【中学受験算数】植木算と方陣算を図解で総まとめ—両端の有無・円周・正方形に並べる｜武蔵野個別指導塾

道の両端に木を植える場合と円周上に植える場合を、間の数から考えます。中実・中空の方陣や角の重なりも、点の図と例題で親子で確かめられます。

よくあるのは、祖父母の家の客間で、座卓に置いた算数の問題を見ながら「道の長さを木の間の長さで割ったのに、答えが1本違う」と手が止まる場面です。計算は合っています。それでも答えが違うのは、わり算で求めたものが木の本数ではなく、木と木の間の数だからです。お子さまが式を書き直す前に、小さな点をいくつか並べて、その間を指でたどってみましょう。

植木算は、木だけの問題ではありません。道沿いの電灯、等間隔に並べる旗、輪になったいすなども、並び方に注目すると同じように考えられます。さらに、石や人を正方形に並べる方陣算でも、端や角をどう数えるかが答えを決めます。

大きな数を見てすぐに公式を探す必要はありません。まずは少ない数の点で、何を1つと数えているかを確かめます。直線、円周、正方形の順に見ていくと、「1を足す」「4を引く」といった計算にも、図で説明できる理由が見えてきます。

この単元で身につけること

• 木の本数と間の数を区別します。道の長さを等しい間隔で割って求めるのは、道をいくつに区切れるかという数です。
• 直線の両端の条件を読み取ります。両端に植える、片端だけに植える、両端には植えない場合を、小さな図で比べます。
• 円周上の並びを1周たどります。最後の木と最初の木の間も数えることで、本数と間の数が等しくなる理由を説明します。
• 正方形に並べた全体と周りを区別します。中まで埋まった中実の方陣と、中を空けた中空の方陣では、求め方を使い分けます。
• 角の重なりや空いている部分を調べます。同じ点を2回数えていないか、引く部分を広く取りすぎていないかを図に戻って確かめます。

これまでに学んだかけ算、わり算、長方形の面積の考え方が土台になります。ただし、方陣算で数えるのは面積そのものではなく、同じ数ずつ並んだ石や人の個数です。単位を最後まで意識すると、長さを求めたのか、間を数えたのか、ものを数えたのかが整理できます。

基本の考え方

直線では、道の端と木の位置を分けて見る

木と木の間の長さを「間隔」といいます。等間隔とは、その長さがどこでも等しいということです。例えば、20 mの道を5 mずつに区切ると、20 ÷ 5 = 4で、道は4つの区間に分かれます。この4は、まず「間の数」として受け止めます。まだ木の本数とは決まっていません。

図1のように、同じ4つの区間でも端に木があるかどうかで本数が変わります。色のついた点が木、白い丸が木を植えない道の端です。木を描かない端も道の一部なので、長さを数えるときには残しておきます。

両端に植える場合は、最初の端に1本あり、1区間進むたびに次の木が1本ずつ現れます。4区間なら、最初の1本と、その先の4本を合わせて5本です。したがって、本数は「間の数 + 1」で求めます。反対に、本数から間の数を求めるなら「本数 − 1」です。

片端だけに植える場合は、両端に植えた図から端の木を1本取り去ります。5本から1本減って4本になるので、本数と間の数が等しくなります。植える端が右でも左でも、数の関係は変わりません。図1では左端に植え、右端には植えない並びを示しています。

両端には植えない場合は、両端に植えた図から端の木を2本取り去ります。5 − 2 = 3で、木は3本です。本数は「間の数 − 1」、間の数は「本数 + 1」となります。「両端だから2を引く」と考えること自体はできますが、何から2を引くかが重要です。わり算で出した4から2を引くのではありません。

この3つの関係は、道の両端まで含めて、道全体が同じ長さの区間に分かれるときのものです。両端に植えない場合も、端から最初の木まで、最後の木から端までの長さを、木と木の間と同じにします。問題に「端から2 m空け、木と木の間は5 m」とあれば別の条件なので、端の空きまで5 mとみなしてはいけません。

家庭での声かけは、「木に丸をつけて、木と木の間には短い線を書いてみよう」が使えます。「足すの、それとも引くの」と選ばせる前に、丸と線を別々に数えてもらいます。図が小さくても、道の両端だけは省かずに描くと、条件を見失いにくくなります。

円周では、最後から最初へ戻る間がある

直線の並びを輪にすると、端がなくなります。木を1本選んで出発点とし、次の木までの間を1つずつたどります。1周して出発点の木へ戻る最後の間も含めると、どの木にも「その木から次の木までの間」が1つずつ対応します。そのため、円周上では木の本数と間の数が等しくなります。

