【中学受験算数】旅人算を図解で総まとめ—出会いと追いつき・ダイヤグラム・往復｜武蔵野個別指導塾

出会い・追いつきから往復、途中で速さが変わる問題まで、4つの例題と図でたどります。ダイヤグラムの縦軸や時間の起点を確かめ、家庭でも式の理由を説明できるようにしましょう。

よくあるのは、体育館の隅のタイム表を見ながら、先に歩き始めた人と後から走り始めた人の記録を比べ、「速い人が追いつくのだから、2人の速さを足せばよいのかな」と手が止まる場面です。「2人が動く」という点は同じでも、向かい合って進むときと、同じ向きに進むときでは、2人の間の距離の縮まり方が違います。ここを確かめずに式を覚えると、折り返しや出発時刻のずれが加わったときに迷いやすくなります。

旅人算で追うのは、それぞれが進んだ道のりだけではありません。「同じ時間に、2人の間の距離がどれだけ変わるか」が大事です。出会い、追いつき、往復を、線分図とダイヤグラムでつなげて考えましょう。お子さまが足し算か引き算かを迷ったら、答えを先に示すより、「今から1分たつと、間はどれだけ縮まるかな」と声をかけると、式の意味に戻れます。

この単元で身につけること

• 出会うまでの時間を求めます。向かい合う2人が1分間に縮める距離は、2人がそれぞれ1分間に進む道のりの和になります。
• 追いつくまでの時間を求めます。同じ向きに進む場合、後ろの人が前の人より速ければ、1分間に速さの差だけ間が縮まります。
• 時間を測り始める場面をそろえます。出発がずれる問題では、後ろの人が出発する瞬間の距離を求めてから、2人の動きを比べます。
• ダイヤグラムを読みます。同じ時刻の位置や線の交点を読み取り、出会いと折り返しを図から説明できるようにします。
• 動きが変わるところで区切ります。往復や速さの変更では、その時点の位置を確かめ、新しい間の距離と縮まり方で続きを考えます。

土台になるのは、速さの基本で学ぶ「道のり＝速さ×時間」と、単位をそろえる計算です。旅人算では、これを2人分並べ、同じ時刻どうしを比べます。式を増やす前に、どの時刻の、誰と誰の位置を比べるのかを言えるようにしておきましょう。

基本の考え方

出会いは、間の距離が両側から縮む

旅人算は、人や乗り物などの移動を、速さ・道のり・時間の関係で考える問題です。特に断りがなければ、それぞれが示された一定の速さで進むものとして読みます。途中で休む、速さを変える、折り返すなどの条件があれば、その前後は分けて扱います。

まず、1200 m離れた2地点から、Aさんが分速80 m、Bさんが分速70 mで向かい合って同時に出発する様子を考えます。1分後にはAさんが80 m、Bさんが70 m進んでいます。2人の間は両側から縮むので、縮んだ距離は80＋70＝150 mです。2分後には150×2＝300 m縮み、出発時より近くにいます。

図1のように、出発時と4分後を同じ縮尺で並べると、2人の進んだ道のりと残りの間が見比べられます。紺がAさん、赤がBさんで、矢印は進む向きです。端から端までの道は変わりませんが、その中で2人の位置が動いています。

4分間にAさんは80×4＝320 m、Bさんは70×4＝280 m進みます。合わせて600 m進んだので、間に残る距離は1200－600＝600 mです。図1の下の段では、この残り600 mが緑の線で示されています。出会う瞬間には、残りの間が0 mになります。

したがって、一定の速さで向かい合って進むときは、「初めの間の距離÷速さの和」で出会うまでの時間を求められます。これは新しい決まりを丸暗記するというより、「道のり÷1分間に進む道のり」で時間を求める考え方を、間の距離に使ったものです。足した150 mはどちらか1人の分速ではなく、1分間に2人の間が縮む距離です。

追いつきは、前の人が進む分を差し引く

同じ向きに進むときは様子が変わります。前の人が分速60 m、後ろの人が分速90 mなら、1分間に後ろの人は90 m進みますが、その間に前の人も60 m進みます。間を縮めるのに使えたのは、90－60＝30 mです。初めの間が300 mなら、300÷30＝10分で追いつきます。

ここで300÷90とすると、前の人が止まっているかのように扱ったことになります。前の人の出発時の場所に着くことと、動いている前の人に追いつくことは別です。お子さまには、机の上に2個の消しゴムを並べ、同じ回数だけ前へ動かして見せてもよいでしょう。後ろを大きく動かしても、前も進めば、その分だけ間の縮まりが小さくなります。

追いつく問題では、後ろの人が前の人より速いことが必要です。初めに離れていて、同じ速さで同じ向きに進み続けるなら、間は変わりません。後ろの人のほうが遅ければ間は広がります。計算の前に、本当に追いつく動きなのかを確認すると、割る数だけを機械的に選ばずにすみます。

