【中学受験算数】数列と規則性を図解で総まとめ—等差数列の和・三角数 四角数・群数列の入口｜武蔵野個別指導塾

等差数列の番目と和を求める例題から、点の図で考える三角数・四角数、群数列の境目まで扱います。増える回数やまとまりの数え方を、家庭でも順に確かめられます。

よくあるのは、冬期講習の初日の教室で、黒板の「3、7、11、15、19、…」を見たお子さまが、次の数はすぐに言えるのに「20番目は」と聞かれると、続きを全部書こうとして手が止まるという場面です。4ずつ増えることはつかめています。それでも、20番目までに4を何回足すのかがはっきりしないと、計算へ進めません。

数列と規則性では、次の数を当てることから一歩進みます。遠くの番目を求める、途中までの数を全部足す、図形の点の個数を数える、まとまりに分かれた列の位置を調べる、といった問題を、並びの仕組みを使って解きます。大きな数でも、最初の数と増え方が整理できれば、長い書き出しは必要ありません。

ただし、どの並びにも同じ計算が使えるわけではありません。隣どうしの差が同じなのか、点の増え方が変わるのか、まとまりごとに数え直すのかを見分けます。式を覚える前に、式の中の数が何を数えているかを、図と短い言葉で確かめていきましょう。

この単元で身につけること

• 数の並びを調べるときに、数そのものと番目を区別します。上の段に番目、下の段に数を書くと、「20番目」と「数の20」を混同しにくくなります。
• 一定の差で増える数列では、最初の数から何回増えたかを使います。求める番目から1を引く理由を、隣り合う数の間で説明できるようにします。
• 等差数列の和では、数の個数を先に求めます。逆順に並べた列との組み合わせから、両端の和を使う計算につなげます。
• 三角数と四角数を、点の並びと対応させます。全体の個数だけでなく、次の図へ進むときに加わる部分にも目を向けます。
• 群数列では、全体の番目を「何群目の、群の中の何番目か」に分けます。群の終わりまでの個数を調べ、そこから残りを数えます。

これまでのたし算、かけ算、わり算や、長方形の面積を求める考え方が土台になります。新しい計算を次々に覚えるのではなく、すでに使える計算を、並びのどの部分に当てはめるかを考える単元です。計算が合っていても答えが1つずれるときは、筆算より先に数え始めの位置を確かめます。

基本の考え方

等差数列は「差」と「間の数」で考えます

決まりに従って数を順に並べたものを、数列といいます。並んでいるそれぞれの数を「項」と呼ぶこともありますが、初めは「1番目の数」「2番目の数」と読めれば十分です。ここでは、前の数に毎回同じ数を足していく並びから考えます。

3、7、11、15、19、…では、7-3、11-7、15-11、19-15が、どれも4です。このように、隣り合う数の差が一定の数列を等差数列といいます。その一定の差は「公差」と呼ばれます。毎回4ずつ増えると問題で決められていれば、その決まりを遠くの番目にも使えます。

図1のように、番目を上に、数を下に置くと、1番目から5番目へ進む間は4つです。最初の3は、進む前からすでにある数なので、5番目を求めるときに4を5回足す必要はありません。

5番目は3+4×4=19です。20番目なら間は20-1=19個なので、3+4×19=79になります。番目が大きくなっても、最初の数を出発点として、間の数だけ同じ増え方を重ねることに変わりはありません。

言葉で整理すると、「求める数=最初の数+差×（求める番目-1）」です。この形を丸ごと唱えるより、「1番目ならまだ増えていない」「2番目なら1回増える」と戻って確かめる方が、1を引く理由をつかめます。保護者の方は「数を指で押さえてから、数と数の間を数えてみよう」と声をかけると、番目と回数を分けて考えやすくなります。

