【中学受験算数】和差算を図解で総まとめ—線分図で 2 つの数を求める・3 つの数への広げ方｜武蔵野個別指導塾

和と差を線分図に表し、2つの数や3人の持ち物の数を求めます。受け渡しで差が変わる例題と家庭で取り組める練習を通して、何をそろえて割るのかを確かめましょう。

よくあるのは、返されたテストの余白に長い線と短い線を引いたものの、「合計から差を引くのか、足すのか」で鉛筆が止まるという場面です。答え直しの式は書き写せても、なぜ最後に2で割るのかを尋ねられると、言葉が続かないことがあります。これは、たし算やひき算ができないということとは別です。計算をする前に、線のどの部分をそろえるのかが見えていないのかもしれません。

和差算は、いくつかの数の合計と、大きさの違いを手がかりに、もとの数を求める問題です。2つの数なら、長いほうを短くするか、短いほうを長くすることで、同じ長さの線が2本できます。3つの数でも、同じ長さを3本作る考え方が使えます。式だけを覚える前に、図の上で数をそろえる操作を確かめましょう。お子さまが線を指して説明できるようになると、文章の言い回しが変わった問題にも取り組みやすくなります。

この単元で身につけること

• 和と差を区別します。和は合わせた数、差は大きい数から小さい数を引いた数です。問題文の数字に、何を表すかを書き添えます。
• 線分図の左端をそろえて書きます。同じ長さの部分と、片方だけにある長さの部分を分けると、差の位置を読み取れます。
• 同じ数を2つ作ってから2で割ります。差を取り除けば小さい数が2つ、差を付け足せば大きい数が2つになることを説明します。
• 文章に直接書かれていない差を求めます。受け渡しによって同じ数になる問題では、渡す側と受け取る側の両方の変化を追います。
• 3つの数を1つの基準にそろえます。誰を基準にした差なのかを確かめ、そろえるために取り除く量を合わせて求めます。
• 求めた答えを問題文に戻します。合計だけでなく、大小の順序と差も確かめて、すべての条件に合うかを調べます。

これまでに学んだ、たし算・ひき算の文章題と、同じ大きさに分けるわり算が土台になります。新しい計算方法を増やすのではなく、どの計算をどの順番で使うかを、線分図で決める学習です。

基本の考え方

和は全体、差ははみ出した部分です

2人がカードを持っていて、合わせて64枚、姉は弟より12枚多いとします。このとき和は64枚、差は12枚です。64枚は姉だけの枚数ではありません。また、12枚は弟の枚数でもありません。「2人分を合わせた量」と「2人の量の違い」を別々に考えることが出発点です。

線分図では、姉の枚数を上の線、弟の枚数を下の線で表します。左端をそろえ、姉の線を長く書きます。弟の線の右端から上に目を移した位置で姉の線を区切ると、右にはみ出した部分が差の12枚です。図1のように、下の線と同じ長さの部分を同じ色で表すと、そろっている範囲を見つけやすくなります。

図1で赤い部分を取り除くと、残るのは弟の枚数を表す長さが2本です。2人の合計から12枚を取り除くので、残りは64 − 12 = 52枚です。この52枚は弟1人分ではなく、弟と同じ枚数が2人分ある量です。そこで52 ÷ 2 = 26枚と計算すると、弟の枚数が求められます。姉は弟より12枚多いので、26 + 12 = 38枚です。

ここで、赤い部分を取り除くのは答えを考えるための操作です。問題のカードが本当になくなるわけではありません。図の中で一度同じ長さにして、1本分を調べています。お子さまには「長いほうのはみ出しを隠すと、誰の数が何人分残るかな」と声をかけると、引いた後の量に目を向けられます。

小さい数にそろえる方法と、大きい数にそろえる方法があります

同じ問題を、短い線を延ばして解くこともできます。弟の線に12枚分を足すと、姉の線と同じ長さになります。もとの合計64枚に12枚を加えた76枚は、姉の枚数が2人分ある量です。76 ÷ 2 = 38枚で姉の枚数が求まり、38 − 12 = 26枚で弟の枚数が求まります。

つまり、2つの数について、小さい数は「(和 − 差) ÷ 2」、大きい数は「(和 + 差) ÷ 2」で求められます。ただし、先にこの形を暗記する必要はありません。「何を取り除いたか」「何が2つ残ったか」の順に説明してから式を書くと、計算の意味がつながります。どちらか一方の数が求まれば、もう一方は差を使っても、合計から引いても求められます。

和をそのまま2で割ると、2人に等しく分けたときの数になります。64 ÷ 2 = 32枚は、差が12枚あるときの姉や弟の枚数ではありません。ただし、32枚から片方を6枚増やし、もう片方を6枚減らすと、38枚と26枚になり、差は12枚になります。真ん中から左右に同じだけ動くと差はその2倍になる、という見方です。まずは線をそろえる方法を身につけ、慣れてからこの見方と結びつけましょう。

