【中学受験算数】平面図形の面積を図解で総まとめ—等積変形 補助線 おうぎ形 葉っぱ形｜武蔵野個別指導塾

平行四辺形の等積変形から、補助線で求める面積比、正方形に重なるおうぎ形の葉っぱ形まで、図と4つの例題で計算の根拠をたどれます。

よくあるのは、塾の教材棚の脇で問題集を開いたお子さまが、正方形の中に弧が2本ある図を見て、「円の面積は覚えているけれど、どこを計算するの」と鉛筆を止める場面です。四角形だけなら解けるのに、曲線や斜めの線が加わると、使う公式を選べなくなります。これは、公式をさらにたくさん覚えれば必ず解決する、という困り方ではありません。

面積の問題では、最初に求めたい場所を指で囲み、知っている形を見つけることが出発点です。切って移せる部分はないか、1本の線で三角形に分けられないか、全体から余分を引けないか、と順に確かめます。形の名前を言えることと、その形の面積を計算できることの間には、このひと手間があります。

基本の公式から等積変形、おうぎ形、葉っぱ形、面積比へと進みます。計算式だけを追うのではなく、「このかけ算は図のどこを求めているか」を確かめながら読むと、複雑な図にも取りかかる場所が見えてきます。

この単元で身につけること

• 底辺と高さを組にして選びます。高さは斜めの辺の長さではなく、底辺に垂直な方向にはかった長さです。
• 形を分けたり移したりして面積を求めます。等積変形では、動かした部分にすき間や重なりがないかを確かめます。
• 目的を決めて補助線を引きます。直角三角形を作る、同じ高さの三角形を作るなど、線を引いた後の計算まで考えます。
• おうぎ形を円の一部分として扱います。中心角が円全体の何分のいくつにあたるかで、円の面積から求めます。
• 重なった図形の面積と面積比を読み取ります。二重に数えた場所や、共通になっている底辺・高さに注目します。

長方形や正方形の面積で学んだ「同じ大きさの正方形がいくつ入るか」という考えが、この単元の土台になります。比をまだ学んでいない場合も、同じ高さの三角形で底辺が2倍になると面積も2倍になることから始められます。先に形を説明し、その後で式にする順番を大切にしてください。

基本の考え方

面積の公式は底辺と高さの関係で整理します

面積は、面の広さを数で表したものです。1辺が1 cmの正方形の面積が1 cm²で、1辺が1 mの正方形の面積が1 m²です。周りの長さが同じ図形でも、面積が同じとは限りません。周りの長さを求めるときは辺を足しますが、面積を求めるときは内部の広さを考えます。

長方形の面積は「縦 × 横」、正方形の面積は「1辺 × 1辺」です。平行四辺形では「底辺 × 高さ」、三角形では「底辺 × 高さ ÷ 2」を使います。台形の面積は「（上底 + 下底）× 高さ ÷ 2」です。台形の上底と下底は、互いに平行な2辺を指します。紙の上で上に見える辺を何でも上底と呼ぶわけではありません。

ひし形では「対角線 × もう1本の対角線 ÷ 2」も使えます。対角線が直角に交わることを利用した式です。どんな四角形でも対角線の長さをかけて2で割ればよい、という決まりではありません。公式を選ぶときは、形の名前だけでなく、平行や直角という条件も確認します。

三角形のどの辺を底辺にしても面積は求められます。ただし、底辺を変えたら、高さもその底辺に合うものに変えます。たとえば、机の上に立てた三角形の紙を回すと、下にある辺は変わっても紙の広さは変わりません。底辺は、面積を考えるために選ぶ辺なのです。

また、長さの単位をそろえてから計算します。縦が20 cm、横が0.3 mの長方形なら、0.3 mを30 cmに直して、20 × 30 = 600 cm²とします。20 × 0.3と計算してから単位だけcm²と書くと、異なる物差しの数をそのままかけたことになります。式を書く前に、図の長さを同じ単位に書き直すと防げます。

