【中学受験算数】年齢算を図解で総まとめ—差は変わらない・倍数の変化・線分図｜武蔵野個別指導塾

親子の年齢を表す3枚の線分図で、変わらない差と変わる倍数を整理します。何年後・何年前を求める問題から、現在の年齢が不明な問題まで、例題と練習を通して家庭で解き方を確かめられます。

よくあるのは、図書館の机で親子の年齢の問題を読み、「今は4倍なら、何年たっても4倍ではないのかな」と鉛筆が止まる場面です。父も子も同じように年を取るので、倍の関係までそのまま続くように感じるのです。けれども、父が40歳、子が10歳なら、10年後は50歳と20歳です。どちらも10歳増えたのに、父の年齢は子の4倍ではなくなっています。

年齢算でよりどころにするのは、倍数ではなく年齢の差です。「何倍」という目立つ言葉からすぐに計算を始めず、変わらない数を先に見つけると、何年後の話でも整理できます。線分図は、その差がどこに残っているかを見るために使います。

お子さまが手を止めたときは、「何年後なら、お父さんもあなたも同じ数だけ年を取るね」と声をかけてみてください。まずは2人の年齢を並べて書き、増える部分と残る差を見分けるところから始めます。

この単元で身につけること

• 年齢の差が変わらない理由を説明します。2人とも同じ年数だけ年齢が増えるので、差を求めるひき算の結果はいつも同じです。
• 「誰の、いつの年齢か」を区別します。父の現在の年齢と子の未来の年齢を混ぜず、同じ時点の年齢どうしを比べます。
• 倍の関係を線分図に表します。子の年齢を1区切りとすると、父が子の3倍なら父は3区切り、年齢の差は2区切りです。
• 条件に合う時点の年齢から、経過した年数を求めます。求めた年齢と現在の年齢を比べて、何年後なのか、何年前なのかを判断します。
• 答えを問題の条件に戻して確かめます。倍数だけでなく、年齢の差と2人が年を取った年数もそろっているかを確認します。

これまでに学んだたし算・ひき算と、かけ算・わり算の「いくつ分」の考え方を、時間の移り変わりの中で使う単元です。比をまだ習っていなくても、線分図の区切りを数えれば基本問題に取り組めます。計算そのものを難しくするよりも、式に使った数の意味を短く言えることを目標にしましょう。

基本の考え方

同じ年数がたつと、差はそのまま残ります

父が現在36歳、子が現在12歳だとします。今の差は36 − 12 = 24で、24歳です。6年後には父が42歳、子が18歳になり、差は42 − 18 = 24です。父だけでなく子も6歳増えたため、差は広がりません。反対に、6年前は30歳と6歳ですから、30 − 6 = 24で同じ差になります。

この関係は、2人の線分の左端をそろえると見やすくなります。図1のように、上の組を現在、下の組を6年後として並べてみましょう。紺色は現在の年齢、緑色はその後に増える6歳分です。父の線分に付け足す長さと、子の線分に付け足す長さが同じなので、右端どうしの間隔は変わりません。

図1の赤い線は、父の年齢から子の年齢を引いた部分です。現在も6年後も24歳分の同じ長さになっています。「2人とも増える」という言葉だけではぴんとこないときは、赤い線の両端が同じ長さだけ右へ移っていることを指でたどります。どちらか一方の年齢だけを増やすと、この図とは違う関係になってしまいます。

年齢算では、問題に示された現在・何年後・何年前という時点をそろえて考えます。誕生日の日付が条件にない問題では、ちょうど同じ年数だけ前後した年齢として扱います。誕生日がいつ来るかを自分で付け加えて考える必要はありません。また、何年前かを求めたときには、子が生まれるより前の年齢になっていないかも確かめます。

倍数が変わるのは、もとにする年齢が増えるからです

先ほどの父36歳、子12歳では、36 ÷ 12 = 3なので父は子の3倍です。6年後は42 ÷ 18 = 7/3で、3倍より小さくなります。この分数の計算がまだ難しければ、18 × 3 = 54なのに父は42歳だ、と比べれば十分です。同じ24歳の差でも、子の12歳と比べる場合と18歳と比べる場合では、差の大きさの感じ方が変わります。

現在の父36歳を、子の12歳ずつに分けると3区切りできます。そのうち1区切りは子の年齢と重なり、残りの2区切りが年齢の差です。つまり「父が子の3倍」という条件で、差を3で割ってはいけません。差は子の年齢の2つ分なので、24 ÷ 2 = 12と求めます。

