【中学受験算数・中1数学】食塩水の濃度のつまずき診断—5問で間違え方の型を見つけ、戻る場所を決める｜武蔵野個別指導塾

答えは、10%です。分母に使う食塩水の重さは200gです。

1. 180gは水だけの重さです。溶かした食塩20gも、できた食塩水の中に入っています。
2. 食塩水全体は、20 + 180 = 200 で200gです。この全体を100%と見ます。
3. 20 ÷ 200 = 0.1、0.1 × 100 = 10 と計算します。全体200gの10分の1が食塩20gなので、10%と確かめられます。

A型：20 ÷ 180 × 100 としました。原因として、水だけを全体と考えたことが考えられます。この式が表すのは水の重さに対する食塩の割合で、この問題で求める濃度とは基準が違います。戻り先は食塩水の濃度のつまずき解説です。読むところの目安は、濃度の分母を水ではなく食塩水にする説明です。紙に「水180g + 食塩20g = 食塩水200g」と書いてから、全体に丸を付けてください。

B型：20 ÷ 200 = 0.1 から、0.1%としました。原因は、小数で求めた割合に、そのまま%を付けたことです。戻り先は割合の文章題です。読むところの目安は、割合と百分率の対応、もとにする量を100%と見る説明です。1が100%、0.1が10%と対応を並べます。%に直す段階と、割り算をする段階を別の行に書くと、どちらで誤ったか分かります。

A型：200 ÷ 20 × 100 = 1000 としました。原因は、全体と部分の順序を逆にしたことかもしれません。戻り先は割合の文章題です。読むところの目安は、比べる量をもとにする量で割る説明です。「全体の中に食塩がどのくらいあるか」と言い直します。この問題には水もあるので、食塩の割合が100%を超える答えは場面と合いません。再確認1でも、分母の名前を添えてください。

答えは、20gです。

1. 250gは、すでに食塩と水を合わせた食塩水の重さです。さらに食塩の重さを足して全体にする必要はありません。
2. 8%は、食塩水の重さの8/100が食塩だという意味です。小数なら0.08です。
3. 250 × 0.08 = 20 と求めます。20 ÷ 250 × 100 = 8 と濃度に戻せれば、もとの条件に合います。

B型：250 × 8 = 2000 としました。原因は、8%を8倍として扱ったことです。戻り先は割合の文章題です。読むところの目安は、百分率を小数に直し、全体に割合をかけて部分を求める説明です。先に8 ÷ 100 = 0.08と書きます。全部で250gの食塩水の中に食塩だけで2000gあることにはならない、と大きさも確認してください。

B型：250 × 0.8 = 200 としました。原因として、8%を80%に当たる0.8へ直したことが考えられます。戻り先は食塩水の濃度を図解で総まとめです。読むところの目安は、濃度から食塩の重さを求める基本の計算です。100gの8%食塩水なら食塩は8gです。250gはその2.5倍なので20gになる、という見方でも確かめられます。

B型：250 ÷ 0.08 = 3125 としました。原因は、食塩の重さを求める場面と、食塩水全体を逆算する場面を入れ替えたことです。戻り先は割合の文章題です。読むところの目安は、全体、割合、部分の関係です。「食塩水250g × 0.08 = 食塩の重さ」と、量の名前を付けて式を完成させます。再確認2で、求めるものが%ではなくgであることも確認してください。

答えは、水を加えた後が8%、その後に蒸発させた後が10%です。

1. 初めの食塩は200 × 0.1 = 20で20gです。水を加えても、食塩そのものは増えません。
2. 水を加えた後の食塩水は200 + 50 = 250で250gです。20 ÷ 250 × 100 = 8なので8%です。
3. そこから水だけが50g出ると、食塩水は250 − 50 = 200で200gになります。食塩は20gのままなので、20 ÷ 200 × 100 = 10で10%です。

