ、相似比から面積を求めます。高さの等しい三角形と連比の例題も使い、面積比をそのまま使う場合と比を2回かける場合を区別できます。

よくあるのは、朝の通学路の坂で、前の日に解いた三角形の問題を思い出し、「辺の比は 2：3 だったのに、どうして面積は 2：3 ではないのだろう」と立ち止まって考える場面です。ご家庭で答え合わせをしても、ある問題では比をそのまま使い、別の問題では同じ数を2回かけます。その違いが見えないままでは、計算が合っていても、次の問題でどちらを選ぶか迷ってしまいます。

相似と面積比では、計算の前に「どの三角形とどの三角形を比べるのか」を決めます。そして、形を保ったまま大きさが変わるのか、高さを共通にして底辺だけが変わるのかを確かめます。この2つを分けて読めると、複雑に見える図にも使える道筋ができます。

ここでは、相似を見つける代表的なピラミッド型とちょうちょ型から始めます。最後には、同じ高さの三角形を使って面積比を辺の比へ戻し、いくつかの比をつなぐ問題まで扱います。

この単元で身につけること

対応する頂点と辺を見つけます。図の上下や左右だけで決めず、等しい角がある位置を手がかりにして、同じ役目の辺を組にします。
ピラミッド型の相似を読み取ります。頂点から伸びる2本の辺と平行な線に注目し、小さい三角形と全体の三角形を比べます。
ちょうちょ型の相似を読み取ります。交点をはさむ2つの三角形では、対応する頂点が交点の反対側にあることを確かめます。
相似比と面積比を使い分けます。長さが同じ割合で伸びると、底辺も高さも変わるため、面積では比の数をそれぞれ2回かけます。
高さの等しい三角形では、底辺の比を面積比として使います。面積比がわかっているときは、逆に底辺の比を読み取ることもできます。
連比を図に結びつけます。2つの比に共通する部分をそろえ、3つの辺や面積を1つの比で表します。

これまでに学んだ三角形の面積「底辺 × 高さ ÷ 2」と、比の両方の数を同じ数でかけたりわったりしても割合が変わらない性質が土台です。特に、高さは底辺に垂直な長さであり、斜めの辺の長さとは限らないことを先に確かめておきましょう。

基本の考え方

相似は、形を保って拡大・縮小した関係です

写真を縦も横も同じ割合で大きくすると、写っているものの形は変わりません。このように、一方の図形をそのまま拡大・縮小するともう一方に重なる関係を「相似」といいます。向きを変えたり裏返したりして重なる場合も含みます。横だけを伸ばして形が変わる場合は、相似ではありません。

相似な図形で同じ位置に当たる頂点を「対応する頂点」、その頂点どうしを結ぶ辺を「対応する辺」といいます。対応する角の大きさは等しく、対応する辺の長さの比はどの組でも等しくなります。その共通する辺の長さの比が「相似比」です。小さい図形：大きい図形を 2：5 と書いたなら、途中でもその順序をそろえます。

図を見ただけで、似た形だから相似だと決めるのは避けます。三角形では、2組の角がそれぞれ等しいことを確かめられると、残りの角も等しくなり、相似だと判断できます。3つの角の和がどちらも同じだからです。平行な線の間にできる等しい角や、2本の直線が交わってできる向かい合う等しい角が手がかりになります。

図1のように、三角形ABCの辺AB上にD、辺AC上にEを取り、DEとBCを平行にすると、三角形ADEと三角形ABCが相似になります。頂点Aを共有し、小さい三角形が全体に重なっている形を、ここではピラミッド型と呼びます。

図1では、AとA、DとB、EとCが対応します。したがって、AD：AB、AE：AC、DE：BCはすべて同じ比です。ADとDBの比ではない点に注意してください。DBは大きい三角形の1辺全体ではなく、小さい三角形を除いた残りの部分です。

図のDEが水平に描かれていること自体が理由ではありません。DEとBCが平行であることが理由です。紙を斜めに回しても、平行な関係や相似な関係は変わりません。ご家庭では「紙を回しても、どことどこが同じ組かな」と声をかけると、見た目の向きに頼っていないか確かめられます。

辺の比と面積比が違う理由を面積の式で考えます

相似な2つの三角形では、対応する底辺だけでなく、その底辺に対する高さも同じ比になります。小さい三角形から大きい三角形へ、底辺が3倍になったなら、高さも3倍です。面積を求めるときにはその両方をかけるため、面積は 3 × 3 = 9 倍になります。