また、分速で計算するなら時間は分、道のりはmにそろえます。時速4.8 kmは、1時間に4800 m、1分間には4800÷60＝80 m進む速さです。時速と分速をそのまま足したり引いたりすることはできません。数字の横に単位を添えるだけでも、違う種類の数を合わせる誤りに気づきやすくなります。

ダイヤグラムは、同じ時刻の位置を比べる図

横軸に時間、縦軸に決めた地点からの距離を取った図を、ここではダイヤグラムと呼びます。直線の道を行き来する問題では、「出発点から道に沿って何mの位置にいるか」を縦軸にすると便利です。横軸と縦軸には、何を表すかと単位を書きます。

一定の速さで出発点から遠ざかると、右上がりの直線になります。同じ時間で大きく位置が変わるほど、同じ目盛りの図では線が急になります。出発点へ戻ると右下がりになり、止まって待っている間は横向きになります。折り返しでは進む向きが変わり、速さだけが変わる場合は線の傾きが変わります。

2人の線が交わる点は、同じ時刻に同じ位置にいることを表します。同じ道を移動していれば、その点が出会いや追いつきに対応します。交点から真下に読んだ値は時刻や経過時間、真横に読んだ値は出発点からの距離です。2人の線を違う時刻で比べても、その瞬間の間の距離にはなりません。縦にそろえて読むことが、図と計算をつなぐ基本です。

例題で解き方を確かめる

例題1　向かい合って進む2人の出会い

1200 m離れたP地点とQ地点から、AさんとBさんが同時に向かい合って出発しました。Aさんは分速80 m、Bさんは分速70 mで進みます。何分後に出会いますか。また、出会う場所はP地点から何mですか。AさんはP地点から出発します。

1. 1分間に間が縮む距離を求めます。向かい合うので、80＋70＝150 mです。図1の両側の矢印が、間を両方から短くする動きを表しています。
2. 初めの間の距離を、1分間に縮む距離で割ります。1200÷150＝8分です。出会うまでに1200 mの間がすべてなくなるため、この割り算で時間が求められます。
3. 出会う場所はAさんの道のりで求めます。80×8＝640 mです。P地点からの距離を聞かれているので、P地点から出たAさんの速さを使います。

答え：8分後に、P地点から640 mの場所で出会います。

確かめると、Bさんの進んだ道のりは70×8＝560 mで、640＋560＝1200 mになります。2人が同じ8分間進んだことと、道のりの和が両地点の距離になることの両方が合っています。「8分」とだけ求めて終えず、図のどこで会うかまで戻ると、式で扱った量がはっきりします。

例題2　5分遅れて出発した人の追いつき

AさんがP地点から分速60 mで歩き始めました。その5分後、Bさんが同じP地点から同じ向きに分速90 mで進み始めました。Bさんが出発してから何分後に追いつきますか。2人とも追いつくまでは速さを変えません。

1. Bさんが出発する瞬間の間の距離を求めます。Aさんだけが5分進んでいるので、60×5＝300 mです。2人がともに動き始める場面へ、いったん時間を進めます。
2. 1分間に間が縮む距離を求めます。同じ向きに進むので、90－60＝30 mです。Bさんの進む90 mから、Aさんがその間に進む60 mを差し引きます。
3. 追いつくまでの時間を求めます。300÷30＝10分です。この10分は、初めの間を300 mとした時点、つまりBさんの出発から数えた時間です。

答え：Bさんが出発してから10分後に追いつきます。

追いつく場所は、Bさんの道のりで90×10＝900 mです。Aさんは先に歩いた5分を含めて15分進んでいるので、60×15＝900 mとなり、同じ場所にいます。もし「Aさんが出発してから」と聞かれたら、答えは5＋10＝15分後です。求めた数の意味は、式だけでなく問題の最後の問いと照らして確かめます。

例題3　先に折り返した人と出会う

P地点とQ地点は900 m離れています。AさんとBさんがP地点を同時に出発し、Aさんは分速90 m、Bさんは分速60 mでQ地点へ向かいます。AさんはQ地点に着くとすぐに同じ速さで折り返します。出発後、2人が次に出会うのは何分後で、P地点から何mの場所ですか。

1. Aさんが折り返すまでの時間を求めます。900÷90＝10分です。まず、2人の進む向きが変わる時点を決めます。
2. 10分後のBさんの位置を求めます。60×10＝600 mなので、Q地点にいるAさんとの間は900－600＝300 mです。往復の全体を一度に考えず、折り返しの瞬間の2人を並べます。
3. 折り返した後は向かい合うので、90＋60＝150 mずつ毎分近づきます。300÷150＝2分で出会います。ここで求めたのは、折り返した後の時間です。
4. 出発からの時間は10＋2＝12分です。BさんはまだQ地点に着いていないので、出会う場所は60×12＝720 mと求められます。

