【中学受験算数】つるかめ算を図解で総まとめ—面積図 表 置き換えの 3 通りの解き方｜武蔵野個別指導塾

つるとかめの足の数を、表・面積図・置き換えで考えます。買い物、3種類の硬貨、弁償の例題を通して、合計の差を何で割るのかを親子で確かめられます。

よくあるのは、通学電車の窓に映るノートを見ながら、「つるとかめが合わせて10匹、足は28本」という問題で、28 ÷ 10 と書いたまま止まる場面です。1匹あたりの足の数を考えたくなるのは自然です。しかし、その計算だけでは、足が2本のつると4本のかめがそれぞれ何匹いるかまでは決まりません。2種類が混ざっているところに、この問題の難しさがあります。

つるかめ算では、まず全部を同じ種類だと考えます。そこから1匹ずつ入れ替えたときの変化を調べると、全体の足の数の違いが、かめの匹数につながります。表は変化を順に見せ、面積図は全体の差を形で見せます。どちらも、置き換えの意味を確かめる道具です。

家庭で教えるときには、式を先に伝えるより、「つるを1匹かめに替えると、足は何本増えるかな」と尋ねてみてください。ここが説明できると、品物の個数と代金の問題にも進めます。後半では、3種類を扱う問題と、失敗した分を弁償する問題まで確かめます。

この単元で身につけること

• 合わせた個数と、もう1つの合計を区別します。「10匹」と「28本」は別の量なので、問題文から読み取った段階で単位を添えます。
• 全部を片方の種類にそろえて考えます。実際にその状態である必要はなく、比べやすい出発点を自分で作ります。
• 1つ入れ替えるときの差を求めます。かめを増やすときにはつるを同じ数だけ減らし、全体の匹数を変えないことが条件です。
• 表と面積図を式につなげます。表の1行分の変化や、面積図で残る長方形が、どの割り算に当たるのかを説明します。
• 求めた数を元の条件に戻します。個数の合計と足の数や代金の合計の両方が合って、初めて答えを確かめたことになります。

土台になるのは、かけ算の「1つ分の数 × いくつ分」と、わり算の「何個分あるか」という考え方です。長方形の面積を学んでいれば、同じ計算を面積図でも表せます。面積図がまだ難しいときは、先に小さな表で変化を調べてかまいません。道具を使う順番よりも、式の数字が何を表しているかを言えることが先です。

基本の考え方

全部をつるにして、足の不足を調べます

つる1匹の足は2本、かめ1匹の足は4本として考えます。合わせて10匹、足は28本のとき、全部がつるなら足は 2 × 10 = 20 で20本です。問題の28本と比べると、28 − 20 = 8 で8本足りません。この8本は、動物の数ではなく、足の数の不足です。

そこで、つる1匹をかめ1匹に置き換えます。2本分を取り去り、4本分を加えるので、足は 4 − 2 = 2 で2本増えます。動物を新しく1匹加えたのではありません。1匹減らして1匹増やしたため、合わせて10匹という条件は保たれます。

足を8本増やしたくて、1回の置き換えで2本ずつ増えるなら、置き換える回数は 8 ÷ 2 = 4 です。4匹をつるからかめに替えたので、かめは4匹になります。残りのつるは 10 − 4 = 6 で6匹です。最後に 6 + 4 = 10 と、2 × 6 + 4 × 4 = 28 を確かめます。

この考え方は、かめを先に全部並べても使えます。全部かめなら 4 × 10 = 40 で40本あり、40 − 28 = 12 で12本多すぎます。かめ1匹をつる1匹に替えると2本減るので、12 ÷ 2 = 6 からつるが6匹と求まります。全部つるにしたときとは、割り算で求まる種類が逆です。途中で「何を何に替えているか」を書くと、答えの取り違えを防げます。

表は、数を入れ替えた記録です

いきなり8を2で割る理由が見えないときは、全部つるの状態から表を作ります。かめを1匹ずつ増やし、そのたびにつるを1匹ずつ減らすと、次のようになります。足の数は、それぞれの種類についてかけ算してから足します。

表では、どの行もつるとかめを合わせて10匹です。一方、足の合計は20本から2本ずつ増えています。答えの行を見つけるだけでなく、縦に見て「1行進むと何が変わるか」を確かめてください。4行分進めば足が8本増えることが、8 ÷ 2 の意味です。

数の小さな問題なら、表だけで最後まで解けます。数が大きくなったら、1行分の増え方を見つけ、必要な行数を割り算で求めます。表と置き換えは別々の決まりではなく、同じ変化を細かく記録するか、まとめて計算するかの違いです。途中を飛ばす場合も、つるとかめの合計を一定にする約束は変わりません。