C型：水を加えた後も10%としました。原因として、食塩の重さが変わらないことと、濃度が変わらないことを同じだと考えた可能性があります。戻り先は食塩水の濃度のつまずき解説です。読むところの目安は、水を加えたときの食塩の量と全体の量の変化です。同じ20gを、より重い食塩水全体で割るので濃度は下がります。「変わらないのは食塩20g」と名前まで言ってください。

C型：水を加えた後、食塩を250 × 0.1 = 25で25gとしました。原因は、初めの10%を、操作後にも使える割合として残したことです。戻り先は食塩水の濃度を図解で総まとめです。読むところの目安は、水を加える問題で、食塩の重さを先に固定する説明です。加えたものは食塩0gの水です。どこから5gの食塩が増えたのかを考え、初めの食塩の計算を操作後へコピーしてください。

C型：蒸発後を20 ÷ 150 × 100で求めました。原因は、2回目の操作を初めの200gから始めたことです。戻り先は食塩水の濃度を図解で総まとめです。読むところの目安は、蒸発する水の重さを食塩水全体から引く説明です。今回の蒸発直前は250gです。矢印で「200g → 250g → 200g」とつなぎ、操作の順序を残します。再確認3でも、各操作の直前の量から計算してください。

答えは、10%です。

1. 4%の食塩水の食塩は100 × 0.04 = 4で4g、12%の食塩水の食塩は300 × 0.12 = 36で36gです。
2. 混ぜた後の食塩は4 + 36 = 40で40g、食塩水は100 + 300 = 400で400gです。食塩どうしと食塩水どうしを、それぞれ足します。
3. 40 ÷ 400 × 100 = 10で10%です。4%と12%の間にあり、多く入れた12%の側に近くなっています。

てんびん図でも確かめます。下の横の位置は濃度の目盛りで、容器の中の位置ではありません。4%側の重さは100g、12%側の重さは300gです。つり合う位置は、重い側に近づきます。

4%                  10%      12%
●───────────────────▲───────●
100g                支点     300g
左の濃度差は6、右の濃度差は2

この関係は、すべてを10%と見たときの食塩の不足と余りから説明できます。100gの4%食塩水は10%より食塩が6g不足し、300gの12%食塩水は10%より食塩が6g多くなります。混ぜると不足と余りが打ち消し合います。図の左右を暗記するより、何g不足し、何g多いかを一度確かめてください。

D型：(4 + 12) ÷ 2 = 8で8%としました。原因は、2種類あることだけを見て、重さの違いを無視したことです。戻り先は平均算を図解で総まとめです。読むところの目安は、平均から合計を考える説明と、平均の取り違えについての説明です。単純に真ん中の濃度になるのは、このような2種類なら同じ重さずつ混ぜた場合です。今回は濃い側が3倍あるので、食塩の合計から計算し直します。

D型：4 + 12 = 16で16%としました。原因は、割合を食塩の重さのように足したことです。戻り先は食塩水の濃度を図解で総まとめです。読むところの目安は、2種類を混ぜるとき、食塩の量を合計する説明です。足す数の単位をそろえ、「4g + 36g」と書きます。水や食塩を別に加えていないので、混ぜた結果が濃い方の12%を超えることはありません。

D型：てんびん図で、4%からの差と12%からの差を1：3にしました。原因は、重さの比を濃度差の比にそのまま写したことです。そうすると支点を6%の位置に置いてしまいます。戻り先は食塩水の濃度を図解で総まとめです。読むところの目安は、てんびん法で重さと濃度差の対応を確かめる説明です。100 × 左の差と300 × 右の差が等しくなるようにします。再確認4では、まず食塩の合計で解き、その後で図と照らし合わせてもかまいません。

答えは、12%です。

1. 混ぜた後の食塩水は200 + 100 = 300で300gです。10%なので、食塩の合計は300 × 0.1 = 30で30gです。
2. 6%の食塩水100gには100 × 0.06 = 6で6gの食塩があります。未知の側の食塩は、30 − 6 = 24で24gです。
3. 求めるのは、初めの200gを全体とする濃度です。24 ÷ 200 × 100 = 12で12%です。200 × 0.12 + 100 × 0.06 = 30となり、混ぜた後の食塩の合計と一致します。

