【中学受験算数】平均算を図解で総まとめ—面積図・平均から合計・平均の取り違えの直し方｜武蔵野個別指導塾

人数の違う組の平均点や往復の平均の速さを、横幅に意味を持たせた面積図で読み解きます。合計へ戻す例題と練習問題を通して、何で割るかを親子で確かめられます。

よくあるのは、朝のホームルーム前の教室で、2 つの班の平均点を見たお子さまが、「70 点と 90 点だから、合わせると 80 点」と書いたところで止まる場面です。隣に書かれた人数は、一方が 3 人、もう一方が 5 人です。足して 2 で割る計算そのものは合っています。それでも全員の平均点にならないのは、2 つの数字の後ろにいる人数が違うからです。

平均算では、平均の求め方だけでなく、平均から合計に戻す見方を使います。「平均点が 2 点上がった」と聞いたときも、1 人分の変化なのか、全員分の変化なのかを区別できると、求める量がはっきりします。数字だけを追わず、点数と人数を組にして読む練習が出発点です。

面積図を使うと、平均を高さ、人数を横幅、合計点を面積として表せます。高さだけで判断していた問題に横幅が加わると、同じ式を使える場面と使えない場面を見分けられます。最後には、速さの平均で時間に注目する理由も、この図の見方から確かめましょう。

この単元で身につけること

• 平均の意味を「同じ大きさにならした値」と説明します。実際に全員がその点数を取ったという意味ではなく、合計を保って等しく分けたときの値です。
• 平均から合計を求めます。「平均 × 人数」や「平均 × 回数」と書き、かける数が何を数えたものかまで確かめます。
• 面積図の縦と横を読み分けます。平均点が縦、人数が横なら、長方形の面積は全員の合計点に対応します。
• 人数の違う組を合わせた平均を求めます。各組の合計点を足してから、全体の人数で割る順序を使います。
• 平均の速さを、道のりの合計と時間の合計から求めます。等しい時間で進む場合と等しい道のりを進む場合を区別します。

これまで学んだわり算の「同じ数ずつ分ける」考え方と、長方形の面積を求めるかけ算が土台になります。平均算という名前のために特別な計算が増えるわけではありません。何の合計を何個分に分けているかが言えれば、式の順序を自分で決められます。

基本の考え方

平均は、合計を保ったままならした値です

3 人の点数が 60 点、80 点、100 点だったとします。合計は 60 + 80 + 100 = 240 点です。これを 3 人に等しく分けると、240 ÷ 3 = 80 点になります。この 80 点が平均点です。計算の形は「平均 = 合計 ÷ 個数」で、点数の問題なら個数のところに人数やテストの回数が入ります。

ここで、100 点の人から 20 点分を取り、60 点の人へ移すことを考えます。実際の点数を書き換えるのではなく、平均の意味を見るための操作です。60 点は 80 点になり、100 点も 80 点になります。真ん中の 80 点はそのままなので、3 人分が同じ高さになります。移しただけですから、合計の 240 点は変わりません。

図1のように、1 人分を同じ横幅の長方形で表すと、点数の高い部分を低い部分へ移してならす様子が見えます。左と右の図で、1 人分の横幅と 1 点分の高さは共通です。左側の赤い部分と緑の枠で示した不足分は、同じ大きさになっています。

図1の右側は、横が 3 人分、高さが 80 点の長方形です。面積が表すのは合計点なので、80 × 3 = 240 点と読み戻せます。図に cm の長さをつけて面積を求める問題とは違い、ここでは横幅と高さに人数と点数を対応させています。「広さに当たるものが合計点」と言えることが、この図を使う目的です。

平均が実際の点数のどれかと一致するとは限りません。たとえば 70 点と 90 点の 2 人の平均は 80 点ですが、80 点を取った人はいません。また、74 点と 75 点なら平均は 74.5 点です。1 人ずつの点数が整数でも、ならした値には小数が出ることがあります。平均に小数が出たという理由だけで、四捨五入して整数にしないようにします。