面積図は、足の合計を長方形で表します

図1のように、横を匹数、縦を1匹あたりの足の数として長方形を描きます。左のつるの部分は横6、縦2、右のかめの部分は横4、縦4です。面積に当たる計算がそれぞれの足の数になり、色のついた部分全体で28本を表します。ここでの図は実際の動物の大きさを表すものではありません。

図1の下半分は、10匹すべてに2本ずつ足があると考えた20本分です。右上の赤い部分は、かめに替えたことで増えた8本分に当たります。赤い長方形の高さは 4 − 2 = 2、面積に当たる量は8なので、横は 8 ÷ 2 = 4 です。この横がかめの匹数です。

図を自分で描くときには、初めから「6匹」「4匹」と書く必要はありません。かめの横を空欄にし、全体の横10匹と縦2本・4本、合計28本を書いてから、下の20本分を取り除いて考えます。図1には、解き終えた数を入れてあります。求める前の図と、答えを確認する図を区別すると、なぜその長方形を描いたのかがわかりやすくなります。

面積図を使っていても、答えの単位は cm² ではありません。横に匹数、縦に1匹あたりの足の数を対応させているので、長方形の広さに当たる量は足の本数です。「たてと横に何を割り当てた図か」を先に確認すると、形だけをまねして計算することを避けられます。

例題で解き方を確かめる

例題1　全部つるにして考える基本問題

つるとかめが合わせて15匹います。足の数の合計は42本です。つるとかめはそれぞれ何匹いますか。

1. 全部つると考え、2 × 15 = 30 で足を30本とします。まず1種類にそろえると、合計を1回のかけ算で求められるからです。
2. 実際に必要な足との差を求め、42 − 30 = 12 とします。この12本が、つるをかめに置き換えて増やす分だからです。
3. 1匹替えると 4 − 2 = 2 で2本増えるので、12 ÷ 2 = 6 とします。増やす12本の中に、2本分が何個あるかを数えています。
4. かめが6匹なので、つるは 15 − 6 = 9 で9匹です。両方合わせて15匹という条件から、残る種類を求めます。

確かめは 9 + 6 = 15 と、2 × 9 + 4 × 6 = 18 + 24 = 42 です。お子さまが「12 ÷ 2 = 6」とだけ書いたときには、6の横に「かめ」と添えてもらいます。足を増やすためにかめへ替えたので、6がかめの数だと判断できます。

答え：つる9匹、かめ6匹です。

例題2　品物の代金を面積図で考える

1本80円の鉛筆と1本120円のペンを、合わせて12本買いました。代金の合計は1160円です。鉛筆とペンをそれぞれ何本買いましたか。

1. 全部鉛筆と考え、80 × 12 = 960 で960円とします。同じ本数で安い方にそろえると、実際の代金までの不足を調べられるからです。
2. 1160 − 960 = 200 で不足は200円です。この分だけ、鉛筆をペンに替えて代金を増やします。
3. 1本替えたときの増加は 120 − 80 = 40 で40円です。200 ÷ 40 = 5 より、ペンは5本になります。120円全額が増えるのではなく、80円分を取り除いた後の差が増えることに注意します。
4. 鉛筆は 12 − 5 = 7 で7本です。求めたペンの本数を、全体の本数から引きます。

図2のように、横を本数、縦を1本あたりの代金にすると、緑の部分が全部鉛筆と考えた960円分、赤い部分が不足の200円分です。右上の高さ40円分に対し、下の高さ80円分は2倍になるように描いてあります。

図2の赤い部分の横5本は、そのままペンの本数を表します。確かめは 7 + 5 = 12 と、80 × 7 + 120 × 5 = 560 + 600 = 1160 です。問題文に動物が出てこなくても、「2種類」「全部で12本」「全部で1160円」という関係が基本問題と同じだと気づけます。

答え：鉛筆7本、ペン5本です。

例題3　3種類のうち1種類の枚数がわかる問題

10円玉、50円玉、100円玉が合わせて10枚あり、合計金額は480円です。このうち100円玉は2枚です。10円玉と50円玉はそれぞれ何枚ありますか。

1. 100円玉の金額を 100 × 2 = 200 で200円と求めます。枚数がわかる種類を先に取り出すと、残りを2種類にできるからです。
2. 残りの枚数は 10 − 2 = 8、残りの金額は 480 − 200 = 280 です。100円玉を取り除くときには、枚数と金額の両方からその分を引きます。
3. 残り8枚を全部10円玉と考え、10 × 8 = 80 とします。実際の280円との差は 280 − 80 = 200 で200円です。
4. 10円玉を50円玉に替えると 50 − 10 = 40 で40円増えます。200 ÷ 40 = 5 で50円玉は5枚、8 − 5 = 3 で10円玉は3枚です。残った2種類について、基本と同じ置き換えをしています。