答え：出発してから12分後に、P地点から720 mの場所で出会います。

図2のように、Aさんの線は10分で折れ、Bさんの線と12分のところで交わります。縦軸はP地点からの距離です。図の細い補助線に沿うと、交点の時間は12分、位置は720 mと読み取れます。10分後に300 mあった縦の間が、2分間でなくなることも見て取れます。

別の確かめ方もあります。AさんはQ地点までの900 mと、戻った90×2＝180 mを合わせて1080 m進みました。Bさんの720 mと合わせると1080＋720＝1800 mで、P地点とQ地点の距離の2倍です。Aさんが折り返してから初めて出会う今回の条件では、2人の道のりの和が往復分になります。そのため900×2÷（90＋60）＝12分という計算でも確かめられます。

ただし、道のりの和を2倍の距離にする方法は、いつでも使えるわけではありません。出発点が違う、途中で待つ、何度も往復するなどの条件が付けば、どの区間を2人が進んだのかを改めて図にする必要があります。初めは、折り返しの瞬間で分ける解き方を確実にしましょう。

例題4　途中で1人の速さが変わる

1800 m離れたP地点とQ地点から、AさんとBさんが同時に向かい合って出発します。AさんはP地点から分速60 m、BさんはQ地点から分速90 mで進みます。出発から6分後、Aさんだけが分速90 mに速さを変えました。出発から何分後に、P地点から何mの場所で出会いますか。

1. 最初の6分間に縮んだ距離を求めます。（60＋90）×6＝900 mです。この間だけは、初めの2つの速さを使います。
2. 速さが変わった瞬間の間の距離を求めます。1800－900＝900 mです。まだ間が残っているので、2人は6分より前に出会っていないことも確認できます。
3. その後の1分間に縮む距離は90＋90＝180 mです。残り900 mを縮める時間は900÷180＝5分となります。
4. 出発からは6＋5＝11分です。Aさんの道のりを前後に分けると、60×6＋90×5＝360＋450＝810 mになります。

答え：出発してから11分後に、P地点から810 mの場所で出会います。

Bさんは11分間ずっと分速90 mなので、道のりは90×11＝990 mです。810＋990＝1800 mとなり、両地点の間を2人でちょうど進んでいます。出会った時刻だけが合っていても、場所の計算でAさんが初めから分速90 mだったことにしていないか、もう一度確かめましょう。

つまずきやすいところと直し方

同じ向きなのに速さを足してしまう

誤った書き方は、例題2で「300÷（90＋60）＝2分」とする形です。これでは、前のAさんが後ろのBさんに向かって戻ってくる動きになってしまいます。300 mという初めの間は正しくても、その間の縮め方が問題の条件と違います。

正しい書き方は「300÷（90－60）＝10分」です。Bさんが1分進む間に、Aさんも前へ進むことを、矢印で示しましょう。答えの2分を試すと、Bさんは180 m、Aさんは出発から7分で420 m進んでいるので、まだ240 m離れています。求めた時間をそれぞれの道のりに戻すと、誤りを具体的に見つけられます。

折り返した後も、位置と道のりを同じにする

誤った書き方は、例題3で「Aさんは90×12＝1080 m進むから、出会う場所はP地点から1080 m」とする形です。1080 mは移動した道のりの合計であって、P地点からの距離ではありません。今回の道の端は900 m先なので、位置として1080 mを答えると、Q地点より先にいることになってしまいます。

正しい書き方は「900－90×（12－10）＝720 m」です。Q地点まで行った後、2分間で180 m戻っています。図2のAさんの線が下がるのは、歩いた道のりが減ったからではありません。歩き続けながらP地点に近づき、P地点からの距離が小さくなっているためです。縦軸に書いた量を声に出して読むと、この取り違えを防げます。

変わった後の速さを、最初から使ってしまう

誤った書き方は、例題4で「1800÷（90＋90）＝10分」とする形です。Aさんが最初の6分間を分速60 mで進んだ条件を落としてしまっています。途中から速くなっても、すでに進み終えた区間の時間や道のりまで変わるわけではありません。

正しい書き方は「1800－（60＋90）×6＝900 m」「900÷（90＋90）＝5分」「6＋5＝11分」です。図3のように、速さを変えた6分の位置に区切りを入れます。紺のAさんの線はそこで急になりますが、線は切れずにつながります。速さが変わる瞬間に、位置が飛ぶことはないからです。

図3で同じ6分の縦の位置を見ると、AさんはP地点から360 m、BさんはP地点から1800－90×6＝1260 mの位置です。その差1260－360＝900 mが、次の計算に渡す間の距離です。Bさんが進んだ540 mを、そのままP地点からの位置だと思わないようにしましょう。図の縦軸の基準と、その人の出発点が違うときは、引き算で置き直します。