反対に、ある数が何番目かを求めることもできます。この並びの39なら、39-3=36だけ増えています。36÷4=9は増えた回数なので、番目は9+1=10です。最初の数との差が、毎回の増え方で割り切れない場合は、この並びにその数は現れません。たとえば40では、40-3=37が4で割り切れません。数が近いからといって、商を丸めて番目を決めないようにします。

また、数がいくつか書いてあるだけでは、続きの決まりが1つに決まるとは限りません。問題文の「同じ数ずつ増える」「下の図のように点を加える」などの条件も読みます。見えている部分から予想したあと、その予想が条件と一致しているかを確かめるのが、規則を探すときの基本です。

和は順番を逆にして組み合わせます

等差数列の和は、全部を順に足しても求められます。ただ、数が多いときには、最初と最後を組み合わせると見通しがよくなります。3+7+11+15+19では、3+19も7+15も22です。中央の11だけが残るので、22×2+11=55と計算できます。

数の個数が奇数でも偶数でも同じ手順にするには、同じ列をもう1つ用意し、逆順に並べます。上を3、7、11、15、19、下を19、15、11、7、3とすると、縦の和はすべて22になります。22の組が5個ありますが、これは元の和を2つ合わせたものです。したがって、元の和は22×5÷2=55です。

このため、「和=（最初の数+最後の数）×数の個数÷2」と表せます。最後に2で割るのは、同じ和を2回分数えたからです。「両端を足したら2で割る」という作業だけを覚えると、何個分をかけるのかが抜けやすくなります。2列を縦に足す説明と、一緒に確かめましょう。

和を求める前には、数の個数をそろえます。「最後の数-最初の数」を差で割ると、出るのは間の数です。個数にするには1を足します。3から19まで4ずつ増えるなら、（19-3）÷4+1=5個です。途中の数が等しい差で続くことを確認して、初めてこの方法が使えます。

三角数と四角数は増える部分を見ます

点を上から1個、2個、3個、と段ごとに1個ずつ増やして並べたときの全体の個数を、三角数といいます。最初から順に1、3、6、10、15、…となります。4段なら1+2+3+4=10個です。5段目へ進むときには、新しい段の5個を足します。

三角数の全体は、一定の差では増えていません。増える数が2、3、4、5、…と変わります。等差数列の番目を求める方法をそのまま使うのではなく、各段の個数が1ずつ増えることに着目します。1から段数までの和なので、「段数×（段数+1）÷2」で全体の個数が求められます。4段なら4×5÷2=10です。

一方、縦と横を同じ個数にして、正方形の形に並べた点の個数が四角数です。1×1、2×2、3×3、4×4、…に対応し、1、4、9、16、…と続きます。1辺に4個並ぶときは4×4=16個です。点と点の間ではなく、1列の点の個数をかけることに注意します。

1辺が3個の正方形から4個の正方形へ広げるときは、右側と下側に点を加えます。右の列に3個、下の段に4個を置けば、合わせて7個増え、9+7=16です。四角数が増える数は3、5、7、…と奇数の並びになります。角の点を右と下で二重に数えないように、どちらか片方に含めます。

例題で解き方を確かめる

例題1　等差数列の20番目を求めます

4から始まり、次の数へ進むたびに3ずつ増える数列があります。4、7、10、13、…と続くとき、20番目の数を求めましょう。

1. 最初の数が4、毎回増える数が3であることを読み取ります。どの数を出発点にして、何を何回足すのかを分けるためです。
2. 1番目から20番目までに増える回数を、20-1=19回と求めます。20個の数の間には、19個の間があるからです。
3. 増えた分を3×19=57と求め、最初の4を足して4+57=61とします。増えた分だけでは、出発点の4が含まれないためです。

答え：20番目の数は61です。

確かめるときは、61から最初の4を引きます。61-4=57、57÷3=19なので、19回進んだ位置、つまり20番目です。「20番目だから3×20」とした答えと比べるより、自分の答えから増えた回数に戻れるかを見ると、ずれの原因がはっきりします。