線分図を書く順番を決めます

問題を読んだら、最初に誰と誰の数を比べているかを見つけます。次に「より多い」「より少ない」の関係から長短を決めます。例えば「弟は姉より12枚少ない」は、「姉は弟より12枚多い」と同じ関係です。文に登場する順番で上の線を長くするのではなく、実際に多いほうを確かめます。

その後、線の左端をそろえて書き、はみ出した区間に差を書き入れます。合計は1本の線の上に置かず、2本分をまとめているとわかる位置に書きます。図を手書きするときは、未知の数まで正確な長さで表す必要はありません。それでも、同じと決めた部分の長さをそろえること、差の区間を線全体と区別することは守りましょう。

最後に、何を聞かれているかを確認します。少ないほうだけを答えるのか、2人の数を両方答えるのかで、必要な計算の終わりが変わります。問題文の条件を図に写す作業と、求める量を選ぶ作業を分けると、途中で求めた数をそのまま答えてしまう誤りを減らせます。

例題で解き方を確かめる

例題1　合計と差から2人の枚数を求めます

姉と弟はカードを合わせて64枚持っています。姉は弟より12枚多く持っています。姉と弟はそれぞれ何枚持っていますか。

1. 合計64枚、差12枚と整理します。図1の姉の長い線から12枚分を取り除けば、弟と同じ長さの線が2本できるため、小さいほうにそろえます。
2. 64 − 12 = 52と計算します。52枚は、弟の枚数を2つ合わせた量です。「引いたから弟の枚数」と考えず、残る線を2本数えます。
3. 52 ÷ 2 = 26と計算します。同じ長さの2本に分けるので、弟は26枚です。姉は12枚多いため、26 + 12 = 38枚です。
4. 38 + 26 = 64、38 − 26 = 12を確かめます。和と差の両方が問題文と一致するので、条件を満たしています。

答え：姉38枚、弟26枚です。

ここでは弟から求めましたが、姉から求めても構いません。(64 + 12) ÷ 2 = 38と書いた場合は、「短い線に12枚分を足した」と説明できるかを確かめます。式の形が違っても、同じ長さの2本を作っている点は共通です。

例題2　「短い」という表現を読み取ります

赤と青のリボンの長さは、合わせて150 cmです。青のリボンは赤のリボンより30 cm短いそうです。それぞれの長さを求めましょう。

1. 青が短く、赤が長いと整理します。「青は」という言葉から始まっていても、青の線を長くしないことが大事です。差は30 cmです。
2. 短い青に30 cmを足し、長い赤にそろえます。150 + 30 = 180なので、赤と同じ長さのリボン2本分は180 cmです。
3. 180 ÷ 2 = 90と計算します。先にそろえたのは赤の長さなので、この90 cmは赤のリボンの長さです。青は90 − 30 = 60 cmです。
4. 90 + 60 = 150、90 − 60 = 30を確かめます。最後に、青のほうが短いという文章の向きにも合っているかを見ます。

答え：赤90 cm、青60 cmです。

計算が合っていても、赤と青を逆に答えると条件を満たしません。途中の式の横に「赤2本分」「赤1本分」と短く書くと、数と名前の対応を保てます。単位をcmでそろえたまま計算することも、量を読み違えないための助けになります。

例題3　渡した後に同じ数になる問題です

兄と妹は合わせて84個のビー玉を持っています。兄が妹に6個渡すと、2人の個数が同じになります。はじめに兄と妹はそれぞれ何個持っていましたか。

1. 合計は84個のままと考えます。ビー玉は兄から妹へ移るだけで、2人の持ち物全体から出ていかないためです。渡した後は84 ÷ 2 = 42個ずつです。
2. はじめの差を求めます。兄の個数が6個減る一方で、妹の個数は6個増えるので、差は6 + 6 = 12個縮まります。渡した後の差がなくなるため、はじめの差は12個です。
3. はじめの少ないほうを求めます。84 − 12 = 72、72 ÷ 2 = 36なので、妹は36個です。兄は36 + 12 = 48個です。
4. 受け渡しを確かめます。48 − 6 = 42、36 + 6 = 42で、同じ個数になります。はじめの合計も48 + 36 = 84です。

答え：はじめに兄48個、妹36個です。

渡した後の42個ずつから、時間を戻す考え方も使えます。兄には渡した6個を戻して42 + 6 = 48個、妹からは受け取った6個を取り除いて42 − 6 = 36個です。はじめの数を求める問題では、「はじめ」と「渡した後」を書き分けると、42個を答えにしてしまうことを防げます。