平均がわかれば、合計まで戻れます

平均が 76 点で人数が 5 人なら、合計点は 76 × 5 = 380 点です。「合計を 5 人で等しく分けたら 76 点になった」という関係を、反対からたどっています。平均算で手が止まったら、まず問題文から平均と人数の組を探し、合計を求められないか見てみましょう。

求めるものに応じた関係は、次の 3 つです。別々の公式として覚えるより、同じ長方形の高さ、横幅、面積を順に見ていると考えるとつながります。

• 平均 = 合計 ÷ 個数。全体をいくつ分に等しく分けるかを表します。
• 合計 = 平均 × 個数。ならした 1 つ分を全部集め直します。
• 個数 = 合計 ÷ 平均。ならした 1 つ分が何個あるかを調べます。

最後の式は、平均が 0 ではない場合に使います。たとえば合計が 360 点で平均が 72 点なら、360 ÷ 72 = 5 人と求められます。ただし、平均点だけを聞いて人数まで決めることはできません。平均が同じでも、3 人の組と 30 人の組では合計点が違うためです。

問題に「4 回の平均」とあれば、分ける数は 4 です。「4 人の平均」とあれば、同じ 4 でも人数を表します。数値が同じだからと省略せず、式の横に「4 回」「4 人」とメモすると、あとで誰かが加わったり 1 回分が増えたりしたときに、割る数を取り違えにくくなります。

組を合わせるときは、人数が横幅になります

3 人の組と 5 人の組を合わせるとき、平均点を表す長方形の横幅は同じではありません。1 人分を同じ幅で描けば、5 人の組のほうが横に長くなります。両方の面積を合わせ、その全体を 8 人分の幅にならした高さが、全員の平均点です。

このように人数や個数の違いを反映して求める平均を、加重平均と呼ぶことがあります。名前を先に覚えなくても、「組ごとの合計を出す」「合計どうしを足す」「人数も足して割る」という手順で求められます。平均点が高い組の人数が多ければ、全体の平均は高いほうへ寄ります。答えの大きさを見積もるときにも役立つ見方です。

保護者の方からは、「その平均は何人分をならした点数かな」と声をかけてみてください。平均点の数字だけを丸で囲むのでなく、その隣の人数も一緒に囲むと、かけ算で戻す相手が見つかります。初めから式を伝えるよりも、図の横幅をお子さま自身に決めてもらうと、人数を使う理由まで確かめられます。

例題で解き方を確かめる

例題1　平均点と人数から、残りの 1 人の点数を求める

5 人が同じテストを受け、平均点は 76 点でした。このうち 4 人の点数は、68 点、72 点、80 点、75 点です。残りの 1 人の点数は何点ですか。

1. 5 人の合計点を求めます。平均の 76 点は 5 人分をならした値なので、76 × 5 = 380 点です。最初に全体の合計がわかれば、残りは引き算で求められます。
2. 点数がわかっている 4 人の合計を求めます。68 + 72 + 80 + 75 = 295 点です。76 点はこの 4 人の平均ではないので、76 × 4 としないようにします。
3. 全体から、わかっている分を引きます。380 − 295 = 85 点です。引いた残りがちょうど 1 人分なので、さらに人数で割る必要はありません。

答え：残りの 1 人の点数は 85 点です。

確かめるときは、見つけた点数を元の仲間に戻します。(68 + 72 + 80 + 75 + 85) ÷ 5 = 76 点となり、問題の平均と一致します。答えの 85 点が平均の 76 点より高いことも自然です。先の 4 人の平均は 295 ÷ 4 = 73.75 点なので、そこへ高い点数の人が加わって平均が上がっています。