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練習問題

各問で、計算する前に「いつの間の距離を使うか」と「1分間に何m縮まるか」を書いてみましょう。出会った時刻が求められたら、それぞれの位置が一致することまで確かめます。

練習1

1350 m離れたP地点とQ地点から、AさんとBさんが同時に向かい合って出発しました。AさんはP地点から分速75 m、BさんはQ地点から分速60 mで進みます。何分後に、P地点から何mの場所で出会いますか。

練習2

AさんがP地点から分速50 mで歩き始めました。8分後に、BさんがP地点から同じ向きに分速90 mで進み始めました。Bさんの出発から何分後に追いつきますか。また、Aさんの出発から数えると何分後ですか。

練習3

960 m離れたP地点とQ地点の間を進みます。AさんとBさんはP地点を同時に出発し、Aさんは分速80 m、Bさんは分速40 mです。AさんだけがQ地点に着くとすぐ同じ速さで折り返します。出発後、次に出会うのは何分後で、P地点から何mの場所ですか。

練習4

2100 m離れたP地点とQ地点から、AさんとBさんが同時に向かい合って出発します。AさんはP地点から分速70 m、BさんはQ地点から分速80 mで進みます。4分後、Aさんが分速100 mに速さを変えます。出発から何分何秒後に、P地点から何mの場所で出会いますか。

答えと解説

練習1の答えは、10分後、P地点から750 mです。1分間に75＋60＝135 m近づくので、1350÷135＝10分です。Aさんは75×10＝750 m、Bさんは60×10＝600 m進み、750＋600＝1350 mと確かめられます。

練習2の答えは、Bさんの出発から10分後、Aさんの出発から18分後です。初めの間は50×8＝400 m、1分間に縮む距離は90－50＝40 mなので、400÷40＝10分です。Aさんは8＋10＝18分進みます。50×18＝900 mと90×10＝900 mが一致します。

練習3の答えは、16分後、P地点から640 mです。Aさんが折り返すのは960÷80＝12分後です。その時、Bさんは40×12＝480 m進み、間は960－480＝480 mです。折り返し後は480÷（80＋40）＝4分で出会うので、12＋4＝16分後です。Bさんの位置は40×16＝640 mで、Aさんも960－80×4＝640 mにいます。

練習4の答えは、12分20秒後、P地点から1113 と 1/3 mです。初めの4分間に（70＋80）×4＝600 m縮み、残りは2100－600＝1500 mです。その後は毎分100＋80＝180 m縮むので、1500÷180＝8 と 1/3分かかります。1/3分は60÷3＝20秒ですから、4分を足すと12分20秒です。

場所は、Aさんの前半70×4＝280 mと、後半100×（8 と 1/3）＝833 と 1/3 mを足し、1113 と 1/3 mです。Bさんは80×（12 と 1/3）＝986 と 2/3 m進むので、2人の道のりの和は2100 mになります。時間を8.33分などに丸めると位置もずれるため、途中は分数のまま計算しましょう。帯分数はひとまとまりの数として読みます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

2人の間の距離に注目する見方は、列車のすれ違いや追いこしにもつながります。列車には長さがあるので、「出会った瞬間」と「完全にすれ違い終わる瞬間」の間に、さらに進む道のりがあります。旅人算で距離の始まりと終わりをはっきりさせておくと、その違いを考えやすくなります。また、途中で動きが変わる場所を区切る方法は、移動する点と図形の問題にも役立ちます。

家庭では5分ほどで、次の2つを確かめられます。1つ目は、紙に2人の位置と向きだけを描き、「1分後」の位置を追加する方法です。前が分速60 m、後ろが分速90 mなら、間が30 m縮む理由をお子さまの言葉で説明してもらいます。計算の速さより、前の人も動かしているかを見ます。

2つ目は、例題3の図を指して「10分後、AさんとBさんはどこにいるか」「12分後、Aさんが歩いた道のりとP地点からの距離は同じか」と尋ねる方法です。数値を全部書き直さなくても、折れ目と交点に意味を付けられるかを確かめられます。個別指導では、式の選び方に迷うときは1分間の移動まで、図が読めないときは1人の位置を時間ごとに表にするところまで戻って確認します。

まとめ

旅人算の答案には、計算結果のほかに、時間の起点と距離の基準が表れます。「10分後」が誰の出発からなのか、「720 m」が進んだ道のりなのか、出発点からの位置なのかまで書けば、読み手にも動きが伝わります。複雑に見える問題でも、動きの変わる瞬間に2人を置き直すと、その先に使う距離が定まります。

旅人算の式を決めるのは、問題名ではなく、同じ1分間に2人の間がどう変わるかです。