例題4　3人の数をいちばん少ない人にそろえます

あおいさん、はるさん、けいさんは、シールを合わせて116枚持っています。あおいさんははるさんより10枚多く、はるさんはけいさんより8枚多く持っています。3人はそれぞれ何枚持っていますか。

1. 少ない順に、けいさん、はるさん、あおいさんと並べます。けいさんを基準にすると、はるさんは8枚多く、あおいさんは8 + 10 = 18枚多いことがわかります。
2. 図2のように、3本ともけいさんと同じ長さにそろえます。はるさんから8枚分、あおいさんから18枚分を取り除くので、取り除く量の合計は8 + 18 = 26枚です。
3. 116 − 26 = 90と計算します。90枚はけいさんの枚数が3人分ある量なので、90 ÷ 3 = 30です。けいさんは30枚、はるさんは30 + 8 = 38枚、あおいさんは38 + 10 = 48枚です。
4. 48 + 38 + 30 = 116、48 − 38 = 10、38 − 30 = 8を確かめます。3人の問題では合計だけでなく、もとの2つの差の条件もそれぞれ調べます。

答え：あおいさん48枚、はるさん38枚、けいさん30枚です。

図2の緑の部分は、けいさんの枚数を表しています。上の2本にも同じ長さがあるので、余分を取り除いた後に3で割る理由が見えます。赤の10枚分だけを取り除くと、あおいさんとはるさんはそろいますが、けいさんとはまだそろいません。3本すべてが同じ長さになっているかを確かめてから割ります。

別の確かめ方として、いちばん多いあおいさんにそろえることもできます。はるさんに10枚、けいさんに18枚を加えると、116 + 10 + 18 = 144枚があおいさん3人分になるので、144 ÷ 3 = 48枚です。少ない人にそろえて求めた答えと同じになりますが、足す量の合計は28枚です。小さいほうにそろえるときの26枚を、そのまま使うことはできません。どの人にそろえるかが変わると、増やす部分と減らす部分も変わります。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　差を引いた数を、そのまま少ないほうの答えにします

誤った書き方は「64 − 12 = 52、弟は52枚」です。差を取り除くところまでは合っていますが、52枚が誰の何人分かを取り違えています。弟が52枚なら、姉はそれより多くなるので、2人の合計が64枚という条件にも合いません。

正しい書き方は「64 − 12 = 52、52 ÷ 2 = 26、弟は26枚」です。直すときには、割り算の式を付け足すだけでなく、図1の赤い部分を紙で隠してみましょう。残る青い長さが2本あることを見ながら、「52枚を半分にするのは、同じ数が2つあるから」と説明します。2で割る理由が言えれば、3人の問題で3で割る理由にもつながります。

誤り2　同じ数になるまでに渡す量を、はじめの差にします

例題3での誤った書き方は「差は6個、(84 − 6) ÷ 2 = 39、妹は39個」です。この考えでは兄は45個になりますが、6個渡すと兄39個、妹45個となり、同じになりません。渡す量と、2人の間の差は別の量です。

図3のように、兄は6個分短くなり、妹は6個分長くなります。差を縮める変化が両側にあるため、はじめの差は6 + 6 = 12個です。正しい書き方は「(84 − 12) ÷ 2 = 36、妹は36個」です。受け渡しを図にするときは、変化する2本の線を続けて指で追います。

図3では、渡した後の線の右端がそろっています。家庭で確かめるなら、紙片を48個と36個のまとまりに分ける代わりに、8個と4個の小さなまとまりで試しても構いません。2個渡すと6個ずつになり、もとの4個の差がなくなります。数を小さくしても、「片方が減り、もう片方が増える」という関係は変わりません。

誤り3　3人の問題で、隣り合う差だけを1回ずつ引きます

例題4での誤った書き方は「(116 − 10 − 8) ÷ 3」です。あおいさんから10枚分、はるさんから8枚分を取り除くと、あおいさんの線には、けいさんより多い8枚分がまだ残ります。これでは3本の長さがそろっていないので、3で割ってもけいさんの枚数になりません。

正しい書き方は「(116 − 18 − 8) ÷ 3 = 30」です。あおいさんとけいさんの差18枚を先に求め、同じ相手を基準にした差をそろえます。図2を見ると、橙の8枚分は上と真ん中の両方にあり、合わせて2回取り除く必要があるとわかります。文中の数字を1回ずつ使えばよいのではなく、線のどこに同じ量があるかを数えるのが直し方です。

この誤りを確認するときは、計算の途中にあまりが出たことだけを理由に式を変えないようにします。割り切れる数に直せても、図の関係が違えば正しい解き方とはいえません。「引いた後に3本の右端がそろうか」を判断の基準にすると、数字の都合に頼らず式を選べます。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