たとえば、底辺が 4 cm、高さが 3 cm の三角形の面積は、4 × 3 ÷ 2 = 6 cm² です。相似な三角形へ3倍に拡大すると、底辺は 12 cm、高さは 9 cm になり、面積は 12 × 9 ÷ 2 = 54 cm² です。54 ÷ 6 = 9 で、長さの3倍と面積の9倍は区別できます。

相似比が 2：3 なら、面積比は (2 × 2)：(3 × 3) = 4：9 です。2と3をかけて6にするのではなく、小さいほうの2を2回、大きいほうの3を2回かけます。比の左と右が、それぞれ別の図形を表しているからです。周りの長さを比べる場合は、面積とは違い、対応する辺を足しているだけなので相似比と同じになります。

逆に、相似な三角形の面積比が 9：16 とわかっているなら、9 = 3 × 3、16 = 4 × 4 と見て、相似比は 3：4 と考えます。ただし、相似であることが前提です。面積が同じでも、細長い三角形と幅の広い三角形では形が違うことがあるため、面積比だけから相似だとはいえません。

高さが等しい場合は、底辺の比をそのまま使います

三角形の高さが等しければ、面積の式のうち「高さ ÷ 2」の部分が共通です。そのため、底辺が2倍になれば面積も2倍になります。底辺の比が 2：3 なら、面積比も 2：3 です。ここでは高さを3倍にしているわけではありません。

同じ頂点から、1本の直線上にある別々の底辺へ三角形を作ると、高さを共通にできます。底辺を乗せた直線までの垂直な距離が同じになるためです。垂直に下ろした線が三角形の外に出る場合も、高さが等しいという関係は使えます。高さを表す線が図の内側にあるかどうかで判断しないことが大事です。

「相似だから底辺も高さも同じ比で変わる」と「高さが等しいから底辺だけを比べる」は、別々の見方です。どちらを使うか迷ったら、比べたい2つの三角形を指で囲み、その底辺と高さを1つずつ確認します。図全体に相似があっても、今比べている2つが相似とは限りません。

例題で解き方を確かめる

例題1　ピラミッド型で辺と面積を求めます

三角形ABCで、Dは辺AB上、Eは辺AC上にあり、DEとBCは平行です。ABは 10 cm、ADは 4 cm、BCは 15 cm、三角形ABCの面積は 75 cm² です。DEの長さと、四角形DBCEの面積を求めましょう。図1の大小の三角形を使って考えます。

小さい三角形ADEと全体の三角形ABCを選びます。Aの角が共通で、DEとBCが平行なので対応する角も等しく、この2つは相似です。
相似比を小さいほう：大きいほうの順で書きます。AD：AB = 4：10 = 2：5 です。DEとBCも対応するので、DEは 15 × 2/5 = 6 cm になります。
面積比に直します。底辺と高さがそれぞれ 2：5 なので、三角形ADE：三角形ABCの面積比は (2 × 2)：(5 × 5) = 4：25 です。三角形ADEの面積は 75 × 4/25 = 12 cm² です。
求めたい四角形を全体から取り出します。四角形DBCEは全体から小さい三角形を除いた部分なので、75 − 12 = 63 cm² です。

答え：DEは 6 cm、四角形DBCEの面積は 63 cm² です。

ここで、2：5 を「上の三角形：下の四角形」と読まないようにします。相似の相手は、下の四角形ではなく全体の三角形です。面積の比で表すなら、小さい三角形：全体：下の四角形は 4：25：21 になります。最後に 12 + 63 = 75 と確かめると、求めた部分と全体の関係も確認できます。

例題2　ちょうちょ型で対応を確かめます

図2では、直線ADと直線BCがOで交わり、ABとCDは平行です。ABは 8 cm、CDは 12 cm、三角形AOBの面積は 20 cm² です。AO：ODと、三角形DOCの面積を求めましょう。

図2のように、交点の両側へ三角形が広がる形を、ここではちょうちょ型と呼びます。上側の左にあるAの相手は、下側の左にあるCではありません。AからOを通って進んだ先のDが対応する頂点になります。