等積変形は広さを保ったまま形を変えます

等積変形とは、面積を変えずに形を変えることです。図1のように、平行四辺形の左端にある三角形を切り取り、右へ移すと長方形ができます。赤い部分は同じ三角形で、向きも大きさも変えずに横へ移しています。

図1の左の平行四辺形は、底辺が8 cm、高さが4 cmです。右にできた長方形も横が8 cm、縦が4 cmなので、広さは8 × 4 = 32 cm²です。斜めの辺の長さを知らなくても計算できます。切り取った三角形がなくなったのではなく、別の場所に入ったことが理由です。

紙を実際に切るときは、切り口が底辺に垂直になるようにします。斜めに切って動かしただけでは、できた図形が長方形になるとは限りません。移動の前後で同じ部分を対応させ、外側の形がどう変わったかを見ます。

三角形にも、等積変形の見方があります。底辺を動かさず、向かいの頂点を底辺と平行な直線上で動かすと、高さが変わらないため面積も変わりません。細長い三角形と横に傾いた三角形でも、底辺と高さが同じなら広さは同じです。「同じ面積」と「同じ形」は別のことだと、ここで区別しておきます。

補助線とおうぎ形は求められる部分を作ります

補助線とは、考えやすくするために自分で加える線です。四角形の対角線を引いて三角形2つに分ける、頂点から底辺へ垂直な線を引く、円の中心と弧の端を結ぶ、といった使い方があります。線を増やすこと自体が目的ではありません。「この線を引くと、どの形の面積が求められるか」を言ってから引くと、不要な線を減らせます。

曲線を含む図では、円の中心がどこにあるかを先に探します。おうぎ形は、円の2本の半径と、その間の弧で囲まれた形です。2本の半径が作る角を中心角といいます。円の面積は「半径 × 半径 × 円周率」、おうぎ形の面積は「半径 × 半径 × 円周率 × 中心角 ÷ 360」で求めます。ここからの計算では円周率を3.14とします。

中心角が90°なら円の1/4、180°なら円の1/2です。同じ半径の円なら、中心角が2倍になるとおうぎ形の面積も2倍になります。一方、半径が2倍になると、面積の式では半径を2回かけるため、面積は4倍になります。角度の変化と半径の変化を混ぜないようにします。

複合図形では、「分けて足す」「全体から引く」「重なりを調整する」のどれが使えるかを見ます。曲線で囲まれた小さな部分を直接求められなくても、それを含むおうぎ形や正方形が計算できれば道筋ができます。求めたい場所だけを見つめず、その外側の形まで目を広げることが大切です。

例題で解き方を確かめる

例題1　台形の上底と下底を見つけます

上底が6 cm、下底が12 cm、高さが6 cmの台形の面積を求めましょう。斜めの辺の長さは与えられていません。

1. 平行な2辺を確認します。上底6 cmと下底12 cmを使うのは、この2辺の間の垂直な距離が高さ6 cmだからです。
2. 上底と下底を足して、6 + 12 = 18 cmとします。同じ台形をもう1つ組み合わせると、底辺がこの合計になる平行四辺形を作れるためです。
3. 18 × 6 ÷ 2 = 54 cm²と計算します。組み合わせた平行四辺形は台形2個分なので、最後に2で割ります。

答え：54 cm²です。

上底と高さがどちらも6 cmなので、どちらの数を使ったかわからなくなりやすい問題です。数の上に「上底」「高さ」と小さく書くと、式の役割がはっきりします。数が同じでも、図の中では別の長さを表しています。

確かめとして、同じ高さで横が6 cmの長方形なら36 cm²、横が12 cmなら72 cm²です。この台形の面積54 cm²は、その間に収まります。こうした見積もりをすると、2で割り忘れて108 cm²にした誤りにも気づけます。