確かめは 3 + 5 + 2 = 10 と、10 × 3 + 50 × 5 + 100 × 2 = 30 + 250 + 200 = 480 です。途中で取り除いた100円玉も、最終確認では戻します。残り2種類の計算だけが合っていても、最初に枚数や金額を引き忘れている可能性があるためです。

答え：10円玉3枚、50円玉5枚です。

3種類の問題の入口では、「すでにわかっている1種類を取り除く」ことを練習します。もし置き換えの割り算が割り切れなかったら、枚数を小数で答えるのではなく、読み取った合計や引き算を確認します。硬貨の枚数は整数でなければならないという条件も、答えを判断する手がかりです。

例題4　もらえる分と弁償する分がある問題

品物を20個運びます。無事に運んだ品物1個につき30円をもらえます。壊した品物については30円をもらえず、さらに1個につき50円を支払います。受け取るお金から支払うお金を引くと、手元に残ったお金は360円でした。壊した品物は何個ですか。

1. 全部無事なら、30 × 20 = 600 で600円をもらえます。失敗のない状態を出発点にすると、壊したことによる減り方を考えられるからです。
2. 実際との差を 600 − 360 = 240 で240円と求めます。この240円は、支払った弁償金だけではなく、もらえなかったお金も含んだ減少分です。
3. 1個壊すと、もらえるはずの30円がなくなり、さらに50円を支払います。手元のお金は 30 + 50 = 80 で80円減るので、240 ÷ 80 = 3 と求めます。
4. 無事に運んだ数は 20 − 3 = 17 です。もらうお金は 30 × 17 = 510、支払うお金は 50 × 3 = 150 となり、510 − 150 = 360 で条件に合います。

この種類を弁償つるかめと呼びます。「無事ならもらえる」と「失敗したら支払う」は、お金が動く向きが違います。いつも大きい数から小さい数を引くと決めず、1個の状態を替えたときに、手元のお金がどう変わるかを追ってください。

答え：壊した品物は3個です。

つまずきやすいところと直し方

足の不足を、そのままかめの匹数にします

誤った書き方は、例題1で「42 − 30 = 12、かめは12匹」です。どこが違うかというと、引き算で求めた12の単位は本であり、匹ではありません。しかも、かめ1匹に替えると足は1本ではなく2本増えます。数だけを追うと、この単位の違いが見えなくなります。

正しい書き方は、「不足12本、1匹替えると2本増える、12 ÷ 2 = 6 でかめ6匹」です。12本分を2本ずつのまとまりに分けたと考えます。「不足は何本かな」「1匹替えると何本増えるかな」と、2つを別々に尋ねると、割る数の役割を確認できます。

3種類のまま、2種類と同じ割り算をします

誤った書き方は、10円玉・50円玉・100円玉が混ざるときに、「全部10円玉として、合計との差を40で割ればよい」とすることです。どこが違うかというと、10円玉を50円玉に替えると40円増えますが、100円玉に替えると90円増えます。1枚替えたときの増加が1通りに決まりません。

正しい書き方は、「わかっている100円玉の枚数と金額を先に引き、残った2種類で考える」です。また、3種類の枚数を求めたいのに、全体の枚数と金額しかわからない問題では、答えが1通りに決まらないことがあります。追加の条件があるかを、計算の前に確かめます。

たとえば、10円玉・50円玉・100円玉が合わせて20枚、合計1000円という条件だけなら、10円玉5枚・50円玉11枚・100円玉4枚でも、10円玉10枚・50円玉2枚・100円玉8枚でも合います。どちらも3種類すべてを含み、枚数と金額の合計も同じです。種類が増えるほど、書かれていない条件を勝手に補わないことが大切になります。

弁償の50円から報酬の30円を引きます

誤った書き方は、例題4で「1個壊したときの差は 50 − 30 = 20」です。どこが違うかというと、無事に運んだときの受け取りと、壊したときの支払いを、同じ向きの金額として比べています。実際には、受け取りがなくなることと、支払いが生じることの両方が、手元のお金を減らします。

正しい書き方は、「もらえない30円と支払う50円で、30 + 50 = 80 円減る」です。図3のように、全部無事だった場合の600円と実際の360円を比べると、差の240円は90円分と150円分に分かれます。90円は3個分のもらえなかった報酬、150円は3個分の弁償金です。