交点Oを手がかりにします。AOBのOの角とDOCのOの角は、2本の直線が交わってできる向かい合う角なので等しくなります。
平行な辺も確かめます。ABとCDが平行なので、Aの角とDの角が等しくなり、三角形AOBと三角形DOCは相似です。対応はAとD、OとO、BとCです。
対応する辺の比を求めます。AB：DC = 8：12 = 2：3 なので、AO：ODも 2：3 です。図を横に見て、AOとOCを組にしないようにします。
面積比を求めて大きい三角形へ直します。面積比は (2 × 2)：(3 × 3) = 4：9 なので、三角形DOCの面積は 20 ÷ 4 × 9 = 45 cm² です。

答え：AO：ODは 2：3、三角形DOCの面積は 45 cm² です。

20 cm² が比の4に当たるため、まず 20 ÷ 4 で比の1に当たる面積を求めています。大きいほうへ求め直すので、20 × 4/9 ではありません。辺は 12 ÷ 8 = 1.5 倍、面積は 45 ÷ 20 = 2.25 倍となり、1.5 × 1.5 = 2.25 も成り立ちます。

例題3　同じ高さの三角形へ面積を分けます

三角形ABCの辺BC上にDがあり、BDは 4 cm、DCは 6 cm です。三角形ABCの面積が 45 cm² のとき、三角形ABDと三角形ADCの面積をそれぞれ求めましょう。AとDを結んだ線が、全体を2つに分けています。

底辺をBDとDCに決めます。どちらの三角形も頂点がAで、底辺は同じ直線BC上にあるので、高さが等しくなります。斜めの辺ABやACの長さを求める必要はありません。
面積比を書きます。高さが等しいため、三角形ABD：三角形ADCの面積比は、BD：DC = 4：6 = 2：3 です。ここで比の数を2回かけることはしません。
全体を比の合計で分けます。全体は 2 + 3 = 5 に当たるので、比の1に当たる面積は 45 ÷ 5 = 9 cm² です。三角形ABDは 9 × 2 = 18 cm²、三角形ADCは 9 × 3 = 27 cm² です。

答え：三角形ABDは 18 cm²、三角形ADCは 27 cm² です。

この問題では高さそのものの数値がなくても答えが求められました。同じ高さであることがわかれば、共通する部分の計算をせずに面積を分けられます。逆に面積が 18 cm² と 27 cm² と与えられた場合も、底辺の比は 18：27 = 2：3 と読み取れます。

例題4　面積比から連比を作ります

三角形ABCの辺BC上に、B、D、E、Cの順に点を取ります。三角形ABDと三角形ADEの面積比は 2：1、三角形ADEと三角形AECの面積比は 2：3 です。BCが 28 cm のとき、BD、DE、ECの長さを求めましょう。

3つの三角形の高さを確かめます。すべて頂点がAで、底辺BD、DE、ECは同じ直線上にあるので、高さが等しくなります。したがって、それぞれの面積比を底辺の比へそのまま移せます。
2つの比を書きます。BD：DE = 2：1、DE：EC = 2：3 です。共通するDEが、最初の比では1、次の比では2になっています。このまま3つを並べることはできません。
DEの数をそろえます。最初の比の両方を2倍すると、BD：DE = 4：2 です。これでDEを2にそろえられたので、BD：DE：EC = 4：2：3 となります。
BC全体を比の合計で分けます。合計は 4 + 2 + 3 = 9 なので、BDは 28 × 4/9 = 112/9 cm、DEは 28 × 2/9 = 56/9 cm、ECは 28 × 3/9 = 28/3 cm です。

答え：BDは 112/9 cm、DEは 56/9 cm、ECは 28/3 cm です。

長さが分数になっても、整数に直すために比を変えてはいけません。3つの長さを足すと、112/9 + 56/9 + 84/9 = 252/9 = 28 cm になります。また、112：56 = 2：1、56：84 = 2：3 で、もとの2つの条件も満たします。連比は数をつなぐ作業ではなく、同じ部分を同じ単位で数え直す作業です。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　部分どうしの比を相似比にします

誤った書き方は「AD：DB = 2：3 だから、小さい三角形ADE：全体ABCの相似比は 2：3」です。どこが違うかというと、ADの相手はDBではなくABです。DBはAから始まる辺ではなく、DからBまでの残りなので、相似な三角形の対応する辺になっていません。

正しい書き方は「AB全体は 2 + 3 = 5 に当たり、AD：AB = 2：5」です。そのあとで面積比を 4：25 とします。図のABを指でAからBまでなぞり、ADをなぞった指と同じ頂点から出発することを確認すると、比べる範囲を修正できます。