ここでいう間隔は、円の内側をまっすぐ測った距離ではなく、円周に沿って測った長さです。丸い花壇の周りに木を植える問題では、花壇の縁をたどった長さを使います。円周の長さが問題文にあれば、その長さをそのまま間隔で割ればよく、直径を求め直す必要はありません。

輪の途中に入口があり、その部分には木を植えないという問題では、条件を詳しく読む必要があります。入口の両わきに木を植えるのか、入口の幅をどのように扱うのかで、数える範囲が変わります。「丸い形だから同じ数」と決めず、木を並べる部分がつながって1周しているかを確かめましょう。

正方形では、中まで数えるか周りだけかを決める

石を縦にも横にも同じ数ずつ、すき間なく正方形の形に並べたものを中実の方陣といいます。ここでの「すき間なく」は、並ぶ位置に抜けがないという意味です。石どうしが触れている必要はありません。1辺に5個ずつなら、5個の列が5列あるので、全部で5 × 5 = 25個です。

周りの1列だけを数えるとき、5 × 4では角を重ねて数えてしまいます。上の辺の両端は、左右の辺の端でもあるからです。4つの角をそれぞれ1回ずつ余分に数えているので、5 × 4 − 4 = 16個となります。別の分け方では、上と下を5個ずつ、左右の残りを3個ずつ数えて、5 × 2 + 3 × 2 = 16個です。

中を空けて正方形の枠のように並べたものを中空の方陣といいます。周りが1列だけなら、今の16個の並びも中空の方陣です。枠が何列もあるときは、「外側まで全部埋めた個数」から「内側の空いた部分の個数」を引く方法が使えます。

内側の1辺を求めるときは、左右の両方から枠の厚さを取り除きます。外側の1辺が7個、枠が2列なら、空いた部分の1辺は7 − 2 − 2 = 3個分です。内側だけを見て「2列だから2を引く」とすると、片側の枠を残してしまいます。縦の向きでも上と下から2列ずつ取り除くので、空いた部分も正方形になります。

例題で解き方を確かめる

例題1　道の両端にも木を植える

長さ60 mのまっすぐな道の片側に、5 mおきに木を植えます。道の両端にも植えるとき、木は何本必要ですか。

1. 道を何区間に分けるか求めます。60 ÷ 5 = 12で、5 mの区間は12個あります。全体の長さを1区間の長さで割ったので、この12は間の数です。
2. 木の本数に直します。両端にも植えるので、12 + 1 = 13です。最初の端の木が1本あり、その先に12区間分の木が続くため、1を足します。
3. 道の長さに戻して確かめます。13本の間は13 − 1 = 12個で、12 × 5 = 60 mです。問題文の道の長さと一致するので、端の数え方も合っています。

答え：13本です。

「道の片側」と「片端」は違う言葉です。片側は道路の右側か左側の一方だけに並べるという意味で、道の始まりと終わりの条件ではありません。この問題は片側に並べますが、両端には木があります。「片」という文字だけを拾わず、何の片方なのかまで読みましょう。

例題2　円い花壇の周りに木を植える

周りの長さが48 mの円い花壇に、円周に沿って6 mおきに木を植えます。1周全体に等間隔で植えるとき、木は何本必要ですか。

図2のように、輪に並ぶ8本の木には、円周上の8つの間が対応しています。図の赤い部分は、最後の木から出発点の木へ戻る間です。ここを数え忘れると、直線の問題と同じに見えてしまいます。

1. 円周上の間の数を求めます。48 ÷ 6 = 8で、6 mの間が8個できます。使うのは円周に沿った長さなので、円の中を横切る長さは計算に入りません。
2. 間の数を木の本数として読み取ります。輪には端がないので、8個の間に対して木も8本です。出発点の木は、戻ってきたときにもう1本として数えません。
3. 1周分の長さを確かめます。8 × 6 = 48 mで、ちょうど1周になります。8本の木からそれぞれ次の木へ進む間を1つずつ数えると、長さも本数も確かめられます。

答え：8本です。

同じ48 mを使っても、まっすぐな道の両端に植えるなら8 + 1 = 9本です。長さも間隔も同じなのに本数が変わるのは、直線には別々の両端があり、輪では出発点と到着点が同じ場所になるからです。計算の前に並びの形を確認する意味が、ここにはっきり表れます。

例題3　中実の方陣の全体と周りを求める

石を縦にも横にも7個ずつ、中まで埋まった正方形に並べます。全部の石の数と、いちばん外側の周り1列の石の数を、それぞれ求めましょう。

1. 全部の石を数えます。1列に7個あり、それが7列あるので、7 × 7 = 49個です。横1列をひとまとまりとして、同じまとまりを縦に数えます。
2. 周りだけの石を数えます。4辺を別々に数えた7 × 4 = 28個には、4つの角がそれぞれ2回ずつ入っています。余分な1回ずつを引いて、28 − 4 = 24個です。
3. 内側を取り除く方法でも確かめます。外側の1列を除いた内側は、縦も横も7 − 2 = 5個です。49 − 5 × 5 = 49 − 25 = 24個となり、周りの数が一致します。