同じように、父が子の4倍なら、父が4区切り、子が1区切り、差が3区切りです。父が子の2倍なら、差は1区切りです。何倍から1を引くのは、父の線分から子の線分1本分を取り除くためです。「倍数から1を引く」という手順だけを覚えず、取り除いた1区切りが誰の年齢なのかを説明できるようにします。

子の年齢が0歳より大きく、父のほうが年上なら、年を取るにつれて父の年齢が子の何倍かという数は小さくなっていきます。子が大きくなる一方で、年齢の差は増えないからです。ただし、年齢の差そのものがなくなるわけではありません。倍数が1に近づくことと、2人が同い年になることは別の話です。

図をかく順番は「時点、人物、差」です

自分で線分図をかくときは、まず「現在」「条件に合うとき」などの時点を書きます。その下に子と父の線分を、左端をそろえて置きます。年齢がわかっていない場合でも、子が1区切り、父が3区切りという関係なら表せます。最後に父のほうが長い部分に印を付け、そこを「差」とします。

別の時点の図をかくときには、子の年齢を表す1区切りの長さも変わることに注意します。現在の子の1区切りと、10年後の子の1区切りは同じ年齢を表していません。時点をまたいで比べてよいのは、同じ人数の同じ関係から得られた年齢の差です。

問題文を読むときには、「父は子の3倍」の「子の」に印を付けると、もとにする年齢を見失いにくくなります。家庭で声をかけるなら、「この1本は、誰のいつの年齢かな」と尋ねてください。答えに迷う場合は、計算を進める前に、図の脇に「そのときの子」と書き足します。

例題で解き方を確かめる

例題1　現在の年齢から何年後かを求める

父は現在36歳、子は現在8歳です。父の年齢が子の年齢の3倍になるのは何年後ですか。

1. 年齢の差を求めます。36 − 8 = 28なので、差は28歳です。何年後になっても使える数を、最初に取り出します。
2. 3倍になるときの図を考えます。父が3区切り、子が1区切りなので、差は3 − 1 = 2区切りです。この2区切りが28歳に当たります。
3. そのときの子の年齢を求めます。28 ÷ 2 = 14なので、子は14歳です。ここで求めたのは経過した年数ではなく、条件に合うときの年齢です。
4. 現在からの年数を求めます。14 − 8 = 6なので6年後です。父も36 + 6 = 42歳となり、42 ÷ 14 = 3で条件に合います。

答え：6年後です。

図2のように、「3倍になるとき」だけを取り出してかくと、現在の8歳を区切りの基準にしてしまう誤りを防げます。父の3区切りのうち、子と重なる1区切りを除いた部分が28歳です。赤い差の部分が2区切りに分かれていることを確認しましょう。

図2から14歳が求まったあと、問題文に戻って「何を聞かれていたか」を読みます。年齢を聞かれていれば14歳で終わりますが、今回は何年後かを聞かれています。最後の14 − 8を省かないことが、答えまでたどり着くために必要です。

例題2　何年前だったかを求める

母は現在42歳、子は現在14歳です。母の年齢が子の年齢の5倍だったのは何年前ですか。

1. 変わらない差を出します。42 − 14 = 28なので差は28歳です。過去へ戻る問題でも、差を使えることは同じです。
2. 5倍だったときの区切りを数えます。母が5区切り、子が1区切りなので、差は5 − 1 = 4区切りです。28歳分をこの4区切りに分けます。
3. そのときの子の年齢を求めます。28 ÷ 4 = 7なので、子は7歳でした。現在の14歳より小さいため、過去の話とつながります。
4. 戻る年数を出します。14 − 7 = 7なので7年前です。そのとき母は42 − 7 = 35歳で、35 ÷ 7 = 5です。

答え：7年前です。

「何年後」と「何年前」で別々の解き方を覚える必要はありません。まず差と倍数から、その時点の子の年齢を求めます。それが現在より大きければ未来、小さければ過去です。今回は現在でも42 ÷ 14 = 3倍なので、5倍だった時点が過去になることも、計算前に見通せます。

例題3　未来の条件から現在の2人の年齢を求める

母と子の年齢の差は30歳です。6年後には、母の年齢が子の年齢の3倍になります。母と子の現在の年齢を求めましょう。

1. 6年後の関係に注目します。母が3区切り、子が1区切りで、差は3 − 1 = 2区切りです。今の年齢はわからなくても、6年後の図はかけます。
2. 6年後の子の年齢を求めます。30 ÷ 2 = 15なので15歳です。年齢の差30歳は、6年後も同じ数として使えます。
3. 現在へ戻します。子は15 − 6 = 9歳です。6年後の年齢から現在を求めるので、6を引きます。
4. 現在の母の年齢を求めます。9 + 30 = 39なので39歳です。6年後は45歳と15歳になり、45 ÷ 15 = 3と確認できます。