例題2　人数の違う 2 つの組を合わせる

同じテストを受けた A 組 3 人の平均点は 70 点、B 組 5 人の平均点は 90 点でした。8 人全員の平均点は何点ですか。

1. A 組の合計点を求めます。70 × 3 = 210 点です。平均の 70 点だけでなく、横幅に当たる 3 人分をかけます。
2. B 組の合計点を求めます。90 × 5 = 450 点です。こちらは 5 人いるため、A 組と同じ横幅として扱えません。
3. 合計点と人数をそれぞれ合わせます。210 + 450 = 660 点、3 + 5 = 8 人です。点数に人数を足すのではなく、同じ種類の量どうしを集めます。
4. 全体の平均点を求めます。660 ÷ 8 = 82.5 点です。2 組を合わせていますが、等しく分ける相手は 2 組ではなく 8 人です。

答え：8 人全員の平均点は 82.5 点です。

図2のように、横幅を 3 人分と 5 人分に描き分けると、90 点の組が全体の高さに強く影響することが読み取れます。破線は全体の平均の 82.5 点です。A 組でその高さに届かない部分と、B 組でその高さを超える部分の面積が等しくなります。

不足する点数は、(82.5 − 70) × 3 = 37.5 点です。一方、超える点数は、(90 − 82.5) × 5 = 37.5 点になります。高さの差は 12.5 点と 7.5 点で違いますが、人数をかけた合計は一致します。平均からの差だけを見るのでなく、その差が何人分あるかまで見ることが必要です。

別の確かめ方として、8 人とも 70 点だった場合を基準にすることもできます。B 組の 5 人は 1 人あたり 20 点ずつ多いので、多い分は 20 × 5 = 100 点です。これを 8 人でならすと 100 ÷ 8 = 12.5 点ずつ増え、70 + 12.5 = 82.5 点になります。合計点が大きくなる問題では、この「基準から多い分」に注目する方法も使えます。

例題3　次のテストで必要な点数を求める

同じ満点のテストを 4 回受けたところ、平均点は 72 点でした。次の 1 回を加えた 5 回の平均点を 75 点にするには、次に何点取ればよいですか。

1. これまでの合計点を求めます。72 × 4 = 288 点です。今ある点数は 4 回分なので、最初の平均には 4 をかけます。
2. 目標の合計点を求めます。75 × 5 = 375 点です。75 点にしたいのは次のテストを含めた 5 回の平均なので、こちらには 5 をかけます。
3. 目標の合計から、すでにある合計を引きます。375 − 288 = 87 点です。次のテストの点数がこの差を埋めれば、平均がちょうど 75 点になります。

答え：次のテストで必要な点数は 87 点です。

ここでは「平均を 3 点上げたいから、次は 75 点」と考えないようにします。次に 75 点を取っても、これまでの 4 回分は 75 点ずつに届いていません。1 回あたり 75 − 72 = 3 点、4 回分では 3 × 4 = 12 点の不足があります。次の 1 回分の 75 点にその不足を加えた 75 + 12 = 87 点が必要です。

この見方で説明できれば、平均の上がり方を点数の合計に結びつけられています。なお、必要な点数を計算したあとには満点との関係も見ます。問題に満点が示され、その満点を超える点数が必要になる場合、その条件では目標の平均には届きません。計算結果が出ることと、条件に合うことは別々に確認します。

例題4　同じ道のりを往復するときの平均の速さ

片道 6 km の道を、行きは時速 3 km、帰りは時速 6 km で進みました。途中で休まず、速さはそれぞれ一定とします。往復全体の平均の速さは時速何 km ですか。

1. 行きにかかった時間を求めます。道のりを速さで割るので、6 ÷ 3 = 2 時間です。同じ 6 km でも、遅い行きには時間が多くかかります。
2. 帰りにかかった時間を求めます。6 ÷ 6 = 1 時間です。行きと帰りの時間は同じではありません。
3. 道のりと時間をそれぞれ合計します。道のりは 6 + 6 = 12 km、時間は 2 + 1 = 3 時間です。平均の速さは、全行程を一定の速さで進んだと考えたときの速さです。
4. 道のりの合計を時間の合計で割ります。12 ÷ 3 = 4 なので、時速 4 km です。往復という 2 つの区間の数ではなく、実際にかかった 3 時間で割ります。