答え：全部で49個、周り1列は24個です。

角の石はなくしてよい石ではありません。4を引くのは、同じ石を重ねて数えた分だけを取り除くためです。また、周りを1列外すと1辺の個数が2減るのは、左と右、または上と下で1個分ずつ減るためです。この2つの理由を分けて説明できると、次の中空の方陣にも進めます。

例題4　2列の枠になった中空の方陣

外側の1辺に9個の石が並ぶ正方形があります。周りから2列分だけ石を並べ、中央は空けます。石は全部で何個ありますか。

1. 外側の正方形を全部埋めたと考えます。1辺が9個なので、9 × 9 = 81個分の場所があります。空いている部分もいったん含めると、大きな正方形として数えられます。
2. 中央の空いた正方形の1辺を求めます。左右から2個分ずつ除くので、9 − 2 − 2 = 5個分です。上と下についても同じなので、空いた部分は5 × 5 = 25個分となります。
3. 空いた部分を引きます。81 − 25 = 56で、実際に並んでいる石は56個です。外側全体と内側の空きの差が、枠を作る石の数になります。
4. 1列ずつ数えて確かめます。最も外の1周は9 × 4 − 4 = 32個、その内側の1周は1辺が7個なので7 × 4 − 4 = 24個です。32 + 24 = 56個となり、同じ答えになります。

答え：56個です。

「2列」とは、外側から内側へ向かって石の並びが2段あるという意味です。「周りの石の数を2倍する」という意味ではありません。内側の1周は外側より小さくなるので、それぞれの1辺の個数を変えて数えます。全体から空きを引く方法は、枠がさらに厚い場合でも、数える周の数を増やさずに計算できる利点があります。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　わり算の答えをそのまま本数にする

誤った書き方：例題1で「60 ÷ 5 = 12、答え12本」とします。どこが違うかというと、12個の区間と12本の木を同じものとして扱っています。両端に木があるので、区間の数より木が1本多くなります。

正しい書き方：「60 ÷ 5 = 12で間は12個、12 + 1 = 13で木は13本」です。式の横に「間」「木」と短く書くと、数えているものが切り替わるところを見つけられます。わり算そのものをやり直すより、12を図のどこに書き込めるかを尋ねると、誤りの場所が絞れます。

反対向きの問題も確かめましょう。両端に木があるときに本数が与えられたら、先に1を引いて間の数に直し、それから間隔を掛けます。覚えた「足す1」をいつでも使うのではなく、今は木から間へ進むのか、間から木へ進むのかを見ます。

誤り2　円周上でも1本足してしまう

誤った書き方：例題2で「48 ÷ 6 + 1 = 9、答え9本」とします。どこが違うかというと、出発点と到着点の木を別の木として数えています。輪を1周して戻った場所には、出発前に数えた木がすでにあります。

正しい書き方：「48 ÷ 6 = 8、答え8本」です。図2の赤い間を指でたどり、戻った先が初めに数えた点であることを確認します。輪を紙に描くのが難しい場合は、点の横に順に番号を書き、最後の点から最初の点へ線をつなぐ方法でも確かめられます。

「片端にだけ植える直線」と「円周上」では、どちらも間の数と本数が等しくなります。ただし、理由は同じではありません。直線では端の木を1本取り去り、円周では最後の間が出発点につながります。答えの形だけが似た問題を、図では区別しておくと条件の変更にも対応できます。

誤り3　方陣の角や枠を重ねて数える

誤った書き方：例題3の周りを「7 × 4 = 28個」としたり、例題4の枠を「32 × 2 = 64個」としたりします。前者は角の重なり、後者は内側の1周が小さくなることの見落としです。どちらも、同じ数のまとまりが本当に4つ、または2つあるかを確かめずに掛けています。

図3の左は例題3の7個ずつの中実の方陣です。赤い点が角、緑の点が角以外の周り、灰色の点が内側を示します。右は例題4の外側が9個ずつ、枠が2列の中空の方陣で、中央の淡い色の部分が5個分ずつの空きです。

正しい書き方：例題3は「7 × 4 − 4 = 24個」、例題4は「9 × 9 − 5 × 5 = 56個」です。図3の角を、上の辺と左の辺の両方から指さしてみると、2回数えても石は1個だと確かめられます。空きの1辺も、左右の枠を除いた残りを指で数えれば5個分になります。