誤り2　高さの等しい三角形でも比を2回かけます

誤った書き方は「同じ高さで底辺が 4：3 だから、面積比は 16：9」です。どこが違うかというと、高さは共通なのに、底辺と同じ比で高さまで変わるものとして計算しています。相似が確かめられていない2つに、相似の面積比の決まりを使ってしまっています。

図3のように、頂点Aから同じ直線上へ底辺を取った三角形では、共通の高さを1本の線で確かめられます。FはAから直線BCへ垂直に下ろした線とBCとの交点です。DEやECを底辺にする場合は、Fがその底辺の外にあっても、高さは同じAFです。

正しい書き方は「図3のBD：DE：EC = 4：3：4 なので、三角形ABD：三角形ADE：三角形AECの面積比も 4：3：4」です。図3の数字は長さそのものではなく、底辺の比を表しています。高さを示す点線に注目すれば、底辺ごとに別の高さを探す必要がないことが見えます。

誤り3　共通部分の数をそろえずに連比にします

誤った書き方は「BD：DE = 2：1、DE：EC = 2：3 だから、BD：DE：EC = 2：1：3」です。どこが違うかというと、同じDEが最初は1つ分、次は2つ分と、違う大きさの1つ分で表されています。後ろの3だけを付け加えると、DE：ECが 1：3 になってしまいます。

正しい書き方は「BD：DE = 4：2 にそろえ、BD：DE：EC = 4：2：3」です。直したあとに、3つの比からBD：DEとDE：ECを取り出し、もとの比に戻るか確かめます。答えの合計だけでなく、与えられた比も満たすことが連比の検算になります。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

練習1　平行線でできる小さい三角形

三角形ABCで、Dは辺AB上、Eは辺AC上にあり、DEとBCは平行です。AD：DB = 3：2、BCは 20 cm、三角形ABCの面積は 100 cm² です。DEの長さと、四角形DBCEの面積を求めてください。相似比を書く前に、AB全体が比のいくつ分かを決めましょう。

練習2　ちょうちょ型の面積比

直線ADと直線BCがOで交わり、ABとCDは平行です。ABは 6 cm、CDは 10 cm、三角形AOBの面積は 18 cm² です。AO：ODと三角形DOCの面積を求めてください。交点の反対側へ指を進め、対応する頂点を確認してから計算しましょう。

練習3　面積比から底辺を求めます

三角形ABCの辺BC上にDがあり、BCは 35 cm です。三角形ABDの面積は 24 cm²、三角形ADCの面積は 32 cm² です。BDとDCの長さを求めてください。2つの面積を比に直したとき、なぜ底辺の比にも使えるのかをひと言添えましょう。

練習4　共通する面積をそろえます

三角形ABCの辺BC上に、B、D、E、Cの順に点を取ります。三角形ABD：三角形ADEの面積比は 3：2、三角形ADE：三角形AECの面積比は 4：5 です。BCが 45 cm のとき、BD、DE、ECの長さを求めてください。共通するDEに注目して、3つの底辺の比を作りましょう。

答えと解説

練習1の答えは、DEが 12 cm、四角形DBCEの面積が 64 cm² です。AB全体は 3 + 2 = 5 に当たるので、相似比は 3：5 です。DEは 20 × 3/5 = 12 cm、面積比は 9：25 なので、小さい三角形の面積は 100 × 9/25 = 36 cm² です。全体から引くと 100 − 36 = 64 cm² になります。

練習2の答えは、AO：ODが 3：5、三角形DOCの面積が 50 cm² です。対応する辺ABとDCの比は 6：10 = 3：5 です。面積比は 9：25 なので、18 ÷ 9 × 25 = 50 cm² と求めます。18 cm² を大きい三角形の面積として扱っていないか、式の前に確認しましょう。

練習3の答えは、BDが 15 cm、DCが 20 cm です。頂点Aが共通で、底辺が同じ直線上にあるので、高さが等しくなります。したがって、BD：DC = 24：32 = 3：4 です。35 ÷ (3 + 4) = 5 より、BDは 5 × 3 = 15 cm、DCは 5 × 4 = 20 cm です。

練習4の答えは、BDが 18 cm、DEが 12 cm、ECが 15 cm です。高さが等しいので、面積比を底辺の比に移せます。BD：DE = 3：2 = 6：4 と直せば、BD：DE：EC = 6：4：5 です。45 ÷ (6 + 4 + 5) = 3 より、それぞれ 3 × 6 = 18 cm、3 × 4 = 12 cm、3 × 5 = 15 cm となります。