答え：往復全体の平均の速さは時速 4 km です。

時速 4 km で 3 時間進めば、4 × 3 = 12 km となり、同じ道のりを同じ時間で進めます。「2 つの速さの真ん中」かどうかよりも、この条件に合っているかで確かめます。速さの平均で使う横幅が何なのかは、次の図で詳しく見ていきましょう。

つまずきやすいところと直し方

平均点を足して、そのまま 2 で割ってしまう

誤った書き方は、例題2での (70 + 90) ÷ 2 = 80 点です。どこが違うかというと、3 人分を表す平均と 5 人分を表す平均を、同じ人数分として扱っています。平均点の数字を 1 個ずつ選んで平均しても、8 人全員を等しく扱ったことにはなりません。

正しい書き方は、(70 × 3 + 90 × 5) ÷ (3 + 5) = 82.5 点です。長い式が読みにくければ、例題2のように合計点を別々に出して構いません。式を短くまとめることよりも、210 点と 450 点がそれぞれ何人分なのかを言えることを確かめます。

ただし、平均どうしを足して 2 で割る方法がいつでも誤りというわけではありません。たとえば 3 人ずつの組で平均が 70 点と 90 点なら、(70 × 3 + 90 × 3) ÷ 6 = 80 点です。この場合は両方の横幅が等しいので、平均点の真ん中になります。「使える条件は人数が同じとき」と説明できれば、単なる禁止の暗記になりません。

人数が増えたのに、以前の人数で割ってしまう

誤った書き方は、例題3の確かめで (288 + 87) ÷ 4 とすることです。どこが違うかというと、点数は 5 回分になったのに、分ける回数が 4 回のままです。375 ÷ 4 = 93.75 点と計算できても、それは求めたい 5 回の平均ではありません。

正しい書き方は、(288 + 87) ÷ 5 = 75 点です。問題文の「次の 1 回を加えた」に印をつけ、「前は 4 回、あとは 5 回」と並べて書きます。人数が増える問題でも同じで、点数の合計だけでなく人数の合計も更新する必要があります。

反対に、同じ 5 人のうち 1 人の点数を訂正するだけなら、人数は 5 人のままです。「点数が加わる」と「人が加わる」は同じではありません。式を立てる前に、登場する人数や回数が変わったのか、数値だけが変わったのかを文から判断しましょう。

往復の速さを足して 2 で割ってしまう

誤った書き方は、例題4での (3 + 6) ÷ 2 = 4.5 から時速 4.5 km とすることです。どこが違うかというと、時速 3 km で進んだ時間と、時速 6 km で進んだ時間を等しいものとして扱っています。実際には、前者が 2 時間、後者が 1 時間です。

図3のように、速さを高さ、時間を横幅にすると、長方形の面積は道のりになります。行きは幅が 2 時間分で高さが時速 3 km、帰りは幅が 1 時間分で高さが時速 6 km です。2 つの面積はどちらも 6 km に対応しますが、横幅は違います。破線の高さは、面積の合計を変えずに 3 時間分へならした時速 4 km です。

正しい書き方は、(6 + 6) ÷ (2 + 1) = 4 です。図3では、行きの長方形で破線まで足りない部分と、帰りの長方形で破線を超える部分の面積が等しくなっています。点数の図と共通するのは、合計を保って高さをならす点です。違うのは、横幅が人数から時間に変わった点です。

もし時速 3 km で 1 時間、時速 6 km で 1 時間進むなら、道のりは 3 + 6 = 9 km、時間は 2 時間なので、平均は時速 4.5 km になります。速さを足して 2 で割れるのは、このように同じ時間ずつ進む場合です。「同じ道のり」と「同じ時間」を取り違えないよう、問題文のどちらがそろっているかを声に出して確かめます。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

各問題で、最初に「何の合計が必要か」と「最後に何で割るか」を余白に書いてから計算してみましょう。すぐに一続きの式にしなくても、人数や回数を添えた短い計算を順に並べれば、考え方を追うことができます。

練習1

4 人の平均点は 78 点です。そのうち 3 人の点数は、74 点、81 点、77 点でした。残りの 1 人の点数を求めましょう。また、その答えを含めた 4 人の平均が、問題の平均と一致するか確かめましょう。