この問いでは「20番目の数」を求めています。4から61までの数を全部足す問いではありません。問題の最後に線を引き、1つの数を答えるのか、和を答えるのかを最初に確認すると、不要な計算を減らせます。

例題2　最後の数から個数を調べて和を求めます

5、9、13、17、…、77と、4ずつ増える数を並べました。5から77までの、ここに並んだ数を全部足すといくつですか。

1. 両端の差を77-5=72と求め、72÷4=18回増えたと考えます。最後の77までに、4ずつの増加が何回あったかを知るためです。
2. 数の個数を18+1=19個と求めます。最初の5も和に含めるので、間の数より1個多くなります。
3. 並びを逆順にしたものと重ね、1組の和を5+77=82と求めます。隣へ移ると上は4増え、下は4減るため、各組の和は同じになります。
4. 82×19=1558、1558÷2=779と計算します。82の組を19個作ると、求める和を2回分数えているからです。

答え：和は779です。

19個という奇数個の並びでも、逆順の列と合わせれば中央も1組になります。この問題の中央は10番目で、5+4×9=41です。元の1列だけで組を作るなら、両端から82の組が9個でき、41が残ります。82×9+41=779となり、同じ答えを確かめられます。

最後の数77を、そのまま個数としてかけないことも大切です。77は「最後に書かれた数の値」、19は「並んだ数の個数」です。計算の前に、それぞれの数に短く意味を書き添えると、式を選ぶ根拠が残ります。

例題3　三角形と正方形に並べた点を数えます

点を、上の段から1個、2個、3個、…と8段まで並べた図形と、縦にも横にも8個ずつ並べた正方形があります。それぞれの点の個数と、その差を求めましょう。

図2では、仕組みが見やすいように4段の三角形と、1辺に4個ずつ点が並ぶ正方形を示しています。赤い点は、三角形では加えた4段目、正方形では1辺が3個の並びから加えた部分です。問題の8段も、同じ決まりで広げます。

1. 三角形の各段の個数を、1から8までの和として考えます。8段あることと、各段に8個あることは違うので、段ごとの個数を先に整理します。
2. 三角形の点を（1+8）×8÷2=36個と求めます。各段の個数は1ずつ増える等差数列なので、和の求め方を使えるからです。
3. 正方形の点を8×8=64個と求めます。8個ずつの列が8列あり、どの列の個数も同じだからです。
4. 個数の差を64-36=28個と求めます。2つの図形の全体の個数がそろってから、大きい方から小さい方を引きます。

答え：三角形は36個、正方形は64個で、差は28個です。

三角形を左端にそろえて正方形の中に置くと、各段に足りない点は上から7、6、5、4、3、2、1、0個になります。この合計も7×8÷2=28個です。差を引き算だけで確かめるのではなく、空いている部分として見ることができます。

三角形の点を「正方形の半分」とすると、64÷2=32個となり、4個少なくなります。点の並びでは、斜めに並ぶ点も数えるため、見た目だけで面積の半分と同じに扱えません。段ごとの個数が何個かに戻ると、36個になる理由を説明できます。

例題4　群数列の40番目を求めます

第1群を「1」、第2群を「1、2」、第3群を「1、2、3」とし、第4群以降も、群の番号と同じ数まで1から順に並べます。これらの群をつなげた列の、全体で40番目の数を求めましょう。

数をまとまりに区切って考える数列を、群数列といいます。この問題では第1群が1個、第2群が2個、第3群が3個と、群の中の数の個数が1個ずつ増えます。ただし、群数列には別の並べ方もあるので、いつもこの決まりだと思い込まないようにします。