例題2　平行四辺形を長方形に直します

図1の平行四辺形の面積を求めましょう。底辺は8 cm、高さは4 cmで、左下の頂点から垂直な切り口の下端までの長さは3 cmです。

1. 底辺8 cmに対する高さ4 cmを選びます。3 cmは切り取る三角形の底辺であり、平行四辺形全体の高さではないからです。
2. 左端の三角形を右へ移して、横8 cm、縦4 cmの長方形を考えます。移した三角形は右側の空いた部分にちょうど入り、広さが保たれます。
3. 長方形の面積として8 × 4 = 32 cm²と計算します。長方形の横の長さは平行四辺形の底辺と等しいため、そのまま8 cmを使えます。

答え：32 cm²です。

別の確かめ方として、図1の左の形をすっぽり囲む、横11 cm、縦4 cmの長方形を考えます。その面積44 cm²から、底辺3 cm、高さ4 cmの直角三角形2つを引くと、44 − 6 − 6 = 32 cm²です。同じ面積を、移す方法と引く方法の両方で確かめられました。

ここで、外側の横11 cmをそのまま平行四辺形の底辺にしてはいけません。外側の長方形には、もとの図形にない三角形も含まれています。式に使う数は、紙の横方向の端から端までを無条件に選ぶのではなく、求めたい形の辺をたどって選びます。

例題3　高さの等しい三角形を面積比で分けます

三角形ABCの辺BCは10 cmで、頂点Aから辺BCへの高さは6 cmです。辺BC上に点Dをとり、BDを4 cm、DCを6 cmとします。補助線ADを引いたとき、三角形ABDと三角形ADCの面積をそれぞれ求めましょう。

1. 全体の面積を10 × 6 ÷ 2 = 30 cm²と求めます。あとで2つの部分の合計と照らし合わせるためです。
2. 2つの三角形の高さが等しいことを確認します。底辺BDとDCは同じ直線上にあり、向かいの頂点もAで共通なので、どちらの高さも6 cmです。
3. 面積をそれぞれ4 × 6 ÷ 2 = 12 cm²、6 × 6 ÷ 2 = 18 cm²と求めます。底辺だけが変わり、高さと2で割る操作は共通です。
4. 12 + 18 = 30 cm²と確かめます。補助線ADで分けた2つの部分にはすき間も重なりもないので、和が全体に戻ります。

答え：三角形ABDは12 cm²、三角形ADCは18 cm²です。

比で見ると、底辺の比4：6を簡単にした2：3が、そのまま面積の比になります。全体30 cm²を2：3に分け、30 ÷（2 + 3）= 6 cm²を比の1つ分として、6 × 2、6 × 3と求めても同じです。高さが数で与えられていなくても、全体の面積と底辺の比がわかれば、この方法が使えます。

ただし、底辺の比だけを見て、どんな三角形でも面積比が等しいと決めてはいけません。今回使えた理由は「高さが同じ」ことです。比を書く直前に、その理由を図の上で説明する習慣をつけます。

例題4　おうぎ形の重なりから葉っぱ形を求めます

1辺が6 cmの正方形ABCDがあります。頂点は左上から順にA、B、C、Dです。Aを中心とする半径6 cmのおうぎ形と、Cを中心とする半径6 cmのおうぎ形を、正方形の内側に描きます。どちらも中心角は90°で、弧の端はBとDです。図2の緑色の葉っぱ形の面積を求めましょう。

図2のように、点Bと点Dを結ぶ対角線を補助線として引きます。葉っぱ形は、この線の両側にある同じ広さの部分に分かれます。半径は正方形の1辺と等しく、6 cmです。

1. おうぎ形1つの面積を6 × 6 × 3.14 ÷ 4 = 28.26 cm²と求めます。中心角90°は360°の1/4にあたるためです。
2. 三角形ABDの面積を6 × 6 ÷ 2 = 18 cm²と求めます。辺ABとADは直角に交わるので、底辺と高さとして使えます。
3. 28.26 − 18 = 10.26 cm²と求めます。Aを中心とするおうぎ形から三角形ABDを引くと、葉っぱ形のうち対角線BDよりC側の部分が残ります。
4. 10.26 × 2 = 20.52 cm²とします。Cを中心とするおうぎ形にも同じ計算が使え、対角線の反対側の部分も同じ広さだからです。