練習2

同じテストで、A 組 4 人の平均点は 65 点、B 組 6 人の平均点は 80 点でした。全員の平均点を求めましょう。計算する前に、答えが 65 点と 80 点の真ん中よりも高くなるか低くなるかを考えてください。

練習3

100 点満点のテストを 3 回受けた平均点は 68 点でした。次の 1 回を加えた 4 回の平均点を 73 点にするには、次に何点取ればよいですか。求めた点数が満点以内かも確認しましょう。

練習4

片道 12 km の道を、行きは時速 4 km、帰りは時速 6 km で往復しました。途中で休まず、それぞれの速さは一定です。往復全体の平均の速さを求めましょう。行きと帰りにかかった時間も書いてください。

答えと解説

練習1の答えは 80 点です。全体の合計は 78 × 4 = 312 点、わかっている 3 人の合計は 74 + 81 + 77 = 232 点なので、312 − 232 = 80 点となります。(74 + 81 + 77 + 80) ÷ 4 = 78 点で、元の平均に戻ります。

練習2の答えは 74 点です。合計点は 65 × 4 + 80 × 6 = 740 点、人数は 4 + 6 = 10 人なので、740 ÷ 10 = 74 点です。2 つの平均の真ん中は (65 + 80) ÷ 2 = 72.5 点ですが、人数の多い B 組の平均が高いため、全体の平均も真ん中より高くなります。

練習3の答えは 88 点です。必要な合計は 73 × 4 = 292 点、これまでの合計は 68 × 3 = 204 点なので、292 − 204 = 88 点となります。88 点は 100 点以内ですから、満点の条件にも合います。これまでの不足を埋める見方では、73 + (73 − 68) × 3 = 88 点と求められます。

練習4の答えは時速 4.8 km です。行きは 12 ÷ 4 = 3 時間、帰りは 12 ÷ 6 = 2 時間かかります。道のりは合計 24 km、時間は合計 5 時間なので、24 ÷ 5 = 4.8 です。時速 4.8 km で 5 時間進むと 24 km となり、往復の道のりと一致します。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

平均算で学ぶ「1 つ分の量と、その個数を組にする」見方は、割合と比や食塩水の問題につながります。濃さだけを見ずに水溶液の量も見ることは、平均点だけを見ずに人数も見ることと似ています。また、速さの問題では、単位をそろえたうえで道のりと時間の合計を求める習慣が、そのまま役立ちます。

家庭では、次の 2 つを合わせて 5 分ほどで試せます。どちらも計算の速さを測るためではなく、何を等しく分けているのかを言葉で確かめるための取り組みです。

1. 紙に 6、8、10 と書き、同じ幅の棒を描きます。「どこからどこへ移せば同じ高さになるかな」と尋ね、10 から 2 を移して全部を 8 にできることを確かめます。最後に合計が 24 のままであることを確認します。
2. 「平均 70 点の 2 人」と「平均 90 点の 4 人」を紙に書きます。答えを急いで出さず、「合計は何点か」「全員で何人か」の 2 問を尋ねます。140 点と 360 点、全員で 6 人と答えられれば、最後に 500 点を 6 人で分ける準備ができています。

個別指導で確認する場合も、平均の式だけを練習し続けるのではなく、点数を集める足し算と、人数分に分けるわり算まで戻ります。そこが説明できたら、面積図の横幅を自分で描けるかを確かめ、数値を入れた式へ進みます。

まとめ

答えが合っていても、「2 つの平均があるから 2 で割った」という説明なら、人数の違う問題でもう一度考える余地があります。反対に、途中の計算で間違えても、何人分の合計を集めたのかが説明できれば、直す場所を具体的に探せます。家庭で解答を見るときにも、最後の数字と一緒に、割る数の意味に目を向けてみてください。

平均点も平均の速さも、図の高さだけでは決まりません。平均の計算を決めるのは、数字の並びではなく、何を何個分に分け直すかです。