E型：10 − 6 = 4で4%としました。原因は、混合後の濃度を、もとの濃度の足し算でできた数だと考えたことです。戻り先は食塩水の濃度を図解で総まとめです。読むところの目安は、混合前後の食塩の量が等しいことを使う説明です。引き算で戻すのは濃度どうしではなく、食塩の重さどうしです。もし4%と6%を混ぜても、両方より濃い10%にはならないことも確かめます。

E型：10 × 2 − 6 = 14で14%としました。原因は、混ぜた10%を2つの濃度の単純な平均だと考えたことです。戻り先は平均算を図解で総まとめです。読むところの目安は、平均と個数や重さを使って合計へ戻す説明です。今回は200gと100gで重さが違います。まず全体300gの中の食塩30gを求めてから、分かっている側の6gを引いてください。

A型：食塩24gまで求めて、24 ÷ 300 × 100 = 8で8%としました。原因は、最後の分母に混合後の食塩水の重さを残したことです。戻り先は食塩水の濃度のつまずき解説です。読むところの目安は、どの食塩水を全体とする濃度なのかを区別する説明です。24gは未知だった側だけの食塩です。対応する食塩水もその側の200gにそろえます。再確認5で、最後の割り算の下に「元の食塩水」と書いてください。

答えは、8%です。分母に使う食塩水の重さは150gです。

12 + 138 = 150で、食塩水全体は150gです。12 ÷ 150 = 0.08、0.08 × 100 = 8と求めます。分母を138gにしたときは問1のA型、0.08%としたときはB型の戻り先を読みます。「溶けると見えなくなる」ことと「重さがなくなる」ことは違います。水の重さと全体の重さを、式の上でも区別できたかを確認してください。

答えは、21gです。

7% = 0.07なので、300 × 0.07 = 21です。21 ÷ 300 × 100 = 7と戻せます。100gなら食塩7g、300gならその3倍という説明でもかまいません。210gや2100gとした場合は、%を小数に直したところを確認します。割り算を選んだ場合は、求めるものが全体なのか部分なのかを問2のB型の戻り先で確かめてください。7%は10%より小さいので、食塩は300gの10%より少ないはずです。

答えは、水を加えた後が6%、その後に蒸発させた後が8%です。

食塩は300 × 0.08 = 24で24gです。水を加えた後は食塩水が300 + 100 = 400で400gになり、24 ÷ 400 × 100 = 6で6%です。次に400 − 100 = 300で300gへ戻り、24 ÷ 300 × 100 = 8で8%となります。どちらの操作でも食塩24gは変わりません。初めの300gから100gを引いた場合や、加えた後も8%とした場合は問3のC型へ戻ります。今回元の濃度へ戻るのは、加えた水と蒸発した水の重さが同じだからです。

答えは、5%です。

食塩は200 × 0.03 = 6で6gと、100 × 0.09 = 9で9gです。合計15gの食塩が300gの食塩水に入るので、15 ÷ 300 × 100 = 5で5%です。てんびん図では3%から5%までの差が2、5%から9%までの差が4となり、200 × 2 = 100 × 4でつり合います。今回は薄い側のほうが重いので、結果は3%の側に近くなります。6%とした場合は単純な平均を使わなかったか確認し、問4のD型に戻ってください。

答えは、4%です。

混ぜた後は400gで、その中の食塩は400 × 0.06 = 24で24gです。分かっている側の食塩は100 × 0.12 = 12で12gなので、未知の側には24 − 12 = 12で12gありました。12 ÷ 300 × 100 = 4で4%です。4%と12%を混ぜた6%が両方の間にあり、重い4%側に近いことも合っています。6 − 12のように濃度を引いたら問5のE型、最後に400gで割ったらA型へ戻ります。元の2種類を混ぜる計算で、条件に戻せたかも確認します。