答え：20.52 cm²です。

もう1つの方法は、おうぎ形2つの面積を足して正方形を引くことです。28.26 × 2 − 6 × 6 = 20.52 cm²となります。2つのおうぎ形を合わせると正方形全体をおおい、葉っぱ形の部分だけが二重に数えられます。そのため正方形1個分を引くと、重なり1個分が残ります。

この引き算は、重なった図形ならいつでも「2つを足して正方形を引く」と覚えるものではありません。今回は、おうぎ形2つでおおう範囲が正方形と一致しています。葉っぱ形の外にある部分は1回、中の部分は2回数えている、と指でたどって確かめてください。別の位置に円がある問題では、おおう範囲が違うことがあります。

つまずきやすいところと直し方

斜めの辺を高さにしてしまいます

誤った書き方は、三角形の底辺と、すぐ隣にある斜めの辺をかけて2で割る式です。図3では底辺BCが6 cm、高さAHが4 cm、斜めの辺ACが5 cmなので、6 × 5 ÷ 2 = 15 cm²とする誤りが考えられます。どこが違うかというと、辺ACが底辺BCに垂直ではない点です。

図3のように、頂点Aから底辺BCを延ばした直線へ垂線を下ろします。垂線の足Hが三角形の外にあっても、AHが高さです。正しい書き方は6 × 4 ÷ 2 = 12 cm²となります。「高さは図形の内側にあるはず」と考えると、ここで行き詰まります。

保護者の方からは、「底辺をずっと延ばした道に、真っすぐ直角に下りる線はどれかな」と声をかけられます。線を指せたら、直角の印を確かめてもらってください。斜めの辺にも数が書かれているから使う、という選び方から、条件を確かめて使う選び方へ直せます。

おうぎ形で直径を半径の場所に入れてしまいます

誤った書き方は、半径6 cm、中心角90°のおうぎ形を12 × 12 × 3.14 ÷ 4 = 113.04 cm²とする式です。どこが違うかというと、円の直径12 cmを、半径を入れる場所に使っています。正しい書き方は6 × 6 × 3.14 ÷ 4 = 28.26 cm²です。

中心から弧の端までを色鉛筆でなぞり、その長さを式の最初の2か所に使います。半径を2倍に間違えると面積は4倍になるので、わずかな取り違えでは済みません。例題4なら、1つのおうぎ形は面積36 cm²の正方形の中に収まります。113.04 cm²という結果は、図を見た見積もりからもおかしいと気づけます。

重なりを引く回数を取り違えます

誤った書き方は、例題4の葉っぱ形を28.26 × 2 − 36 × 2とする式です。どこが違うかというと、おうぎ形の和から正方形を1つ引いた時点で、求めたい重なりがすでに1個分残っているのに、さらに引いています。正しい書き方は28.26 × 2 − 36 = 20.52 cm²です。

迷ったら、図2の中を「重ならない部分」と「重なる部分」に分けて、数えた回数を考えます。おうぎ形を2つ足した段階で、重ならない部分は1回、重なる部分は2回です。正方形を1回引くと、それぞれ0回と1回になります。式の記号を先に直すよりも、図のどこが何回入っているかを確かめるほうが理由を説明できます。

また、引き算で大きい数を引けなくなったときは、数の順序をただ入れ替えてはいけません。全体と部分の選び方や、数えた回数を見直します。求めたい部分が全体より広くなっていないかも、答えの確認に使えます。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

計算を始める前に、使う底辺と高さ、または半径と中心角を指してください。図が必要な問題は簡単な見取り図を描き、与えられた長さを書き込みます。円周率は3.14とし、答えには面積の単位をつけます。