答え：現在、母は39歳、子は9歳です。

この問題で15歳と答えた場合、わり算が間違っているわけではありません。求めた数が表す時点を、現在へ戻し忘れています。式の右側に「6年後の子」と短く書いてから次へ進むと、たし算とひき算の選び間違いも減らせます。

例題4　現在と未来の倍数から年齢を求める

現在、父の年齢は子の年齢の4倍です。10年後には、父の年齢は子の年齢の3倍になります。現在の父と子の年齢を求めましょう。

1. 現在の差の表し方を考えます。父が4区切り、子が1区切りなので、年齢の差は現在の子の3つ分です。ここでは、まだ差が何歳かはわかりません。
2. 10年後の差の表し方を考えます。父が3区切り、子が1区切りなので、同じ差が10年後の子の2つ分です。違う時点の1区切りをそのまま同じ長さとはみなせません。
3. 差を6等分して、両方の図の区切りをそろえます。6は3でも2でも割れる数です。現在の子は差の1/3なので小さな区切り2つ分、10年後の子は差の1/2なので小さな区切り3つ分になります。
4. 子が増えた分を使います。小さな区切りの3 − 2 = 1つ分が、10年間に増えた10歳分です。したがって現在の子は10 × 2 = 20歳、父は20 × 4 = 80歳です。

答え：現在、父は80歳、子は20歳です。

確かめると、10年後は父90歳、子30歳で、90 ÷ 30 = 3です。差も現在の80 − 20 = 60と、10年後の90 − 30 = 60で一致します。問題の「子」は親から見た呼び方なので、小学生の年齢とは限りません。年齢の印象だけで答えを変えず、示された条件を満たすかで判断します。

もう1つの確かめ方として、現在の子の年齢3つ分と、10年後の子の年齢2つ分を比べられます。後者は、現在の子の年齢2つ分に10歳分を2回足した長さです。この2つが等しいので、現在の子の年齢1つ分が10 × 2 = 20歳だと考えても同じ答えになります。どちらの方法でも、途中で同じ長さとみなしたものは年齢の差です。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　差をそのまま倍数で割ってしまう

誤った書き方は、例題1で「28 ÷ 3」とすることです。父の年齢が子の3倍だから3で割りたくなりますが、28歳は父の年齢ではなく、父と子の年齢の差です。父の3区切りのうち、子と重なる1区切りを引いた残りを扱わなければなりません。

正しい書き方は、28 ÷ (3 − 1) = 14です。かっこの中は、差に当たる区切りの数を求めています。式を直す前に図2の父の1区切りと子の1区切りを指で対応させ、「残るのはいくつ分かな」と確認すると、なぜ2で割るのかが見えてきます。

誤り2　今の子の年齢を使ったまま未来の倍を作る

誤った書き方は、例題1で「8 × 3 = 24だから、父が24歳になるとき」とすることです。8歳は現在の子の年齢です。父が年を取る間に子も年を取るので、未来の父と現在の子を比べても、同じ時点で3倍という条件にはなりません。

正しい書き方は、先に28 ÷ 2 = 14でそのときの子の年齢を出し、次に14 × 3 = 42でそのときの父の年齢を出す順番です。14歳と42歳はどちらも6年後の年齢です。確認には14 − 8 = 6と42 − 36 = 6の両方を使い、2人の経過した年数が一致することまで見ます。

同じ誤りは過去の問題でも起こります。母だけ年齢を戻し、子を現在の年齢に置いたままにすると、差が変わってしまいます。答えに迷ったら、人物の名前を縦に、時点を横に並べた小さな表を書き、同じ列の数どうしで倍を確かめましょう。

誤り3　違う時点の1区切りを同じものとして引く

誤った書き方は、例題4で「4 − 3 = 1だから、子は10 ÷ 1 = 10歳」とすることです。現在の4倍は現在の子をもとにし、10年後の3倍は10年後の子をもとにしています。区切りの数だけ引いても、もとになる1区切りの年齢が違うため、10歳分との対応は作れません。

正しい書き方は、変わらない差を6等分して、現在の子を2区切り、10年後の子を3区切りと表し直すことです。図3のように、同じ差60歳を同じ小さな区切り6つ分で示すと、子の増加が1区切りだと確認できます。図の60歳と20歳・30歳は、解いた結果を書き込んだ値です。

図3の上段と下段の緑の線分は、どちらも年齢差を表しているので同じ長さです。子の線分は、現在の2区切りから10年後の3区切りへ伸びます。ここまで区切りをそろえて初めて、3 − 2 = 1というひき算に意味が生まれます。元の倍数どうしの引き算と、同じ大きさにそろえた区切りの引き算を区別しましょう。