1. 各群の終わりまでに数が何個あるかを調べます。全体の40番目がどの群に入るかを決めるには、群ごとの個数を足す必要があるからです。
2. 第8群までを8×9÷2=36個、第9群までを9×10÷2=45個と求めます。36より大きく45以下の番目は、第9群に入るためです。
3. 40-36=4として、第9群の中の4番目だと判断します。すでに通り過ぎた第8群までの36個を、全体の番目から取り除きます。
4. 第9群は1から9まで順に並ぶので、群の中の4番目は4です。群の番号と群内の位置を区別して、実際の並びに当てはめます。

答え：全体で40番目の数は4です。

書き出しでも、第9群は全体の37番目から始まり、37番目が1、38番目が2、39番目が3、40番目が4と確かめられます。36個を取り除いたあとの最初が37番目になることを、特に丁寧に見ます。

また、群の番号9がそのまま答えになるわけではありません。「第9群の4番目」と位置を言い切ってから、値を読み取ります。もし各群の並べ方が9、8、7、…、1のような逆順なら、同じ位置でも値は変わります。群の大きさを調べることと、群内の数を読むことは、別々の手順です。

つまずきやすいところと直し方

番目をそのまま増える回数にしてしまいます

誤った書き方：例題1で、4+3×20=64とします。どこが違うかというと、最初の4を1番目と数えているのに、さらに20回進めている点です。64は、この並びの21番目に当たります。

正しい書き方：4+3×（20-1）=61です。いきなり20番目の式を直すのではなく、1番目と2番目で試します。1番目は4のままで、3を足す回数は0回です。2番目なら1回です。この対応を小さな数で言えれば、20番目でも「番目より1回少ない」と判断できます。

お子さまが「1を引くのを忘れた」と言ったときは、それだけで直しを終えないようにします。「どこからどこまでの間を数えたのか」を図1で指すと、忘れ物の注意ではなく、式の意味の確認になります。

和を求めるときに個数を1つ少なくします

誤った書き方：例題2で、（5+77）×18÷2=738とします。どこが違うかというと、18は4ずつ増えた回数であり、数の個数ではない点です。最初の5があるので、並んだ数は19個です。

正しい書き方：（5+77）×19÷2=779です。式の下に「18回」「19個」と単位になる言葉を添えます。和の計算でかけるのは、逆順の列と合わせてできる組の個数なので、19を使います。差を割る計算が合っていても、何が出たのかを読み違えると答えはずれます。

短い並びなら、5、9、13を使って確認できます。間は2つですが数は3個で、和は27です。（5+13）×3÷2=27と一致するので、長い並びでも個数に1を足す理由を取り戻せます。

群の最後を次の群の最初にしてしまいます

誤った書き方：例題4と同じ並びで、全体の10番目を「第5群の最初だから1」とします。どこが違うかというと、第4群までの個数が1+2+3+4=10なので、10番目はまだ第4群の最後に含まれる点です。

図3のように、群の終わりの番目を並べると、境目が見えます。各ますは全体の1個分を表しており、第4群の最後が10番目、次のますが第5群の最初の11番目です。

正しい書き方：10-6=4なので、第4群の4番目、数は4です。第3群までの個数6を引くのは、目当ての数が入っている群の直前までを取り除くためです。第4群までの10を引いて0になったら、その0を「次の群の1番目」と読み替えないようにします。

境目が苦手な場合は、9番目、10番目、11番目を続けて調べます。それぞれ3、4、1と、10番目から11番目で群が変わります。「群の終わりまで」という言葉が、その最後の数も含んでいることを確かめると、境目の取り違えを直せます。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

練習1

7から始まり、5ずつ増える数列があります。16番目の数を求めましょう。計算の前に、最初の数、増える数、増える回数の3つをそれぞれ書いてください。

練習2

6、12、18、…、78と、6ずつ増える数を並べます。この並びの数を全部足した和を求めましょう。78までに何回増えたかと、数が何個あるかを分けて書いてください。

練習3

点を上から1個、2個、3個、…と12段まで並べた三角形があります。また、縦と横に12個ずつ点を並べた正方形があります。それぞれの点の個数と、個数の差を求めましょう。