練習1

上底が5 cm、下底が11 cm、高さが7 cmの台形の面積を求めましょう。式のどの部分が上底と下底の合計を表しているかも説明してください。

練習2

三角形ABCで、底辺BCは9 cmです。頂点Aから辺BCを延ばした直線に下ろした垂線の長さは4 cmで、その足は辺BCの外にあります。この三角形の面積を求めましょう。高さが外にある場合に、何を底辺にするかも確かめます。

練習3

三角形ABCの面積は48 cm²です。辺BC上に点Dをとり、BD：DC = 3：5とします。三角形ABDと三角形ADCの面積をそれぞれ求めましょう。頂点Aから辺BCへの高さの数値は与えられていません。

練習4

例題4と同じ作り方で、1辺が10 cmの正方形の内側に、向かい合う2つの頂点を中心とする半径10 cm、中心角90°のおうぎ形を描きます。2つのおうぎ形が重なる葉っぱ形の面積を求めましょう。

答えと解説

練習1の答えは56 cm²です。（5 + 11）× 7 ÷ 2 = 56と計算します。かっこの中の5 + 11が、平行な2辺の長さの合計です。上底だけを使うと下底側に広がった部分を数えられず、下底だけを使うと余分な部分を含めてしまいます。

練習2の答えは18 cm²です。9 × 4 ÷ 2 = 18と計算します。底辺に使う長さは辺BCの9 cmであり、垂線の足まで延ばした分を足す必要はありません。高さを見つけるために直線を延ばしても、求めたい三角形の底辺そのものは変わりません。

練習3の答えは、三角形ABDが18 cm²、三角形ADCが30 cm²です。高さが等しいため面積比も3：5です。48 ÷（3 + 5）= 6 cm²を比の1つ分として、6 × 3 = 18 cm²、6 × 5 = 30 cm²と求めます。18 + 30 = 48 cm²となり、全体にも戻ります。

練習4の答えは57 cm²です。おうぎ形1つは10 × 10 × 3.14 ÷ 4 = 78.5 cm²なので、78.5 × 2 − 10 × 10 = 57 cm²となります。対角線で分ける方法では、直角三角形1つが50 cm²、葉っぱ形の半分が78.5 − 50 = 28.5 cm²です。28.5 × 2 = 57 cm²と、同じ答えを確かめられます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

底辺や高さと面積の関係は、相似な図形の面積比や、点が動く問題につながります。頂点が底辺と平行な直線上を動くなら、高さは一定です。底辺を固定したときに面積が変わるかどうかも、高さを追えば判断できます。立体の体積でも、底面積を求める場面でここまでの考え方が必要になります。

家庭では、5分でできる確かめを2つ試せます。1つ目は、方眼紙に底辺と高さが同じで形の違う三角形を2つ描き、計算する前に面積を比べる方法です。お子さまが「見た目は違うけれど、高さが同じ」と説明できれば、公式と図がつながっています。

2つ目は、正方形に対角線を引き、さらに例題4の2本の弧を描いて、葉っぱ形の半分を指してもらう方法です。計算はせず、「どのおうぎ形から、どの三角形を引くのか」を言葉にしてもらいます。指す場所が合わなければ、中心と半径を先に確認します。

個別指導では、公式を言えていても式を選べない場合、1 cm²の正方形を並べて面積を数えるところや、底辺に対する垂線を引くところまで戻って確かめます。計算の誤りと図の読み違いを分けて見れば、練習する場所を具体的に選べます。

まとめ

面積の問題で鉛筆が止まったときは、図を見直す場所を1つ決めます。三角形なら高さの位置、円なら中心、複合図形なら全体と重なりです。すべての線に意味を見つけようとする前に、計算できる形を1つ取り出すと、次に必要な線や引き算が見えてきます。

答えが出た後も、使った数を図の上で指し直してください。数値が合うだけでなく、足した部分や引いた部分まで説明できれば、長さが変わった問題にも考え方を持ち運べます。補助線の価値は、その1本で「求められる広さ」が生まれることにあります。