周りが1列だけの問題では、「1辺の個数から1を引いて4倍する」数え方も使えます。各辺で進み始めの角を数え、進み終わりの角を次の辺に任せると、角が重なりません。例題3なら6 × 4 = 24個です。式が短くなる理由を説明できた段階で使うと、単なる暗記になりません。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

答えを出す前に、直線か輪か正方形かを書き、端や空きを小さな図に表しましょう。計算が簡単に見えても、わり算の答えが間の数なのか、求めた数が外側全体なのかを言葉にすると確かめやすくなります。

練習1

長さ72 mのまっすぐな道の片側に、6 mおきに木を植えます。次のそれぞれで何本必要ですか。両端に植えない側では、道の端と最も近い木の間も6 mとします。

（1）両端に植える場合。（2）片端だけに植える場合。（3）両端には植えない場合。

練習2

1周の長さが90 mの円い池の周りに、円周に沿って等間隔で15本の木を植えます。隣り合う木の間は、円周に沿って何 mですか。

練習3

石を中まで埋まった正方形に並べたところ、いちばん外側の周り1列が36個になりました。1辺の石は何個ですか。また、石は全部で何個ありますか。

練習4

外側の1辺に10個の石が並ぶ正方形を作ります。周りから2列分だけ石を並べて中央を空けると、石は全部で何個必要ですか。中央の空きの1辺を先に求めましょう。

答えと解説

練習1の答えは、（1）13本、（2）12本、（3）11本です。まず72 ÷ 6 = 12で、道を12区間に分けます。両端に植えるなら12 + 1 = 13本、片端だけなら12本、両端に植えないなら12 − 1 = 11本です。3つとも道の長さと区間の数は同じで、変わるのは端に置く木だけです。

練習2の答えは6 mです。輪なので木が15本なら間も15個です。90 ÷ 15 = 6で、1つの間の長さを求められます。直線の両端に植える場合のように15 − 1とはしません。15 × 6 = 90 mと戻して、池をちょうど1周できるかも確かめます。

練習3の答えは、1辺が10個、全部で100個です。周りの36個に、角を重ねて数えた分の4個を戻すと、36 + 4 = 40個です。これは1辺を4回数えた数なので、40 ÷ 4 = 10で1辺の個数が出ます。全部は10 × 10 = 100個です。10 × 4 − 4 = 36個と周りの数に戻すと、求めた1辺が確かめられます。

練習4の答えは64個です。中央の空きの1辺は10 − 2 − 2 = 6個分なので、10 × 10 − 6 × 6 = 100 − 36 = 64個です。外側の1周は10 × 4 − 4 = 36個、その内側の1周は8 × 4 − 4 = 28個で、36 + 28 = 64個としても確かめられます。

練習3で36 ÷ 4 = 9とした場合、その9は1辺の全部の個数ではありません。各辺で角を1個ずつ次の辺に任せたときの数です。そこから1を足して10個に直せば正しく求められます。同じわり算でも、図のどの部分を分けたかによって、答えの読み方が変わります。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

植木算の「ものと間を分ける」考え方は、等間隔に時刻を並べる問題にもつながります。初めの時刻と終わりの時刻を両方数えると、時刻の数は時間の区切りの数より1つ多くなります。方陣算の「全体から空きを引く」考え方は、枠の形をした図形の面積にもつながります。ただし、点の個数と長さは別の量なので、そのまま同じ式に当てはめず、何を数えるかを確かめます。

家庭で5分ほど取り組むなら、次の2つの確かめ方があります。正答だけを急がず、お子さまが指さした場所と言った数が対応しているかを見ます。

1. 紙に5個の点を一直線に描き、点と点の間を数えます。間は4個です。その後、最後の点と最初の点を別の線でつないで輪にし、間が5個になることを確かめます。消したりつないだりしたのは点なのか間なのかも、言葉にしてもらいましょう。
2. 紙に縦横4個ずつの点を描きます。全部の16個から中央の4個を除くと、周りは12個です。4 × 4 − 4でも12個になりますが、前の式の「中央の4個」と後の式の「角を重ねた4個」は違うものです。同じ答えでも引いた理由を説明できるか確かめます。

個別指導で誤りを確かめるときは、公式の使い分けだけで判断せず、少ない点の並びで1対1に数えられるところまで戻ります。数え方が合っていれば、次に問題文の両端、周り、何列という条件を図へ移すところを確認します。

まとめ

計算が合っているのに答えがずれたときは、式をすぐに消さず、その数が図のどこにあるかを探しましょう。間の数としては正しい数を、本数として読んだだけかもしれません。角を重ねた計算にも、どの石を2回数えたのかを見つける手がかりが残っています。

道の端に丸をつける、輪を最後までたどる、正方形の角を指さす。その小さな確認で、補う数や引く数が決まります。植木算の「1」と方陣算の「4」は、図のどこを数えたかを示す数です。