練習4

第1群が「1」、第2群が「1、2」、第3群が「1、2、3」で、第4群以降も同じ決まりで続く群数列があります。全体の55番目と56番目の数を求めましょう。それぞれが何群目に入るかも確かめてください。

答えと解説

練習1の答えは82です。最初の数は7、増える数は5、増える回数は16-1=15回なので、7+5×15=82となります。82-7=75、75÷5=15と戻ると、15回進んだ16番目だと確認できます。

練習2の答えは546です。（78-6）÷6=12回増えるので、数の個数は12+1=13個です。（6+78）×13÷2=84×13÷2=546と求めます。この並びは6を1個分、2個分、…、13個分とした数でもあるので、1から13までの和91を使い、6×91=546と確かめることもできます。

練習3の答えは三角形が78個、正方形が144個、差が66個です。三角形は12×13÷2=78個、正方形は12×12=144個です。差は144-78=66個となります。正方形の中で三角形に含まれない点は、11個から0個まで1個ずつ減る並びなので、11×12÷2=66でも確認できます。

練習4の答えは55番目が10、56番目が1です。第9群までが9×10÷2=45個、第10群までが10×11÷2=55個です。55番目は第10群の最後で、55-45=10番目にあります。56番目は第11群に入り、56-55=1番目なので1です。隣り合った番目でも、群の境目では数が小さくなることがあります。

答えが違った問題は、すぐに全計算をやり直すよりも、最初に書いた「回数」「個数」「群の中の位置」を見直しましょう。そこが合っていれば計算を確かめ、そこが違っていれば短い並びを書いて数え方を確かめます。直す場所を分けると、同じ問題をもう一度解くときの注意点が具体的になります。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

数列で「番目と数」を対応させる考え方は、表を作って数量の変わり方を調べる問題につながります。図形の規則性は、正方形を横に並べたときの棒の本数や、段を増やしたときの周りの長さにも使えます。ただし、共有する辺や点がある場合には、その重なりを除いて数える必要があります。いつも全体をかければよいとは考えず、1つ増やしたときに実際に加わる部分を見ます。

群数列で「直前の群までを取り除いて、残りの位置を調べる」手順は、大きなまとまりを先に数える問題の土台になります。一定の個数でくり返す並びなら、同じ個数ずつ分けるわり算が使えますが、今回の群数列は群の個数が変わるので、単純に一定の数で割ることはできません。何が一定で、何が変化するかを見分けることが、次の学習でも役立ちます。

家庭で5分ほど確かめるなら、次の2つから1つを選ぶと取り組みやすくなります。

• 2、5、8、11、…と毎回3ずつ増える並びを書き、6番目を尋ねます。答えの17だけでなく、「3を5回足した」と言えるかを聞きます。その後、17が何番目かを逆向きに尋ね、（17-2）÷3+1=6まで戻します。
• 紙に「1｜1、2｜1、2、3｜1、2、3、4」と書きます。全体の6番目と7番目を指してもらい、数が3から1へ変わる理由を尋ねます。正解だけを急がず、「ここで第3群が終わり、次は第4群」と区切りを説明できるかを見ます。

個別指導で確かめるときは、式が書けない原因が計算なのか、数の個数と間の数の区別なのかまで戻って見ます。群数列なら、群の区切りが読めるか、各群の個数を足せるか、群内の位置を値へ直せるかを分けて確認します。

まとめ

途中の式に「回」「個」「番目」を添えると、数列の答えがずれた理由を自分で探せます。遠い番目の数を求めるときも、複雑に見える点の並びを数えるときも、小さな並びへ戻して仕組みを説明できれば、計算の根拠は失われません。

答えが合っていても、なぜ1を引くのか、なぜ1を足すのかが曖昧なら、そこが次に確かめる場所です。数列の1つ分のずれは、計算の速さでは埋まらず、何を数えたかという言葉で直ります。