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練習問題

取り組むときは、式を先に並べるより、「変わらない差」と「倍を比べる時点」を最初に書きます。練習4は差そのものがわかっていません。例題4と同じように、差を何等分すれば2つの時点を同じ区切りで表せるか考えてください。

練習1

父は現在40歳、子は現在10歳です。父の年齢が子の年齢の3倍になるのは何年後ですか。条件に合うときの子の年齢も、途中の式に残しましょう。

練習2

母は現在44歳、子は現在12歳です。母の年齢が子の年齢の5倍だったのは何年前ですか。そのときの母の年齢を求めて、倍の関係を確認しましょう。

練習3

父と子の年齢の差は28歳です。4年後、父の年齢は子の年齢の3倍になります。現在の父と子の年齢を求めましょう。求めた年齢を、現在と4年後の2列に並べて確かめます。

練習4

現在、母の年齢は子の年齢の5倍です。8年後には、母の年齢が子の年齢の3倍になります。現在の母と子の年齢を求めましょう。現在の差が子のいくつ分か、8年後の差が子のいくつ分かを書いてから始めます。

答えと解説

練習1の答えは5年後です。差は40 − 10 = 30歳で、3倍になるときの子は30 ÷ (3 − 1) = 15歳です。15 − 10 = 5より5年後と求められます。父は40 + 5 = 45歳になり、45 ÷ 15 = 3です。

練習2の答えは4年前です。差は44 − 12 = 32歳で、5倍だったときの子は32 ÷ (5 − 1) = 8歳です。12 − 8 = 4より4年前です。母は44 − 4 = 40歳なので、40 ÷ 8 = 5と確かめられます。

練習3の答えは、現在の父が38歳、子が10歳です。4年後の子は28 ÷ (3 − 1) = 14歳なので、現在は14 − 4 = 10歳です。父は10 + 28 = 38歳です。4年後は42歳と14歳で3倍になり、現在も4年後も差は28歳です。

練習4の答えは、現在の母が40歳、子が8歳です。同じ年齢差は、現在の子の5 − 1 = 4つ分であり、8年後の子の3 − 1 = 2つ分です。差を4等分すると、現在の子は1区切り、8年後の子は2区切りになります。増えた1区切りが8歳分なので、現在の子は8歳、母は8 × 5 = 40歳です。8年後は48歳と16歳で、48 ÷ 16 = 3です。

答えが合わなかった場合は、まず差を求めるところ、次に差を区切るところ、最後に現在へ戻すところの順に見直します。最初から全部を消す必要はありません。「その時点の年齢」までは正しく出せているなら、最後の年数の処理だけを直せます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

年齢算で身につけた「変わらない差を使う」という見方は、2つの量に同じ数を加える比の問題でも役立ちます。一方で、お金を一方からもう一方へ移す問題では差が変わります。どの問題でも差を使えばよいのではなく、「2つの量は、どのように変わるのか」を先に確かめる姿勢が次につながります。

家庭で5分ほど使えるときの確かめ方は、次の2つです。1つ目は、例題1の36歳と8歳を書き、1年後の37歳と9歳、2年後の38歳と10歳を並べることです。それぞれの差をお子さまに求めてもらい、差が28歳のままである理由を言葉にします。表の行を増やし続けて答えを探すより、数行で変わらないものを発見することが目的です。

2つ目は、図2の年齢の数字を紙で隠し、父が3区切り、子が1区切りという形だけを見せることです。「差が2区切りになるのはどうしてかな」と尋ね、子の線分を父の線分に重ねるつもりで指を動かしてもらいます。答えを言えたら、28歳の表示を戻し、1区切りの14歳まで求めます。

個別指導で確かめる際には、式が出ない理由を、ひき算の「差」の理解と、かけ算の「いくつ分」の理解に分けて見ます。必要なら年齢の文章をいったん離れ、長さの違う2本の線分で、重なる部分と余る部分を区別するところまで戻ります。

まとめ

年齢算の答案は、計算の行だけでなく、「現在の子」「3倍になるときの子」といった短い言葉で読みやすくなります。正しい数を求めても時点が違えば、聞かれたことへの答えにはなりません。最後に2人の年齢を並べ、同じ年数だけ進んだか、または戻ったかを確かめるところまでを解答に含めましょう。

図書館の机で倍数に迷ったときも、まず2人の年齢の差に印を付ければ、次に見る場所が定まります。年齢算の線分図をつなぐ目印は、いつまでも同じ幅で残る年齢の差です。