まずは答えを見ずに、合計と差を問題文から取り出しましょう。線分図の長さを細かく測る必要はありません。名前、同じ長さの部分、はみ出した部分の3点を書き入れ、同じ数がいくつできるかを説明してから計算します。

練習1

大きい数と小さい数があります。2つの数の和は90、差は18です。それぞれの数を求めましょう。小さい数から求める式を1つ書き、その式で引いている18が図のどの部分かも説明しましょう。

練習2

長いひもと短いひもを合わせると、長さは174 cmです。短いひもは長いひもより26 cm短いそうです。それぞれの長さを求めましょう。今度は長いほうにそろえる方法で計算し、短いほうにそろえる方法でも同じ答えになるかを確かめましょう。

練習3

兄と妹の持っているおはじきは、合わせて70個です。兄が妹に5個渡すと、同じ個数になります。はじめにそれぞれ何個持っていましたか。渡した後の数とはじめの数を区別し、もとの合計が変わらない理由も説明しましょう。

練習4

あきさん、なおさん、ゆうさんは、折り紙を合わせて145枚持っています。あきさんはなおさんより9枚多く、なおさんはゆうさんより14枚多く持っています。それぞれの枚数を求めましょう。ゆうさんを基準にした差を、上の2人の線にそれぞれ書いてから計算します。

答えと解説

練習1の答えは、大きい数54、小さい数36です。(90 − 18) ÷ 2 = 72 ÷ 2 = 36で小さい数を求め、36 + 18 = 54とします。18は長い線のはみ出した部分です。54 + 36 = 90、54 − 36 = 18なので、両方の条件を満たします。

練習2の答えは、長いひも100 cm、短いひも74 cmです。(174 + 26) ÷ 2 = 200 ÷ 2 = 100で、長いひもを求めます。短いひもは100 − 26 = 74です。反対に、(174 − 26) ÷ 2 = 148 ÷ 2 = 74としても求められます。100 + 74 = 174、100 − 74 = 26を確認します。

練習3の答えは、はじめに兄40個、妹30個です。差は5 + 5 = 10個なので、(70 − 10) ÷ 2 = 60 ÷ 2 = 30で妹、30 + 10 = 40で兄を求めます。渡した後は40 − 5 = 35、30 + 5 = 35です。おはじきは2人の間を移るだけなので、合計ははじめも渡した後も70個です。

練習4の答えは、あきさん59枚、なおさん50枚、ゆうさん36枚です。あきさんはゆうさんより9 + 14 = 23枚多いので、取り除く量は23 + 14 = 37枚です。(145 − 37) ÷ 3 = 108 ÷ 3 = 36から、なおさんは36 + 14 = 50、あきさんは50 + 9 = 59と求まります。59 + 50 + 36 = 145、59 − 50 = 9、50 − 36 = 14で、すべての条件に合います。

間違えた場合は、答えだけを消して書き直すのではなく、最初に図と食い違ったところを探します。長短が逆なら文の読み取りへ、差の場所が違えば図へ、同じ数が何個分かを取り違えたなら割り算の直前へ戻りましょう。戻る場所を1つに決めると、どこを直せば解けるのかがお子さまにも見えます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

和差算の「同じ大きさにそろえる」という考え方は、同じ量が何個分あるかを扱う分配算につながります。また、受け渡しで合計は変わらず、差が変わるという見方は、持ち物の数の変化を考える文章題の土台です。人数が増えても、基準にした量と、そこから余分にある量を分ける手順は共通します。

家庭での1つ目の確かめ方は、5分で図だけを説明することです。例題1の答えを隠し、「12枚を取り除く前と後で、合計はどう変わるか」「残った線は誰の何人分か」を尋ねます。計算の速さを測るのではなく、線と数の対応を言葉にできるかを見ます。

2つ目は、別の5分で答えから問題を作ることです。例えば18個と12個を決め、合計30個、差6個という問題文をお子さまに作ってもらいます。それを(30 − 6) ÷ 2 = 12で解き直せれば、和と差が何を指すかを行き来して確かめられます。個別指導で確認するときも、公式の言い直しだけで済ませず、2つのまとまりのどこが同じで、どこが余るかを指せるところまで戻ります。

まとめ

返されたテストの余白に残したいのは、答え直しの数字に加えて、「この長さが2本分」という説明です。式を忘れた日でも、長い線の余分を取り除き、残った同じ長さを数えられれば、解く順序を自分で組み立てられます。3人の問題であれば、そろえる相手を決めたうえで、余分な部分を1本ずつ確かめます。

丸が付いた答えの横に、なぜその数で割ったかを短く書いてみましょう。和差算で割る数は、同じ長さにそろえた線の本数です。