図3では、実際に受け取る510円から150円を支払い、360円が残る関係も読み取れます。「1個につき50円を支払う」だけで報酬の扱いが書かれていない場合には、問題文の別の箇所を読み直します。今回のように「壊した分の30円はもらえない」と明記されていることが、80円を使う根拠です。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

式の横に「足の不足」「1個替えた差」など、数字の意味を短く書いて解いてみてください。答えが出たら、必ず最初の個数と、足の数や金額に戻して確認します。迷った問題だけ表にするなど、使う道具を自分で選んでかまいません。

練習1

つるとかめが合わせて18匹いて、足の数は50本です。つるとかめはそれぞれ何匹いますか。全部つると考えたときの足の数から調べてください。

練習2

1個70円の品物と1個110円の品物を合わせて16個買い、代金は1440円でした。それぞれ何個買いましたか。面積図を描く場合は、横を個数、縦を1個あたりの代金にします。

練習3

10円玉、50円玉、100円玉が合わせて14枚あり、合計金額は650円です。100円玉が3枚のとき、10円玉と50円玉はそれぞれ何枚ですか。まず100円玉を取り除いて考えてください。

練習4

品物を25個運びます。無事に運んだ品物1個につき40円をもらえます。壊した品物の40円はもらえず、さらに1個につき60円を支払います。受け取るお金から支払うお金を引くと、手元に残ったお金は600円でした。壊した品物は何個ですか。

答えと解説

練習1の答えは、つる11匹、かめ7匹です。全部つるなら 2 × 18 = 36 で36本なので、不足は 50 − 36 = 14 で14本です。1匹替えると2本増え、14 ÷ 2 = 7 でかめは7匹、18 − 7 = 11 でつるは11匹です。11 + 7 = 18 と、2 × 11 + 4 × 7 = 22 + 28 = 50 を確かめます。

練習2の答えは、70円の品物8個、110円の品物8個です。全部70円なら 70 × 16 = 1120、不足は 1440 − 1120 = 320 です。1個替えると 110 − 70 = 40 で40円増えるので、320 ÷ 40 = 8 となります。残りも 16 − 8 = 8 です。8 + 8 = 16 と、70 × 8 + 110 × 8 = 560 + 880 = 1440 で確認できます。

練習3の答えは、10円玉5枚、50円玉6枚です。100円玉3枚の300円を除くと、残りは 14 − 3 = 11 で11枚、650 − 300 = 350 で350円です。全部10円玉なら 10 × 11 = 110 なので、350 − 110 = 240 円増やす必要があります。240 ÷ 40 = 6 より50円玉6枚、11 − 6 = 5 より10円玉5枚です。5 + 6 + 3 = 14 と、10 × 5 + 50 × 6 + 100 × 3 = 50 + 300 + 300 = 650 を確認します。

練習4の答えは、壊した品物4個です。全部無事なら 40 × 25 = 1000 円で、実際との差は 1000 − 600 = 400 円です。1個壊すと 40 + 60 = 100 円減るので、400 ÷ 100 = 4 となります。無事なのは 25 − 4 = 21 個で、40 × 21 − 60 × 4 = 840 − 240 = 600 と確かめられます。弁償金だけの240円と、全部無事なときからの減少400円を区別してください。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

つるかめ算で扱う「1回分の差を集める」という考え方は、配り方を変える問題や平均の問題にもつながります。面積図では、1つ分の大きさと個数から全体を求めました。この対応を言葉にできると、次の単元でも、図の縦と横に何を割り当てればよいかを考えやすくなります。

家庭では、5分程度でできる確かめ方を2つ用意できます。1つ目は、丸を6個描き、全部が足2本のつるだと考え、1個ずつかめに替えて合計を口で言う方法です。12本から14本、16本と進む途中で、「動物の数は変わったかな」と尋ねます。2つ目は、例題2の式を見せ、960円、200円、40円がそれぞれ何を表すか説明してもらう方法です。計算をやり直すより、割り算に至る理由を短く確認できます。

個別指導で確かめるときには、割り算で止まるなら同じ大きさのまとまりを数えるところまで、面積図で止まるなら長方形の縦と横の意味まで戻ります。答えの数が合っていても、1回の置き換えで全体の個数が変わらない理由を言えるかどうかを確認します。

まとめ

問題文に見慣れない品物や弁償の条件が出てきたら、まず1個だけ入れ替えてみます。その1個について説明できれば、合計の差を何で割ればよいかを、自分の言葉で決められます。計算が割り切れない場合にも、無理に答えを作らず、単位や条件に戻る手がかりになります。

答えに添えたいのは、「全部を何にそろえ、何を1つ替えたか」という短い説明です。つるかめ算の割る数は、1回の置き換えで変わる量です。